推薦學(xué)習(xí)2018高考數(shù)學(xué)異構(gòu)異模復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)課時(shí)撬分練4.4正余弦定理及解三角形理_第1頁
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生活的色彩就是學(xué)習(xí)生活的色彩就是學(xué)習(xí)K12的學(xué)習(xí)需要努力專業(yè)專心堅(jiān)持K12的學(xué)習(xí)需要努力專業(yè)專心堅(jiān)持生活的色彩就是學(xué)習(xí)K12的學(xué)習(xí)需要努力專業(yè)專心堅(jiān)持2018高考數(shù)學(xué)異構(gòu)異模復(fù)習(xí)考案第四章三角函數(shù)課時(shí)撬分練4.4正、余弦定理及解三角形理

時(shí)間:60分鐘基礎(chǔ)組1.[2016·武邑中學(xué)月考]在△ABC中,若a=2b,面積記作S,則下列結(jié)論中一定成立的是()A.B>30° B.A=2BC.c<b D.S≤b2答案D解析由三角形的面積公式知S=eq\f(1,2)absinC=eq\f(1,2)2b·bsinC=b2sinC,因?yàn)?<sinC≤1,所以b2sinC≤b2,即S≤b2,故選D.2.[2016·冀州中學(xué)期末]△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若a、b、c成等比數(shù)列,且c=2a,則cosB=()A.eq\f(3,4) B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(1,4)答案A解析∵a,b,c成等比數(shù)列且c=2a,∴b2=ac=2a2,∴b=eq\r(2)a.由余弦定理的推論可得cosB=eq\f(a2+c2-b2,2ac)=eq\f(3,4).故選A.3.[2016·棗強(qiáng)中學(xué)熱身]在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=eq\r(2),b=2,sinB+cosB=eq\r(2),則角A的大小為()A.60° B.30°C.150° D.45°答案B解析由sinB+cosB=eq\r(2)得1+2sinBcosB=2,則sin2B=1,因?yàn)?°<B<180°,所以B=45°,又因?yàn)閍=eq\r(2),b=2,所以在△ABC中,由正弦定理得eq\f(\r(2),sinA)=eq\f(2,sin45°),解得sinA=eq\f(1,2),又a<b,所以A<B=45°,所以A=30°.4.[2016·衡水中學(xué)一輪檢測(cè)]在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊,若a=2bcosC,則此三角形一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形答案C解析解法一:因?yàn)閍=2bcosC,所以由余弦定理得,a=2b·eq\f(a2+b2-c2,2ab),整理得b2=c2,則此三角形一定是等腰三角形.解法二:因?yàn)閍=2bcosC,由正弦定理得sinA=2sinBcosC,又A+B+C=π,故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC得sin(B-C)=0,又B、C∈(0,π),所以B=C.5.[2016·衡水二中周測(cè)]在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若A,B,C成等差數(shù)列,2a,2b,2c成等比數(shù)列,則cosAcosB=()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)答案A解析由已知得2B=A+C,又A+C+B=π,故B=eq\f(π,3),又4b2=4ac,則b2=ac,所以由余弦定理得b2=a2+c2-2accoseq\f(π,3)=ac,即(a-c)2=0,故a=c,所以△ABC是等邊三角形,則cosAcosB=cos60°×cos60°=eq\f(1,4).6.[2016·棗強(qiáng)中學(xué)仿真]某人向正東方向走xkm后,向右轉(zhuǎn)150°,然后朝新方向走3km,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好是eq\r(3)km,那么x的值為()A.eq\r(3) B.2eq\r(3)C.eq\r(3)或2eq\r(3) D.3答案C解析如圖所示,設(shè)此人從A出發(fā),則AB=xkm,BC=3km,AC=eq\r(3)km,∠ABC=30°,由余弦定理,得(eq\r(3))2=x2+32-2x·3·cos30°,整理得x2-3eq\r(3)x+6=0,解得x=eq\r(3)或2eq\r(3).7.[2016·衡水二中月考]在不等邊△ABC(三邊均不相等)中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的為銳角,則cosB=eq\f(\r(3),3),cos2B=1-2sin2B=1-2×eq\f(2,3)=-eq\f(1,3),sin2B=2sinBcosB=2×eq\f(\r(6),3)×eq\f(\r(3),3)=eq\f(2\r(2),3),所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B-\f(π,4)))=eq\f(\r(2),2)(cos2B+sin2B)=eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3)+\f(2\r(2),3)))=eq\f(4-\r(2),6).10.[2016·棗強(qiáng)中學(xué)模擬]如圖,在△ABC中,BC邊上的中線AD長為3,且cosB=eq\f(\r(10),8),cos∠ADC=-eq\f(1,4).(1)求sin∠BAD的值;(2)求AC邊的長.解(1)因?yàn)閏osB=eq\f(\r(10),8),所以sinB=eq\f(3\r(6),8).又cos∠ADC=-eq\f(1,4),所以sin∠ADC=eq\f(\r(15),4),所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=eq\f(\r(15),4)×eq\f(\r(10),8)-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,4)))×eq\f(3\r(6),8)=eq\f(\r(6),4).(2)在△ABD中,由eq\f(AD,sinB)=eq\f(BD,sin∠BAD)得eq\f(3,\f(3\r(6),8))=eq\f(BD,\f(\r(6),4)),解得BD=2.故DC=2,從而在△ADC中,由AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC=32+22-2×3×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,4)))=16,得AC=4.11.[2016·衡水二中期末]在△ABC中,2sin2C·cosC-sin3C=eq\r(3)(1-cosC).(1)求角C的大??;(2)若AB=2,且sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面積.解(1)由2sin2C·cosC-sin(2C+C)=eq\r(3)(1-cosC),得sin2CcosC-cos2CsinC=eq\r(3)-eq\r(3)cosC,化簡(jiǎn)得sinC=eq\r(3)-eq\r(3)cosC,即sinC+eq\r(3)cosC=eq\r(3),2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C+\f(π,3)))=eq\r(3),所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C+\f(π,3)))=eq\f(\r(3),2),從而C+eq\f(π,3)=eq\f(2π,3),故C=eq\f(π,3).(2)由sin(A+B)+sin(B-A)=2sin2A,可得sinBcosA=2sinAcosA.所以cosA=0或sinB=2sinA.當(dāng)cosA=0時(shí),A=90°,則b=eq\f(2,\r(3)),S△ABC=eq\f(1,2)·b·c·sinA=eq\f(1,2)×eq\f(2,\r(3))×2×1=eq\f(2\r(3),3);當(dāng)sinB=2sinA時(shí),由正弦定理得b=2a.由cosC=eq\f(a2+b2-c2,2ab)=eq\f(a2+4a2-4,2·a·2a)=eq\f(1,2),可知a2=eq\f(4,3).所以S△ABC=eq\f(1,2)·b·a·sinC=eq\f(1,2)·2a·a·eq\f(\r(3),2)=eq\f(\r(3),2)a2=eq\f(2\r(3),3).綜上可知S△ABC=eq\f(2\r(3),3).12.[2016·冀州中學(xué)仿真]在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的邊長,且C=eq\f(π,3),a+b=λc(其中λ>1).(1)若λ=eq\r(3)時(shí),證明△ABC為直角三角形;(2)若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\f(9,8)λ2,且c=3,求λ的值.解(1)∵λ=eq\r(3),∴a+b=eq\r(3)c,由正弦定理得sinA+sinB=eq\r(3)sinC,∵C=eq\f(π,3),∴sinB+sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)-B))=eq\f(3,2),sinB+eq\f(\r(3),2)cosB+eq\f(1,2)sinB=eq\f(3,2),∴eq\f(3,2)sinB+eq\f(\r(3),2)cosB=eq\f(3,2),則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B+\f(π,6)))=eq\f(\r(3),2),從而B+eq\f(π,6)=eq\f(π,3)或B+eq\f(π,6)=eq\f(2π,3),B=eq\f(π,6)或B=eq\f(π,2).若B=eq\f(π,6),則A=eq\f(π,2),△ABC為直角三角形;若B=eq\f(π,2),△ABC亦為直角三角形.(2)若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\f(9,8)λ2,則eq\f(1,2)a·b=eq\f(9,8)λ2,∴ab=eq\f(9,4)λ2.又a+b=3λ,由余弦定理知a2+b2-c2=2abcosC,即a2+b2-ab=c2=9,即(a+b)2-3ab=9,故9λ2-eq\f(27,4)λ2=9,得λ2=4,又∵λ>1,即λ=2.能力組13.[2016·衡水二中模擬]已知△ABC的三邊長為a,b,c,且面積S△ABC=eq\f(1,4)(b2+c2-a2),則A=()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,6)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(π,12)答案A解析因?yàn)镾△ABC=eq\f(1,2)bcsinA=eq\f(1,4)(b2+c2-a2),所以sinA=eq\f(b2+c2-a2,2bc)=cosA,故A=eq\f(π,4).14.[2016·棗強(qiáng)中學(xué)期末]若△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,則△ABC()A.一定是銳角三角形B.一定是直角三角形C.一定是鈍角三角形D.可能是銳角三角形,也可能是鈍角三角形答案C解析在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,∴a∶b∶c=5∶11∶13,故令a=5k,b=11k,c=13k(k>0),由余弦定理可得cosC=eq\f(a2+b2-c2,2ab)=eq\f(25k2+121k2-169k2,2×5×11k2)=-eq\f(23,110)<0,又∵C∈(0,π),∴C∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π)),∴△ABC為鈍角三角形,故選C.15.[2016·衡水二中仿真]在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊,且2cos(B-C)=4sinBsinC-1.(1)求A;(2)若a=3,sineq\f(B,2)=eq\f(1,3),求b.解(1)由2cos(B-C)=4sinBsinC-1,得2(cosBcosC+sinBsinC)-4sinBsinC=-1,即2(cosBcosC-sinBsinC)=-1.從而2cos(B+C)=-1得cos(B+C)=-eq\f(1,2).又A,B,C為△ABC的內(nèi)角,∴B+C=eq\f(2,3)π,故A=eq\f(π,3).(2)由(1)知0<B<eq\f(2,3)π,∴0<eq\f(B,2)<eq\f(π,3),已知sineq\f(B,2)=eq\f(1,3),得coseq\f(B,2)=eq\f(2\r(2),3),∴sinB=2sineq\f(B,2)coseq\f(B,2)=eq\f(4\r(2),9),由正弦定理eq\f(b,sinB)=eq\f(a,sinA)得eq\f(b,\f(4\r(2),9))=eq\f(3,\f(\r(3),2)),解得b=eq\f(8\r(6),9).16.[2016·衡水二中熱身]風(fēng)景秀美的鳳凰湖畔有四棵高大的銀杏樹,記作A,B,P,Q,湖岸部分地方圍有鐵絲網(wǎng)不能靠近.欲測(cè)量P,Q兩棵樹和A,P兩棵樹之間的距離,現(xiàn)可測(cè)得A,B兩點(diǎn)間的距離為100m,∠PAB=75°,∠QAB=45°,∠PBA=60°,∠QBA=90°,如圖所示.則P,Q兩棵樹和A,P兩棵樹之間的距離各為多少?解△

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