2023屆四川省宜賓市校高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2023屆四川省宜賓市第四中學(xué)校高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．若全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖象判斷出陰影部分為，由此求得正確答案.【詳解】，由圖象可知，陰影部分表示.故選：A2．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（

）A．2 B．1 C．－2 D．－1【答案】A【分析】令，則，利用可得答案.【詳解】令，則，，，∴，，∴，故選：A．3．2020年10月1日是中秋節(jié)和國(guó)慶節(jié)雙節(jié)同慶，很多人外出旅行或回家探親，因此交通比較擁堵.某交通部門(mén)為了解從A城到B城實(shí)際通行所需時(shí)間，隨機(jī)抽取了臺(tái)車(chē)輛進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果顯示這些車(chē)輛的通行時(shí)間（單位：分鐘）都在內(nèi)，按通行時(shí)間分為，，，，五組，頻率分布直方圖如圖所示，則這臺(tái)車(chē)中通行時(shí)間少于分鐘的共有（

）A．臺(tái) B．臺(tái) C．臺(tái) D．臺(tái)【答案】A【解析】根據(jù)直方圖計(jì)算通行時(shí)間少于分鐘的頻率，然后利用頻率乘以樣本總數(shù)計(jì)算.【詳解】由頻率分布直方圖可知，通行時(shí)間少于分鐘的共有臺(tái).故選：A.4．已知等比數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件求出和，進(jìn)而可求得的值.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則，即，解得.因?yàn)?，所以，則.故選：B.5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的實(shí)數(shù)m的值為A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【詳解】試題分析：分析框圖可知輸出的應(yīng)為滿足的最小正整數(shù)解的后一個(gè)整數(shù)，故選C．6．黑洞原指非常奇怪的天體，它體積小，密度大，吸引力強(qiáng)，任何物體到了它那里都別想再出來(lái)，數(shù)字中也有類(lèi)似的“黑洞”，任意取一個(gè)數(shù)字串，長(zhǎng)度不限，依次寫(xiě)出該數(shù)字串中偶數(shù)的個(gè)數(shù)、奇數(shù)的個(gè)數(shù)以及總的數(shù)字個(gè)數(shù)，把這三個(gè)數(shù)從左到右寫(xiě)成一個(gè)新數(shù)字串；重復(fù)以上工作，最后會(huì)得到一個(gè)反復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字，我們稱(chēng)它為“數(shù)字黑洞”，如果把這個(gè)數(shù)字設(shè)為a，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得數(shù)字黑洞為123，然后利用誘導(dǎo)公式即得.【詳解】根據(jù)“數(shù)字黑洞”的定義，任取數(shù)字2021，經(jīng)過(guò)一步之后為314，經(jīng)過(guò)第二步之后為123，再變?yōu)?23，再變?yōu)?23，所以數(shù)字黑洞為123，即，∴.故選：D.7．為得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖像（

）A．向左平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換和誘導(dǎo)公式依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，向左平移個(gè)單位得：，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，向左平移個(gè)單位得：，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，向右平移個(gè)單位得：，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，向右平移個(gè)單位得：，D正確.故選：D.8．已知拋物線的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．若，則a的值是（

）A．4 B．3 C．4或一4 D．3或【答案】D【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)，利用距離公式可得答案【詳解】由題意知，則，所以．故選：D．9．有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)競(jìng)選班長(zhǎng)，其中只有一位當(dāng)選．有人走訪了四位同學(xué)，甲說(shuō)：“是乙或丙當(dāng)選”，乙說(shuō)：“甲、丙都未當(dāng)選”，丙說(shuō)：“我當(dāng)選了”，丁說(shuō)：“是乙當(dāng)選了”，若四位同學(xué)的話只有兩句是對(duì)的，則當(dāng)選的同學(xué)是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】C【分析】根據(jù)“四位同學(xué)的話只有兩句是對(duì)的”，假設(shè)某一個(gè)人說(shuō)的是真話，如果與條件不符，說(shuō)明假設(shè)不成立，如果與條件相符，則假設(shè)成立，從而解決問(wèn)題.【詳解】若甲當(dāng)選，則都說(shuō)假話，不合題意；若乙當(dāng)選，則甲、乙、丁都說(shuō)真話，丙說(shuō)假話，不符合題意；若丁當(dāng)選，則甲、丁、丙都說(shuō)假話，乙說(shuō)真話，不符合題意；故當(dāng)選是丙.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查的是推理的應(yīng)用，主要考查邏輯思維和推理能力，解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法是假設(shè)法，屬于基礎(chǔ)題.10．“爛漫的山花中，我們發(fā)現(xiàn)你.自然擊你以風(fēng)雪，你報(bào)之以歌唱.命運(yùn)置你于危崖，你饋人間以芬芳.不懼碾作塵，無(wú)意苦爭(zhēng)春，以怒放的生命，向世界表達(dá)倔強(qiáng).你是岸畔的桂，雪中的梅.”這是給感動(dòng)中國(guó)十大人物之一的張桂梅老師的頒獎(jiǎng)詞，她用實(shí)際行動(dòng)奉獻(xiàn)社會(huì)，不求回報(bào)，只愿孩子們走出大山.受張桂梅老師的影響，有大量志愿者到鄉(xiāng)村學(xué)校支教，現(xiàn)有名志愿者要到個(gè)學(xué)校參加支教活動(dòng)，要求甲?乙兩個(gè)學(xué)校各安排一個(gè)人，剩下兩個(gè)學(xué)校各安排個(gè)人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（

）A．種 B．種C．種 D．種【答案】C【分析】首先結(jié)合平均分組的方法可求得甲、乙兩個(gè)學(xué)校各安排一個(gè)人，剩下兩個(gè)學(xué)校各安排個(gè)人的方案種數(shù)；接著計(jì)算小李和小王在一起的安排方案數(shù)，則利用間接法得到結(jié)果.【詳解】甲、乙兩個(gè)學(xué)校各安排一個(gè)人，剩下兩個(gè)學(xué)校各安排個(gè)人，共有：種；其中小李和小王在一起的安排有：種；小李和小王不在一起的安排方案有：種.故選：C.11．已知分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的不同兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，若，則橢圓的短軸長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓方程確定點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)公式求出斜率，進(jìn)而列出方程，解方程即可.【詳解】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，設(shè)，則，且，，，所以，解得，即橢圓的短軸長(zhǎng)為故選C．12．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷的范圍，利用基本不等式判斷的范圍，構(gòu)造新函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】由，得，即，所以，所以，則，即；由，即；設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，又，則，所以，即，綜上，.故選：A二、填空題13．已知向量，，若與垂直，則的值為_(kāi)_____．【答案】-10【分析】先求得的坐標(biāo)，再根據(jù)與垂直求解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，所以，因?yàn)榕c垂直，所以，解得，故答案為：-1014．已知角的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則=______．【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，求出sinα，利用二倍角公式可得cos2α的值．【詳解】由三角函數(shù)的定義，r，可得：sinα，可得：cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（）2．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15．設(shè)直三棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，且球的體積是，，，則此直三棱柱的高是______．【答案】【分析】設(shè)，由正弦定理列式求得是外接圓的半徑），結(jié)合球心到平面的距離等于側(cè)棱長(zhǎng)的一半，球的體積求解，即可得到直三棱柱的高．【詳解】設(shè)．，，于是是外接圓的半徑），．又球心到平面的距離等于側(cè)棱長(zhǎng)的一半，球的半徑為．球的體積為，解得．于是直三棱柱的高是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的外接球的表面積的求法與應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．16．若指數(shù)函數(shù)（且）與五次函數(shù)的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】依題意方程有兩個(gè)不同的解，兩邊取對(duì)數(shù)可得，從而可轉(zhuǎn)化為與在圖象上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出的最值，從而得到，即可求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：指數(shù)函數(shù)（且）與五次函數(shù)的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，等價(jià)于方程有兩個(gè)不同的解．對(duì)方程兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得，即．因?yàn)?，所以，從而可轉(zhuǎn)化為與在圖象上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取到極大值，也是最大值，且最大值為．又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以．解得，即．故答案為：三、解答題17．銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角C的值；(2)若，D為AB的中點(diǎn)，求中線CD的范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)可得出，結(jié)合角為銳角可求得結(jié)果；（2）由余弦定理可得出，利用平面向量的線性運(yùn)算可得出，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得出，利用正弦定理結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍，可得出的取值范圍，即可得解【詳解】（1）由，，，，，．（2），，，由余弦定理有：，，所以，，由正弦定理，，，，，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以且，則，,則，．18．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1．（1）若直線PB與CD所成角的大小為求BC的長(zhǎng)；（2）求二面角B－PD－A的余弦值．【答案】(1)BC的長(zhǎng)為2;(2)二面角的余弦值為.【詳解】試題分析：（1）以為單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，利用空間向量夾角余弦公式列方程求解即可；（2）分別求出平面PBD與平面PAD的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結(jié)果.試題解析：解：（1）以{}為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz．因?yàn)锳P＝AB＝AD＝1，所以A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．設(shè)C(1，y，0)，則＝(1，0，－1)，＝(－1，1－y，0)．因?yàn)橹本€PB與CD所成角大小為，所以|cos＜，＞|＝||＝，即，解得y＝2或y＝0（舍），所以C(1，2，0)，所以BC的長(zhǎng)為2．（2）設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為＝(x，y，z)．因?yàn)椋?1，0，－1)，＝(0，1，－1)，則即令x＝1，則y＝1，z＝1，所以＝(1，1，1)．

因?yàn)槠矫鍼AD的一個(gè)法向量為＝(1，0，0)，所以cos＜，＞＝

所以，由圖可知二面角B－PD－A的余弦值為．19．濰坊市為切實(shí)保障疫情防控期間全市食品質(zhì)量安全，采取食品安全監(jiān)督抽檢和第三方托管快檢室相結(jié)合的方式，全面加強(qiáng)食品安全檢驗(yàn)檢測(cè)據(jù)了解，灘坊市市場(chǎng)監(jiān)管部門(mén)組織開(kāi)展對(duì)全市部分生產(chǎn)企業(yè)、農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)、大型商超、餐飲服務(wù)場(chǎng)所生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)的小麥粉、大米、食用油、調(diào)味品、肉制品、乳制品等與人民群眾日常生活關(guān)系密切且消費(fèi)量大的食品進(jìn)行監(jiān)督抽檢組織抽檢400批次，抽檢種類(lèi)涵蓋8大類(lèi)31個(gè)品種全市各快檢室快檢60209批次，其中不合格53批次．某快檢室在對(duì)乳制品進(jìn)行抽檢中，發(fā)現(xiàn)某品牌乳制品質(zhì)量不合格，現(xiàn)隨機(jī)抽取其5個(gè)批次的乳制品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，已知其中有1個(gè)批次的乳制品質(zhì)量不合格下面有兩種檢測(cè)方案：方案甲：逐批次進(jìn)行檢測(cè)，直到確定質(zhì)量不合格乳制品的批次；方案乙：先任取3個(gè)批次的乳制品，將他們混合在一起檢測(cè)．若結(jié)果不合格，則表明不合格批次就在這3個(gè)批次中，然后再逐個(gè)檢測(cè)，直到能確定不合格乳制品的批次；若結(jié)果合格，則在另外2批次中，再任取1個(gè)批次檢測(cè)．（1）方案乙中，任取3個(gè)批次檢測(cè)，求其中含有不合格乳制品批次的概率；（2）求方案甲檢測(cè)次數(shù)X的分布列；（3）判斷哪一種方案的效率更高，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析；（3）方案乙的效率更高．理由見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意即可求解；（2）先求出的可能取值，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而可以求解；（3）設(shè)方案乙的檢測(cè)次數(shù)為，求出的可能取值，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，再求出方案甲和乙的數(shù)學(xué)期望，比較大小即可求解．【詳解】解：（1）由方案乙可知含有不合格乳制品批次的概率，（2）依題意知檢測(cè)次數(shù)的可能取值為1，2，3，4，，，，，故方案甲檢測(cè)次數(shù)的分布列為：1234（3）設(shè)方案乙檢測(cè)次數(shù)為，則的可能取值為2，3．當(dāng)時(shí)的情況為先檢測(cè)3個(gè)批次為不合格，再?gòu)闹兄鹨粰z測(cè)時(shí)，恰好1次檢測(cè)出，或先檢測(cè)3個(gè)批次為合格，再?gòu)钠渌?個(gè)批次中取出1個(gè)批次檢測(cè)．則，所以．故方案乙檢測(cè)次數(shù)的分布列為：23，則，因?yàn)?，所以方案乙的效率更高?0．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，B是圓上的動(dòng)點(diǎn)，的最大值為6.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率為的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作直線與拋物線C交于點(diǎn)M，N，設(shè)，直線EM，EN與直線分別交于點(diǎn)P，Q，求證：點(diǎn)P，Q到直線的距離相等.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】(1)利用圓的性質(zhì)可得，再列式計(jì)算作答.(2)設(shè)出直線的方程，與拋物線C的方程聯(lián)立，設(shè)出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，由直線EM，EN與直線的方程聯(lián)立求出點(diǎn)P，Q縱坐標(biāo)關(guān)系推理作答.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，圓的圓，半徑1，依題意，的最大值為，解得，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由已知，直線的方程為，即，顯然直線的斜率存在，設(shè)其方程為，由消去y并整理得：，而，設(shè)，，則，，當(dāng)直線EM和EN的斜率均存在時(shí)，直線EM的方程為，令點(diǎn)，由得：，令點(diǎn)，同理可得，因此，，而，于是得點(diǎn)G是線段PQ的中點(diǎn)，又點(diǎn)G在直線上，因此，點(diǎn)P，Q到直線的距離相等，當(dāng)直線EM的斜率不存在時(shí)，，直線EM的方程為，直線的方程為，此時(shí)，，點(diǎn)，直線EN的方程為：，點(diǎn)，而點(diǎn)，于是得點(diǎn)G是線段PQ的中點(diǎn)，同理，當(dāng)直線EN的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)G也是線段PQ的中點(diǎn)，則點(diǎn)P，Q到直線的距離相等，所以點(diǎn)P，Q到直線的距離相等.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及動(dòng)直線與圓錐曲線相交滿足某個(gè)條件問(wèn)題，可設(shè)出直線方程，再與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理并結(jié)合已知推理求解.21．已知函數(shù)（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，記較小的實(shí)數(shù)根為，求證：【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（3）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)得切線斜率，再由點(diǎn)斜式可得解；（2）由，分和兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）分析可得要證，，令，利用導(dǎo)數(shù)證得，即可得證．【詳解】（1），，，，所以在點(diǎn)處的切線方程為，整理得：，（2）函數(shù)定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，此時(shí)在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，綜上：時(shí)，在上單調(diào)遞增時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（3）證明：由（2）可知，當(dāng)時(shí)，才有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且，則要證，即證，即證，而，則，否則方程不成立），所以即證，化簡(jiǎn)得，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以（1），而，所以，所以，得證．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是通過(guò)證明即可得解，分析函數(shù)在極小值左側(cè)的單調(diào)性，關(guān)鍵再由證明，利用構(gòu)造函數(shù)的方法即可.22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線：，曲線：(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（1）求曲線，的極坐標(biāo)方程：（2）射線：(，)分別交曲線，于，兩點(diǎn)，求的最大值.【答案】（1）：，：；（2）最大值為.【分析】（1）直接利用轉(zhuǎn)