光纖傳輸基本理論課件

我們知道光有波粒二重性，就是說(shuō)即可以將其看成光波，也可以將其看成是由光子組成的粒子流。因此，在描述光的傳輸特性時(shí)相應(yīng)的也有兩種理論，即波動(dòng)理論和射線理論（幾何光學(xué)方法）。前者描述起來(lái)比較復(fù)雜，需要麥克斯韋方程求解，但它可以精確的描述光的傳播特性；后者描述起來(lái)比較簡(jiǎn)單直觀，易于理解。二、光纖傳輸基本理論（1）幾何光學(xué)射線法當(dāng)光線芯徑遠(yuǎn)大于光波波長(zhǎng)時(shí)，可近似認(rèn)為,從而將光波近似看成由一根光線所構(gòu)成。因此，可以用幾何光學(xué)的方法來(lái)分析光線的入射、傳播(軌跡)，以及時(shí)延(色散)和光強(qiáng)分布等特性。優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單直觀，在分析芯徑較粗的多模光纖時(shí)可以得到較精確的結(jié)果；缺點(diǎn)：不能解釋諸如模式分布、包層模、模式耦合，以及光場(chǎng)分布等現(xiàn)象。而且當(dāng)工作波長(zhǎng)于芯徑可比較(單模光纖)，誤差較大。（2）波動(dòng)理論法

這是一種嚴(yán)格的分析方法，嚴(yán)格性在于：a.)從光波的本質(zhì)特性－電磁波出發(fā)，通過(guò)求解電磁波所遵從的麥克斯韋方程，導(dǎo)出電磁場(chǎng)的場(chǎng)分布，具有理論上的嚴(yán)謹(jǐn)性。

b.)未作任何前提近似，因此適用于各種折射率分布的單模光纖和多模光纖。分析思路光纖傳輸基本理論的分析，主要是為光纖技術(shù)的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。分析手段上，首先，利用光線理論來(lái)分析光在光纖中的傳播特性，并對(duì)光纖中的模式及其基本性質(zhì)進(jìn)行初步討論；然后，用波動(dòng)理論來(lái)進(jìn)一步深入分析光纖中的導(dǎo)波場(chǎng)的特性，依據(jù)光纖波導(dǎo)的邊界條件求解波導(dǎo)場(chǎng)方程，導(dǎo)出本征值方程，并根據(jù)導(dǎo)模的截止和遠(yuǎn)離截止條件對(duì)光纖中的模式特性進(jìn)行詳細(xì)討論。基本理論涉及內(nèi)容光纖模式的激勵(lì)(或光的入射)光纖中的模式分布(或光纖傳播軌跡)模式的傳播速度(或光線的時(shí)延)模式沿光纖橫截面場(chǎng)分布；光信號(hào)的傳輸損耗；光信號(hào)的畸變；模式的偏振特性；模式的耦合；光纖中電磁場(chǎng)傳播的另一個(gè)重要特性是：兩種介質(zhì)交界處(光纖纖壁)處電磁場(chǎng)滿足邊界條件，即與的切向分量以及與的法向分量均連續(xù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為電磁場(chǎng)的規(guī)律是電場(chǎng)和磁場(chǎng)的交替變化，可以發(fā)現(xiàn)麥克斯韋方程中，一方面，既有電場(chǎng)的量，也有磁場(chǎng)的量；另一方面，既有空間坐標(biāo)，又有時(shí)間坐標(biāo)，兩者相互影響。求解的基本思路，利用分離變量法進(jìn)行電、磁矢量分離和時(shí)、空坐標(biāo)的分離。分離變量電矢量與磁矢量分離:波動(dòng)方程，是只與電場(chǎng)強(qiáng)度E(x,y,z,t)有關(guān)的方程式及只與磁場(chǎng)強(qiáng)度H(x,y,z,t)有關(guān)的方程式；時(shí)、空坐標(biāo)分離:亥姆霍茲方程，是關(guān)于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式；空間坐標(biāo)縱、橫分離：波導(dǎo)場(chǎng)方程，是關(guān)于E(x,y)和H(x,y)的方程式；邊界條件：在兩種介質(zhì)交界面上電磁場(chǎng)矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要連續(xù)。 電矢量與磁矢量分離：波動(dòng)方程

對(duì)麥克斯韋方程第2式取旋度，并利用矢量關(guān)系，可得可得到只與電場(chǎng)強(qiáng)度有關(guān)的方程式時(shí)、空坐標(biāo)分離：亥姆霍茲方程

如果在光纖中傳播的是單色波，即電磁波具有確定的振蕩頻率f，角頻ω=2πｆ，則可時(shí)、空坐標(biāo)分離，令

式中，可代表和的任一分量。再將上式代入標(biāo)量波動(dòng)方程(2-3)式，可得這就是亥姆霍茲方程，該方程對(duì)任何電磁波的傳播都適用。加上邊界條件后，即可求出任意波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中光波場(chǎng)的場(chǎng)分布?？臻g坐標(biāo)縱、橫分離：波導(dǎo)場(chǎng)方程亥姆霍茲方程有一個(gè)重要的特征：拉普拉斯算符作用在函數(shù)上的結(jié)果等于該函數(shù)與一常數(shù)的乘積。這一類方程在數(shù)學(xué)上稱為本征方程，常數(shù)ｋ稱為本征值。因此，波動(dòng)理論的實(shí)質(zhì)是對(duì)于給定的邊界條件下求本征方程的解－本征解及其對(duì)應(yīng)的本征值，數(shù)學(xué)上稱為本征值問(wèn)題。光纖波導(dǎo)中，電磁波在縱向(軸向)以“行波”的形式存在，在橫向以“駐波”的形式存在。其特征是：場(chǎng)分布沿軸向的變化只體現(xiàn)在相位上，場(chǎng)強(qiáng)度不隨軸向傳播距離而變化(假設(shè)光纖中無(wú)模式耦合，也不存在損耗與增益)。若數(shù)學(xué)處理上，規(guī)定光纖軸向?yàn)閦方向，則場(chǎng)分布與z坐標(biāo)的關(guān)系可用指數(shù)形式表示為，可進(jìn)一步對(duì)亥姆霍茲方程進(jìn)行空間坐標(biāo)縱、橫分離，令模式和基本特征

a)

每一個(gè)模式對(duì)應(yīng)于沿光波導(dǎo)軸向傳播的一種電磁波;

b)每一個(gè)模式對(duì)應(yīng)于某一本征值并滿足全部邊界條件;

c)模式具有確定的相速群速和橫場(chǎng)分布.

d)模式是波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的固有電磁共振屬性的表征。給定的波導(dǎo)中能夠存在的模式及其性質(zhì)是已確定了的,外界激勵(lì)源只能激勵(lì)起光波導(dǎo)中允許存在的模式而不會(huì)改變模式的固有性質(zhì)。模式場(chǎng)分量與縱橫關(guān)系式 模式的場(chǎng)矢量和具有六個(gè)場(chǎng)分量:和(或和)。只有當(dāng)這六個(gè)場(chǎng)分量全部求出方可認(rèn)為模式的場(chǎng)分布唯一確定。但實(shí)際上這并不必要。因?yàn)閳?chǎng)的橫向分量可由縱向分量和來(lái)表示.

（通過(guò)將麥克斯韋方程在相應(yīng)坐標(biāo)系中按分量形式展開(kāi)比較后就可以得到模式各分量間的關(guān)系）模式命名根據(jù)場(chǎng)的縱向分量Ez和Hz的存在與否,可將模式命名為:(1)橫電磁模(TEM):Ez＝Hz＝0;(2)橫電模(TE): Ez＝0,Hz≠0;(3)橫磁模(TM): Ez≠0,Hz＝0;(4)混雜模(HE或EH):Ez≠0,Hz≠0。

光纖中存在的模式多數(shù)為HE(EH)模,有時(shí)也出TE(TM)模。C)橫向傳播常數(shù)橫向傳播常數(shù)即波矢K的橫向分量這里，j取1和2分別對(duì)應(yīng)于纖芯和包層。纖芯中，，為實(shí)數(shù)；在包層中，，為虛數(shù)。為方便起見(jiàn)，定義三個(gè)實(shí)參數(shù)U，W和b上式中，b在0和1之間取值，稱為場(chǎng)的歸一化常數(shù)；U和W是場(chǎng)的橫向傳播常數(shù)；U反映了導(dǎo)模在芯區(qū)中的駐波場(chǎng)的橫向振蕩頻率；W值則反映了導(dǎo)模在包層中的消逝場(chǎng)的衰減速度，其值越大衰減越快。還可以看到U，W和V滿足如下關(guān)系歸一化頻率

模式分析時(shí)的一個(gè)重要參量：光纖的歸一化頻率V包含了光纖的結(jié)構(gòu)及光波的工作波長(zhǎng)，它是一個(gè)直接與光的頻率成正比的無(wú)量綱的量。光纖的很多特性與之都有關(guān)。它定量表示了光纖支持橫模的能力。程函方程與射線方程

從亥姆霍茲還可以導(dǎo)出幾何光學(xué)理論的基本方程－程函方程和射線方程,它描述光線在任意光纖波導(dǎo)中傳播的光線軌跡。

需要說(shuō)明的是，光學(xué)發(fā)展史上，幾何光學(xué)基本概念的形成，包括直線傳播，以及反射、折射等，都遠(yuǎn)遠(yuǎn)早于光學(xué)的波動(dòng)理論。程函數(shù)方程也完全可以從費(fèi)馬原理得到，而不必借助麥克斯韋的電磁波理論。為說(shuō)明方法的統(tǒng)一性和理論的自洽性，可以從波動(dòng)理論推導(dǎo)出幾何光學(xué)的基本方程。需要注意的是，幾何光學(xué)理論物理概念清晰，易于理解，但僅僅是波動(dòng)理論的零波長(zhǎng)近似，其結(jié)果僅適用于多模光纖，不適合單模光纖。幾何光學(xué)中，光線定義為等相面的法線。一般情況下，麥克斯韋的試探解可以寫(xiě)成振幅與相位的形式上式中和都是位置的函數(shù)，而則稱為光程函數(shù)，把這個(gè)表達(dá)形式代入麥克斯韋方程后，可以得到考察右圖所示的光線軌跡圖。其軌跡用光線上各點(diǎn)到參考點(diǎn)的矢徑r表示，則光線的軌跡上任意一點(diǎn)的方向?yàn)檫@一

點(diǎn)的切線方向，其單位矢量為

另一方面，垂直于等相位面，所以與平行,所以又有

聯(lián)立上兩式，同時(shí)由程函方程得，則

再將上式兩邊對(duì)S求導(dǎo)，對(duì)右式交換求導(dǎo)順序，再利用程函方程，可得這就是折射率分布為n的媒質(zhì)中光線傳播的路徑方程(射線方程)。rdrzxyr+dr路徑射線方程物理意義：將光線軌跡(由r描述)和空間折射率分布(n)聯(lián)系起來(lái);由光線方程可以直接求出光線軌跡表達(dá)式;

dr/dS是光線切向斜率,對(duì)于均勻波導(dǎo)，n為常數(shù),光線以直線形式傳播;對(duì)于漸變波導(dǎo),n是r的函數(shù),則dr/dS為一變量,這表明光線將發(fā)生彎曲。而且可以證明,光線總是向折射率高的區(qū)域彎曲。光線分類子午光線：限制在子午平面內(nèi)傳播的光線與光軸相交傾斜光線：軌跡曲線不限制在一個(gè)平面內(nèi)不過(guò)光軸子午平面pQapQ2a子午光線的傳播路徑及其在橫截面的投影它的傳播路徑是平面折線，在光纖截面內(nèi)的投影是長(zhǎng)度為2a的線段，也就是光纖纖芯的某一條直徑。階躍折射率光纖子午光線仍然定義為傳播過(guò)程中過(guò)光纖纖芯的光線。從上圖可以看到，在梯度光纖中，此類光線是光纖纖芯縱剖面內(nèi)的平面曲線，這在橫截面內(nèi)的投影是長(zhǎng)度的線段，是光線外焦散面的半徑。梯度折射率光纖apQpQT偏斜光線的傳播路徑及其在橫截面內(nèi)的投影階躍折射率光纖這種是傳播路徑不與光纖軸線相交的光線，稱為偏斜光線(空間光線)。它的傳播路徑是空間折線，在光纖截面內(nèi)的投影是內(nèi)切于一個(gè)圓的多邊形