中考數(shù)學(xué)二輪壓軸培優(yōu)專題21二次函數(shù)與三角函數(shù)綜合問題（教師版）

專題21二次函數(shù)與三角函數(shù)綜合問題【例1】(2022?泰安二模)拋物線的頂點(diǎn)在軸上，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若，求的面積；(3)如圖2，已知(2)中點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)是第二象限拋物線上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】(1)根據(jù)，求得的值，從而得出拋物線的解析式；(2)以為斜邊作等腰直角三角形，設(shè)，從而表示出，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得的值，進(jìn)而求得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步求的面積；(3)作直角三角形，使，作軸于，作軸于，可證得，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得的解析式，進(jìn)一步可求得結(jié)果．【解答】解：(1)由題知，，，；(2)如圖1，由題意得：，是等腰直角三角形，以為斜邊作等腰直角三角形，，，設(shè)，，為拋物線上，，，當(dāng)時(shí)，，，，延長(zhǎng)交軸于，作軸于，；(3)如圖2，作直角三角形，使，作軸于，作軸于，，，，，，，，，，，，的解析式為：，由得，(舍取)，，當(dāng)時(shí)，，．【例2】(2022?江岸區(qū)校級(jí)模擬)拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且，．(1)如圖1，求拋物線的解析式；(2)如圖2，若，是拋物線上兩點(diǎn)，在對(duì)稱軸右側(cè)，且，求點(diǎn)坐標(biāo)；(3)如圖3，是點(diǎn)右側(cè)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，直線、分別交直線于、兩點(diǎn)，交軸于，求的值．【分析】(1)如圖1，連接、，可求得：，，，，，再結(jié)合，建立方程求解即可得出答案；(2)過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作，使，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖2，可證明，利用，求得，運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，聯(lián)立方程組求解可得，；如圖2，在的反向延長(zhǎng)線上截取，連接交拋物線于點(diǎn)，同理可求得，；(3)設(shè)，則，利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，得出，同理可得：直線的解析式為，，再由，即可求得的值為3．【解答】解：(1)如圖1，連接、，拋物線，令，得，，，令，得，解得：，，，，，，，，，①，，，②，把②代入①，得，解得：或(不符合題意，舍去)，，拋物線的解析式為；(2)過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作，使，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖2，點(diǎn)在拋物線上，，，軸，，，，，，軸，，，，，，，，即，，，，設(shè)直線的解析式為，把，代入，得：，解得：，直線的解析式為，聯(lián)立方程組得：，解得：(舍去)，，，；如圖2，在的反向延長(zhǎng)線上截取，連接交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，同理可得：直線的解析式為，聯(lián)立方程組得：，解得：(舍去)，，，；綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為，或，；(3)拋物線，令，得，，，，，如圖3，、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，則，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，，同理可得：直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，，，，，，故的值為3．【例3】(2022?沈陽模擬)如圖1，直線分別交軸，軸于點(diǎn)，，經(jīng)過點(diǎn)，的拋物線交軸正半軸于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2，是第三象限內(nèi)的拋物線上動(dòng)點(diǎn)，軸交直線于點(diǎn)，若是等腰三角形，求點(diǎn)坐標(biāo)；(3)是拋物線的頂點(diǎn)，直線上存在點(diǎn)，使，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】(1)將，代入，即可求解；(2)設(shè)，則，求出，，，再分三種情況討論即可；(3)設(shè)，求出直線的解析式為，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，再由，設(shè)，求出，，將點(diǎn)代入，可求點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，由，設(shè)，求出，，將點(diǎn)點(diǎn)代入，求出點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：(1)令，則，，令，則，，將，代入，，解得，；(2)設(shè)，則，在第三象限內(nèi)，，，，，①當(dāng)時(shí)，，解得(舍或，；②當(dāng)時(shí)，，解得(舍或或(舍，，；③當(dāng)時(shí)，，解得(舍或(舍或，；綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或，或．(3)，頂點(diǎn)，設(shè)，設(shè)直線的解析式為，，，，①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，將點(diǎn)代入，可得，解得(舍或，，；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，將點(diǎn)，代入，則，解得，，；綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為，或，．【例4】(2022?湖北)拋物線與直線交于原點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)，頂點(diǎn)為．(1)直接寫出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，連接，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，是點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)為，連接，，與直線交于點(diǎn)．設(shè)和的面積分別為和，求的最大值．【分析】(1)令，求出的值即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，將函數(shù)化作頂點(diǎn)式可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，易得，因?yàn)?，所以，分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)點(diǎn)在線段的右側(cè)時(shí)，軸，當(dāng)點(diǎn)在線段左側(cè)時(shí)，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則是等腰三角形，分別求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．(3)分別過點(diǎn)，作軸的平行線，交直線于點(diǎn)，，則，，由點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，可表達(dá)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論．【解答】解：(1)令，解得或，；，頂點(diǎn)．(2)如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，，，，，①當(dāng)點(diǎn)在線段的右側(cè)時(shí)，軸，如圖，；②當(dāng)點(diǎn)在線段左側(cè)時(shí)，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則是等腰三角形，，設(shè)，則，，在中，，解得，，直線的解析式為：，令，則，解得，，．綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，．(3)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，．如圖，分別過點(diǎn)，作軸的平行線，交直線于點(diǎn)，，，，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，，，．，，，，當(dāng)時(shí)，的最大值為．【例5】(2022?南充)拋物線與軸分別交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，頂點(diǎn)在拋物線上，如果面積為某值時(shí)，符合條件的點(diǎn)有且只有三個(gè)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)如圖2，點(diǎn)在第二象限的拋物線上，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使．交軸于點(diǎn)，與均為銳角，，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】(1)將、兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，從而求得，，進(jìn)而得出拋物線的解析式；(2)在的下方存在一個(gè)點(diǎn)，在的上方時(shí)兩個(gè)，其中過下方的點(diǎn)的直線與平行的直線與拋物線相切，根據(jù)直線的解析式與拋物線解析式可以得出一個(gè)一元二次方程，該一元二次方程的根的判別式為0，從而求得的值，進(jìn)而得出在的上方的直線解析式，與拋物線聯(lián)立成方程組，進(jìn)一步求得結(jié)果；(3)作軸于，作軸于，作，交的延長(zhǎng)線于，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)得出，根據(jù)得出，，從而，根據(jù)可表示出，根據(jù)可得出的值，進(jìn)一步求得結(jié)果．【解答】解：(1)由題意得，，，；(2)如圖1，作直線且與拋物線相切于點(diǎn)，直線交軸于，作直線且直線到的距離等于直線到的距離，的解析式為，設(shè)直線的解析式為：，由得，，△，，，，，，，，，，，，即，直線的解析式為：，，，，，，，，綜上所述：點(diǎn)或，或，；(3)如圖2，作軸于，作軸于，作，交的延長(zhǎng)線于，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，，，，，，同理可得：，，，，，，，，，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，，．【例6】(2022?無錫)已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，圖象與軸交于點(diǎn)，、為該二次函數(shù)圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，且．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)與點(diǎn)重合，求的值；(3)點(diǎn)是否存在其他的位置，使得的值與(2)中所求的值相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】(1)二次函數(shù)與軸交于點(diǎn)，求得，根據(jù)，即二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線，求出的值，即可得到二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)通過證明，，然后結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)特征列方程求得和的長(zhǎng)度，從而求解；(3)根據(jù)題目要求，找出符合條件的點(diǎn)的位置，再利用幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合方程思想求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【解答】解：將點(diǎn)代入，可得，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，，解得：，二次函數(shù)的解析式為；(2)如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，，，，，，，，即，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，解得：(舍去)，，當(dāng)時(shí)，，，，在中，，在中，，在中，；(3)存在，理由如下：①如圖，與(2)圖中關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，此時(shí)與長(zhǎng)度相等，即，②當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，過點(diǎn)作垂直于軸，垂足為，，點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，，為等腰直角三角形，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，解得(舍去)或，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，；③當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，過點(diǎn)作垂直于軸，垂足為，，點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，，為等腰直角三角形，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，解得(舍去)或，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，或，．一．解答題(共20題)1．(2022秋?工業(yè)園區(qū)期中)已知拋物線的圖象與軸交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，與軸正半軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，直線軸于點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，知，求的長(zhǎng)；(2)當(dāng)時(shí)，若，，求拋物線的解析式；【分析】(1)根據(jù)題意求出，，再由，得到，則，當(dāng)時(shí)，分別求出，，，，再求的長(zhǎng)即可；(2)過點(diǎn)作交于點(diǎn)，由，，可得，再由，求出，，，根據(jù)，，可知，，，根據(jù)，求出的值，從而確定、點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可．【解答】解：(1)，頂點(diǎn)，，令，則，，，，，，令，則，或，，，，，；(2)過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，將代入中，，解得，．2．(2022春?德化縣期中)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線與軸的正半軸交于點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，且．(1)已知．①求二次函數(shù)的解析式；②直線平行于，且將分成面積相等的兩部分，求直線的解析式．(2)若為對(duì)稱軸右側(cè)的二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且直線交對(duì)稱軸于點(diǎn)，點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求證：直線過定點(diǎn)．【分析】(1)①將，代入，可得，從而求出，再由，求出的值即可求函數(shù)的解析式；②由①可知，求出直線的解析式可得，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，由平行可得，求出，，即可求直線的解析式；(2)由題意可求，，，，，設(shè)，求出直線的解析式，可求，，，，再由求出直線的解析式為，即可得直線經(jīng)過定點(diǎn)．【解答】(1)解：①，，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，，，，，，，，解得，；②由①可知，設(shè)直線的解析式為，，解得，，，，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，，直線將分成面積相等的兩部分，，，，，，解得，；(2)證明：，拋物線的對(duì)稱軸為直線，，，令，則，解得或，，，，，解得，，，，，，設(shè)，直線的解析式為，，解得，，，，點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，，設(shè)直線的解析式為，，解得，，直線經(jīng)過定點(diǎn)．3．(2021秋?朝陽區(qū)校級(jí)期中)如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)、，(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為；①求該拋物線的解析式．②3；③點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)作，交線段于點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)已知、是拋物線上兩點(diǎn)；將拋物線上位于、兩點(diǎn)間的部分記為；把的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差記為，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【分析】(1)①將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入可得出、的值，繼而確定拋物線解析式；②求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得的值；③設(shè)，且，由，可得，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得出的長(zhǎng)，由，可得關(guān)于的表達(dá)式，利用配方法求最值即可；(2)由點(diǎn)可得，可得、，由，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為，分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)兩種情況，根據(jù)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差記為，，即可求解．【解答】解：(1)①將點(diǎn)，點(diǎn)代入拋物線得：，解得：，故拋物線解析式：；②令則，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)，，，故答案為：3；③設(shè)，且，作軸于，，△，，即，，的面積，，當(dāng)時(shí)，面積最大，此時(shí)；(2)拋物線與軸交于點(diǎn)，，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，、，當(dāng)時(shí)，最高點(diǎn)為，最低點(diǎn)為，，，，；當(dāng)時(shí)，最高點(diǎn)為，最低點(diǎn)為，，，，．綜上，的取值范圍為或．4．(2022?長(zhǎng)春模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為，且該拋物線與軸交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))．我們規(guī)定拋物線與軸圍成的封閉區(qū)域稱為“區(qū)域”(不包括邊界)；橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．(1)如果拋物線經(jīng)過點(diǎn)．①求的值；②直接寫出“區(qū)域”內(nèi)整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，如果拋物線在“區(qū)域”內(nèi)有4個(gè)整數(shù)點(diǎn)，求的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，拋物線與直線交于點(diǎn)，把點(diǎn)向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，以為邊作等腰直角三角形，使，點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)始終在的兩側(cè)，線段與拋物線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直接寫出的值．【分析】(1)①將點(diǎn)代入，求出的值即可；②畫出函數(shù)圖象，分別求出滿足條件的點(diǎn)即可；(2)由題意可得在對(duì)稱軸上有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)，在和上各有一個(gè)整數(shù)點(diǎn)，則，即可求的取值范圍；(3)求出，，則，由題意可知當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)重合，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)始終在頂點(diǎn)的上方，則點(diǎn)在點(diǎn)上方，點(diǎn)，過點(diǎn)作交于，設(shè)，則，，由，求出，進(jìn)而求出，，再將點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式即可求的值．【解答】解：(1)①拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，解得；②，，令，則，解得或，，，當(dāng)時(shí)，，在軸上有整點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，在的直線上有整點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，在的直線上有整點(diǎn)，，綜上所述：“區(qū)域”內(nèi)整數(shù)點(diǎn)共有6個(gè)；(2)令，則，解得或，，，，拋物線的對(duì)稱軸為直線，“區(qū)域”內(nèi)有4個(gè)整數(shù)點(diǎn)，在對(duì)稱軸上有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)，在和上各有一個(gè)整數(shù)點(diǎn)，，解得，當(dāng)時(shí)，“區(qū)域”內(nèi)有4個(gè)整數(shù)點(diǎn)；(3)當(dāng)時(shí)，，，點(diǎn)向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，，，，拋物線的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)重合，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)始終在頂點(diǎn)的上方，點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)始終在的兩側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)上方，，過點(diǎn)作交于，為等腰直角三角形，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，點(diǎn)在拋物線上，，解得或．5．(2022?長(zhǎng)沙二模)如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角與滿足，那么我們稱這樣的三角形為“三角形”．(1)判斷下列三角形是否為“三角形”？如果是，請(qǐng)?jiān)趯?duì)應(yīng)橫線上畫“”，如果不是，請(qǐng)?jiān)趯?duì)應(yīng)橫線上畫“”；①其中有兩內(nèi)角分別為，的三角形；②其中有兩內(nèi)角分別為，的三角形；③其中有兩內(nèi)角分別為，的三角形；(2)如圖1，點(diǎn)在雙曲線上且橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)，為中點(diǎn)，為軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，若．①求的值，并求證：為“三角形”；②若與相似，直接寫出的坐標(biāo)；(3)如圖2，在中，，，，為邊上一點(diǎn)，且是“三角形”，已知，記，過，作拋物線，在右側(cè)，且在軸上，點(diǎn)在拋物線上，使得，若符合條件的點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，求拋物線的解析式．【分析】(1)①三角形中最小的兩個(gè)角的和是，則三角形不是“三角形”；②三角形中最小的兩個(gè)角的和大于，則三角形不是“三角形”；③三角形中最小的兩個(gè)角分別為和，則三角形是“三角形”；(2)①利用勾股定理求的值即可，確定的值可知，，再根據(jù)定義證明即可；②分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，；(3)過點(diǎn)作軸交于，過點(diǎn)作軸交于，求出，，由于是“三角形”，分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，(不合題意)；則可求，與軸的交點(diǎn)為或，經(jīng)過，的直線與拋物線有唯一交點(diǎn)，聯(lián)立方程組，得到△①，將，代入，得到②，聯(lián)立①②可求函數(shù)的解析式．【解答】解：(1)①兩內(nèi)角分別為，，，三角形不是“三角形”，故答案為：；②兩內(nèi)角分別為，，，三角形不是“三角形”，故答案為：；③兩內(nèi)角分別為，，三角形的另一個(gè)內(nèi)角是，，三角形是“三角形”，故答案為：；(2)①點(diǎn)在雙曲線上且橫坐標(biāo)為1，，點(diǎn)，為中點(diǎn)，，，，，解得，，，，，為中點(diǎn)，，，，是“三角形”；②，，或，當(dāng)時(shí)，，，即，解得，；當(dāng)時(shí)，，，即，解得，，；綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或，；(3)，，，，，，過點(diǎn)作軸交于，過點(diǎn)作軸交于，，，，，，，是“三角形”，或，當(dāng)時(shí)，，，解得，；當(dāng)時(shí)，，解得，，，，不合題意；，，，與軸的交點(diǎn)為或，設(shè)經(jīng)過，的直線解析式為，，解得，，，符合條件的點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，直線與拋物線有唯一交點(diǎn)，聯(lián)立方程組，整理得，，△①，將，代入，②，聯(lián)立①②可得，拋物線的解析式為．6．如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)，作直線．(1)求拋物線的解析式及的值；(2)當(dāng)點(diǎn)到直線的距離為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】(1)將，代入，即可求函數(shù)的解析式，再求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求；(2)過點(diǎn)作交于，可求，由題意可知，點(diǎn)在經(jīng)過的中點(diǎn)且與平行的直線上，求出的中點(diǎn)為，，則經(jīng)過的中點(diǎn)且與平行的直線解析式為，聯(lián)立方程組，可求點(diǎn)坐標(biāo)為或，；直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線解析式為，聯(lián)立方程組，可求；(3)作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則，可推導(dǎo)出，求出直線的解析式為，聯(lián)立方程組，可求；作關(guān)于的對(duì)稱直線交軸于，可證明，從而求出，則直線的解析式為，聯(lián)立方程組，可求，．【解答】解：(1)將，代入，，解得，，令，則，，，，；(2)過點(diǎn)作交于，，，，，點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)在經(jīng)過的中點(diǎn)且與平行的直線上，是的中點(diǎn)，，的中點(diǎn)為，，設(shè)直線的解析式為，，解得，，經(jīng)過的中點(diǎn)且與平行的直線解析式為，聯(lián)立方程組，解得或，點(diǎn)坐標(biāo)為或，；直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線解析式為，聯(lián)立方程組，解得，；綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或，或；(3)作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，，，，，，設(shè)直線的解析式為，，解得，，聯(lián)立方程組，解得(舍或，；作關(guān)于的對(duì)稱直線交軸于，，，，，，，設(shè)直線的解析式為，，解得，，聯(lián)立方程組，解得(舍或，，；綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或，．7．(2022?中山市三模)如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)，過的直線交軸于點(diǎn)，交拋物線于，且．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線第四象限的圖象上找一點(diǎn)，使得的面積最大，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】(1)由得點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，將、坐標(biāo)代入中，利用待定系數(shù)法可求；(2)求出直線的解析式，用表示點(diǎn)、的坐標(biāo)，進(jìn)而表示線段，根據(jù)，用含的代數(shù)式表示的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出關(guān)于的二次函數(shù)的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論：(3)過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作軸，過作于點(diǎn)，構(gòu)造出直角三角形，利用三角函數(shù)找到與相等的線段，根據(jù)“垂線段最短”得的最小值，將二次函數(shù)與直線方程聯(lián)立，解方程組，先求出點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)可求．【解答】解：(1)拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)，，，解得．拋物線的解析式為．(2)，，，即．直線的解析式為：．如圖，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)，則，，，，當(dāng)時(shí)，即，時(shí)的面積最大．(3)如圖，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作軸，過作于點(diǎn)，軸，，，，，，，的最小值為．令，解得(舍或，，，的最小值，此時(shí)．8．(2022?松江區(qū)校級(jí)模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、點(diǎn)分別在的正半軸和的正半軸上，，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)落到點(diǎn)的位置，求四邊形的面積；(3)將該拋物線沿軸向上或向下平移，使其經(jīng)過點(diǎn)，若點(diǎn)在平移后的拋物線上，且滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】(1)根據(jù)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可求得拋物線解析式；(2)由旋轉(zhuǎn)可得出，再求出拋物線頂點(diǎn)，利用勾股定理及其逆定理可得，根據(jù)，即可求得答案；(3)根據(jù)平移規(guī)律可得平移后的拋物線解析式為，分兩種情況：①若點(diǎn)在軸上方時(shí)，②若點(diǎn)在軸下方時(shí)，分別求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【解答】解：(1)拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，，，，將代入拋物線，得，解得：，拋物線的表達(dá)式為．(2)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△，，，，，，，，，，，，，，又，且，，即四邊形的面積為7．(3)當(dāng)時(shí)，，可知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，將原拋物線沿軸向下平移2個(gè)單位過點(diǎn)，平移后得拋物線解析式為：；①若點(diǎn)在軸上方時(shí)，作軸，交拋物線于點(diǎn)，易證，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線對(duì)稱，；②若點(diǎn)在軸下方時(shí)，如圖2，作的中垂線，與軸交與點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)，交拋物線于點(diǎn)，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得，，軸，，，作軸，垂足為，則，，設(shè)，則，，在中，，，解得，，，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，，解得：(舍去)，，當(dāng)時(shí)，，，，綜上所述，滿足條件得點(diǎn)坐標(biāo)為或．9．(2022?沈陽模擬)如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)，直線過點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求拋物線的解析式；(2)為直線上方的拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，與點(diǎn)距離始終為2，連接，．直接寫出的最小值．【分析】(1)將點(diǎn)坐標(biāo)代入中，求得，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)，將、兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，從而求得，的值，進(jìn)而求得結(jié)果；(2)發(fā)現(xiàn)，故作，作軸，作，設(shè)，根據(jù)可表示出，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理列出方程，從而求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得的關(guān)系式，根據(jù)的關(guān)系式和拋物線的關(guān)系式，進(jìn)而求得結(jié)果；(3)先確定點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取，求得出，從而得出，進(jìn)而確定點(diǎn)、、共線時(shí)，的值最小，進(jìn)一步求得結(jié)果．【解答】解：(1)由題意得，，，直線的解析式是：，，，，拋物線的解析式是：；(2)如圖1，作于，作軸于，作于，，，，，，可得：，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，，，(舍去)，，，，，直線的解析式是：，由得，(舍去)，，當(dāng)時(shí)，，，；(3)如2，點(diǎn)距離始終為2，點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，在上取，，，，，，，當(dāng)、、共線時(shí)，最小，此時(shí)在線段與的交點(diǎn)處，，在中，，的最小值是．10．(2022春?西山區(qū)校級(jí)月考)已知對(duì)稱軸為直線的拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，若點(diǎn)為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，求的最大值；(3)如圖2，若點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且當(dāng)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】(1)設(shè)拋物線的解析式為，將，的坐標(biāo)和拋物線代入，從而得到拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，證明，得出，求出直線的解析式為，設(shè)，則，可得出的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論；(3)過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，，設(shè)，則，求出，可得，求出的值，即可得點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：(1)設(shè)拋物線的解析式為．，，拋物線，，解得，拋物線的解析式為；(2)過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，，，拋物線經(jīng)過，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為．，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，設(shè)，則，．．當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值是1；(3)過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，設(shè)，則，．，，，，，，，解得或，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．11．(2022春?漢川市校級(jí)月考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為的拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且與軸交于，兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))．(1)求拋物線的解析式；(2)求的值；(3)點(diǎn)在第二象限內(nèi)的拋物線上，點(diǎn)在軸上，且，當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)作軸交軸于，過點(diǎn)作軸交于，先證明和均為等腰直角三角形，得出：，，，，再運(yùn)用三角函數(shù)定義即可；(3)根據(jù)拋物線上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得方程②，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得方程①③，根據(jù)解方程組，可得點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：(1)，，設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得：，解得：．該拋物線的解析式為：；(2)如圖1，過點(diǎn)作軸交軸于，過點(diǎn)作軸交于，，，，，，和均為等腰直角三角形，，，，，，；(3)設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，解得：，，，．①當(dāng)時(shí)，如圖2，則，即，化簡(jiǎn)，得：①，在拋物線上，②，聯(lián)立①②，得，解得：(不符合題意，舍)，，，，當(dāng)時(shí)，如圖3，則，即，化簡(jiǎn)，得③，聯(lián)立②③，得：，解得：(不符合題意，舍)，，，．綜上所述：當(dāng)與相似時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．12．(2022秋?道里區(qū)校級(jí)期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)在第三象限拋物線上，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，連接、，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(不要求寫自變量的取值范圍)(3)在(2)的條件下，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與線段相交于點(diǎn)，且，過點(diǎn)作交于，軸于點(diǎn)，連接，若，求線段的長(zhǎng)．【分析】(1)直接把點(diǎn)坐標(biāo)代入求出的值即可得到拋物線解析式為；(2)連接，過點(diǎn)作軸于，軸于，根據(jù)可得出與的函數(shù)關(guān)系式；(3)過作軸交的延長(zhǎng)線于，作于，軸于，如圖3，利用得到，加上，則，于是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，接著判斷四邊形為矩形得到，則，然后證明得到，所以；再在中利用正弦定義可得到，利用勾股定理得，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，于是可表示出，所以，解方程得到得，(舍去)，所以．【解答】解：(1)直線交軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，，，將代入拋物線，，，拋物線解析式為，(2)連接，過點(diǎn)作軸于，軸于，在第三象限拋物線上，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，，．(3)過作軸交的延長(zhǎng)線于，作于，軸于，如圖3，，，，，而，，易得四邊形為矩形，，，，，而，，，，，，，在中，，，，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，，，整理得，(舍去)，．13．(2022?荊門模擬)拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)在第一象限的拋物線上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；在線段上確定一點(diǎn)，使平分四邊形的面積，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、，設(shè)的外心為，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】(1)設(shè)，再將代入，即可求解；(2)由可得點(diǎn)，可得，根據(jù)即可求解；(3)作的外心，作軸，則，進(jìn)而可得在的垂直平分線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意當(dāng)最大轉(zhuǎn)化為求當(dāng)取得最小值時(shí)，最大，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，即可求得，運(yùn)用勾股定理求得，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性求得另一個(gè)坐標(biāo)．【解答】解：(1)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，將代入，解得，；(2)點(diǎn)，則，而，解得：或4，點(diǎn)在第一象限的拋物線上，點(diǎn)；頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．直線的解析式為，，，點(diǎn)，，直線的解析式為，，，，，點(diǎn)在線段上，平分四邊形的面積，設(shè)，，，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，；(3)如圖，作的外心，作軸，則，，在的垂直平分線上運(yùn)動(dòng)，依題意，當(dāng)最大時(shí)，即最大時(shí)，是的外心，，即當(dāng)最大時(shí)，最大，，，則當(dāng)取得最小值時(shí)，最大，，即當(dāng)直線時(shí)，取得最小值，此時(shí)，，在中，，，，根據(jù)對(duì)稱性，則存在，，綜上所述，，或，．14．(2022春?磐安縣期中)如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，已知．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)在軸上，在該拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在唯一的點(diǎn)，滿足？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若點(diǎn)在軸上，滿足的點(diǎn)是否存在？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】(1)證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，利用待定系數(shù)法即可求解；(2)由題意得為直徑的圓與對(duì)稱軸：直線有唯一的交點(diǎn)，即相切．根據(jù)切線的性質(zhì)可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0.5，所以點(diǎn)到直線的距離為4.5，則直徑的長(zhǎng)為9，根據(jù)勾股定理即可求解；(3)當(dāng)點(diǎn)在以為弦的上，圓心角是的兩倍．過點(diǎn)做于，則．根據(jù)，可得，利用兩點(diǎn)的距離公式即可得點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：(1)，，，，，，，拋物線與軸交于點(diǎn)，，設(shè)，把代入得，解得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)存在，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在唯一的點(diǎn)，滿足，就是指以為直徑的圓與對(duì)稱軸：直線有唯一的交點(diǎn)，即相切．如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0.5，點(diǎn)到直線的距離為4.5，直徑的長(zhǎng)為9，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或；(3)存在，如圖：當(dāng)點(diǎn)在以為弦的上，圓心角．過點(diǎn)做于，則．，．，，或，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，或，同理，當(dāng)時(shí)，或綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．15．(2022?合肥模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與直線交于軸上的點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是拋物線上第一象限內(nèi)的一一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)將拋物線的對(duì)稱軸向左平移3個(gè)長(zhǎng)度單位得到直線，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，連接、，若直線上存在使最大的點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】(1)用交點(diǎn)式函數(shù)表達(dá)式得：，即可求解；(2)由，即可求解；(3)如圖，經(jīng)過點(diǎn)、的圓與直線相切于點(diǎn)，此時(shí)，最大，即可求解．【解答】解：(1)用交點(diǎn)式函數(shù)表達(dá)式得：，當(dāng)時(shí)，，則，即，解得：．則函數(shù)的表達(dá)式為；(2)，令，則，即點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)，，，有最大值，此時(shí)點(diǎn)；(3)如圖，經(jīng)過點(diǎn)、的圓與直線相切于點(diǎn)，此時(shí)，最大，過圓心作軸于點(diǎn)，則，，，過點(diǎn)的坐標(biāo)為，；同樣當(dāng)點(diǎn)在軸的下方時(shí)，其坐標(biāo)為；故點(diǎn)的坐標(biāo)為，或．16．(2022?高州市一模)在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，為拋物線頂點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式．(2)如圖1，連接，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是第一象限的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接交軸于，連接、，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，設(shè)外接圓圓心為，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】(1)把，代入即可求解；(2)根據(jù)題意先求得，，，各點(diǎn)的坐標(biāo)，求得的解析式，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，通過計(jì)算可得，進(jìn)而可得，由可得出，依題意，設(shè)，其中，建立方程求解即可得出答案；(3)作的外心，作軸，則，進(jìn)而可得在的垂直平分線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意當(dāng)最大轉(zhuǎn)化為求當(dāng)取得最小值時(shí)，最大，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，即可求得，運(yùn)用勾股定理求得，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性求得另一個(gè)坐標(biāo)．【解答】解：(1)把，代入中，得：，解得：，拋物線解析式為；(2)拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，為拋物線頂點(diǎn)．令，得：，則，，．設(shè)直線的解析式為，，，，解得：，直線的解析式為，令，則，，，，，，，，，，，依題意，設(shè)，其中，，解得：，(舍去)，，；(3)如圖，作的外心，作軸，則，，在的垂直平分線上運(yùn)動(dòng)，依題意，當(dāng)最大時(shí)，即最大時(shí)，是的外心，，即當(dāng)最大時(shí)，最大，，，則當(dāng)取得最小值時(shí)，最大，，即當(dāng)直線時(shí)，取得最小值，此時(shí)，，在中，，，，根據(jù)對(duì)稱性，則存在，，綜上所述，，或，．17．(2022?夏津縣模擬)如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，且，與軸交于點(diǎn)，連接，拋物線對(duì)稱軸為直線．為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí)，求的值；(3)點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】(1)由，設(shè)，則，又拋物線對(duì)稱軸為直線，得，解得，，用待定系數(shù)法可得拋物線的表達(dá)式為；(2)連接，得，可得直線解析式為，設(shè)，則，，用二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值是1，，，可得，，即知；(3)設(shè)，，，又，，①以、為對(duì)角線，則、的中點(diǎn)重合，且，可得，解得，或，；②以、為對(duì)角線，則、的中點(diǎn)重合，且，③以、為對(duì)角線，則、的中點(diǎn)重合，且，分別列方程組可解得答案．【解答】解：(1)由，設(shè)，則，拋物線對(duì)稱軸為直線，，解得，，，將，代入得：，解得，拋物線的表達(dá)式為；(2)連接，如圖：在中，令得，，設(shè)直線解析式為，將代入得：，解得，直線解析式為，設(shè)，則，，，當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值是1，此時(shí)，，，，，；(3)存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，理由如下：如圖：設(shè)，，，又，，①以、為對(duì)角線，則、的中點(diǎn)重合，且，，解得或，，或，；②以、為對(duì)角線，則、的中點(diǎn)重合，且，，解得或，，或，；③以、為對(duì)角線，則、的中點(diǎn)重合，且，，解得，，；綜上所述，的坐標(biāo)為，或，或，或，或，．18．(2022?黃岡模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交點(diǎn)為、，與軸交于點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作于．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，若在直線上方，軸于，交于．①求的值；②求線段的最大值．(3)如圖2，連接，當(dāng)與相似時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法求解析式即可；(2)①根據(jù)對(duì)頂角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)正弦的定義求解即可；②待定系數(shù)法求得直線的解析式為，設(shè)．則．，求得，根據(jù)①的結(jié)論求得，當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值；(3)分別表示出，，求得，，的長(zhǎng)，根據(jù)，與相似時(shí)，有以下2種情形，①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程解方程求解即可．【解答】解：(1)拋物線與軸交點(diǎn)為、，與軸交于點(diǎn)，令，則，，設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入得，，解得：，，拋物線的解析式為；(2)①軸，，又，，，，，，，．；②設(shè)過，，的直線解析式為，則，解得：，直線解析式為，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，有最大值2，，取最大值時(shí)，取最大值，最大值為；(3)設(shè)，則，，，，，，，，，，，與相似，有以下兩種情形，①當(dāng)時(shí)，，即，整理得：，解得：(與點(diǎn)重合，舍去)，，當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，即，整理得，解得：，，(舍去)，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，．綜上所述，當(dāng)與相似時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)，或或，．19．(2022?廣東模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，為拋物線頂點(diǎn)．(1)連接，交軸于點(diǎn)，是拋物線上