2022屆高三數(shù)學一輪復習基礎導航1相互獨立事件同時發(fā)生的概率

相互獨立事件同時發(fā)生的概率【考綱要求】1、理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單的應用.2、了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題.【基礎知識】（1）相互獨立事件的概率1．相互獨立事件的定義：設A,B為兩個事件，如果P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B相互獨立）若與是相互獨立事件，則與，與，與也相互獨立2．相互獨立事件同時發(fā)生的概率：一般地，如果事件相互獨立，那么這個事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即．（2）獨立重復試驗1獨立重復試驗的定義：指在同樣條件下進行的，各次之間相互獨立的一種試驗2．獨立重復試驗的概率公式：一般地，如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是，那么在次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生次的概率．它是展開式的第項3.離散型隨機變量的二項分布:在一次隨機試驗中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在次獨立重復試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)是一個隨機變量．如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是，那么在次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生次的概率是，（）．正好是二項式的展開式的第項。所以記作～，讀作服從二項分布，其中為參數(shù).（3）溫馨提示1、互斥事件和相互獨立事件的區(qū)別：兩事件互斥是指同一次試驗中不能同時發(fā)生，兩事件相互獨立是指不同試驗下，二者互不影響；兩個相互獨立事件不一定互斥，即可能同時發(fā)生，而互斥事件不可能同時發(fā)生。2、判斷一個隨機變量是否服從二項分布，要看兩點：①是否為次獨立重復試驗；②隨機變量是否是在這次獨立重復試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)?！纠}精講】例1對貯油器進行8次獨立射擊，若第一次命中只能使汽油流出而不燃燒，第二次命中才能使汽油燃燒起來．每次射擊命中目標的概率為，求汽油燃燒起來的概率．解：使汽油燃起來至少需要在這8次射擊中有2次命中，故其概率為：例2如圖，已知電路中4個開關閉合的概率都是，且是互相獨立的，求燈亮的概率解：證A、B、C、D這4個開關閉合分別為事件A，B，C，D，記A與B至少有一個不閉合為事件E，則．亮燈的概率為P，則．相互獨立事件同時發(fā)生的概率強化訓練【基礎精練】1．甲乙兩名計算機人員分別獨立破譯某一網(wǎng)站的登尋密碼，他們破譯成功的概率分別為eq\f(1,10)，eq\f(3,10)，則該登尋密碼被破譯的概率為()\f(7,10) \f(37,100)\f(9,10) \f(63,100)2．某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為eq\f(4,5)，那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是()\f(16,625) \f(96,625)\f(192,625) \f(256,625)3．從編號為1,2，…，10的10個大小相同的球中任取4個，則所取4個球的最大號碼是6的概率為()\f(1,84) \f(1,21)\f(2,5) \f(3,5)4．在中山路上的A，B，C三處設有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時間分別為25秒，35秒，45秒，某輛車在中山路上行駛，則在三處都不停車的概率是()\f(25,192) \f(35,576)\f(25,576) \f(35,192)5．設兩個獨立事件A和B都不發(fā)生的概率為eq\f(1,9)，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率P(A)是()\f(2,9) \f(1,18)\f(1,3) \f(2,3)6．位于坐標原點的一個質點P按下述規(guī)則移動：質點每次移動一個單位；移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是eq\f(1,2)，質點P移動五次后位于點(2,3)的概率是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3 B．Ceq\o\al(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5C．Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3 D．Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))57．設有兩臺自動化機床，第一臺在一小時內(nèi)不需要工人照看的概率為，第二臺在一小時內(nèi)不需要工人照看的概率為，那么在一小時內(nèi)兩臺機床都不需要工人照看的概率為________．8．2個籃球運動員在罰球時投球的命中率分別為和，每人投籃3次，則2人都恰好進2球的概率為_______________________________________．9．接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應的概率為.現(xiàn)有5人接種該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應的概率為________．(精確到10．某項選拔共有四輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為eq\f(4,5)、eq\f(3,5)、eq\f(2,5)、eq\f(1,5)，且各輪問題能否正確回答互不影響．(1)求該選手進入第四輪才被淘汰的概率；(2)求該選手至多進入第三輪考核的概率．(注：本小題結果可用分數(shù)表示)11．排球比賽的規(guī)則是5局3勝制，A、B兩隊每局比賽獲勝的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(1,3).(1)前2局中B隊以2∶0領先，求最后A、B隊各自獲勝的概率；(2)求B隊以3∶2獲勝的概率．12．某工廠為了保障安全生產(chǎn)，每月初組織工人參加一次技能測試．甲、乙兩名工人通過每次測試的概率分別是eq\f(4,5)和eq\f(3,4).假設兩人參加測試是否通過相互之間沒有影響．(1)求甲工人連續(xù)3個月參加技能測試至少有1次未通過的概率；(2)求甲、乙兩人各連續(xù)3個月參加技能測試，甲工人恰好通過2次且乙工人恰好通過1次的概率；(3)工廠規(guī)定：工人連續(xù)2次沒通過測試，則被撤銷上崗資格．求乙工人恰好參加4次測試后被撤銷上崗資格的概率．【拓展提高】1.設有兩架高射炮，每一架擊中飛機的概率都是，試求同時射擊一發(fā)炮彈而命中飛機的概率是多少？又若一架敵機侵犯，要以的概率擊中它，問需要多少架高射炮？2.一個工人看管8部同一類型的機器，在一小時內(nèi)四部機器需要工人照看的概率等于，求下列事件的概率．求（1）一小時內(nèi)，8部機器中有4部需要工人照看；（2）一小時內(nèi)，需要工人照看的機器不多于6部．【基礎精練參考答案】1.B【解析】P＝1－(1－eq\f(1,10))(1－eq\f(3,10))＝1－eq\f(63,100)＝eq\f(37,100).2.B【解析】由獨立重復試驗的概率公式得P4(2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))2＝eq\f(96,625)，選B.3.B【解析】從10個球中任取4個球共有Ceq\o\al(4,10)種結果，最大號碼為6的4個球中，有3個球從1～5號5個球中任取共有Ceq\o\al(3,5)種結果，故其概率為eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,21)，故選B.4.D【解析】設這輛車在A，B，C處不停車(開放綠燈)的事件分別為A，B，C，根據(jù)題意得P(A)＝eq\f(25,60)＝eq\f(5,12)，P(B)＝eq\f(35,60)＝eq\f(7,12)，P(C)＝eq\f(45,60)＝eq\f(3,4)，又A，B，C相互獨立，故P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝eq\f(5,12)×eq\f(7,12)×eq\f(3,4)＝eq\f(35,192).5.D【解析】由題意，P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,9)，P(eq\x\to(A))·P(B)＝P(A)·P(eq\x\to(B))．設P(A)＝x，P(B)＝y(tǒng)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((1－x)(1－y)＝\f(1,9)，,(1－x)y＝x(1－y).))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x－y＋xy＝\f(1,9)，,x＝y(tǒng).))∴x2－2x＋1＝eq\f(1,9).∴x－1＝－eq\f(1,3)，或x－1＝eq\f(1,3)(舍去)．∴x＝eq\f(2,3).6.B【解析】如圖所示，P＝Ceq\o\al(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝Ceq\o\al(2,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5.7.【解析】設事件A表示“第一臺機床在一小時內(nèi)不需要工人照看”，事件B表示“第二臺機床在一小時內(nèi)不需要工人照看”．因為兩臺機床是相互獨立工作的，因此事件A，B是相互獨立事件，已知P(A)＝，P(B)＝，“在一小時內(nèi)兩臺機床都不需要工人照看”事件為A·B，則P(A·B)＝P(A)·P(B)＝×＝.8.0.19【解析】設“甲投球3次進2球”為事件A，“乙投球3次，進2球”為事件B，顯然事件A，B獨立；又P(A)＝Ceq\o\al(2,3)××(1－3－2，P(B)＝Ceq\o\al(2,3)××(1－3－2，∴2人都進2球的概率為P(A·B)＝P(A)·P(B)＝Ceq\o\al(2,3)×××Ceq\o\al(2,3)××≈.9.【解析】設出現(xiàn)發(fā)熱反應的人數(shù)為ξ：P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,5)××＝8，P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(4,5)××＝6，P(ξ＝5)＝Ceq\o\al(5,5)×＝68，∴P＝8＋6＋68＝08≈.10.【解析】記“選手進入第i輪”為事件Ai(1≤i≤4且i∈N*)，則事件Ai是相互獨立事件．(1)該選手進入第四輪才被淘汰的概率P1＝P(A1A2A3eq\x\to(A4))＝eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))＝eq\f(96,625).(2)該選手至多進入第三輪考核的對立事件是該選手進入第四輪考核且P(A4)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(24,125)，則該選手至多進入第三輪考核的概率P2＝1－eq\f(24,125)＝eq\f(101,125).11.【解析】(1)設最后A隊獲勝的概率為P1，最后B隊獲勝的概率為P2.則P1＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(2,3))3＝eq\f(8,27).P2＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(19,27)(或P2＝1－P1＝eq\f(19,27))．(2)設B隊以3∶2獲勝的概率為P3，則P3＝Ceq\o\al(2,5)(eq\f(1,3))3(eq\f(2,3))2＝eq\f(8,81).12.【解析】(1)記“甲工人連續(xù)3個月參加技能測試，至少有1次未通過”為事件A1，則P(A1)＝1－P(eq\x\to(A1))＝1－(eq\f(4,5))3＝eq\f(61,125).(2)記“連續(xù)3個月參加技能測試，甲工人恰好通過2次”為事件A2，“連續(xù)3個月參加技能測試，乙工人恰好通過1次”為事件B1，則P(A2)＝Ceq\o\al(2,3)·(eq\f(4,5))2·(1－eq\f(4,5))＝eq\f(48,125)，P(B1)＝Ceq\o\al(1,3)·(eq\f(3,4))·(1－eq\f(3,4))2＝eq\f(9,64)，故P(A2·B1)＝P(A2)·P(B1)＝eq\f(48,125)×eq\f(9,64)＝eq\f(27,500)