二次根式的概念與性質(zhì)

二次根式的概念與性質(zhì)一、知識結(jié)構(gòu)：知識點一：二次根式的概念皿一般地，我們把形如血(a20)的式子叫做二次根式，“曠”稱為二次根號.要點詮釋：二次根式的兩個要素：①根指數(shù)為2；②被開方數(shù)為非負數(shù).1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。如弱不是最簡二次根式，因被開方數(shù)中含有4是可開得盡方的因數(shù)，又如 ，需兀, 都不是最簡羽 Ja二次根式，而'，屁，5屜,4都是最簡二次根式。2)3.同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式。如壽，應(yīng)，頃就是同類二次根式，因為爲(wèi)=2忑，J厲=3應(yīng)，它們與應(yīng)的被開方數(shù)均為2。4.有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，則說這兩個代數(shù)式互為有理化因式。如拓與贏仝與3，贏樂與屜+血,互為有理化因式。關(guān)于二次根式的概念，要注意以下幾點：皿從形式上看，二次根式是以根號表示的代數(shù)式，這里的開方運算是最后一步運算。如1+需，需靠等不是二次根式，而是含有二次根式的代數(shù)式或二次根式的運算；(2)當(dāng)一個二次根式前面乘有一個有理數(shù)或有理式(整式或分式)時，雖然最后運算不是開方而是乘法，但為了方便起見，我們把它看作一個整體仍叫做二次根式，而前面與其相乘的有理數(shù)或有理式就叫做二次根式的系數(shù)；二次根式的被開方數(shù)，可以是某個確定的非負實數(shù)，也可以是某個代數(shù)式表示的數(shù)，但其中所含字母的取值必須使得該代數(shù)式的值為非負實數(shù)；象“尿，后*”等雖然可以進行開方運算，但它們?nèi)詫儆诙胃?。知識點二：二次根式的性質(zhì)F&>0>0)1.(yja)=a(a>0)2.4.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：丘二也躬d沁叭

5.商的算術(shù)平方根的性質(zhì):（6）若5.商的算術(shù)平方根的性質(zhì):（6）若a>b>Q忖十卜嚴仝）廠q注意 卜就“CO）與山）皿刃的逆用。要點詮釋：C （掐］=>0）二次根式（a20）的值是非負數(shù)，其性質(zhì) 可以正用亦可逆用，正用時去掉根號起到化簡的作用；逆用時可以把一個非負數(shù)寫成完全平方的形式，有利于在實數(shù)范圍內(nèi)進行因式分解.要注意以下問題:（1）因為被開方數(shù)a?0（（1）因為被開方數(shù)a?0（非負數(shù)），所以a可以取任意實數(shù)。而是表示算術(shù)根，所以圧"（非負數(shù)），即戸十，可用絕對值的定義和性質(zhì)去掉絕對值符號。去掉絕對值符號時，首先要判斷絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式的值的符號。若無法決定，要對其進行討論。（2）應(yīng)用公式化簡時，為保證結(jié)果的非負性，也避免出現(xiàn)運算上的錯誤，應(yīng)首先寫的形式，然后再去絕對值符號。2.（拓尸=迢（2）應(yīng)用公式化簡時，為保證結(jié)果的非負性，也避免出現(xiàn)運算上的錯誤，應(yīng)首先寫的形式，然后再去絕對值符號。2.（拓尸=迢20）與屈=闔的區(qū)別（1）意義不同：前者表示的是非負數(shù)a的算術(shù)平方根的二次幕等于它本身，后者表示的是任何一個實數(shù)a的二次幕的算術(shù)平方根等于它的絕對值。（2） 運算不同：前者是對一個二次根式施以平方運算，后者是一個實數(shù)的二次冪施以開平方運算。（3） 取值不同：前者字母a的取值范圍是a>0，后者字母a的取值范圍是任何實數(shù)。（4） 當(dāng)a>0時，（石廠心?，而當(dāng)a<0時，"）無意義，驍一*2?對式子爐的討論，在本章開始時曾指出：“如果沒有特殊說明，所有字母都表示正數(shù).”在這一節(jié)中，字母并不都是表示正數(shù)，因此在化簡爐時，要進行分類討論?由于一個實數(shù)可能是正數(shù)、零和負數(shù)三種情形，所以上述式子實際表示三種情形：

當(dāng)a>0時，=lal=a；當(dāng)a=0時，妒=lal=O；當(dāng)a<0時，~=IaI=-.我們在計算的過程中，要牢記戸=laI這一中間結(jié)果，然后再對不同符號的a值，脫去絕對值符號，這樣可使運算少出差錯．2．熟練進行二次根式的變形利用二次根式的基本性質(zhì)，對二次根式可以進行以下變形：（1）因式的內(nèi)移和外移，即咳怎=耐如-①圧=朋⑺上Q）2）分母有理化，即P2）分母有理化，即P=鬥=匚品$知識點三：代數(shù)式占形如5,a，a+b，ab,上，x3,血題王°）這些式子，用基本的運算符號（基本運算包括加、減、乘、除、乘方、開方）把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式（algebraicexpression）.知識點一：二次根式的乘法法則：mH屈衛(wèi)"330），即兩個二次根式相乘，根指數(shù)不變，只把被開方數(shù)相乘.要點詮釋：（1） 在運用二次根式的乘法法則進行運算時,一定要注意：公式中a、b都必須是非負數(shù)；（在本章中，如果沒有特別說明，所有字母都表示非負數(shù)）（2） 該法則可以推廣到多個二次根式相乘的運算：（3）若二次根式相乘的結(jié)果能寫成°$的形式，則應(yīng)化簡，如尿二耳.明確運算結(jié)果的要求，不斷歸納運算結(jié)果應(yīng)滿足的兩個要求：①應(yīng)為最簡二次根式（包括兩個條件）或有理式；②分母中不含根號。知識點二、積的算術(shù)平方根的性質(zhì)加3二°),即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.要點詮釋：在這個性質(zhì)中,a、b可以是數(shù),也可以是代數(shù)式,無論是數(shù),還是代數(shù)式,都必須滿足*3°才能用此式進行計算或化簡，如果不滿足這個條件，等式右邊就沒有意義,等式也就不能成立了；二次根式的化簡關(guān)鍵是將被開方數(shù)分解因數(shù)，把含有門形式的a移到根號外面.知識點三、二次根式的除法羋=匸@土0,i>0)法則： ，即兩個二次根式相除，根指數(shù)不變，把被開方數(shù)相除.要點詮釋：在進行二次根式的除法運算時，對于公式中被開方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特別注意,其中a>Q,^>0，因為b在分母上，故b不能為0.運用二次根式的除法法則，可將分母中的根號去掉，二次根式的運算結(jié)果要盡量化簡，最后結(jié)果中分母不能帶根號.知識點四、商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.要點詮釋：運用次性質(zhì)也可以進行二次根式的化簡，運用時仍要注意符號問題.知識點五：最簡二次根式定義：當(dāng)二次根式滿足以下兩條：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.我們把符合這兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.在二次根式的運算中，最后的結(jié)果必須化為最簡二次根式或有理式.要點詮釋：最簡二次根式中被開方數(shù)不含分母；最簡二次根式被開方數(shù)中每一個因數(shù)或因式的次數(shù)都小于根指數(shù)2，即每個因數(shù)或因式從次數(shù)只能為1次.把二次根式化成最簡二次根式的一般步驟：(1)把根號下的代分數(shù)或絕對值大于1的數(shù)化成假分數(shù)，把絕對值小于1的小數(shù)化成分數(shù)；(2)被開方數(shù)是多項式的要進行因式分解；使被開方數(shù)不含分母；將被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)或因式，用它們的算術(shù)平方根代替后移到根號外；化去分母中的根號；(6)約分.知識點六、同類二次根式定義：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式就叫做同類二次根式.要點詮釋：(1)判斷幾個二次根式是否是同類二次根式，必須先將二次根式化成最簡二次根式，再看被開方數(shù)是否相同；(2)幾個二次根式是否是同類二次根式，只與被開方數(shù)及根指數(shù)有關(guān)，而與根號外的因式無關(guān).合并同類二次根式合并同類二次根式，只把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變.(合并同類二次根式的方法與整式加減運算中的合并同類項類似)要點詮釋：(1)根號外面的因式就是這個根式的系數(shù)；(2)二次根式的系數(shù)是帶分數(shù)的要變成假分數(shù)的形式；不是同類二次根式，不能合并.知識點七、二次根式的加減二次根式的加減實質(zhì)就是合并同類二次根式，即先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把其中的同類二次根式進行合并.對于沒有合并的二次根式，仍要寫到結(jié)果中.在進行二次根式的加減運算時，整式加減運算中的交換律、結(jié)合律及去括號、添括號法則仍然適用.二次根式加減運算的步驟：(1)將每個二次根式都化簡成為最簡二次根式；(2)判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類的二次根式結(jié)合為一組；(3)合并同類二次根式.在作運算時，應(yīng)分析式子結(jié)構(gòu)，確定解題策略及方法：(a+ijc;=ac適當(dāng)運用分配律：' '工丄「、(區(qū)+閃(必一占)=/一護(a±i)3=a2+b2+2ab乘法公式變形： ，'(必+止『+〔必一=2(說2+&2),(吃+山『一仏一=4負&疋+護-(&+色『-2必=(心-盯+2ab換元法．知識點八、二次根式的混合運算二次根式的混合運算是對二次根式的乘除及加減運算法則的綜合運用.要點詮釋：(1)二次根式的混合運算順序與實數(shù)中的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算加減，有括號要先算括號里面的；(2)在實數(shù)運算和整式運算中的運算律和乘法公式在二次根式的運算中仍然適用；二次根式混合運算的結(jié)果應(yīng)寫成最簡形式，這個形式應(yīng)是最簡二次根式，或幾個非同類最簡二次根式之和或差，或是有理式.三、規(guī)律方法指導(dǎo)二次根式的運算，主要研究二次根式的乘除和加減.二次根式的乘除，只需將被開方數(shù)進行乘除，其依據(jù)是：―盹"2叭護存ea.，，二次根式的加減類似于整式的加減，關(guān)鍵是合并同類二次根式.通常應(yīng)先將二次根式化簡，再把同類二次根式合并.二次根式運算的結(jié)果應(yīng)盡可能化簡.總結(jié)：常用的比較大小的方法1．兩上實數(shù)a，b比較大小，一般有“比”與“較”兩種方法：->1①將兩個實數(shù)相除(比)：若色，當(dāng)時，則a>b.當(dāng)時，則僅出。若，則m氏-C1若&，當(dāng)時，則皿.當(dāng)鳥弋°時，則5。②將兩個實數(shù)相減(較)：若區(qū)一占>°,則"占；若位n，則&二直；若c°,則a<b。2．除此之外，還有以下常用方法：(1：估算法； (2：被開方數(shù)比較法； (3：平方比較法；倒數(shù)的比較法； (5)設(shè)參數(shù)比較法；※心