分子動(dòng)理學(xué)理論的平衡態(tài)理論

分子動(dòng)理學(xué)理論的平衡態(tài)理論第一頁，共二十一頁，2022年，8月28日§2.6外力場(chǎng)中自由粒子的分布玻爾茲曼分布§2.6.1等溫大氣壓強(qiáng)公式懸浮微粒按高度分布一、等溫大氣壓強(qiáng)公式1.等溫大氣壓強(qiáng)公式：考察一重力場(chǎng)中截面積為A的薄空氣圓柱體系統(tǒng)。該系統(tǒng)處在高度在z~z+dz的高度差范圍內(nèi)達(dá)到溫度為T的平衡態(tài)。設(shè)高度為z

及z+dz

兩層對(duì)應(yīng)的壓強(qiáng)分別為P、P+dP，該柱體的密度為(z)。分析空氣柱體受力：根據(jù)力學(xué)平衡條件，有：第二頁，共二十一頁，2022年，8月28日根據(jù)力學(xué)平衡條件，有：根據(jù)理氣狀態(tài)方程：氣體總質(zhì)量氣體分子質(zhì)量假定大氣溫度處處相等，并設(shè)重力加速度g不隨高度變化，則：高度為z及高度為零（即海平面）處的大氣壓強(qiáng)——等溫大氣壓強(qiáng)公式

等溫大氣壓強(qiáng)公式是近似式，只在高度相差不大以致近似等溫的范圍才成立。注意：第三頁，共二十一頁，2022年，8月28日例：一氫氣球自地面上升，當(dāng)氣球上升到高度h時(shí)，其體積為在地面時(shí)的1.20倍。設(shè)整個(gè)地球大氣層等溫T=300K，且假定在上升過程中氣球內(nèi)外壓強(qiáng)時(shí)時(shí)相等。求：h=？解：設(shè)：地面大氣壓強(qiáng)為P0，氣球體積為V0；在高度h處的大氣壓強(qiáng)為P，氣球體積為V地球大氣層等溫，則：取空氣的平均分子量為28.9g，即：第四頁，共二十一頁，2022年，8月28日2.氣體分子在重力場(chǎng)中按高度的分布：等溫大氣壓強(qiáng)公式：理氣壓強(qiáng)：高度為z及高度為零（即海平面）處的氣體分子數(shù)密度可見：海拔越高，氣體分子數(shù)密度越小。氣體分子數(shù)密度隨高度衰減的快慢決定于因子二、等溫大氣標(biāo)高稱為大氣標(biāo)高則有：第五頁，共二十一頁，2022年，8月28日則有：⑴單位：長(zhǎng)度單位（高度單位）⑵取高度z=H，則有：高度為大氣標(biāo)高H處的壓強(qiáng)及分子數(shù)密度是海平面處的1/e

⑶大氣標(biāo)高H的物理意義：大氣標(biāo)高是決定重力場(chǎng)中氣體分子數(shù)密度隨高度增加而衰減得快慢程度的物理量；是決定等溫大氣壓強(qiáng)隨高度增加而衰減得快慢程度的物理量。第六頁，共二十一頁，2022年，8月28日⑷等溫大氣標(biāo)高是粒子按高度分布的特征量，反映了氣體分子熱運(yùn)動(dòng)與分子受重力作用這一矛盾關(guān)系。分子熱運(yùn)動(dòng)的能量級(jí)，重力，使氣體分子均勻地分布在其所能達(dá)到的空間力圖使氣體分子聚集于地面在一定溫度下，當(dāng)重力和分子熱運(yùn)動(dòng)的作用達(dá)到平衡時(shí)，氣體分子在空間按其勢(shì)能大小(mgz)作穩(wěn)定的不均勻分布。⑸設(shè)把整個(gè)大氣分子都?jí)嚎s為環(huán)繞地球表面的、密度與海平面處大氣密度相等的一層假想的均勻大氣層，則這一層大氣的厚度也是H。第七頁，共二十一頁，2022年，8月28日三、懸浮微粒按高度的分布1.分布：設(shè)：n1、n2分別為高度z1、z2處的分子數(shù)密度，相對(duì)密度公式不僅適用于氣體分子，而且適用于重力場(chǎng)中一切微粒的分布。則重力場(chǎng)中兩個(gè)不同高度位置處的分子數(shù)密度之比為：2.佩蘭實(shí)驗(yàn)：

1908年，法國物理化學(xué)家佩蘭(JeanBaptistePerrin)以一系列出色的實(shí)驗(yàn)，研究了布朗粒子的運(yùn)動(dòng)和分布規(guī)律。⑴佩蘭實(shí)驗(yàn)證實(shí)了愛因斯坦于1905年作出的粒子的均方位移隨時(shí)間成正比的理論公式；第八頁，共二十一頁，2022年，8月28日2.佩蘭實(shí)驗(yàn)：

1908年，法國物理化學(xué)家佩蘭(JeanBaptistePerrin)以一系列出色的實(shí)驗(yàn)，研究了布朗粒子的運(yùn)動(dòng)和分布規(guī)律。⑴證實(shí)了愛因斯坦與1905年作出的離子的均方位移隨時(shí)間成正比的理論公式；⑵求得NA的數(shù)值在5.5×1023~7.2×1023之間，其差值不超出實(shí)驗(yàn)誤差可解釋的范圍；⑶證實(shí)了微粒的相對(duì)密度公式愛因斯坦用分子運(yùn)動(dòng)論從理論上研究了布朗運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，佩蘭則以精細(xì)的實(shí)驗(yàn)證實(shí)了愛因斯坦的理論結(jié)果，兩者相當(dāng)吻合，從而排除了任何對(duì)分子運(yùn)動(dòng)論的正確性的懷疑。為此，佩蘭獲1926年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。第九頁，共二十一頁，2022年，8月28日3.懸浮微粒按高度的分布由于溶液的浮力作用，懸浮在溶液中的布朗粒子的質(zhì)量應(yīng)以其有效質(zhì)量m*表示。設(shè)溶液的平均密度為0，各布朗懸浮粒子的質(zhì)量為m,體積為V，則布朗微粒受力為：重力mg，浮力0Vg

若布朗微粒密度為，則有：則其所受的向下的合力大小為：故：為考慮浮力后的等效質(zhì)量。則懸浮微粒按高度的分布為：第十頁，共二十一頁，2022年，8月28日§2.6.2旋轉(zhuǎn)體中懸浮粒子徑向分布超速離心技術(shù)一、旋轉(zhuǎn)體中懸浮粒子徑向分布力學(xué)：在以角速度旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在其轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)將受到一個(gè)垂直轉(zhuǎn)軸的慣性離心力ω方向沿垂直轉(zhuǎn)軸方向向外現(xiàn)考察圖示裝置中r~r+dr位置的氣體：drr設(shè)氣體密度為(r)，A為容器截面積，則：該段氣體的質(zhì)量為：設(shè)r及r+dr

位置的壓強(qiáng)分別為則所考察氣體在垂直轉(zhuǎn)軸方向的受力為：若把坐標(biāo)系取在以旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中，還應(yīng)有慣性離心力:第十一頁，共二十一頁，2022年，8月28日ωdrr若把坐標(biāo)系取在以旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中，則所考察氣體在垂直轉(zhuǎn)軸方向的受力為：根據(jù)平衡條件：同理可有：第十二頁，共二十一頁，2022年，8月28日ωdrr同理可有：可見：系統(tǒng)達(dá)平衡后，管內(nèi)壓強(qiáng)與管外壓強(qiáng)不相等，因而離心管中的液面不再與外部平齊。h二、超速離心技術(shù)與同位素分離三、臺(tái)風(fēng)、颶風(fēng)、龍卷風(fēng)第十三頁，共二十一頁，2022年，8月28日§2.6.3玻爾茲曼分布一、玻爾茲曼分布：1.玻爾茲曼分布：回轉(zhuǎn)體中氣體粒子數(shù)密度沿徑向的分布：則與慣性離心力相應(yīng)的離心力勢(shì)能：設(shè)：r=0時(shí)Ep(0)=0重力場(chǎng)中等溫大氣數(shù)密度分布：回轉(zhuǎn)體中氣體粒子數(shù)密度沿徑向的分布：第十四頁，共二十一頁，2022年，8月28日回轉(zhuǎn)體中氣體粒子數(shù)密度沿徑向的分布：重力場(chǎng)中等溫大氣數(shù)密度分布：液體中懸浮微粒按高度的分布：麥克斯韋速度分布：比較定義：玻爾茲曼因子：第十五頁，共二十一頁，2022年，8月28日玻爾茲曼因子：定義：由于微觀粒子的能量只能取分立的數(shù)值，形成分立能級(jí)，故：也可記為：——玻爾茲曼分布分別表示溫度為T的系統(tǒng)中處于粒子能量為1的某一狀態(tài)與粒子能量為

2的另一個(gè)狀態(tài)上的粒子數(shù)密度第十六頁，共二十一頁，2022年，8月28日——玻爾茲曼分布（A）2.說明：⑴(A)式表示了在溫度T時(shí)的平衡態(tài)時(shí)，粒子處于能量差為

?

=1－2的1、2兩種不同狀態(tài)上的粒子數(shù)密度之比。⑵n1、n2

指對(duì)應(yīng)1、2能量的某一個(gè)狀態(tài)的粒子數(shù)密度，而不是能量為1、2的所有各狀態(tài)的粒子數(shù)密度之和。⑶某一個(gè)能量狀態(tài)確定Ni確定對(duì)應(yīng)概率Pi確定粒子處于能量相同的各狀態(tài)上的概率是相同的。通常狀況下，處于低能級(jí)的粒子數(shù)較多。⑷即：粒子處于高能量狀態(tài)的概率小第十七頁，共二十一頁，2022年，8月28日只要粒子間相互作用很小而可以忽略，一般都可應(yīng)用玻爾茲曼分布。⑸玻爾茲曼分布是一種普遍規(guī)律。⑹微觀粒子熱運(yùn)動(dòng)(平均)能量與熱力學(xué)溫度的關(guān)系可見：處于平衡態(tài)的系統(tǒng)，在（無相互作用）粒子的兩個(gè)不同能量的狀態(tài)上的粒子數(shù)的比值與粒子的能量之差之間有確定的關(guān)系。第十八頁，共二十一頁，2022年，8月28日對(duì)于粒子只能取兩個(gè)能級(jí)的系統(tǒng)，設(shè)在這兩能級(jí)上的粒子數(shù)密度分別為n1及n2。若在1>2

情況下，n1＜n2，則T＞0。正常態(tài)。若在1>2

情況下，n1＞n2（這稱為粒子數(shù)反轉(zhuǎn)），這時(shí)T＜0，我們就稱該粒子系統(tǒng)處于負(fù)溫度狀態(tài)。產(chǎn)生激光的系統(tǒng)，就處于粒子數(shù)反轉(zhuǎn)（populationinversion）的負(fù)溫度狀態(tài)。負(fù)溫度僅存在于由兩個(gè)能級(jí)所單獨(dú)組成的子系中；且僅出現(xiàn)在短暫的時(shí)間中。第十九頁，共二十一頁，2022年，8月28日二、麥克斯韋—玻爾茲曼分布：麥克斯韋分布：描繪了粒子在速度空間中的分布，玻爾茲曼分布：描繪了任意保守力場(chǎng)中粒子在位形空間的分布，其指數(shù)因子上的為粒子的平動(dòng)動(dòng)能。其指數(shù)因子上的p

為粒子的勢(shì)能。力學(xué)里把速度和位置合起來稱為“運(yùn)動(dòng)狀態(tài)”或“相”，統(tǒng)計(jì)物理里把速度空間和位形空間合起來稱為“相空間”。由于粒子的速度和位置是相互獨(dú)立的，故粒子在相空間的分布即為速度分布與位置分布的乘積，因而有：第二十頁，共二十一頁，2022年，8月28日麥克斯韋分布：玻爾茲曼分布：麥克斯韋—玻爾茲曼分布：粒子總能量表示了當(dāng)系統(tǒng)