
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
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文檔簡介
22數(shù)學(xué)競賽中的無理函數(shù)最值問題無理函數(shù)是一類特殊的函數(shù),其最值或值域)的求法大多涉及到化歸思想,能較好的考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,因此受到數(shù)學(xué)競賽命題人的青睞,時(shí)常出現(xiàn)在數(shù)學(xué)競賽中本文結(jié)合近幾年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的一些試題總結(jié)這類問題的解法,并給出相應(yīng)練習(xí)供參考:一、利用函數(shù)單調(diào)性求無理函數(shù)的最值若無理函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較容易確定,常借助其單調(diào)性求最值。例12010全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽).數(shù)f()24x的值域是.解析:該題是一道基礎(chǔ)題,易知(x的定義域x增函數(shù),x=5時(shí)(x)取到最小值-3,x=8(取到最大值3域[3].
,所以f(x)的練習(xí)1:函數(shù)f()x
最小值是.()二、利用代數(shù)換元求無理函數(shù)的最值例(2011全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山西預(yù)賽數(shù)的最大值是.解析6
x36565則yt即x244448所以11x的最大值是.
取得等號(hào),例3.(2011全國高中學(xué)聯(lián)賽四川賽)知m,若函f()x的最大值為g(),(m的最小值.2解析:tmx,則x,m∴y
mm(t)2,mm∴
m
時(shí),有最大值
m100m,即gm).m4∴g(m)
100mm,4等號(hào)當(dāng)且僅時(shí)成立,∴時(shí),g()有最小值10.評(píng)析:對(duì)于形如“mx±ax”的無理函數(shù),一般可通過令1N0.*
1cos2)(1cos2)(tax,將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù),通過配方求最值,本法同樣適用于形如“
2
±
2
的函數(shù)。練習(xí)2:函數(shù)xx的最小值是.(1).三、利用三角換元求無理函數(shù)的最值例(2011全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川初賽)函數(shù)()x24x最大值為()A、
B、3C23
D3解析:本題顯然由1改編,一個(gè)運(yùn)算符號(hào)的差別,導(dǎo)致解法的不同,因?yàn)?/p>
2
8)
2
,所以可設(shè)x-5=
8-x=
(0),2則x24x=3
3cos=323所以選評(píng)析對(duì)一些無理函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)娜菗Q元,可去掉根式,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值般來說函數(shù)式中含有2、12、分別令、、從而脫去根式,再借助三角函數(shù)有界性求最值.例5(2011全國中學(xué)聯(lián)賽).函數(shù)
f(x)
2
的值域?yàn)椋馕觯涸O(shè)x且,221則)=
1,2(4
224
得
2)[2,0)41所以]4
所以
f(x)
2
2的值域]2練習(xí)3:(2011全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽內(nèi)蒙古初賽f(x
的最大值為.(15)四、利用柯西不等式求無理函數(shù)最值我們以上面的例4為例,來分析柯西不等式的應(yīng)用:因?yàn)?x,由柯西不等式得x3.x2N0.*
評(píng)注:利用柯西不等式axby222y2能夠快速求得這類無理函數(shù)的最大值五、利用距離模型求無理函數(shù)最值例6.(2008全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西預(yù)賽xR
C
P則函數(shù)f為.
最小值
ABAB
解析:如圖,取A數(shù)軸原點(diǎn),再作垂線ACBD,使AC,數(shù)軸上取
DE點(diǎn)P使,則,P,D線時(shí),f()值最小,此[f(x)]min
CD|12213.例7.求函數(shù)x
的最小值.解:yx
(x2(22,故幾何意義為:在直角坐標(biāo)系下,函數(shù)值為x軸上的,0)與A(1,1),的距離之和圖所示而可知y|10點(diǎn)共線時(shí)最小值為.練習(xí)4:函數(shù)x2的最大值是_______。六、利用斜率模型求無理函數(shù)最值例8.求函數(shù)
x
12x
的最小值。解:令
y,則f且y轉(zhuǎn)化為:當(dāng)點(diǎn)P
x,y個(gè)單位圓
2
2
,求
x,y
的連線AP斜率的最(圖).顯然,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)線AP的率最,此
AB
.當(dāng)直線與上半個(gè)單位圓
2
2
線的斜率最大3N0.*
maxAPmaxAP設(shè)K
AP
K,則直線的方程為y直線與上半個(gè)單位2d
O
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