高考數(shù)學(xué)必考點(diǎn)解題方法秘籍求異思維理

2014高考理科數(shù)學(xué)必考點(diǎn)解題方法秘籍：求異思維

所謂求異思維是一種不依常規(guī)、尋求變異、從多方面探索答案的思維形式.求異思維又叫發(fā)

散思維，它具有不落俗套、標(biāo)新立異、不拘一格的特點(diǎn).因此，用求異思維解題有利于培養(yǎng)

思維的多向性、靈活性和獨(dú)特性.

在平面解析幾何中，培養(yǎng)學(xué)生的求異思維能力，要注意以下幾個(gè)方面.

(一)變換思維方向

解證解析幾何習(xí)題，常常會(huì)出現(xiàn)“思路自然、運(yùn)算麻煩”的局面，甚至?xí)健吧礁F水盡疑無(wú)

路”的地步.這時(shí)，若能變換思維角度，多方位思考，多渠道辟?gòu)?，就?huì)超過(guò)思維障礙，呈

現(xiàn)“柳暗花明又一村”的美景.

例1已知點(diǎn)A(l,-1)、B(7,2),以A為圓心、8為半徑作。A,以B為圓心，6為半徑作。

B,求這兩個(gè)圓外公切線交點(diǎn)P的坐標(biāo).

【分析】如圖1—4.解本題的自然思路是，先求出兩條外公切線的方程，再解方程求出交

點(diǎn)坐標(biāo).但這種解法是入手容易出手難，由于運(yùn)算量過(guò)大，使思維陷入困境.如果能換一個(gè)

角度思考，聯(lián)想到公切

線的交點(diǎn)石羞心線上，BPP.B.AH點(diǎn)共線，且黑即兩制車

|rA|o4

徑之比)，那么便可用線段定比分點(diǎn)公式，使問(wèn)題獲得巧解.

【解】如圖1—4,設(shè)MN是一條外公切線與兩個(gè)圓的切點(diǎn)，連結(jié)AB、BP,則A、B、P三

點(diǎn)共線，再連結(jié)AM、BN,則AM_LMP、BN±MP.

二BN/7AM.

從而翳降2

-B-P---一一3

PA4'

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則由線段定比分點(diǎn)公式，得

3

7-7Xl

B=------^—=25,

1-4

3.

2-7X(-D

4=11.

13

A

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(25,11).

例2如圖1—5,直線y=kx+b與圓x2+y2=l交于B、C兩點(diǎn)，與雙曲線x2-y2=l交于A、D

兩點(diǎn)，若B、C恰好是線段AD的三等分點(diǎn)，求k與b的值.

【分析】如圖1—5,解本題的自然思路是，由|AB|=|BC|=|CD|入手,先計(jì)算出|AB|、|BCL

|CD|(即用k、b表示)，然后解方程組求得k、b的值.但由于線段AB、CD的端點(diǎn)不在同一曲

線上，從而上述解法運(yùn)算相當(dāng)麻煩.如果變換思考角度，由|AB|=|CD］出發(fā)，可得線段BC與

AD的中點(diǎn)重合，進(jìn)而可用韋達(dá)定理，列出k、b的一個(gè)關(guān)系式，再

由|Bq=w|AD|,可求出k.曲值.

【解】如圖1—5,把丫=1?+1)代入x2-y2=l中，整理，得

(l+k2)x2+2bkx+b2-l=0

①

從而由韋達(dá)定理，得

2bk

把y=kx+b代入x2-y2=l中，整理，得

(l-k2)x2-2bkx-(b2+l)=0

②

42bk

-

,/|AB|=|CD|,

AD與BC的中點(diǎn)重點(diǎn).

■十

22

bkbk

V

解之,得k=0或b=0.

當(dāng)k=0時(shí),方程①化為x2=l-b2,

”土71-b\TJl|Bq=2Vt-ba.

為1=1+bl二工=土Jl+bL

于鄧D[=2jl+bL

1-------2/-------

由已知.制Bq=q|j叫，

解之,斜=士竿.

國(guó)電當(dāng)b=08t士等.

故k=0,b=t或上=~b=0.

(二)一題多解

在解析幾何中，進(jìn)行一題多解訓(xùn)練是培養(yǎng)求異思維能力的一種極好形式.

例3已知直線1過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，若點(diǎn)A(-l,

0)和點(diǎn)B(0,8)關(guān)于1的對(duì)稱點(diǎn)都在C上，求直線1和拋物線C的方程.(1994年全國(guó)高考理

科試題)

【分析1】設(shè)直線1的方程為y=kx,拋物線C的方程為y2=2px(p>0),先求出A、B關(guān)于1

對(duì)稱的點(diǎn)A，、B，的坐標(biāo)(用k表示)，再代入拋物線C的方程中，可得k、p的方程組，最后

解方程組即可.

【解法1】如圖1-6.由已知可設(shè)拋物線C的方程為

y2=2px(p>0).

圖1-6

由于直線1不與兩坐標(biāo)軸重合，故可設(shè)1的方程為

y=kx(kW0).①

設(shè)A'、B'分別是A、B關(guān)于1的對(duì)稱點(diǎn)，則由A'A_L1可得直線AA'的方程為

y=-^-(B+1)②

將①、②聯(lián)立，解得線段AA'的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為

(一備尸卻，

于是，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式.可待點(diǎn)A,的坐標(biāo)為《占「言

同理，點(diǎn)B，的坐標(biāo)為(黑.蕓苦).

分別把A'、B'的坐標(biāo)代入拋物線C的方程中，得

8(k'-Dp2p-16k&

l-pTFfTTF?

由③?④，消去P,整理，得

k2-k-l=0.

⑤

又由④知k>

0.

⑥

TJW?.?,轆=竽?

牲=警長(zhǎng)3中，得

24

P=-'

故直韁的方程為7="*.據(jù)物線或方程為

/="

y5

【分析2】m1-7,設(shè)直線1的傾斜角為a,則1的斜率為

k=iga.由對(duì)需性抑/A，8,=3，從而利用三角商數(shù)的定義，可

用a的三角函數(shù)表示點(diǎn)A'、B'的坐標(biāo)，再把這些坐標(biāo)用k表示，以下同解法1.

圖1-7

趙蹌21JMt-7,設(shè)直綢的旗角為ag#。/8,剜

1的斜率為k.

V|0A,|=|OA|=1,

|OBZ|=|0B|=8,ZxOAf=-(n-2a),

”,兀兀n

/xOB'=--2(—-a)=2a-->

???由三角函數(shù)的定義，得A'的坐標(biāo)為

xA=10A'IcosNxOA，=-cos2a,

l-tg2aka-1

yA=|OA'|sinZxOAz=-sin2a

2tga2k

16k

/

zB弓OB，|cos^sOB=8sin2a=[十,.

77

7B=fOBlanZsOB=8(c<?2a)=-

以下同解法1,從略.

S帕1irtHi-7,設(shè)/1OB，=e,?ZiOAf=8

又|0B'1=8,|0A'1=1,從而此題可設(shè)極坐標(biāo)方程去解.

【解法3】如圖1-7,以0為極點(diǎn)，0x為極軸建立極坐標(biāo)系，把X=pcos。代入方程y2=2px(p

>0)中，得拋物線的坐標(biāo)方程為

2pco.8

(P>嘰

P=sin'0

由已知可設(shè)點(diǎn)B'的極坐標(biāo)為(8,a)、A'的極坐標(biāo)為(1,

a-y),把它們分別13酬線方程中，得

'&>83a

?

sm1a°-8.

n

2pco<a--)

fa-y)

[pcosd=4in'a.

即<c

2pan^=co?3a.

稍異.15<g，a=Q.-,-Iga=T.

o2

又0<a<3，=4，83a

4J，

4ana2^5

從而P=-----7T---Z-.

cos。5

V直線1平分/BOB',

直線的1財(cái)府為0+5卜。）=知+當(dāng).

兀

1JTl?c8（a+虧）

于是直緝的斜板=蟠J（a+T）l=-------------/

或。*—）

1+疝曲赤+1

cosa2-"

故直線I的方程加="*,It物線充方程為力=華X.

期折經(jīng)Jtoffll-7,搬物縹河設(shè)其參數(shù)方程為卜"芋''.

卜-2pt

耕瞅,用：，ZptJ.B，（第，砧）（t1V0）,惠由|OA，|-L|OB1

=8,0Az±0Bz列出p、tl、t2的方程組，進(jìn)而去求解.

KM&4JJWB1-7.黜崢勃甥fc淵“*"產(chǎn),G>>Q）.

卜-2pt

.B，的坐標(biāo)可設(shè)為（2閨?率J.（第，砧）（如<0）.

V|0Az|=|0A|=l,|0Bz|=|0B|=8,

ft*：尸+（2^=1①

（2l申'+（W=*②

又由0A'_LOB',得kOA?kOB=T,

W舞,舞=』

閔戕人上龍整理，殺”之.

Xti<0.工11=-亨?

4M

把它代人①中，=ftp=竽.

這時(shí)，A，的坐標(biāo)為卓-喳.

從而x=|步,

=-J=￥.

K*JcN

故直線I的方程卻="*,拋物線或彼力/="￡

MJ

【分析5】如圖1-7,由于|0A，|=1,|OB'|=8,NA'

OB'二等，.可考啟用復(fù)雌去解.

【解法5]如圖1—7.把直角坐標(biāo)系視為復(fù)平面，設(shè)點(diǎn)A'

JI

對(duì)頤Mft為勺+力3爆由|OAr=L|OB"=8./A，OB，=—,

得點(diǎn)B'對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(xl+yli)8i=-8yl+8xli.

；.點(diǎn)A'、B'的坐標(biāo)為

(xl,yl)、(-8yl,8x1).

把它們分別代入拋物線C的方程y2=2px(p>0)中，得

y?=2px1①

&y=2p(與j②

由②+①,可鍬巧，=團(tuán)，=2

*1

即kOA'=-2,又|0A'|=1,

42后

?■7?了.71--j--

再代入①中，癡=竽.

以下同解法4,從略.

【分析6】本題也可以把拋物線的參數(shù)方程與復(fù)數(shù)法結(jié)合起來(lái)去解.

Oft法61irtHl-7,設(shè)AJB'的坐標(biāo)分別為0*：,2pQ.

(2^.剜由NA，OB'=%?.|OA?|=L|OB，|=8?復(fù)

數(shù)乘法的幾何意義，得

(2pt?+2ptli)a=2pt^+2ptai.

由復(fù)數(shù)相等的條件，得

1%：=2pta，

-I6pti=2pt^.

消去P，解得t2=2.

從而B'的坐標(biāo)為(8p,4p).

|OB'|=J(8p)+(4p)』,

.2

??

?.?線段BB'的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4p,2p+4),

雉=空?”■竽.

qpzpz

故宜縛的方程力廣挈*,Hi物線充方程加J絲M.

【分析7]在解法5中，利用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，發(fā)現(xiàn)了A'、B'坐標(biāo)之間的關(guān)系式,

從而獲得簡(jiǎn)解.如圖1—8,點(diǎn)B'與點(diǎn)A'的坐標(biāo)關(guān)系也可用平面幾何法得到.

【解法7】如圖1-8,作A'CLOx于C,B'DLOx于D.設(shè)A'、B'的坐標(biāo)分別為(xl,

yl)、(x2,y2).

ZB;OD+NA'0C=90°,

二RtAAzCOsRt/XODB'.

.|<?1|0D||B-D|

"|OA1|Aiqoc,

又|0A'|=1,|0B'|=8,

|OD|=8|A，C,|BZD=8OC.

于是x2=-8yLy2=8x1.

以下同解法5,從略.

【解說(shuō)】本例給出了七種解法.解法1是本題的?般解法，它的關(guān)鍵是求點(diǎn)A、B關(guān)于1的

對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).解法2是三角法，它

抓住/A'OB'=y,利用三角畫數(shù)的定義去事A'■B'的坐標(biāo).解

法3是極坐標(biāo)法，巧妙利用了A'、B'的特殊位置.解法4是利用拋物線的參數(shù)方程去解的.解

法5和解法7是從尋找A'、B'的坐標(biāo)關(guān)系式入手的，分別用復(fù)數(shù)法和相似形法獲解.解法

6把參數(shù)法與復(fù)數(shù)法結(jié)合起來(lái)，體現(xiàn)了思維的靈活性.總之，本例運(yùn)用了解析幾何的多種方法,

是對(duì)學(xué)生進(jìn)行求異思維訓(xùn)練的極好例題.

(三)逆向思維

在人們的思維活動(dòng)中，如果把A-B的思維過(guò)程看作正向思維的話，那么就把與之相反的思維

過(guò)程B-A叫做逆向思維.

在平常的學(xué)習(xí)中，人們習(xí)慣于正向思維，而不善長(zhǎng)逆向思維.因此，為了培養(yǎng)思維的多向性

和靈活性，就必須加強(qiáng)逆向思維訓(xùn)練.在解題遇到困難時(shí)，若能靈活地進(jìn)行逆向思維，往往

出奇制勝，獲得巧解.

在解析幾何中，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力，要注意逆用解析式的幾何意義、逆用曲線與方程的

概念和逆用圓錐曲線的定義.

例4設(shè)a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù),A={(x,y)|x=n,y=na+b,nGZ},B={(x,y)|x=m,y=3(m2+5),

meZ},C={(x,y)|x2+y2W144}是平面xOy內(nèi)的點(diǎn)焦，討論是否存在a和b,使得:(l)APB

工6(2)(a,b)GC.(1985年全國(guó)高考理科試題)

【解】由已知可得，a、b是否存在等價(jià)于混合組

(oa+b=+5)

是否有斛.

J*b<44

以上二式的幾何意義是：如圖1-9,在平面aO'b中，na+b=3(n2+5)是直線，a2+b2W144

是圓面(即圓x2+y2=144的邊界及其內(nèi)部).因此，這個(gè)混合組有解的充要條件是直線na+

b=3(n2+5)與圓a2+b2=144有公共點(diǎn)，即圓心0,(0,0)到這條直線的距離dW12.

從而紫￥<2

即(n2+5)2W16(n2+D,

二n4-6n2+9<0,

即(n2-3)2W0.

又(n2-3)220,

n2=3.這與n是整數(shù)矛盾.

故滿足題中兩個(gè)條件的實(shí)數(shù)a、b不存在.

【解說(shuō)】這種解法中，把混合組翻譯成幾何語(yǔ)言（直線和圓面是否有公共點(diǎn)）就是解析法的

逆向思維.教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生普遍認(rèn)為這種解法難想，其實(shí)，“難就難在逆向思維”，普遍

認(rèn)為這種解法巧妙，其實(shí)，“巧就巧在逆向思維”.

習(xí)題1.2

1.已知圓Cl：（x+l）2+（y-2）2=4與圓C2：（x-3）2+（y-4）2=25,求它們外公切線交點(diǎn)P的坐

標(biāo).

2.已知直線1過(guò)點(diǎn)P（l,4）,求它在兩坐標(biāo)軸正向截距之和最小時(shí)的方程.（要求至少5種解

法）

3.己瓠+嘰JUB"fl上的網(wǎng)點(diǎn),線段AB

粉夠閽6奸軀3ra

aa.

（要求至少4種證法）.（1992年全國(guó)高考理科試題）

4.長(zhǎng)度為3的線段AB的兩端點(diǎn)在拋物線y2=x上移動(dòng)，記線段AB的中點(diǎn)為M,求點(diǎn)M到y(tǒng)軸

的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).（要求至少4種解法）.（1987年全國(guó)高考理科試題）

5.已知2a+3b=5,求證：直線ax+by-5=0必過(guò)一個(gè)定點(diǎn).

6.ES^IacosO-l-ban8=c；co?p+ba.iw=c,^4,―z—#匹十—（k

4

_?+8kW-abc

EZ)t---/,^HEi

44b—9

cos---an---cos---

222

7.已知三個(gè)集合M={(x,y)|y2=x+個(gè),S={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0},P={(x,y)|y=ax

+m},問(wèn)是否存在正整數(shù)a、m使得(MUS)CP=<|)?(其中。表示空集)

習(xí)題1.2答案或提示

I.翻h(huán),式弓，

2.-*J=l(a>0,b>Q)，第由吒L

abab

=1.由Tb='^>0.從15a>l.a+b=(a-l)+-^-r*5>

a-la-l

2j(a-l)?(Fp+5=9.于是當(dāng)a=3,b=6時(shí)，&+喇爆卜值9,故1

=雌2,設(shè)m=a+b,制皿=急+與.從而

36a-l

式法可19m>9.|^^3)由！+?=l,券(a-l)9b-4)=4,從而a+b-

ab

(a-1)+(b-^+5>2J(a-l)(b-^9+5=9.雌4ia+b=(a4-10(-

ab

=5+-+^>5+2</^?=9.由，+￡=l(a>0

abfababa

4n

=C8‘0>—=in,6(O<0<—),JQla+b-?eca6*4c3ca0-5+tga

Q2

9+4dgi0>5+Rig'8?4c、8=9.

3.證法1：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(xl,yl)和(x2,y2),

■由己知,得K1力巧.由|PAHPB|?=(Ea-K,)3+ya，

又y；=+二*3y：=/二4,所以2(嗎-(寸Y)

aaa.

確小=胃上?二￡.再由叼<如且^女,，?-2a<

力+4<&?于是-止￡<1；1c立￡.蹴2：設(shè)AM，汨、B(嗎「0.

aa

|PA|=r,則圓P的方程為(x-x0)2+y2=r2,與橢圓方程聯(lián)立,消去y,得

—J—M3-2rji!+^0+ba-ra=0,由韋達(dá)定理.U?i*?a■

aa-b

證法3.被紇段AB的申點(diǎn)M6,，,剜必訃

把A、B的坐標(biāo)代入橢圓方程中，后把所

舸無(wú)相隗得2?%.又由AB1L可待二^?)=-1,從而

，a?-??J

?于工又由二—*加的

1K蟒耀為P=7—A、BW姍分別為(P,g

l-ecMDact

)、(P2,02),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,0),則t=x0+c.由|PA|=|PB|,可得

?.又由Pl=l-e*6j

P；-2Pita?e=Pa-2P)too>8iPi

%*%=：%一%=9立，初1M可得

t=?P'"又i^<P

aJ-b')/a’-b'

V--——<?-<-——

aa

4.tt%li%A^P7i)>B(xJfya)>My：=4.力=!■由|AB|

=3可得弧-h)p+Oi+h)1=9.設(shè)i國(guó)力,則*=J(*i+a-J

a《

(y?+力=3加一力尸+毓+9>+ll>：P7(y「ya)；Ky1+%yF

-1}q.3gt值河的標(biāo)崎士陰雌2冊(cè)|帆派由

|AB|=3ftH=A(yJ+^),可ft4(y1yJ+2力力+9-2*-4丁-Q由△

X.帝-l6(9-2z-41)X所%

K?*■+1CMa

的3{M六曲砸飛刖'一

.°=為''精去％雨’=5.(專"*77^〉?如*4

915

/)+T7Z^T】>GQX37-7-*1^，)《1由|&卜3.崛

1**tyQ*r

A(yJ+-3OM0,ye+3iin9),所吸y.+Sin。>=7：+3c??。.從而加

3C?Q-9an.9_l^e-3sin3e).y),Ik-yj*^a?0

7(9iQaO+^~-D*(2小向：O*

4sin?4]|ano4

5.逆用點(diǎn)在直線的概念，得定點(diǎn)為(2,3).

6.在直角坐標(biāo)系中，由已知兩個(gè)等式可知，直線ax+by=c過(guò)點(diǎn)

A（co?e,最6）.又直線AB的方提為/--"%

mV-an0

lc8。?8?.8+?9-?

重合的條件，可證得結(jié)論.

7.由于J醐紛…[務(wù)32拉斯1曲蜴吩劇為r

和J,HP=yjm￡N,ttm.-2.由

\2-y+2-a=。.當(dāng)△=4aa-8a+l<0,Vae（l-冬.I+與

y=s*l22

y-?+2,

時(shí),方程纜無(wú)瑕解，Xa6N,故a=l,這年,方程蛆?15

也無(wú)實(shí)數(shù)解.故a=l,m=2.

裱奉后比2先覺(jué)，

?■、.

立嚎浮時(shí)道已隹X

分享一些學(xué)習(xí)的名言，讓學(xué)習(xí)充實(shí)我們的生活:

1、在學(xué)習(xí)中，在勞動(dòng)中，在科學(xué)中，在為人民的忘我服務(wù)中，你可以找到自己的幸福。一提連斯基

2、讀書是學(xué)習(xí)，使用也是學(xué)習(xí)，而且是更重要的學(xué)習(xí)。一毛澤東

3、人不光是靠他生來(lái)就擁有一切，而是靠他從學(xué)習(xí)中所得到的一切來(lái)造就自己。一歌德

4、正確的道路是這樣：吸取你的前輩所做的一切，然后再往前走。一列夫?托爾斯泰

5、夫?qū)W須志也，才須學(xué)也。非學(xué)無(wú)以廣才，非志無(wú)以成學(xué)。一諸葛亮

6、科學(xué)研究好象鉆木板，有人喜歡鉆薄的；而我喜歡鉆厚的。一愛(ài)因斯坦

7、學(xué)習(xí)必須與實(shí)干相結(jié)合。一泰戈?duì)?/p>

8、學(xué)而時(shí)習(xí)之，不亦說(shuō)乎？一孔上

9、鳥欲高飛先振翅，人求上進(jìn)先讀書。一李苦禪

10、求學(xué)的三個(gè)條件是：多觀察、多吃苦、多研究。一加菲勞

11、知識(shí)有如人體血液一樣的寶貴。人缺少了血液，身體就要衰弱，人缺少了知識(shí)，頭腦就要枯竭。一

高士其

12、與肝膽人共事，無(wú)字句處讀書。一周恩來(lái)

13、情況是在不斷的變化，要使自己的思想適應(yīng)新的情況，就得學(xué)習(xí)。一毛澤東

14、科學(xué)的自負(fù)比起無(wú)知的白負(fù)來(lái)還只能算是謙虛。一斯賓塞

15、少年讀書，如隙中窺月：中年讀書，如庭中望月；老年讀書，如臺(tái)上玩月。皆以閱歷之深淺，為所

得之深淺耳。一張潮

16、青年是學(xué)習(xí)智慧的時(shí)期，中年是付諸實(shí)踐的時(shí)期?！R梭

17、讀書百遍，其義自見(jiàn)?！度龂?guó)志》

18、讀書志在圣賢，為官心存君國(guó)?！煊眉?/p>

19、德可以分為兩種：一種是智慧的德，另一種是行為的德，前者是從學(xué)習(xí)中得來(lái)的，后者是從實(shí)踐中

得來(lái)的。一亞里士多德

20、虛假的學(xué)問(wèn)比無(wú)知更糟糕。無(wú)知好比一塊空地，可以耕耘和播種；虛假的學(xué)問(wèn)就象一塊長(zhǎng)滿雜草的

荒地，兒乎無(wú)法把草拔盡?！狄?/p>

21、人的天才只是火花，要想使它成熊熊火焰，哪就只有學(xué)習(xí)！學(xué)習(xí)。一高爾基

22、書到用時(shí)方恨少，事非經(jīng)過(guò)不知難。一陸避

23、書籍是朋友，雖然沒(méi)有熱情，但是非常忠實(shí)一雨果