2021年全國中考數(shù)學(xué)試題分類匯編專題07一元二次方程及應(yīng)用

專題07一元二次方程及應(yīng)用

一、單選題

1.(2021年福建中考?)某市2018年底森林覆蓋率為63%.為貫徹落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理

念，該市大力開展植樹造林活動(dòng)，2020年底森林覆蓋率達(dá)到68%,如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率

為x,那么，符合題意的方程是()

A.0.63(1+x)=0.68B.0.63(1+x)2=0.68

C.0.63(14-2x)=0.68D.0.63(1+2x)2=0.68

【答案】B

【分析】

設(shè)年平均增長率為力根據(jù)2020年底森林覆蓋率=2018年底森林覆蓋率乘(1+力2,據(jù)此即可列方程求解.

【詳解】

解：設(shè)年平均增長率為x,由題意得：

0.63(1+%)2=0.68,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等式兩邊的平衡條件，列出方程即可.

2.(2021年海南中考)用配方法解方程/一6%+5=0,配方后所得的方程是()

A.(x+3)2=-4B.(x-3)2=-4C.(x+3)2=4D.(x-3)2=4

【答案】D

【分析】

直接利用配方法進(jìn)行配方即可.

【詳解】

解：x2—6x+5=0

x之-2x3x+3~=—5+3~

(x-3)2=4

故選：D.

【點(diǎn)睛】

1

本題考查了配方法，解決本題的關(guān)鍵是牢記配方法的步驟，本題較基礎(chǔ)，考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與

基本功等.

3.（2021年河南中考）若方程尤2_2%+機(jī)=0沒有實(shí)數(shù)根，則加的值可以是（）

A.-1B.0C.1D.百

【答案】D

【分析】

直接利用根的判別式進(jìn)行判斷，求出勿的取值范圍即可.

【詳解】

解：由題可知：

.,?（-2）2-4W<0,

m>\,

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程根的判別式，解決本題的關(guān)鍵是掌握當(dāng)“△<（）”時(shí)，該方程無實(shí)數(shù)根，本題較基

礎(chǔ)，考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解與掌握.

4.（2021年廣西玉林中考）已知關(guān)于x的一元二次方程：2x+〃?=o有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根斗，》2,

則（）

A.Xj+x2<0B.xtx2<0C.x,x2>-lD.xtx2<1

【答案】D

【分析】

根據(jù)題意及一元二次方程根的判別式可得4-4機(jī)>0,然后再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可進(jìn)行求

解.

【詳解】

解：?.?關(guān)于x的一元二次方程：%2-2%+加=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根玉，%，

二4—4機(jī)>0,解得：m<L

bc

，山韋達(dá)定理可得：玉+/=—=2>0,工］方——=根<1,

a

???只有D選項(xiàng)正確;

2

故選D.

【點(diǎn)

本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)

的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

5.（2021年山東聊城中考）關(guān)于x的方程/+4Ax+2A2=4的一個(gè)解是-2,則4值為（）

A.2或4B.0或4C.-2或0D.-2或2

【答案】B

【分析】

把產(chǎn)-2代入方程即可求得k的值；

【詳解】

解：將產(chǎn)-2代入原方程得到：2公-84+4=4，

解關(guān)于衣的一元二次方程得：依0或4,

故選:B.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了解一元二次方程相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，代入解求值是關(guān)鍵.

6.（2021年湖南懷化中考）對(duì)于一元二次方程2f-3x+4=0,則它根的情況為（）

A.沒有實(shí)數(shù)根B.兩根之和是3

C.兩根之積是-2D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

【答案】A

【分析】

先找出a=2/=-3,c=4,再利用根的判別式判斷根的情況即可.

【詳解】

解：2X2-3X+4=0

a=2,b=—3,c=4

；?-4ac=9-32=-23<0

???這個(gè)一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，故4正確、〃錯(cuò)誤.

xt*x2=—=2,故C錯(cuò)誤.

a

1。

玉+%2=--——，故6錯(cuò)誤.

a2

3

故選：A.

【點(diǎn)

本題考查一元二次方程根的情況、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、熟練掌握△<（）,一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根

是關(guān)鍵.

7.（2021年湖北荊州中考）定義新運(yùn)算“※”：對(duì)于實(shí)數(shù)加，"，P,q,有[m,p]※[/〃]=〃加+網(wǎng)，

其中等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算，如：[2,3]X[4,5]=2X5+3X4=22.若關(guān)于x的方程

卜2+1,可派[5-2幺曲=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則攵的取值范圍是（）

A.左<*且ZHOB.k<-C.且ZHOD.k>-

4444

【答案】C

【分析】

按新定義規(guī)定的運(yùn)算法則，將其化為關(guān)于x的一元二次方程，從二次項(xiàng)系數(shù)和判別式兩個(gè)方面入手，即可

解決.

【詳解】

解：打※[5~2左,幻=0,

二上（爐+1）+（5—2左）%=0.

整理得，米-+（5—2%）x+Z=0.

?.?方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

二判別式△?（）且

由AAO得，（5—24）2—4/20，

解得，％二.

4

二幺的取值范圍是女《』且上HO.

4

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了新定義運(yùn)算、一元二次方程的根的判別等知識(shí)點(diǎn)，正確理解新定義的運(yùn)算法則是解題的基礎(chǔ)，

熟知一元二次方程的條件、根的不同情況與判別式符號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.此類題目容易忽略

之處在于二次項(xiàng)系數(shù)不能為零的條件限制，要引起高度重視.

4

8.（2021年山東濟(jì)寧中考）已知優(yōu)，〃是一元二次方程￡+了一2021=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式

加2+2加+〃的值等于（）

A.2019B.2020C.2021D.2022

【答案】B

【分析】

根據(jù)一元二次方程根的定義得到4+機(jī)=2021，則利2+2利+〃=2021+m+〃，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到

m+n=-l,然后利用整體代入的方法計(jì)算.

【詳解】

解：是一元二次方程/+x一2021=0的實(shí)數(shù)根，

m2+〃7-2021=0，

***nr+m=2021,

m24-2m+n=m24-m+m+H=2021+m+n，

???〃?、〃是一元二次方程Y十1_2021=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

m+n=-\,

?e-m2+2m+n=2021—1=2020，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若汨，及是一元二次方程?2+取+c=o（axo）的兩根時(shí)，%+々=_2,

a

玉龍2=￡.也考查了一元二次方程的解.

a

9.（2021年黑龍江鶴崗中考）有一個(gè)人患了流行性感冒，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人患了流行性感冒，則

每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)是（）

A.14B.11C.10D.9

【答案】B

【分析】

設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，由題意可得1+%+元（1+%）=144,然后求解即可.

【詳解】

解：設(shè)每輪傳染中平均?個(gè)人傳染了x個(gè)人，由題意可得：

5

l+x+x（l+x）=144,

解得：%=11,々=一13（舍去），

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

10.（2021年內(nèi)蒙古通遼中考）隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，我國快遞業(yè)務(wù)量逐年增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)從2018年到2020

年，我國快遞業(yè)務(wù)量由507億件增加到833.6億件，設(shè)我國從2018年到2020年快遞業(yè)務(wù)量的年平均增長

率為x,則可列方程為（）

A.507（1+2x）=833.6B.507x2（1+%）=833.6

C.5O7（l+x）2=833.6D.5O7+5O7（i+x）+5O7（l+x）2=833.6

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意，業(yè)務(wù)量由507億件增加到833.6億件，2020年快遞業(yè)務(wù)量為833.6億件，逐年分析即可列出方

程.

【詳解】

設(shè)從2018年到2020年快遞業(yè)務(wù)量的年平均增長率為無

2018年我國快遞業(yè)務(wù)量為：507億件，

2019年我國快遞業(yè)務(wù)量為：507+507%=507（1+x）億件，

2020年我國快遞業(yè)務(wù)量為：507（1+x）+507（1+x）x=5O7（l+x）2,

根據(jù)題意，得：507（1+=833.6

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程.

11.（2021年內(nèi)蒙古通遼中考）關(guān)于x的一元二次方程12-（攵一3卜一女+1=0的根的情況，下列說法正確

的是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.無實(shí)數(shù)根D.無法確定

6

【答案】A

【分析】

先計(jì)算判別式，再根據(jù)一元二次方程根與判別式的關(guān)系即可得答案.

【詳解】

△=[-(A-3)]-4(-A+1)

=〃-6A+9+4A-4

=2+%

,/(A-1)，0,

二(A-1)，424,

二方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是根的判別式，對(duì)于一元二次方程a/+6廣圻0(aWO),判別式△=2/-4ac,當(dāng)△>?時(shí)，方程有

兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：當(dāng)△<。時(shí)一，方程無實(shí)數(shù)根.

12.(2021年湖南張家界中考)對(duì)于實(shí)數(shù)。力定義運(yùn)算“☆”如下：a^b=ab2-ab，例如

3^2=3x2?—3x2=6，則方程1☆x=2的根的情況為()

A.沒有實(shí)數(shù)根B.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

【答案】D

【分析】

本題根據(jù)題目所給新定義將方程1☆%=2變形為一元二次方程的一般形式，即成：2+床+c=o的形式，再

根據(jù)根的判別式△=〃-4ac的值來判斷根的情況即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意由方程2得：

尤2_x=2

整理得：X2-X-2=0

根據(jù)根的判別式A=I2-4xlx(-2)=9>0可知該方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題1：要考查/根的判別式，根據(jù)題目所給的定義對(duì)方程進(jìn)行變形后依據(jù)/的值來判斷根的情況，注意

7

△〉0時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；A=0時(shí)有一個(gè)實(shí)數(shù)根或兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；/<0時(shí)沒有實(shí)數(shù)根.

13.（2021年吉林長春中考）關(guān)于x的一元二次方程f-6x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則位的值可能

是（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】A

【分析】

先根據(jù)判別式>0,求出R的范圍，進(jìn)而即可得到答案.

【詳解】

解：?.?關(guān)于x的一元二次方程V-6x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

A=（—6）'—4xlxm>0,解得：m<9,

歷的值可能是：8.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一元二次方程根的判別式與根的情況的關(guān)系，掌握一元二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，則

A=—4ac>0>是解題的關(guān)鍵.

14.（2021年四川宜賓中考）若必、〃是一元二次方程/+3x-9=0的兩個(gè)根，則加2+4m+〃的值是（）

A.4B.5C.6D.12

【答案】C

【分析】

由于0、〃是一元二次方程/+3六9=0的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得葉FT,fflZP-9,而必是方程

的一個(gè)根，可得/+3勿-9=0,即，+3爐9,那么序+4/?+/F序+3"/+勿+〃，再把//+3加、加+〃的值整體代

入計(jì)算即可.

【詳解】

解：???〃、〃是一元二次方程產(chǎn)+3r9=0的兩個(gè)根，

/?+n--3,mn--9，

是步+3工~9=0的一個(gè)根，

...蘇+3wT=0,

：.5+3m=9,

/.z?2+4/H-n—rii-\-3///+nr\-/?=9+Gn+n)=9-3=6.

8

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程dV+"+c=O（aWO）兩根小、上之間

、bc

的關(guān)系：X\+A2=---,Xi?E二一.

aa

15.（2021年湖北襄陽中考?）隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，某制藥廠生產(chǎn)成本逐年下降.兩年前生產(chǎn)一噸藥的成本

是5000元，現(xiàn)在生產(chǎn)一噸藥的成本是4050元.設(shè)生產(chǎn)成本的年平均下降率為工，下面所列方程正確的是（）

A.5000（1+x）2=4050B.4050（1+x）2=5000

C.5000（1-%）2=4050D.4050（1-%）2=5000

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意找到對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系：2年前的生產(chǎn)成本X（1-下降率）J現(xiàn)在的生產(chǎn)成本，把相關(guān)的數(shù)據(jù)帶入計(jì)

算即可.

【詳解】

設(shè)這種藥品的成本的年平均下降率為x,根據(jù)題意得：

5000（1-X）2=4050

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能從題意中找到對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系.

16.（2021年山東荷澤中考）關(guān)于x的方程（左一1）2/+（24+1）%+1=0有實(shí)數(shù)根，則左的取值范圍是（）

A.k>—且ZHIB.k>—且上#1C.k>—D.k>—

4444

【答案】D

【分析】

根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根，利用根的判別式來求左的取值范圍即可.

【詳解】

解：當(dāng)方程為一元二次方程時(shí)，

???關(guān)于x的方程（4―1）2/+（2&+1）X+1=0有實(shí)數(shù)根，

9

22

/.A=(2Z:+l)-4x(A：-l)xl>0,且

解得，ZN，且

4

當(dāng)方程為一元一次方程時(shí)，k=\,方程有實(shí)根

綜上，k>-

4

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程方程的根的判別式，注意一元二次方程方程中。。0,熟悉一元二次方程方程的根

的判別式的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.(2021年山東臨沂中考)方程/-%=56的根是()

A.演=7,9=8B.%=7,x2=—8C.石=-7,x2=8D.%=-7,9=—8

【答案】C

【分析】

利用因式分解法解方程即可得到正確選項(xiàng).

【詳解】

解：**'x2-x=56?

???X2-X-56=O.

/.(x+7)(x-8)=0,

,'.x+7=0,尸8=0,

.".Xi=~7,尼=8.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解

化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，

這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了.

18.(2021年浙江麗水中考)用配方法解方程/+4%+1=0時(shí)，配方結(jié)果正確的是()

A.(X-2)2=5B.(x—2)2=3C.(x+2)2=5D.(x+2)2=3

【答案】D

10

【分析】

先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，然后把方程左邊利用完全平方公

式寫成平方形式即可.

【詳解】

解：+4x+l=0,

x2+4x———1<

：.x2+4x+4=-l+4>

(x+2)2=3,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用配方法對(duì)一元二次方程求解，解題的關(guān)鍵是：熟練運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行配方.

19.(2021年四川瀘州中考)關(guān)于x的一元二次方程V+2/加+利2一加=o的兩實(shí)數(shù)根也,滿足石々=2,

貝|］。：+2)(考+2)的值是()

A.8B.16C.32D.16或40

【答案】C

【分析】

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即韋達(dá)定理，先解得巾=2或%=-1,再分別代入一元二次方程中，

利用完全平方公式變形解題即可.

【詳解】

解：一元二次方程X?+2如；+加2=0

a-\,b=2m,c-m'-m

c2。

xx=—=m-m=2

12'a

〃，一m-2=0

/.(m-2)(m+l)=0

r.根=2或%=-1

當(dāng)，〃=2時(shí)，

原一元二次方程為V+4犬+2=0

11

%1+x=—=-2m=-4,

2a

2

（x；+2）（x；+2）=（無]x2了+2（x；+xl）+4,片+%；=（X|+x2）-2x,x2

22

（x：+2）（x；+2）=（xtx2）+2（X[+x2）-4X]x2+4

=2?+2x（-4y-4x2+4

=32

當(dāng)〃7=-l時(shí)，原一元二次方程為X2-2X+2=0

2）2-4xlx2=-4<0

原方程無解，不符合題意，舍去，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，韋達(dá)定理等知識(shí)，涉及解一元二次方程，是重要考點(diǎn)，難度較易，

掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

20.（2021年山東泰安中考）已知關(guān)于x的一元二次方程標(biāo)依2一。左一l）x+Z-2=O有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是（）

,1,1

A.k>——B.k<—

44

C.k>—且左。0D.k<—%。0

44

【答案】C

【分析】

由一元二次方程定義得出二次項(xiàng)系數(shù)4W0；由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得出“△>（）”，解這兩個(gè)不等式

即可得到A的取值范圍.

【詳解】

k手。

解：由題可得:

[-(2Z-1)]-4%(4-2)〉0

解得：女〉-,且%。（）；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，涉及到了解不等式等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能讀懂題意

并牢記一元二次方程的概念和根的判別式的內(nèi)容，能正確求出不等式（組）的解集等，本題時(shí)學(xué)生的計(jì)算

能力有一定的要求.

22021

21.（2021年四川南充中考）已知方程》2一202￡+1=0的兩根分別為%,%,則玉一一一的值為（）

冗2

A.1B.-1C.2021D.-2021

【答案】B

【分析】

根據(jù)一元二次方程解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系可得xj=2021%-1,=1，再代入通分計(jì)算即可求解.

【詳解】

:方程f一202lx+1=0的兩根分別為項(xiàng)，々，

.?.X：_2021玉+1=0,%1-x2=\,

X|"=2021X11,

,20212c,,2021202lx-x,-x20212021x1-x,-2021-x

/.%-----=202lx,-1------=-----!~=---2-------=----------=------=——-2=-1

x2x2x2x2x2x2

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練運(yùn)用一元二次方程解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系

是解決問題的關(guān)鍵.

22.（2021年四川涼山中考）函數(shù)＞6的圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程尤2+云+&_1=。的

根的情況是（）

13

A.沒有實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.無法確定

【答案】C

【分析】

根據(jù)一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限找出4、8的正負(fù)，再結(jié)合根的判別式即可得出△>(),由此即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：觀察函數(shù)圖象可知：函數(shù)尸加。的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，

：.k<0,b<0.

在方程d+hx+無一1=0中，

△=尸-4年-1)=從-必+4>0,

二一元二次方程V+法+左一1=o有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，根據(jù)一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限找出大。的正負(fù)是

解題的關(guān)鍵.

23.(2021年四川瀘州中考)直線/過點(diǎn)(0,4)且與y軸垂直,若二次函數(shù)

y=(x-a)2+(x-2a)2+(x-3a)2-2a2+a(其中x是自變量)的圖像與直線/有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且

其對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則a的取值范圍是()

A.a>4B.a>0C.0VaW4D.0<a<4

【答案】D

14

【分析】

由直線乙片4,化簡(jiǎn)拋物線>=3/-12^+12/+。，令3d一12ax+12/+a=4,利用判別式」

=一12。+48>0,解出。<4,由對(duì)稱軸在y軸右側(cè)可求a>0即可.

【詳解】

解：?.?直線/過點(diǎn)(0,4)且與y軸垂直，

直線1：片4,

y—(x-a)~+(x-2a)-+(x—3a)—-2ci~+a=3x~-12ax+1+ci)

:.3x2-I2ax+12a2+a=4>

?.?二次函數(shù)y=(x-a>+(x—2a>+(x-3a)2-2a2+。(其中x是自變量)的圖像與直線/有兩個(gè)不同

的交點(diǎn)，

A=(-12a)--4X3X(12Q2+a-4),

=-12a+48>0,

av4,

又?對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，

-12a—12a

x=--------=---------=2a>(),

2x36

a>0.

；.0<a<4.

故選擇〃

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)與直線的交點(diǎn)問題，拋物線對(duì)稱軸，一元二次方程兩個(gè)不等實(shí)根，根的判別式，掌握二

次函數(shù)與宜線的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程實(shí)根問題，根的判別式，拋物線對(duì)稱軸公式是解題關(guān)鍵.

24.(2021年四川廣安中考)關(guān)于》的一元二次方程(。+2)9-3%+1=0有實(shí)數(shù)根,則。的取值范圍是()

11

<-a<-

A.ci<一且aH—2B.ci<一C.4D.4

44

【答案】A

【分析】

根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到”2/0且△》()，然后求出兩不等式的公共部分即可.

【詳解】

15

解：??,關(guān)于X的一元二次方程(a+2)f-3尤+1=0有實(shí)數(shù)根，

???△20且a+2#0,

.??(-3)2-4(A2)X120且於2N0,

解得：aW—且8力-2,

4

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根的判別式：一元二次方程af+Zu+c=0(aWO)的根與△="-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)A〉。時(shí)，方

程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<()時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.

25.(2021年湖南邵陽中考)在平面直角坐標(biāo)系中，若直線>=一%+機(jī)不經(jīng)過第一象限，則關(guān)于x的方程

如2+%+1=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.1或2個(gè)

【答案】D

【分析】

直線y=-x+m不經(jīng)過第一象限，則折0或m<0,分這兩種情形判斷方程的根.

【詳解】

?.?直線y=-%+m不經(jīng)過第一象限，

//7=0或m<0,

當(dāng)以=0時(shí)，方程變形為盧1=0,是一元一次方程，故有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

當(dāng)"/<0時(shí)，方程/Ti*+x+l=0是一元二次方程，且△=Z?2—4ac=l—4〃z，

V/?<0,

；.-4旎>0,

.,.△>0,

故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

綜上所述，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根或兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)圖像的分布，一元一次方程的根，一元二次方程的根的判別式，準(zhǔn)確判斷圖像不過第

16

一象限的條件，靈活運(yùn)用根的判別式是解題的關(guān)鍵.

26.（2021年四川眉山中考）已知一元二次方程d-3x+1=0的兩根為X],々，則大；一5占一2%的值為（）

A.-7B.-3C.2D.5

【答案】A

【分析】

根據(jù)一元二次方程根的定義，得X：-3玉+1=0,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得再+超=3,進(jìn)而即可求解.

【詳解】

解：：一元二次方程-一3》+1=0的兩根為不，々，

芭2—3芭+1=0,即：X|23X1=-1,X|+X2-3>

/.X；一5%-2々-x；-3%-2（占+X2）=-1-2X3=-7.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一元二次方程根的定義以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握依2+法+0=0（aWO）的兩根為國，

bc

工2，則工1+5二，玉X,二一,是解題的關(guān)鍵.

a~a

27.（2021年浙江杭州中考）已知必和力均是以x為自變量的函數(shù)，當(dāng)》=加時(shí)，函數(shù)值分別為和A/2,

若存在實(shí)數(shù)機(jī)，使得+加2=°，則稱函數(shù)3和為具有性質(zhì)P-以下函數(shù)M和為具有性質(zhì)尸的是（）

A.必=/+2x和必=f-l

B.弘=x?+2x和%=-%+1

C.y=——和必=一工一1

x

D.y=_l和%=_%+]

【答案】A

【分析】

根據(jù)題中所給定義及一元二次方程根的判別式可直接進(jìn)行排除選項(xiàng).

【詳解】

17

解：當(dāng)》=加時(shí)，函數(shù)值分別為M］和加2,若存在實(shí)數(shù)機(jī)，使得"1+加2=0，

對(duì)于A選項(xiàng)則有根2+加一1=0，由一元二次方程根的判別式可得：。2一46憶、=1+4=5>0,所以存在實(shí)

數(shù)如故符合題意；

對(duì)于B選項(xiàng)則有??+加+1=0，由一元二次方程根的判別式可得：/_4ac=l—4=—3<0,所以不存在

實(shí)數(shù)例故不符合題意；

對(duì)于C選項(xiàng)則有—,―加―1=0,化簡(jiǎn)得：加2+根+1=0,由一元二次方程根的判別式可得：

m

/?2一4〃0=1一4=一3〈0，所以不存在實(shí)數(shù)/〃，故不符合題意；

對(duì)于D選項(xiàng)則有----加+1=0,化簡(jiǎn)得：根2_加+1=0,由一元二次方程根的判別式可得：

m

b2-4ac=1-4=-3<0-所以不存在實(shí)數(shù)加，故不符合題意；

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程根的判別

式、二次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

28.（2021年浙江臺(tái)州中考）關(guān)于x的方程尸4入+卯=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則小的取值范圍是（）

A.m>2B.m<2C.m>4D.m<4

【答案】D

【分析】

根據(jù)方程f-4x+必=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得A=（-4）2-4xlxm>0,進(jìn)而即可求解.

【詳解】

解：；關(guān)于x的方程V-4x+w=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

二△=（T）2—4xlx/〃>0,解得：/n<4,

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握af+6x+c=0（ar。）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則判別

式大于零，是解題的關(guān)鍵.

29.（2021年云南中考）若一元二次方程℃2+2彳+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()

18

A.a<\B.a<\C.aWl且a*0D.。<1且

【答案】D

【分析】

根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到a#0且△=2J4a>0,然后求出兩不等式的公共部分即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意得aKO且△=22-4a>0,

解得a<l且a#0.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根的判別式：一元二次方程af+6戶c=0(aWO)的根與△=^-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方

程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<()時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.

二、填空題

30.(2021年江蘇連云港中考)已知方程3x+Z=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則%=—,

9

【答案】一

4

【詳解】

試題分析：???尤2-3%+左=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

.?.△=0,

,,.9-4k=0,

9

?>k=—.

4

9

故答案為一.

4

考點(diǎn)：根的判別式.

31.(2021年四川成都中考)若山，〃是一元二次方程》2+2%一1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則加2+4加+2〃的值

是.

【答案】-3.

【分析】

先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到“2+2加—1=0,則加2+2m=一1，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出

m+n=-2,再將其代入整理后的代數(shù)式計(jì)算即可.

19

【詳解】

解：.?,勿，〃是一元二次方程f+2x_l=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

?**m2+2m-1=0，m+n=-2

府+2m=-1，

?**m2+4加+2〃

-ITT+2m+2m+2z7

=1+2X(-2)

=-3

故答案為：-3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若不巧是一元二次方程以+c=O(awO)的兩根時(shí)'

bc

X+X=--,西工2二一，也考查了一元二次方程的解.

12aa

32.(2021年浙江麗水中考)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小云和小王在討論張老師出示的一道代數(shù)式求值問題:

ba

已知實(shí)數(shù)同時(shí)滿足〃+2。=匕+2,b2+2b=a+2,求代數(shù)式一+一的值.

ab

結(jié)合他們的對(duì)話，請(qǐng)解答下列問題：

(1)當(dāng)a=b時(shí)，a的值是.

(2)當(dāng)標(biāo)匕時(shí)，代數(shù)式2的值是____________.

ab

【答案】—2或17

【分析】

(1)將a=b代入〃+2a=b+2解方程求出。，。的值，再代入從+2b=a+2進(jìn)行驗(yàn)證即可;

(2)當(dāng)〃6時(shí)，求出a+A+3=O,再把2+f通分變形，最后進(jìn)行整體代入求值即可.

ab

【詳解】

20

。~+2。=。+2①

解：已知42…，實(shí)數(shù)"，b同時(shí)滿足①，②,

白+2b=a+2②

①-②得，Y一〃、3。-38=0

3-/?)(〃+力+3)=0

，〃一/?=()或。+〃+3=0

①+②得，cr+/?2=4-a-h

(1)當(dāng)a=b時(shí)，將。=力代入a?+2。=/?+2得,

+。-2=0

解得，4=1,=-2

a2

/.4=1,=-2

b2

把。=人=1代入＞2+2/?=a+2得，3=3,成立；

把々=人二一2代入〃2+如=〃+2得，0二0,成立；

,當(dāng)。二。時(shí)，a的值是1或-2

故答案為：1或-2；

(2)當(dāng)b時(shí)，則a+Z?+3=O,即〃+/?=—3

cr+b1=4-a-b

:.a2^b2=l

/.(a+b)2=a2+2ab+b2=9

ab=\

.ba。2+。27.

??—l——■------=-=7

abab1

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代數(shù)式的值和分式的運(yùn)算等知識(shí)，熟

練掌握運(yùn)算法則和乘法公式是解答此題的關(guān)鍵.

33.(2021年江蘇南京中考)設(shè)屬,%是關(guān)于x的方程為2一3%+左=。的兩個(gè)根，且罰=2々，則無=.

【答案】2

【分析】

21

先利用根與系數(shù)的關(guān)系中兩根之和等于3,求出該方程的兩個(gè)根，再利用兩根之積得到4的值即可.

【詳解】

解：由根與系數(shù)的關(guān)系可得：百+尤2=3,X/X2=k,

"：%=2X2,

**?3%2=3,

%2]，

?*.X]=2,

左=1x2=2;

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是牢記公式，即對(duì)于一元二次方程

ax2+bx+c=O(a^O),其兩根之和為上,兩根之積為￡.

aa

34.(2021年湖北十堰中考)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、6,定義一種運(yùn)算：a③b=/+〃一，^%0(x-l)=3,

則x的值為

【答案】一1或2

【分析】

根據(jù)新定義的運(yùn)算得到—l)=f+(x—I1—x(x—1)=3,整理并求解一元二次方程即可.

【詳解】

解：根據(jù)新定義內(nèi)容可得：X0(X-1)=X2+(%-1)2-X(X-1)=3,

整理可得/一》-2=0，

解得%=—],X；=2,

故答案為：一1或2.

【點(diǎn)睛】

本題考查新定義運(yùn)算、解一元二次方程，根據(jù)題意理解新定義運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

35.(2021年青海中考)已知加是一元二次方程V+》一6=0的一個(gè)根，則代數(shù)式加之+m的值等于_____.

【答案】6

22

【分析】

利用一元二次方程的解的定義得到/+中6即可.

【詳解】

解：：m為一元二次方程12+%一6=0的一個(gè)根.

；./+m~6=0,

.".rtf+爐6,

故答案為6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.

36.（2021年江西中考）已知凡,工?是一元二次方程?-4%+3=0的兩根，則玉+%-%工2=_

【答案】1

【分析】

直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.

【詳解】

解：%,,々是一元二次方程*2一4%+3=0的兩根，

/.西+々

=4,XyX2=3,

:.Xj+x2-xtx2=4-3=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，若不、馬是方程"2+法+。=0（。。0）的兩根，則

bc

%+W=，%X2=一?

a-a

37.（2021年上海中考）若一元二次方程2/—3x+c=O無解，則c的取值范圍為.

9

【答案】c>一

8

【分析】

根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義得到△=（-3）2-4X2C<0,然后求出。的取值范圍.

【詳解】

23

解：關(guān)于X的一元二次方程2%2_3x+c=0無解，

:=2,/?=—3?c=c,

△=/-4ac=(-3『-4x2c<0，

9

解得c>w，

8

.?.c的取值范圍是c>?9.

8

9

故答案為：c>—.

8

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程af+8底片0(aWO)的根的判別式△="-4ac：當(dāng)△>(),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根；當(dāng)△=(),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<(),方程沒有實(shí)數(shù)根.

38.(2021年四川廣安中考)一個(gè)三角形的兩邊長分別為3和5,第三邊長是方程/-6k8=0的根，則三角

形的周長為.

【答案】12

【分析】

先求方程X2-6X+8=0的根，再由二角形的三邊關(guān)系確定出三角形的第三邊的取值范圍，即可確定第三邊的長,

利用三角形的周長公式可求得這個(gè)三角形的周長.

【詳解】

三角形的兩邊長分別為3和5,二5-3(第三邊<5+3,即2V第三邊<8,

又?.?第三邊長是方程--6x+8=0的根，，解之得根為2和4,2不在范圍內(nèi)，舍掉，

二第三邊長為4.即勾三股四弦五，三角形是直角三角形.

...三角形的周長:3+4+5=12.

故答案為12.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解一元二次方程和三角形的三邊關(guān)系.屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)重點(diǎn)掌握.

39.(2021年甘肅武威中考)已知關(guān)于x的方程/一2》+加=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是.

【答案】1

【詳解】

試題分析：根據(jù)一元二次方程根的判別式，可由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可的△=bJ4ac=4-4m=0,解得m=l.

24

故答案為1.

考點(diǎn)：一元二次方程根的判別式

40.（2021年湖北鄂州中考）已知實(shí)數(shù)?！M足4^2++3|=0,若關(guān)于x的一元二次方程x2-ajc+b=O

11

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為王、超，則一+—=.

X\X2

【答案】一：2

【分析】

11X,+X.

根據(jù)非負(fù)性求得不。的值，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求得須+%、%%，代入一+一二」~~1求

解即可.

【詳解】

解：?.?實(shí)數(shù)〃、力滿足疝五+他+3|=0,

/.a-2=0,從3=0,

解得：SF2,ZF-3,

???X2-2X-3=0-

二?一元二次方程/一2》一3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為X、々，

/.X,+X2=2,x,x2=-3,

...iJ_二,

?'X]x2xtx23'

……2

故答案為：-7.

【點(diǎn)睛】

本題考查代數(shù)式求值、二次根式被開方數(shù)的非負(fù)性、絕對(duì)值的非負(fù)性、一元二次方程根與系數(shù)，熟練掌握

非負(fù)性和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解答的關(guān)鍵.

41.（2021年黑龍江綏化中考）己知〃?，〃是一元二次方程丁-3》-2=0的兩個(gè)根，則工+工=.

tnn

3

【答案】一二

2

【分析】