矩陣的概念及運(yùn)算(完整版)實(shí)用資料

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矩陣矩陣的概念及運(yùn)算（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）2.1矩陣的概念及運(yùn)算授課題目2.1矩陣的概念及運(yùn)算授課時(shí)數(shù)：4課時(shí)教學(xué)目標(biāo)：掌握矩陣的定義，矩陣的運(yùn)算包括加法、數(shù)乘、乘法矩陣的運(yùn)和轉(zhuǎn)置的定義及運(yùn)算規(guī)律。幾個(gè)特殊矩陣-單位矩陣，三角形矩陣，對(duì)稱矩陣，反對(duì)稱矩陣教學(xué)重點(diǎn)：，矩陣的運(yùn)算包括加法、數(shù)乘、乘法矩陣的運(yùn)和轉(zhuǎn)置的定義及運(yùn)算規(guī)律。教學(xué)難點(diǎn)：矩陣的計(jì)算及對(duì)稱矩陣，反對(duì)稱矩陣的證明教學(xué)過程：一．矩陣的定義及表示1.實(shí)例假設(shè)在一地區(qū)，一物資有s個(gè)產(chǎn)地和n個(gè)銷售地，其物資調(diào)運(yùn)方案為銷地產(chǎn)地2.矩陣的定義定義1由數(shù)域個(gè)數(shù)列的一個(gè)數(shù)表稱為數(shù)域個(gè)，簡(jiǎn)稱矩陣，通常用大寫字母表示矩陣。3.矩陣的表示三種表示法：矩陣與行列式的區(qū)別：數(shù)，表。4.方陣---行數(shù)等于列數(shù)的矩陣行向量-----的矩陣列向量------的矩陣5.矩陣的初步運(yùn)用①坐標(biāo)變換②兩組變量的線性關(guān)系③線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣陣.同形矩陣與相等矩陣定義2兩個(gè)矩陣，當(dāng)它們的行數(shù)和列數(shù)分別相等時(shí)，稱為同形矩陣。當(dāng)它們的對(duì)應(yīng)位置元素也相等時(shí)，即則稱矩陣二．矩陣的運(yùn)算1.加法1）定義定義3設(shè)是兩個(gè)同形矩陣，則稱矩陣的和，記作2）運(yùn)算規(guī)律①交換律；②結(jié)合律；③；④移項(xiàng)法則2.矩陣的數(shù)乘1）定義定義4設(shè)。2）運(yùn)算規(guī)律⑤⑥⑦⑧其中*關(guān)于加法與數(shù)乘的運(yùn)算規(guī)律①~與向量⑧空間定義中的8條是一致的，實(shí)際上構(gòu)成向量空間。3.矩陣的乘法1）定義定義5設(shè)規(guī)定乘積稱為向量的行列積。定義6設(shè)，記作其中示意圖：例1例2例3線性代入的矩陣表示，線性方程組的矩陣表示。2）注意事項(xiàng)矩陣的乘法不滿足交換律（1）；（2）都有意義，但不同形；（3）都有意義且同形，但兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣.矩陣乘法不滿足消去律。即若；列是3）運(yùn)算規(guī)律①乘法對(duì)加法的分配律：②乘法結(jié)合律：證明設(shè)，顯然（AB）C與A(BC)都是的矩陣。令于是（AB）C=VC，A（BC）=AW,VC的第i行第l列元素為從而（AB）C=A（BC）③數(shù)乘與乘法結(jié)合律：對(duì)有4．方冪定義A的m次冪為式中m是整數(shù)，約定指數(shù)法則矩陣多項(xiàng)式的可代入性設(shè)是數(shù)域F上的一元多項(xiàng)式，而A是F上的一個(gè)n階方陣，那么有確定意義，它也是F上的一個(gè)n階方陣，我們將它記為f(A),即為如果f(x),g(x)是F上的一元多項(xiàng)式，A是F上的一個(gè)n階方陣令U(x)=f(x)+g(x),v(x)=f(x)g(x),那么由矩陣的運(yùn)算規(guī)律容易得出U(A)=f(A)+g(A),v(A)=f(A)g(A),5．轉(zhuǎn)置1）定義定義7設(shè)矩陣把的行依次變成列所得到的矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置記為，即2）運(yùn)算規(guī)律①；②；③；④（穿脫原理）*②、④可推廣到多個(gè)的情形三．幾類特殊的矩陣1.對(duì)角陣2.乘量矩陣3三角形矩陣定義主對(duì)角下方元素全為零的n階矩陣稱為上三角形矩陣，主對(duì)角上方元素全為零的n階矩陣稱為下三角形矩陣上三角形矩陣形狀為下三角形矩陣形狀為容易驗(yàn)證，兩個(gè)n階上（下）三角形矩陣的和與乘積仍為上（下）三角形矩陣4.對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣定義9設(shè)A是n階方陣，如果，則稱A為一個(gè)n階對(duì)稱矩陣，如果，則稱A為一個(gè)n階反對(duì)稱陣。對(duì)稱陣反對(duì)稱陣或?qū)ΨQ陣反對(duì)稱陣反對(duì)稱陣的主對(duì)角線上的元素均為0。第二章矩陣基本要求：理解矩陣的概念，熟練掌握矩陣的運(yùn)算，理解逆矩陣并會(huì)求逆矩陣，了解分塊矩陣。矩陣是線性代數(shù)中重要的工具，我們先從線性方程組引出矩陣。§1已知n元線性方程組的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)可以排成m行，n+1列的有序矩陣數(shù)表：說明：這個(gè)有序矩陣數(shù)表完全確定了線性方程組（1），對(duì)它的研究可以判斷（1）的解的情況。定義1.由個(gè)數(shù)排成的m行n列的數(shù)表稱為m行n列矩陣，簡(jiǎn)稱矩陣，其中叫做矩陣的元素。根據(jù)元素的特點(diǎn)，矩陣可分為實(shí)矩陣與復(fù)矩陣。下面給出一些特殊矩陣：1．行矩陣m=12．列矩陣n=13．零矩陣4．方陣，，稱為n階方陣。5．單位矩陣稱為n階單位矩陣。應(yīng)用舉例：例1．某廠向三個(gè)商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量可列成矩陣其中為工廠向第店發(fā)送第種產(chǎn)品的數(shù)量。這四種產(chǎn)品的單價(jià)及單件重量也可以寫成矩陣其中為第種產(chǎn)品的單價(jià)，第種產(chǎn)品的單件重量。例2．北京市某戶居民第三季度每個(gè)月的水（單位：）、電（單位：）、天然氣（單位：）的使用情況，可以用一個(gè)三行三列的數(shù)表來表示，即§2一、矩陣的加法設(shè)稱為同型矩陣（行列數(shù)均相等）。1．相等2．加法加法律（1）（2）例3．.求矩陣，使，其中，解：。二、數(shù)與矩陣的乘法運(yùn)算律：（1）；（2）；（3）注：矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算。例4．設(shè)從某地四個(gè)地區(qū)到另外三個(gè)地區(qū)的距離（單位）為：已知貨物每噸的運(yùn)費(fèi)為2.40元/.那么，各地區(qū)之間每噸貨物的運(yùn)費(fèi)可記為三、矩陣的乘法1．線性變換與線性變換的乘積。設(shè)有兩個(gè)線性變換其系數(shù)矩陣其系數(shù)矩陣將代入，可得從到的線性變換：稱為與的乘積。相應(yīng)地，稱的系數(shù)矩陣為與的系數(shù)矩陣的乘積，記作：一般地，我們有2．矩陣與矩陣的乘法定義2.設(shè)則規(guī)定與的乘積是一個(gè)矩陣，其中并記作注：(1.一行與一列相乘故的第行第列位置上的元素就是的第行與的第列的乘積。(2.只有的列數(shù)等于的行數(shù)時(shí)，才有意義（乘法可行）例5．設(shè)，求解得注：是不可行。例6．設(shè)，，求及。解：由此發(fā)現(xiàn)：（1），（不滿足交換律）（2），，但卻有。3．矩陣乘法的運(yùn)算律（假定運(yùn)算是可行的）（1）結(jié)合律（2）分配律（3）（4），（單位矩陣的意義所在）4．n階方陣的冪設(shè)是n階方陣，則定義或規(guī)律：，，其中為正整數(shù)。但一般地，，為n階方陣。例7．計(jì)算解：設(shè)，則，假設(shè)，則，于是由歸納法知，對(duì)于任意正整數(shù)n，有例8．令，，，則線性方程組可用矩陣乘積表示出：。四、轉(zhuǎn)置矩陣定義3.把矩陣的各行均換成同序數(shù)的列所得到的矩陣，稱為的轉(zhuǎn)置矩陣，記作（或）。例如：，運(yùn)算律：（1）；（2）；（3）；（4）證明：僅證（4）設(shè)，記，，于是按矩陣乘法公式.而的第行為，的第列為，因此即，亦即。例9．已知，，求解：（法一）所以（法二）小結(jié)：1．矩陣的概念思考題：試分析以下給出證明的錯(cuò)誤，并給出正確的證明。若，則稱為冪等矩陣。試證：若為冪等矩陣，則為冪等矩陣的充分必要條件是.錯(cuò)誤證法：由條件，，知或，或，當(dāng)時(shí)，，顯然成立。當(dāng)（或）時(shí)，，且成立。當(dāng)時(shí)，，而，，即也成立。綜上可知，為冪等矩陣的充要條件為。答案：從推得，是不對(duì)的，得出這樣的結(jié)果是作出了如下推導(dǎo)：，，故或，即.這里的錯(cuò)誤在于：與數(shù)的乘法運(yùn)算相混淆了。數(shù)若滿足，則必有或；但對(duì)于矩陣來說，，不能推出或.正確解法：因?yàn)?，，于是故的充分必要條件是，即.作業(yè)習(xí)題2-21.2.3.4①.、④5.一、矩陣運(yùn)算的範(fàn)例輸入Matlab指令說明執(zhí)行結(jié)果a=[123;456;789]輸入3×3矩陣a123456789b=[124;689]輸入2×3矩陣b124689c=[1;4;5]輸入3×1矩陣c145d=[12;46;89]輸入3×2矩陣d124689[cd]將c,d合併為一3×3的矩陣112446589a*b’計(jì)算17493811859187c*c’計(jì)算1454162052025a.^2將a矩陣的每個(gè)元素平方149162536496481b./2將b矩陣的每個(gè)元素除以23.50001.00002.00003.00004.00004.5000tril(a)取a矩陣的下三角矩陣100450789triu(a)取a矩陣的上三角矩陣123056009zeros(2,3)建立一2×3的零矩陣000000ones(2,3)建立一2×3的矩陣且元素均為1111111eye(3)建立一3×3的單位矩陣100010001c*ones(1,3)建立一3×3的矩陣且各列元素相同111444555二、解聯(lián)立方程式的範(fàn)例試解方法一：以高斯-喬丹消去法求解輸入Matlab指令執(zhí)行結(jié)果a=[23-4;5-7-3;1511]23-45-7-31511b=[1;2;-3]12-3augmtx=[ab]23-415-7-321511-3c=rref(augmtx)1.0000000.133801.00000-0.0845001.0000-0.2465sol=c(:,4)0.1338-0.0845-0.2465方法二：以逆矩陣法求解輸入Matlab指令執(zhí)行結(jié)果sol=inv(a)*b0.1338-0.0845-0.2465三、Matlab中冒號(hào)（：）的使用範(fàn)例1.向量的產(chǎn)生輸入Matlab指令說明執(zhí)行結(jié)果x=1:5建立由1到5的列向量且增量為112345y=0:pi/4:pi建立由0到π的列向量且增量為π/400.78541.57082.35623.1416z=6:-1:1建立由6到1的列向量且增量為-1654321a=[123];a(:)將列向量a變成行向量1232.子矩陣的產(chǎn)生輸入Matlab指令說明執(zhí)行結(jié)果a=[13579;34125;01236]建立3×5的矩陣135793412501236b=-1*ones(3,3)建立3×3的矩陣且元素均為-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1a(2,3)取a矩陣之第2列第3行的元素1a(3,4)取a矩陣之第3列第4行的元素3a(:,3)取a矩陣的第3行512a(2,:)取a矩陣的第2列34125a(2:3,1:4)取a矩陣的第2列到第3列及第1行到第4行的子矩陣34120123a(:,[245])=b(:,1:3)將a矩陣的第2,4,5行以b矩陣的第1行到第3行取代1-15-1-13-11-1-10-12-1-1c=[12;34];c(:)將c矩陣變成行矩陣1234四、基本運(yùn)算指令的使用範(fàn)例假設(shè)，輸入Matlab指令說明執(zhí)行結(jié)果sort(a)將a向量的元素由小到大排序2467length(a)求向量的元素?cái)?shù)目4size(b)求矩陣的列、行數(shù)33sum(a)將a向量的元素相加之結(jié)果19cumsum(a)將a向量的元素累加後形成新的向量291319sum(b)將b矩陣各行的元素相加後形成的列矩陣121518cumsum(b)將b矩陣各行的元素累加後形成新的矩陣123579121518prod(a)將a向量的元素相乘之結(jié)果336cumprod(a)將a向量的元素累加後形成新的向量21456336prod(b)將b矩陣各行的元素相乘後形成的列矩陣2880162cumprod(b