2021-2022學年福建省福州市鼓樓區(qū)立志中學九年級（下）期中數(shù)學試卷（解析版）

2021-2022學年福建省福州市鼓樓區(qū)立志中學九年級（下）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.）1．實數(shù)|﹣1|，﹣，，﹣在數(shù)軸上所表示的點離原點最遠的是（）A．|﹣1| B．﹣ C． D．﹣2．下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．成人每天維生素D的攝入量約為0.0000046克．數(shù)據(jù)“0.0000046”用科學記數(shù)法表示為（）A．46×10﹣7 B．4.6×10﹣7 C．4.6×10﹣6 D．0.46×10﹣54．一個長方體和正方體按如圖方式擺放，則這個組合體的左視圖是（）A． B． C． D．5．下列運算正確的是（）A．8a﹣a＝8 B．（﹣a）4＝a4 C．a3?a2＝a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b26．某校為落實作業(yè)管理、睡眠管理、手機管理、讀物管理、體質管理工作有關要求，隨機抽查了部分學生每天的睡眠時間，制定如下統(tǒng)計表．睡眠時間/h6789人數(shù)1020154則所抽查學生每天睡眠時間的中位數(shù)為（）A．6h B．7h C．7.5h D．8h7．如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于點F，則∠BAC的度數(shù)為（）A．65° B．70° C．75° D．80°8．我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托．折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．”其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．設繩索長x尺．則符合題意的方程是（）A．x＝（x﹣5）﹣5 B．x＝（x+5）+5 C．2x＝（x﹣5）﹣5 D．2x＝（x+5）+59．如圖，AB是⊙O的切線，A為切點，BO交⊙O于點C，點D在⊙O上，連接CD，AD，若∠ADC＝27°，則∠B的度數(shù)等于（）A．28° B．36° C．44° D．56°10．已知點P（m，n）在拋物線y＝ax2﹣x﹣a上，當m≤1時，總有n≥﹣1成立，則a的取值范圍（）A．a≥1 B．0＜a≤1 C．a≥ D．0＜a≤二.填空題（本大題6小題，每小題4分，共24分。請把答案寫在題中的橫線上）11．代數(shù)式在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是．12．如圖是小李在新冠疫情期間連續(xù)兩周居家健康檢測記錄的體溫情況折線統(tǒng)計圖，記第一周體溫的方差為S，第二周體溫的方差為S，則SS（選填“＞”、“＜”或“＝”）．13．若a是方程2x2＝x+5的一個根，則代數(shù)式4a2﹣2a的值是．14．一個正五邊形和一個正六邊形都有一邊在直線l上，且有一個公共頂點O，其擺放方式如圖所示，則∠1+∠2＝°．15．如圖，△ABC的頂點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，頂點C在x軸上，AB∥x軸，若點B的坐標為（1，3），S△ABC＝2，則k的值．16．如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E交CD于點F，H是BC邊的中點，連接DH交BE于點G，考查下列結論：①△ACD≌△FBD；②AE＝CE；③△DGF為等腰三角形；④S四邊形ADGE＝S四邊形GHCE．其中正確的有．三.解答題（本題共9小題，共86分）17．計算：|﹣3|﹣3tan60°++（）﹣1．18．先化簡，再求值：÷（1﹣），其中，x＝﹣3．19．如圖，點A，E，F(xiàn)，B在直線l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求證：CF＝DE．20．如圖，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°．（1）在AB邊上求作點D，連接CD，使得∠CDB＝2∠A；（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）（2）在（1）所作圖形中，若∠B＝65°，求∠BCD的度數(shù)．21．為了做好防疫工作，學校準備購進一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．（1）這兩種消毒液的單價各是多少元？（2）學校準備購進這兩種消毒液共90瓶，且A型消毒液數(shù)量不少于30瓶但不超過70瓶．設購進這兩種消毒液所需費用為w元，購進A型消毒液m瓶，求w與m之間的函數(shù)關系式，并求出學校最少所需費用多少元？22．為積極響應“弘揚傳統(tǒng)文化”的號召，某學校倡導全校學生進行經典詩詞誦背活動，并在活動之后舉辦經典詩詞大賽．為了解本次系列活動的持續(xù)效果，學校團委在活動啟動之初，隨機抽取部分學生調查“一周詩詞誦背數(shù)量”．根據(jù)調查結果繪制成的統(tǒng)計圖（部分）如圖所示：大賽結束后一個月，再次抽查這部分學生“一周詩詞誦背數(shù)量”，繪制成統(tǒng)計表：一周詩詞誦背數(shù)量3首4首5首6首7首8首人數(shù)101015402520請根據(jù)調查的信息分析：（1）在大賽啟動之初，以抽查的這部分學生為樣本，求隨機抽取一名學生一周詩詞誦背數(shù)量不超過5首的概率是多少？（2）這部分學生從經典詩詞大賽啟動之初到結束一個月后，平均每名學生一周詩詞誦背數(shù)量的增長率是多少？23．如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，I是△ABC內一點，AI的延長線交BC于點D，交⊙O于E，連接BE，BI，若IB平分∠ABC，EB＝EI．（I）求證：AE平分∠BAC；（2）若BD＝，OI⊥AD于I，求CD的長．24．如圖，點E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點，連接DE，過頂點B作BF⊥DE，垂足為F，BF交邊DC于點G．（1）求證：DG?BC＝DF?BG；（2）連接CF，求∠CFB的大小；（3）作點C關于直線DE的對稱點H，連接CH，F(xiàn)H．猜想線段DF，BF，CH之間的數(shù)量關系并加以證明．25．已知，拋物線y＝ax2，其中a＞0．（1）若點P（2，2）向左平移3個單位長度后落在拋物線y＝ax2上，求此拋物線的解析式；（2）如圖1，若點A是此拋物線上一點（不與原點重合），過點A的直線恰好與此拋物線僅有一個交點，且與y軸交于點B，與x軸相交于點C．求證：AC＝BC；（3）如圖2，若點E，F(xiàn)是此拋物線上兩點，且在y軸兩側，連接EF，與y軸相交于點D，且∠EOF＝90°，求證：DO＝．

參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.）1．實數(shù)|﹣1|，﹣，，﹣在數(shù)軸上所表示的點離原點最遠的是（）A．|﹣1| B．﹣ C． D．﹣【分析】分別求出每個數(shù)的絕對值，再比較即可．解：|﹣1|＝1，|﹣|＝，||＝，|﹣|＝，∵1＜＜＜，∴離原點最遠的是﹣，故選：B．2．下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．解：選項A、B、C都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，選項D能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，故選：D．3．成人每天維生素D的攝入量約為0.0000046克．數(shù)據(jù)“0.0000046”用科學記數(shù)法表示為（）A．46×10﹣7 B．4.6×10﹣7 C．4.6×10﹣6 D．0.46×10﹣5【分析】本題用科學記數(shù)法的知識即可解答．解：0.0000046＝4.6×10﹣6．故選：C．4．一個長方體和正方體按如圖方式擺放，則這個組合體的左視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)左視圖是從左面看到的圖形判定則可．解：從左邊看，底層是一個矩形，上層的左邊是一個小正方形．故選：C．5．下列運算正確的是（）A．8a﹣a＝8 B．（﹣a）4＝a4 C．a3?a2＝a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【分析】分別利用冪的乘方運算法則以及合并同類項法則以及完全平方公式、同底數(shù)冪的乘法運算法則分別化簡求出答案．解：A、8a﹣a＝7a，故此選項錯誤；B、（﹣a）4＝a4，正確；C、a3?a2＝a5，故此選項錯誤；D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此選項錯誤；故選：B．6．某校為落實作業(yè)管理、睡眠管理、手機管理、讀物管理、體質管理工作有關要求，隨機抽查了部分學生每天的睡眠時間，制定如下統(tǒng)計表．睡眠時間/h6789人數(shù)1020154則所抽查學生每天睡眠時間的中位數(shù)為（）A．6h B．7h C．7.5h D．8h【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義進行求解即可．解：抽查的總人數(shù)有：10+20+15+4＝49（人），把這些數(shù)從小到大排列，中位數(shù)是第25個數(shù)，則所抽查學生每天睡眠時間的中位數(shù)為7h；故選：B．7．如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于點F，則∠BAC的度數(shù)為（）A．65° B．70° C．75° D．80°【分析】由旋轉的性質可得∠BAD＝55°，∠E＝∠ACB＝70°，由直角三角形的性質可得∠DAC＝20°，即可求解．解：∵將△ABC繞點A逆時針旋轉55°得△ADE，∴∠BAD＝55°，∠E＝∠ACB＝70°，∵AD⊥BC，∴∠DAC＝20°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝75°．故選：C．8．我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托．折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．”其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．設繩索長x尺．則符合題意的方程是（）A．x＝（x﹣5）﹣5 B．x＝（x+5）+5 C．2x＝（x﹣5）﹣5 D．2x＝（x+5）+5【分析】設繩索長x尺，則竿長（x﹣5）尺，根據(jù)“將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．解：設繩索長x尺，則竿長（x﹣5）尺，依題意，得：x＝（x﹣5）﹣5．故選：A．9．如圖，AB是⊙O的切線，A為切點，BO交⊙O于點C，點D在⊙O上，連接CD，AD，若∠ADC＝27°，則∠B的度數(shù)等于（）A．28° B．36° C．44° D．56°【分析】連接OA，由同弧所對的圓心角和圓周角的關系求出∠AOC，根據(jù)切線的性質得到∠OAB＝90°，繼而可求出∠B．解：連接OA，∵＝，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×27°＝54°，∵AB是⊙O的切線，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∴∠AOB+B＝90°，∴∠B＝90°﹣∠AOB＝90°﹣54°＝36°，故選：B．10．已知點P（m，n）在拋物線y＝ax2﹣x﹣a上，當m≤1時，總有n≥﹣1成立，則a的取值范圍（）A．a≥1 B．0＜a≤1 C．a≥ D．0＜a≤【分析】由m≤1時，總有n≥﹣1，可得拋物線開口向上，即a＞0．由拋物線解析式可得拋物線對稱軸及頂點坐標，分類討論拋物線對稱軸在直線x＝1左右兩側時求解．解：∵m≤1時，總有n≥﹣1，∴拋物線開口向上，a＞0，∵y＝ax2﹣x﹣a＝a（x﹣）2﹣﹣a，∴拋物線對稱軸為直線x＝，頂點坐標為（，﹣﹣a），當對稱軸在直線x＝1右側時，＞1，解得a＜，將x＝1代入y＝ax2﹣x﹣a得y＝﹣1，∴n≥﹣1，滿足題意，∴0＜a＜，當0＜≤1時，拋物線頂點為圖象最低點，y＝﹣﹣a為函數(shù)最小值，∴，解得a＝，綜上所述0＜a．故選：D．二.填空題（本大題6小題，每小題4分，共24分。請把答案寫在題中的橫線上）11．代數(shù)式在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是x≥3．【分析】直接利用二次根式的定義得出x﹣3≥0，進而求出答案．解：∵代數(shù)式在實數(shù)范圍內有意義，∴x﹣3≥0，解得：x≥3，∴x的取值范圍是：x≥3．故答案為：x≥3．12．如圖是小李在新冠疫情期間連續(xù)兩周居家健康檢測記錄的體溫情況折線統(tǒng)計圖，記第一周體溫的方差為S，第二周體溫的方差為S，則S＜S（選填“＞”、“＜”或“＝”）．【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖很容易看出小李第一周居家體溫在36.6℃～36.8℃之間，第二周居家體溫在36.4℃～37.2℃之間，從而推出S12＜S22．解：根據(jù)折線統(tǒng)計圖很容易看出小李第一周居家體溫在36.6℃～36.8℃之間，第二周居家體溫在36.4℃～37.2℃之間，∵小李第一周居家體溫數(shù)值波動小于其第二周居家體溫數(shù)值波動，∴S12＜S22．故答案為：＜．13．若a是方程2x2＝x+5的一個根，則代數(shù)式4a2﹣2a的值是10．【分析】直接把a的值代入得出2a2﹣a＝5，進而將原式變形得出答案．解：∵a是方程2x2＝x+5的一個根，∴2a2﹣a＝5，∴4a2﹣2a＝2（2a2﹣a）＝2×5＝10．故答案為：10．14．一個正五邊形和一個正六邊形都有一邊在直線l上，且有一個公共頂點O，其擺放方式如圖所示，則∠1+∠2＝132°．【分析】利用正多邊形的性質求出∠AOE、∠BOF、∠2，即可解決問題．解：如圖：由題意：∠AOE＝108°，∠BOF＝120°，∠OEF＝72°，∠OFE＝60°，∴∠2＝180°﹣72°﹣60°＝48°，∴∠1＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，∴∠1+∠2＝84°+48°＝132°，故答案為：132．15．如圖，△ABC的頂點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，頂點C在x軸上，AB∥x軸，若點B的坐標為（1，3），S△ABC＝2，則k的值7．【分析】設點A（a，3），根據(jù)題意可得：a＝，即可求點A坐標，代入解析式可求k的值．解：∵AB∥x軸，若點B的坐標為（1，3），∴設點A（a，3）∵S△ABC＝（a﹣1）×3＝2∴a＝∴點A（，3）∵點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴k＝7故答案為：7．16．如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E交CD于點F，H是BC邊的中點，連接DH交BE于點G，考查下列結論：①△ACD≌△FBD；②AE＝CE；③△DGF為等腰三角形；④S四邊形ADGE＝S四邊形GHCE．其中正確的有①②③．【分析】證明△ACD≌△FBD（AAS），由全等三角形的性質得出AC＝BF．則①正確；證明△ABE≌△CBE（ASA），由全等三角形的性質得出AE＝CE，則可得出②正確；證出∠DGF＝∠DFG，由等腰三角形的判定可得出③正確．過G作GM⊥BD于點M，由直角三角形的性質及全等三角形的性質得出S四邊形ADGE＜S四邊形GHCE，故④錯誤．解：①∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDF＝90°，∠DBF+∠DFB＝180°﹣∠BDF＝90°，又∵BE⊥AC，∴∠BEA＝90°，∴∠DBF+∠DAC＝180°﹣∠BEA＝90°，∴∠DAC＝∠DFB，又∵∠ABC＝45°，∴∠DCB＝180°﹣∠ABC﹣∠BDF＝45°，△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD，∴在△ACD和△FBD中，，∴△ACD≌△FBD（AAS），故①正確；②∵BE平分∠ABC，BE⊥AC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEA＝∠BEC＝90°，∴在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE，故②正確；③∵∠HBG+∠BGH＝180°﹣∠GHB＝90°，∠DBF+∠DFG＝180°﹣∠BDF＝90°，∠HBG＝∠DBF，∴∠BGH＝∠DFG，∵∠BGH＝∠DGF，∴∠DGF＝∠DFG，∴△DGF為等腰三角形．故③正確；④如圖所示，過G作GM⊥BD于點M，∵H為等腰直角△BCD斜邊BC的中點，∴DH⊥BC，即∠GHB＝90°，又∵BE平分∠ABC，GM⊥BD，∴GM＝GH，又∵BD＞BH，∴S△BDG＞S△BGH，又∵△ABE≌△CBE，∴S△ABE＝S△CBE，∴S四邊形ADGE＝S△ABE﹣S△BDG，S四邊形GHCE＝S△CBE﹣S△BGH，∴S四邊形ADGE＜S四邊形GHCE，故④錯誤；綜上所述：正確的有①②③．故答案為：①②③．三.解答題（本題共9小題，共86分）17．計算：|﹣3|﹣3tan60°++（）﹣1．【分析】首先計算特殊角的三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)冪、開方和絕對值，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可．解：|﹣3|﹣3tan60°++（）﹣1＝3﹣3+2+3＝6﹣．18．先化簡，再求值：÷（1﹣），其中，x＝﹣3．【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將x的值代入計算可得．解：原式＝÷（﹣）＝÷＝?＝，當x＝﹣3時，原式＝＝＝．19．如圖，點A，E，F(xiàn)，B在直線l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求證：CF＝DE．【分析】根據(jù)平行線的性質得到∠CAF＝∠DBE，證明△ACF≌△BDE，根據(jù)全等三角形的性質證明結論．【解答】證明：∵AE＝BF，∴AE+EF＝BF+EF，即AF＝BE，∵AC∥BD，∴∠CAF＝∠DBE，在△ACF和△BDE中，，∴△ACF≌△BDE（SAS）∴CF＝DE．20．如圖，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°．（1）在AB邊上求作點D，連接CD，使得∠CDB＝2∠A；（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）（2）在（1）所作圖形中，若∠B＝65°，求∠BCD的度數(shù)．【分析】（1）作AB的垂直平分線即可；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可解決問題．解：（1）如圖，點D即為所求；（2）由（1）知：點D是AB的中點，∵∠C＝90°．∴CD＝BD＝AD，∴∠BCD＝∠B＝65°．21．為了做好防疫工作，學校準備購進一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．（1）這兩種消毒液的單價各是多少元？（2）學校準備購進這兩種消毒液共90瓶，且A型消毒液數(shù)量不少于30瓶但不超過70瓶．設購進這兩種消毒液所需費用為w元，購進A型消毒液m瓶，求w與m之間的函數(shù)關系式，并求出學校最少所需費用多少元？【分析】（1）設A型消毒液單價是x元，B型消毒液單價是y元，根據(jù)已知得，即可解得答案；（2）由已知得w＝﹣2m+810（30≤m≤70），再根據(jù)一次函數(shù)性質可得答案．解：（1）設A型消毒液單價是x元，B型消毒液單價是y元，根據(jù)題意得：，解得，答：A型消毒液單價是7元，B型消毒液單價是9元；（2）根據(jù)題意得：w＝7m+9（90﹣m）＝﹣2m+810（30≤m≤70），∵﹣2＜0，∴w隨m的增大而減小，∴m＝70時，w最小，w的最小值是﹣2×70+810＝670（元），答：w與m之間的函數(shù)關系式是w＝﹣2m+810，學校最少所需費用670元．22．為積極響應“弘揚傳統(tǒng)文化”的號召，某學校倡導全校學生進行經典詩詞誦背活動，并在活動之后舉辦經典詩詞大賽．為了解本次系列活動的持續(xù)效果，學校團委在活動啟動之初，隨機抽取部分學生調查“一周詩詞誦背數(shù)量”．根據(jù)調查結果繪制成的統(tǒng)計圖（部分）如圖所示：大賽結束后一個月，再次抽查這部分學生“一周詩詞誦背數(shù)量”，繪制成統(tǒng)計表：一周詩詞誦背數(shù)量3首4首5首6首7首8首人數(shù)101015402520請根據(jù)調查的信息分析：（1）在大賽啟動之初，以抽查的這部分學生為樣本，求隨機抽取一名學生一周詩詞誦背數(shù)量不超過5首的概率是多少？（2）這部分學生從經典詩詞大賽啟動之初到結束一個月后，平均每名學生一周詩詞誦背數(shù)量的增長率是多少？【分析】（1）根據(jù)5首的人數(shù)和圓心角的度數(shù)求出抽取的學生數(shù)量，再求出大賽啟動之初，一周詩詞誦背數(shù)量不超過5首，然后根據(jù)概率公式即可得出答案；（2）分別求出賽啟動之初和結束一個月后詩詞誦背數(shù)量的平均數(shù)，然后求出平均每名學生一周詩詞誦背數(shù)量的增長率即可得出答案．解：（1）由題意得抽查的這部分學生的數(shù)量為20÷＝120（名），大賽啟動之初，一周詩詞誦背數(shù)量為4首的人數(shù)為120×＝45（名），∴P（大賽啟動之初，一周詩詞誦背數(shù)量不超過5首）＝＝；（2）大賽啟動之初，一周詩詞誦背數(shù)量的平均數(shù)：（15×3+45×4+20×5+16×6+13×7+11×8）＝5，大賽啟結束一個月后，一周詩詞誦背數(shù)量的平均數(shù)：（10×3+10×4+15×5+40×6+25×7+20×8）＝6，增長率：×100%＝20%，答：平均每名學生一周詩詞誦背數(shù)量的增長率是20%．23．如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，I是△ABC內一點，AI的延長線交BC于點D，交⊙O于E，連接BE，BI，若IB平分∠ABC，EB＝EI．（I）求證：AE平分∠BAC；（2）若BD＝，OI⊥AD于I，求CD的長．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質得到∠ABI＝∠CBI，由等腰三角形的性質得到∠EBI＝∠EIB，通過三角形外角的性質和圓周角定理即可得到結論；（2）由AB是⊙O的直徑，得到AE⊥BE，推出OI∥BE，根據(jù)三角形的中位線的性質得到AI＝IE＝BE，推出AE＝2BE，根據(jù)相似三角形的性質得到，求得BE＝2，DE＝1，AE＝4，AD＝3，由于△ACD∽△BDE，得到＝2，根據(jù)勾股定理即可得到結論．解：（1）∵IB平分∠ABC，∴∠ABI＝∠CBI，∵EB＝EI，∴∠EBI＝∠EIB，∵∠EBI＝∠BAI+∠IBA，∠EBI＝∠IBC+∠CBE，∴∠BAE＝∠CBE，∵∠CBE＝∠EAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴AE平分∠BAC；（2）∵AB是⊙O的直徑，∴AE⊥BE，∵OI⊥AE，∴OI∥BE，∵AO＝BO，∴AI＝IE＝BE，∴AE＝2BE，∵∠EBC＝∠BAE，∴△BDE∽△ABE，∴，∵BD＝，∴BE＝2，DE＝1，∴AE＝4，∴AD＝3，∵△ACD∽△BDE，∴＝2，∴CD2+AC2＝AD2，即CD2+（2CD）2＝9，∴CD＝．24．如圖，點E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點，連接DE，過頂點B作BF⊥DE，垂足為F，BF交邊DC于點G．（1）求證：DG?BC＝DF?BG；（2）連接CF，求∠CFB的大?。唬?）作點C關于直線DE的對稱點H，連接CH，F(xiàn)H．猜想線段DF，BF，CH之間的數(shù)量關系并加以證明．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質得到∠BCD＝90°，證明∠BGC＝∠FGD，得到△BGC∽△DGF，根據(jù)相似三角形的性質證明結論；（2）連接BD，證明△BGC∽△DGF，根據(jù)相似三角形的性質得到∠BDG＝∠CFG，根據(jù)正方形的性質解答；（3）在線段FB上截取FM，使得FM＝FD，連接DM，證明△BDM∽△CDF，得到BM＝CF，根據(jù)等腰直角三角形的性質得到CH＝CF，證明結論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∵BF⊥DE，∴∠GFD＝90°，∴∠BCD＝∠GFD，∵∠BGC＝∠FGD，∴△BGC∽△DGF，∴，∴DG?BC＝DF?BG；（2）解：如圖1，連接BD，∵△BGC∽△DGF，∴，∴，∵∠BGD＝∠CGF，∴△BGD∽△CGF，∴∠BDG＝∠CFG，∵四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，∴∠BDG＝∠ADC＝45°，∴∠CFB＝45°；（3）解：BF＝CH+DF，理由如下：如圖2，在線段FB上截取FM，使得FM＝FD，連接DM，∵∠BFD＝90