高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)之相關(guān)性、最小二乘估計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

高考會(huì)這樣考】1．考查利用散點(diǎn)圖推斷變量之間的關(guān)系．2．考查線性回來方程的計(jì)算或回來分析的思想與方法的應(yīng)用問題．3．考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及應(yīng)用．

相關(guān)性、最小二乘估計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例考點(diǎn)梳理(1)通常將變量所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)描出來，這些點(diǎn)就組成了變量之間的一個(gè)圖，通常稱這種圖為變量之間的_______．(2)從散點(diǎn)圖上，假如變量之間存在某種關(guān)系，這些點(diǎn)會(huì)有一個(gè)集中的大致趨勢(shì)，這種趨勢(shì)通?？梢杂靡粭l光滑的曲線來近似，這樣近似的過程稱為_________．1．相關(guān)性散點(diǎn)圖曲線擬合(3)若兩個(gè)變量x和y的散點(diǎn)圖中，全部點(diǎn)看上去都在一條直線旁邊波動(dòng)，則稱變量間是_________，若全部點(diǎn)看上去都在某條曲線(不是一條直線)旁邊波動(dòng)，稱此相關(guān)是_____________．假如全部的點(diǎn)在散點(diǎn)圖中沒有顯示_____關(guān)系，則稱變量間是_________．線性相關(guān)非線性相關(guān)任何不相關(guān)的(1)最小二乘法假如有n個(gè)點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用表達(dá)式[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2來刻畫這些點(diǎn)與直線y＝a＋bx的接近程度，使得上式達(dá)到最小值的直線y＝a＋bx就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法．(2)回來方程方程y＝bx＋a是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回來方程，其中a，b是待定參數(shù)．2．回來方程與回來分析②當(dāng)r＞0時(shí)，表明兩個(gè)變量_______；當(dāng)r＜0時(shí)，表明兩個(gè)變量_______．r的確定值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性_____，r的確定值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間__________________________．正相關(guān)負(fù)相關(guān)越強(qiáng)幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系3．獨(dú)立性檢驗(yàn)BA

B1B2總計(jì)A1aba＋bA2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋da＋b＋c＋d(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量來推斷“兩個(gè)變量_______”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．有關(guān)聯(lián)一個(gè)區(qū)分函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系．事實(shí)上，函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系．兩個(gè)特征(1)回來方程y＝bx＋a中的b表示x增加一個(gè)單位時(shí)，y的變更量約為b.(2)當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時(shí)，在統(tǒng)計(jì)中，用以下結(jié)果對(duì)變量的獨(dú)立性進(jìn)行推斷【助學(xué)·微博】①當(dāng)χ2≤2.706時(shí)，沒有充分的證據(jù)判定變量A，B有關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為變量A，B是沒有關(guān)聯(lián)的；②當(dāng)χ2＞2.706時(shí)，有90%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；③當(dāng)χ2＞3.841時(shí)，有95%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；④當(dāng)χ2＞6.635時(shí)，有99%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)．A．正方體的棱長與體積B．單位面積的產(chǎn)量為常數(shù)時(shí)，土地面積與總產(chǎn)量C．日照時(shí)間與水稻的畝產(chǎn)量D．電壓確定時(shí)，電流與電阻解析A，B，D中兩個(gè)變量間的關(guān)系都是確定的，所以是函數(shù)關(guān)系；C中的兩個(gè)變量間是相關(guān)關(guān)系，對(duì)于日照時(shí)間確定的水稻，仍可以有不同的畝產(chǎn)量，故選C.答案C考點(diǎn)自測(cè)1．下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是 (

)．2．對(duì)變量x，y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖(1)；對(duì)變量u，v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖(2)．由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以推斷()．A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)解析由圖(1)可知，各點(diǎn)整體呈遞減趨勢(shì)，x與y負(fù)相關(guān)；由圖(2)可知，各點(diǎn)整體呈遞增趨勢(shì)，u與v正相關(guān)．答案

C3．(2012·湖南)設(shè)某高校的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，依據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回來方程為y＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()．A．有99%的人認(rèn)為該欄目優(yōu)秀B．有99%的人認(rèn)為該欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系C．有99%的把握認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系D．沒有理由認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系解析只有X2≥6.635才能有99%的把握認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系，而即使X2≥6.635也只是對(duì)“電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系”這個(gè)論斷成立的可能性大小的結(jié)論，與是否有99%的人等無關(guān)．故D正確．答案

D4．為了評(píng)價(jià)某個(gè)電視欄目的改革效果，在改革前后分別從居民點(diǎn)抽取了100位居民進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)過計(jì)算χ2≈0.99，依據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下列說法正確的是 ()．5．(2011·遼寧)調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對(duì)x的線性回來方程：y＝0.254x＋0.321.由線性回來方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元． 解析由題意，知其回來系數(shù)為0.254，故家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加0.254萬元． 答案0.254

(1)將表中的數(shù)據(jù)畫成散點(diǎn)圖；(2)你能依據(jù)散點(diǎn)圖指出氣溫與熱茶杯數(shù)的關(guān)系嗎？(3)假如氣溫與賣出熱茶杯數(shù)近似成線性相關(guān)關(guān)系的話，請(qǐng)畫出一條直線來近似地表示這種線性相關(guān)關(guān)系．考向一線性相關(guān)關(guān)系的推斷氣溫/℃261813104－1杯數(shù)y202434385064【例1】?下表是某小賣部6天賣出的熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣

溫的對(duì)比表.[審題視點(diǎn)](1)用x軸表示氣溫，y軸表示杯數(shù)，逐一畫點(diǎn)；(2)依據(jù)散點(diǎn)圖分析兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系．解(1)畫出的散點(diǎn)圖如圖．(2)從圖中可以發(fā)覺氣溫順熱茶杯數(shù)具有相關(guān)關(guān)系，氣溫順熱茶杯數(shù)成負(fù)相關(guān)，圖中的各點(diǎn)大致分布在一條直線的旁邊，因此氣溫順杯數(shù)近似成線性相關(guān)關(guān)系．(3)依據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以畫出不同的直線來近似表示這種線性相關(guān)關(guān)系，如讓畫出的直線上方的點(diǎn)和下方的點(diǎn)數(shù)目相等．如圖．【訓(xùn)練1】5個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成果如下表：畫出散點(diǎn)圖，并推斷它們是否有相關(guān)關(guān)系．解把數(shù)學(xué)成果作為橫坐標(biāo)，把相應(yīng)的物理成果作為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，5)，作出散點(diǎn)圖如圖．學(xué)生學(xué)科ABCDE數(shù)學(xué)8075706560物理7066686462從圖中可以直觀地看出數(shù)學(xué)成果和物理成果具有相關(guān)關(guān)系，且當(dāng)數(shù)學(xué)成果增大時(shí)，物理成果也在由小變大，即它們正相關(guān)．

【例2】?(2012·福建)某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：考向二線性回來方程及其應(yīng)用單價(jià)x/元88.28.48.68.89銷量y/件908483807568(2)預(yù)料在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍舊聽從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？(利潤＝銷售收入－成本)(1)求線性回來方程；(2)據(jù)(1)的結(jié)果估計(jì)當(dāng)房屋面積為150m2時(shí)的銷售價(jià)格．房屋面積x/m211511080135105銷售價(jià)格y/萬元24.821.618.429.222【訓(xùn)練2】(2013·南昌模擬)以下是某地搜集到的新居屋的銷售價(jià)格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù).(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2的列聯(lián)表；(2)能否有95%的把握認(rèn)為暈機(jī)與性別有關(guān)系？考向三獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及應(yīng)用【例3】?在調(diào)查男女乘客是否暈機(jī)的事務(wù)中，已知男乘客暈機(jī)為28人，不暈機(jī)的也是28人，而女乘客暈機(jī)為28人，不暈機(jī)的為56人．[審題視點(diǎn)](1)列2×2列聯(lián)表；(2)代入公式求χ2的值進(jìn)行推斷．解(1)2×2列聯(lián)表如下：暈機(jī)不暈機(jī)合計(jì)男乘客282856女乘客285684合計(jì)5684140 解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，首先要依據(jù)題目條件列出兩個(gè)變量的2×2列聯(lián)表，通過計(jì)算隨機(jī)變量χ2的值來推斷有多少把握具有關(guān)聯(lián)．【訓(xùn)練3】(2013·江西九校聯(lián)考)某學(xué)生對(duì)其親屬30人的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，并用下圖所示的莖葉圖表示30人的飲食指數(shù)．(說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主)(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表：(2)能否有99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)？并寫出簡(jiǎn)要分析．主食蔬菜主食肉類合計(jì)50歲以下50歲以上合計(jì)所以有99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)．

解

(1)2×2列聯(lián)表如下：主食蔬菜主食肉類合計(jì)50歲以下481250歲以上16218合計(jì)201030【命題探討】通過近三年的高考試題分析，獨(dú)立性檢驗(yàn)和回來分析的考查主要是這兩種學(xué)問的簡(jiǎn)潔應(yīng)用，以計(jì)算和推斷為主．有的省市以選擇題、填空題形式考查，有的省市以解答題形式考查，難度中等．【真題探究】?(2011·安徽)某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：方法優(yōu)化16——求回來直線方程的方法與技巧年份20022004200620082010需求量/萬噸236246257276286[美麗解法](1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升，下面來求回來直線方程，先將數(shù)據(jù)處理如下：年份－2006－4－2024需求量－257－21－1101929(2)利用所求得的直線方程，可預(yù)料2012年的糧食需求量為6.5×(