學(xué)習(xí)電腦信息五大常用算法

五大常用算法之一：分治算法分治算法一、基本概念在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，分治法是一種很重要的算法。字面上的解釋是“分而治之”，就是把一個(gè)復(fù)雜的問題分成兩個(gè)或更多的相同或相似的子問題，再把子問題分成更小的子問題……直到最后子問題可以簡單的直接求解，原問題的解即子問題的解的合并。這個(gè)技巧是很多高效算法的基礎(chǔ)，如排序算法（快速排序，歸并排序），傅立葉變換（快速傅立葉變換）……任何一個(gè)可以用計(jì)算機(jī)求解的問題所需的計(jì)算時(shí)間都與其規(guī)模有關(guān)。問題的規(guī)模越小，越容易直接求解，解題所需的計(jì)算時(shí)間也越少。例如，對(duì)于n個(gè)元素的排序問題，當(dāng)n=1時(shí)，不需任何計(jì)算°n=2時(shí)，只要作一次比較即可排好序°n=3時(shí)只要作3次比較即可，…。而當(dāng)n較大時(shí)，問題就不那么容易處理了。要想直接解決一個(gè)規(guī)模較大的問題，有時(shí)是相當(dāng)困難的。二、基本思想及策略分治法的設(shè)計(jì)思想是：將一個(gè)難以直接解決的大問題，分割成一些規(guī)模較小的相同問題，以便各個(gè)擊破，分而治之。分治策略是：對(duì)于一個(gè)規(guī)模為n的問題，若該問題可以容易地解決（比如說規(guī)模n較小）則直接解決，否則將其分解為k個(gè)規(guī)模較小的子問題，這些子問題互相獨(dú)立且與原問題形式相同，遞歸地解這些子問題，然后將各子問題的解合并得到原問題的解。這種算法設(shè)計(jì)策略叫做分治法。如果原問題可分割成k個(gè)子問題，1<kWn，且這些子問題都可解并可利用這些子問題的解求出原問題的解，那么這種分治法就是可行的。由分治法產(chǎn)生的子問題往往是原問題的較小模式，這就為使用遞歸技術(shù)提供了方便。在這種情況下，反復(fù)應(yīng)用分治手段，可以使子問題與原問題類型一致而其規(guī)模卻不斷縮小，最終使子問題縮小到很容易直接求出其解。這自然導(dǎo)致遞歸過程的產(chǎn)生。分治與遞歸像一對(duì)攣生兄弟，經(jīng)常同時(shí)應(yīng)用在算法設(shè)計(jì)之中，并由此產(chǎn)生許多高效算法。三、分治法適用的情況分治法所能解決的問題一般具有以下幾個(gè)特征：1）該問題的規(guī)?？s小到一定的程度就可以容易地解決2）該問題可以分解為若干個(gè)規(guī)模較小的相同問題，即該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。3）利用該問題分解出的子問題的解可以合并為該問題的解；4）該問題所分解出的各個(gè)子問題是相互獨(dú)立的，即子問題之間不包含公共的子子問題。第一條特征是絕大多數(shù)問題都可以滿足的，因?yàn)閱栴}的計(jì)算復(fù)雜性一般是隨著問題規(guī)模的增加而增加；第二條特征是應(yīng)用分治法的前提它也是大多數(shù)問題可以滿足的，此特征反映了遞歸思想的應(yīng)用；、第三條特征是關(guān)鍵，能否利用分治法完全取決于問題是否具有第三條特征，如果具備了第一條和第二條特征，而不具備第三條特征，則可以考慮用貪心法或動(dòng)態(tài)規(guī)劃法。第四條特征涉及到分治法的效率，如果各子問題是不獨(dú)立的則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問題，此時(shí)雖然可用分治法，但一般用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法較好。四、分治法的基本步驟分治法在每一層遞歸上都有三個(gè)步驟：step1分解：將原問題分解為若干個(gè)規(guī)模較小，相互獨(dú)立，與原問題形式相同的子問題；step2解決：若子問題規(guī)模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個(gè)子問題step3合并：將各個(gè)子問題的解合并為原問題的解。它的一般的算法設(shè)計(jì)模式如下：Divide-and-Conquer(P)if|P|Wn0thenreturn(ADHOC(P))將P分解為較小的子問題P1,P2,...,Pkfori—1tokdoyi?*-Divide-and-Conquer(Pi)△遞歸解決PiT-MERGE(y1,y2,...,yk)△合并子問題return(T)其中|P|表示問題P的規(guī)模；n0為一閾值，表示當(dāng)問題P的規(guī)模不超過n0時(shí)，問題已容易直接解出，不必再繼續(xù)分解。ADHOC(P)是該分治法中的基本子算法，用于直接解小規(guī)模的問題P。因此，當(dāng)P的規(guī)模不超過n0時(shí)直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是該分治法中的合并子算法，用于將P的子問題P1,P2,...,Pk的相應(yīng)的解y1,y2,...,yk合并為P的解。五、分治法的復(fù)雜性分析一個(gè)分治法將規(guī)模為n的問題分成k個(gè)規(guī)模為n/m的子問題去解。設(shè)分解閥值n0=1，且adhoc解規(guī)模為1的問題耗費(fèi)1個(gè)單位時(shí)間。再設(shè)將原問題分解為k個(gè)子問題以及用merge將k個(gè)子問題的解合并為原問題的解需用f(n)個(gè)單位時(shí)間。用T(n)表示該分治法解規(guī)模為|P|=n的問題所需的計(jì)算時(shí)間，則有：T(n)=kT(n/m)+f(n)通過迭代法求得方程的解：遞歸方程及其解只給出n等于m的方冪時(shí)T(n)的值，但是如果認(rèn)為T(n)足夠平滑，那么由n等于m的方幕時(shí)T(n)的值可以估計(jì)T(n)的增長速度。通常假定T(n)是單調(diào)上升的，從而當(dāng)miWn<mi+1時(shí)，T(mi)WT(n)<T(mi+1)。六、可使用分治法求解的一些經(jīng)典問題二分搜索大整數(shù)乘法Strassen矩陣乘法棋盤覆蓋合并排序快速排序線性時(shí)間選擇最接近點(diǎn)對(duì)問題循環(huán)賽日程表漢諾塔七、依據(jù)分治法設(shè)計(jì)程序時(shí)的思維過程實(shí)際上就是類似于數(shù)學(xué)歸納法，找到解決本問題的求解方程公式，然后根據(jù)方程公式設(shè)計(jì)遞歸程序。1、一定是先找到最小問題規(guī)模時(shí)的求解方法2、然后考慮隨著問題規(guī)模增大時(shí)的求解方法3、找到求解的遞歸函數(shù)式后(各種規(guī)模或因子)，設(shè)計(jì)遞歸程序即可。附：就考試而言，從考前、考中二個(gè)階段來談?wù)剬W(xué)生正確心態(tài)的培養(yǎng)。1、考前心態(tài)：適度壓力正常，重實(shí)力輕運(yùn)氣：(1)考前的正常心態(tài)，首先應(yīng)該是保持適度的緊張和壓力。有的家長說學(xué)生一到考試就緊張，其實(shí)緊張是學(xué)生重視考試的一種表現(xiàn)，也是青春期成長中的學(xué)生在開始承擔(dān)個(gè)人和社會(huì)責(zé)任的過程中，一種正常的反應(yīng)。我們不可能也不應(yīng)該做到讓學(xué)生完全不緊張，只是不用過度施加壓力就好。（2）考前的復(fù)習(xí)，要更多的著重于梳理知識(shí)、總結(jié)題目、反思錯(cuò)誤，從而真正的提高自身的實(shí)力，而不要意圖在押題這種運(yùn)氣行為上2、考中心態(tài)：客觀看待題目，保持個(gè)人節(jié)奏：（1）考試中的心態(tài)，往往也反映在考試的策略上。從應(yīng)試的角度而言，能得高分的策略才是好策略。但是在實(shí)際的考試中，很多同學(xué)卻忽略了這一點(diǎn)。（2）考試中最常見的心態(tài)失衡的表現(xiàn)就是〃跟一道題死磕”，耗費(fèi)太多的時(shí)間在一個(gè)小問題上。很多同學(xué)知道自己有這個(gè)問題，但是就是改不掉，一方面要加強(qiáng)考試時(shí)對(duì)自身的認(rèn)