名師教案 高中數(shù)學(xué)人教B版 必修 第三冊(cè) 角的推廣

\7.1.1角的推廣本節(jié)課是人教B版必修3第七章三角函數(shù)的第一小節(jié)，主要內(nèi)容是角的概念的推廣，把學(xué)生學(xué)習(xí)的角從不大于周角的非負(fù)角擴(kuò)充到任意角，使角有正角、負(fù)角和零角，首先通過(guò)生產(chǎn)、生活的實(shí)際例子闡明了推廣角的必要性和實(shí)際意義，然后又以“動(dòng)”的觀點(diǎn)給出了正、負(fù)、零角的概念，最后引入了幾個(gè)與之相關(guān)的概念：象限角、終邊相同的角等。在這節(jié)課中，重點(diǎn)是理解任意角、象限角、終邊相同的角等概念，難點(diǎn)是把終邊相同的角用集合和符號(hào)語(yǔ)言正確表示出來(lái)，理解任意角的概念，會(huì)在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)認(rèn)識(shí)角的幾何表示和終邊相同的角的表示，是學(xué)好這節(jié)的關(guān)鍵?？键c(diǎn)教學(xué)目標(biāo)核心素養(yǎng)角的概念的推廣理解任意角的概念、象限角與區(qū)間角的概念．?dāng)?shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算角的表示掌握終邊相同角的表示方法，會(huì)用角的集合表示一些實(shí)際問(wèn)題中的角.數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算【教學(xué)重點(diǎn)】任意角的概念、象限角與區(qū)間角的概念、掌握終邊相同角的表示方法，會(huì)用角的集合表示一些實(shí)際問(wèn)題中的角【教學(xué)難點(diǎn)】終邊相同角的表示方法與確定問(wèn)題1：角的概念的推廣引入：初中是怎么定義角的？（1）我們把有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形稱為角，這個(gè)公共端點(diǎn)稱為角的頂點(diǎn)，這兩條射線稱為角的邊。（2）角可以看成是一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形。（3）圖中所示的大小為的角，即可以認(rèn)為是OA旋轉(zhuǎn)到OB所形成的，也可以認(rèn)為是OB旋轉(zhuǎn)到OA所形成的。（4）以前學(xué)習(xí)的角，范圍是答：（1）只要時(shí)間足夠長(zhǎng)，摩天輪所轉(zhuǎn)過(guò)的角的大小會(huì)超過(guò)；（2）甲、乙兩人觀察到的摩天輪旋轉(zhuǎn)方向相反，如果其中一人觀察到的是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則另一個(gè)人觀察到的是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，由于相反意義的量可以用正負(fù)數(shù)表示，因此不難想到這種不同可以用正負(fù)號(hào)來(lái)區(qū)分。知識(shí)點(diǎn)1角的概念的推廣一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一條射線所形成的圖形稱為角，（1）這兩條射線分別稱為角的始邊和終邊；（2）按照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角稱為正角，按照順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角稱為負(fù)角，當(dāng)射線沒(méi)有旋轉(zhuǎn)時(shí)，也把它看成一個(gè)角，稱為零角，（3）這樣定義的角，由于是旋轉(zhuǎn)生成的，所以也稱為轉(zhuǎn)角．注：（1）上述角的定義中，當(dāng)射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針或按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)的絕對(duì)量可以是任意的。因此，角的概念經(jīng)過(guò)以上的推廣之后，就包括正角、負(fù)角、零角。也就是說(shuō)，角的大小是任意的，由此，我們把角的概念推廣到了任意角。（2）作圖時(shí)，常用帶箭頭的弧來(lái)表示旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的絕對(duì)量。如圖（1），（2）所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)角中，射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB時(shí)，旋轉(zhuǎn)的絕對(duì)量都超過(guò)了一個(gè)周角的大小，按照?qǐng)D中箭頭所指的旋轉(zhuǎn)方向和弧線所表示的周數(shù)，可知：；利用轉(zhuǎn)角，可以給出角的加減運(yùn)算的一個(gè)幾何意義。（1）例如，對(duì)于來(lái)說(shuō)，如圖（1）所示，射線OA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OB所形成的角為，OB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OC所形成的角為，則OA逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OC所形成的角為：；（2）如圖（2）所示，射線OA逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OB所形成的角為，OB逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OC所形成的角為，則OA逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OC所形成的角為：。知識(shí)點(diǎn)2：角的加減法運(yùn)算1.射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB位置所形成的角，記作，其中OA叫做的始邊，OB叫做的終邊；2.引入了正負(fù)角的概念之后，角的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為角的加法運(yùn)算，即可以轉(zhuǎn)化為，這就是說(shuō)，各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和?！緦?duì)點(diǎn)快練】1．下列說(shuō)法正確的是()A．最大角是180° B．最大角是360°C．角不可以是負(fù)的 D．角可以任意大小答案：D由角的定義，角可以是任意大小的．2．喜洋洋步行從家里到草原學(xué)校去上學(xué)，一般需要10分鐘，則10分鐘時(shí)間，鐘表的分針走過(guò)的角度是()A．30° B．－30°C．60° D．－60° 答案：D利用定義，分針是順時(shí)針走的，形成的角度是負(fù)角，又因?yàn)橹芙菫?60°，所以有eq\f(360°,12)×2＝60°，即分針走過(guò)的角度是－60°.問(wèn)題2：象限角為了方便起見(jiàn)，通常講角放在平面直角坐標(biāo)系中來(lái)討論：知識(shí)點(diǎn)3象限角角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊落在x軸的正半軸上，角的終邊在第幾象限，就把這個(gè)角稱為第幾象限角，如果終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限．例如，圖（1）中的角都是第一象限角；圖（2）中的角是第二象限角，是第三象限角，是第四象限角，不是象限角，其終邊在y軸的負(fù)半軸上?！緦?duì)點(diǎn)快練】1．下列哪個(gè)角是第三象限角()A．15° B．105°C．215° D．315°答案：C∵215°＝180°＋35°，∴215°是第三象限的角．2．以下說(shuō)法，其中正確的有()①－75°是第四象限角②225°是第三象限角③475°是第二象限角④－315°是第一象限角A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)答案D知識(shí)點(diǎn)4終邊相同的角一般地，角α＋k·360°(k∈Z)與角α的終邊相同．任意兩個(gè)終邊相同的角，它們的差一定是360°的整數(shù)倍，因此，所有與α終邊相同的角組成一個(gè)集合，記為S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.【對(duì)點(diǎn)快練】1．下列各角中，與60°角終邊相同的角是()A．－300° B．－60°C．600° D．1380°答案：A與60°角終邊相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，則α＝－300°.2．已知α＝30°，將其終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)三周后的角度數(shù)為_(kāi)___________．答案：1110°3×360°＋30°＝1110°.例1.如圖所示，已知角的終邊為射線OA，分別作出角的終邊。解：由角的定義可知，把角的終邊OA逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)可得角的終邊OB，把角的終邊OA順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)可得的終邊OC，把角的終邊OA逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)可得角的終邊OD，如圖所示?！咀兪骄毩?xí)】下列命題①第一象限角一定不是負(fù)角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角是鈍角；④小于180°的角是鈍角、直角或銳角．其中不正確的序號(hào)為_(kāi)___________．答案：①②③④①－330°角是第一象限角，但它是負(fù)角，所以①不正確．②120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，顯然390°>120°，所以②不正確．③480°角是第二象限角，但它不是鈍角，所以③不正確④0°角是小于180°角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故④不正確．例2.分別寫(xiě)出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中滿足不等式的元素寫(xiě)出來(lái)。（1）（2）解：（1）解不等式，得，所以可取-1，0或1，因此S中滿足得元素是，，。（2）解不等式，得，所以可取0，1或2，因此S中滿足得元素是，，。【變式練習(xí)】已知角α＝2010°.(1)把α改寫(xiě)成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求θ，使θ與α終邊相同，且－360°≤θ<720°.解(1)由2010°除以360°，得商為5，余數(shù)為210°.∴取k＝5，β＝210°，α＝5×360°＋210°.又β＝210°是第三象限角，∴α為第三象限角．(2)與2010°終邊相同的角：k·360°＋2010°(k∈Z)．令－360°≤k·360°＋2010°<720°(k∈Z)，解得－6eq\f(7,12)≤k<－3eq\f(7,12)(k∈Z)．所以k＝－6，－5，－4.將k的值代入k·360°＋2010°中，得角θ的值為－150°，210°，570°.例3.寫(xiě)出終邊在第一象限內(nèi)的角的集合解：因?yàn)榇笥谇倚∮诘慕K邊一定在第一象限，而且如果一個(gè)角的終邊在第一象限，那么這個(gè)角的終邊一定與內(nèi)某個(gè)角的終邊相同，因此終邊在第一象限內(nèi)的角的集合為【變式練習(xí)】已知，如圖所示．(1)分別寫(xiě)出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；(2)寫(xiě)出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．解(1)終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在OB位置上的角的集合為{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)由圖可知，陰影部分角的集合是由所有介于(注：區(qū)間內(nèi)部是實(shí)數(shù)，嚴(yán)格意義上，角度不能用區(qū)間表示．)30°～135°之間的所有與之終邊相同的角組成的集合，故該區(qū)域可表示為{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．例4.寫(xiě)出終邊在x軸上的角的集合解：在內(nèi)，終邊在x軸上的角有兩個(gè)，即和，與這兩個(gè)角終邊相同的角組成的集合依次為：為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們把集合和的表示方法改為因?yàn)?，所以即集合S是終邊在x軸上的角的集合。例4的結(jié)果也可從直觀上理解：零點(diǎn)的終邊在x軸上，零角的終邊旋轉(zhuǎn)終邊仍然落在x軸上的角的集合為【變式練習(xí)】如圖所示，則終邊在圖中所示直線的角的集合為_(kāi)___________．答案：{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}由題圖易知，在0°～360°范圍，終邊在直線y＝－x上的角有兩個(gè)，即135°和315°，因此，終邊在直線y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．例5.已知α為第三象限角，則eq\f(α,2)是第幾象限角？解因?yàn)棣翞榈谌笙藿?，所以k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，所以k·180°＋90°<eq\f(α,2)<k·180°＋135°，k∈Z，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，記k＝2n，n·360°＋90°<eq\f(α,2)<n·360°＋135°，n∈Z，所以eq\f(α,2)終邊在第二象限，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，記k＝2n＋1，n·360°＋270°<eq\f(α,2)<n·360°＋315°，n∈Z，所以eq\f(α,2)終邊在第四象限．綜上知，eq\f(α,2)是第二象限角或第四象限角．【變式練習(xí)】已知α角是第三象限角，則2α是第幾象限角？解因?yàn)棣两鞘堑谌笙藿牵詋·360°＋180°<α<k·360°＋270°(k∈Z)，因