備戰(zhàn)中考第29講圓的有關(guān)性質(zhì)(附解析答案)

實用文檔PAGE實用文檔PAGE10備戰(zhàn)2019中考初中數(shù)學導(dǎo)練學案50講第29講 圓的有關(guān)性質(zhì)備戰(zhàn)2019中考初中數(shù)學導(dǎo)練學案50講【疑難點撥】圓的定義在證題中的作用我們知道，定理是推理證明的重要依據(jù)，而定義在證題當中也有不可忽視的作用．利用圓的定義解某些幾何問題，其特點是要找出到定點的距離等于定長的點，然后以定點為圓心定長為半徑畫圓，利用圓的有關(guān)性質(zhì)使問題簡捷、巧妙地得到解決．據(jù)之一，在有關(guān)弦長、弦心距的計算中常常需要作垂直于弦的線段，構(gòu)造直角三角形．垂徑定理的應(yīng)用類型：如圖，基于圓的對稱性，下列五個結(jié)論：①弧A＝弧CB；②弧A＝DB；③AE＝BE；④AB⊥CD；⑤CDO三個結(jié)論一定成立；設(shè)半徑OArOEdAB，由OE⊥AB在Rt△AOE中，滿足圓周角定理及其推論應(yīng)用注意事項：等腰三角形，再利用等邊對等角以及三線合一的性質(zhì)來進行證明和計算；的其余各組量也相等．一條弦（除直徑外）有兩種情況：①優(yōu)弧所對應(yīng)的圓周角是鈍角；②劣弧所對應(yīng)的圓周角是銳角，這一組圓周角互補；一條弧只對著一個圓心角，卻對著無數(shù)個圓周角．【基礎(chǔ)篇】1.（2018·浙江臨安分）如圖的半徑OA=6，以A為圓心為半徑的弧交于BC點，則BC=（ ）A．B．C．D．2.（201A．B．C．D．2.（201ft東威海3分O的半徑為ABC為∠ABC=30°，A．B．5C．D．53.（2018·浙江衢州分）如圖是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC，過點O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，則A．B．5C．D．5A．3cmB．cmC．2.5cmD．cm4.A．3cmB．cmC．2.5cmD．cm4.（2018·ft東青島）如圖，點A、、、DO，∠AOC=140°，點B的A．70°B．55°C．35.5° D．35°（2018·湖北省宜昌·3分）如圖，直線AB是的切線，C為切點，OD∥AB交⊙O點D，點E在⊙O上，連接OC，EC，ED，則∠CED的度數(shù)為（ ）A．30°B．35°C．40°D．45°二、填空題：（2018·廣東分）同圓中，已知弧AB所對的圓心角是100°，則弧AB所對的圓周是 ．AB∥CD，若∠ABC=40°，80°．如圖，直角坐標系中一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A，B，C，其中B點坐標為則該弧所在圓的圓心坐標為 ．三、解答與計算題：若ON=AB，證明：OM=CD．如圖，ABCDO分別作ON⊥CDN，OM⊥ABM，若ON=AB，證明：OM=CD．【考點】垂徑定理；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．AB=AC，以BCOABD，切線DE（2）．（2）．【能力篇】11.201?ft東菏澤3分如圖在O中O⊥A∠ADC=32°則OBA的度數(shù)（ ）A．64°B．58°C．32°D．26°（2018?ft東棗莊?3分）如圖是⊙O的直徑，弦CD交AB于點P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，則CD的長為（ ）A．B．2C．2D．8如圖是⊙O的內(nèi)接正三角形，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形則DORA．B．2C．2D．8A．60 B．65 C．72 D．75二、填空題：閱讀下面材料：在數(shù)學課上，老師請同學思考如下問題：小亮的作法如下：老師說：“小亮的作法正確．”請你回答：小亮的作圖依據(jù)是 ．（2018?金華）1A，D分別是弓臂BAC與弓弦BCBC=60cmAD方向拉動弓弦的過程中，假設(shè)弓臂BAC2，當弓箭從自然狀態(tài)的點DD時，有AD=30cm，∠BDC=120°．1 1 111圖2中，弓臂兩端B，C的距離為 1 1如圖3，將弓箭繼續(xù)拉到點D，使弓臂BAC為半圓，則DD的長為 cm．2 2 2 12三、解答與計算題：（1）P上一點（不與C、D重合），求證：∠CPD=∠COB；ABCD（1）P上一點（不與C、D重合），求證：∠CPD=∠COB；（2）點P′在劣弧CD（不與D）時，∠CP′DCOB你的結(jié)論．何？”（如圖①）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架何？”（如圖①）閱讀完這段文字后，小智畫出了一個圓柱截面示意圖（如圖②），其中BO⊥CD于點A，再次閱讀后，發(fā)現(xiàn)AB= 寸寸（一尺等于十寸），通過運用有關(guān)知識即可決這個問題．請你補全題目條件，并幫助小智求出的直徑．（2017ft東臨沂）如圖，∠BACABCD，∠ABCADE，求證：DE=DB；若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC【探究篇】︵⊙OC，PAB上兩點，AB＝13，AC＝5.︵如圖①，若點PAB的中點，求PA︵如圖②，若點PCB的中點，求PA20.（2016?寧夏ABABO分別交AC于BC于EED=E．（2）若AB=4，BC=2（2）若AB=4，BC=2，求CD的長．第29講 圓的有關(guān)性質(zhì)【疑難點撥】圓的定義在證題中的作用我們知道，定理是推理證明的重要依據(jù)，而定義在證題當中也有不可忽視的作用．利用圓的定義解某些幾何問題，其特點是要找出到定點的距離等于定長的點，然后以定點為圓心定長為半徑畫圓，利用圓的有關(guān)性質(zhì)使問題簡捷、巧妙地得到解決．據(jù)之一，在有關(guān)弦長、弦心距的計算中常常需要作垂直于弦的線段，構(gòu)造直角三角形．垂徑定理的應(yīng)用類型：如圖，基于圓的對稱性，下列五個結(jié)論：①弧A＝弧CB；②弧A＝弧DB；③AE＝BE；④AB⊥CD；⑤CD是⊙O的直徑，只要滿足其中的兩個，另外三個結(jié)論一定成立；設(shè)半徑OArOEdAB，由OE⊥AB在Rt△AOE中，滿足圓周角定理及其推論應(yīng)用注意事項：等腰三角形，再利用等邊對等角以及三線合一的性質(zhì)來進行證明和計算；的其余各組量也相等．一條弦（除直徑外）有兩種情況：①優(yōu)弧所對應(yīng)的圓周角是鈍角；②劣弧所對應(yīng)的圓周角是銳角，這一組圓周角互補；一條弧只對著一個圓心角，卻對著無數(shù)個圓周角．【基礎(chǔ)篇】1.（2018·浙江臨安分）如圖的半徑OA=6，以A為圓心為半徑的弧交于BC點，則BC=（ ）A．B．A．B．C．D．【分析】根據(jù)垂徑定理先求BC一半的長，再求BC的長．【解答】解：設(shè)OABCD∵AB=OA=OB=6∴△OAB是等邊三角形．利用勾股定理可得BD==3利用勾股定理可得BD==3BC=6．BC=6．【點評】本題的關(guān)鍵是利用垂徑定理和勾股定理．2.（201ft東威海2.（201ft東威海3分O的半徑為ABC為∠ABC=30°，A．B．5A．B．5C．D．5【解答】解：連接OC、OA，∵∠ABC=30°，【解答】解：連接OC、OA，∵AB為弦，點∵AB為弦，點C的中點，Rt△OAERt△OAEAE=，∴AB=，∴AB=，【點評】此題考查圓周角定理，關(guān)鍵是利用圓周角定理得出∠AOC=60°．3.（2018·浙江衢州分）如圖是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC，過點OOF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，則OF的長度是（ ）A．3cmB．A．3cmB．cmC．2.5cmD．cm【分析】根據(jù)垂徑定理得出OE的長，進而利用勾股定理得出BC的長，再利用相似三角形的【解答】解：連接OB，判定和性質(zhì)解答即可．【解答】解：連接OB，AC是⊙OBAO于EBD=8cAE=2cR△OEBO2+B2=O2O2+42=Rt△EBC．∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴，即∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴，即，解得：OF=．故選D．【點評】本題考查了垂徑定理，關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理得出OE的長．4.（2018·ft東青島）4.（2018·ft東青島）如圖，點A、、、DO，∠AOC=140°，點B的∠AOC，再根據(jù)圓周角定理解答．A．70°∠AOC，再根據(jù)圓周角定理解答．【解答】解：連接OB，BB的中點，∴∠AOB=∠AOC=70°，∠AOB=35°，【點評】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系定理、圓周角定理，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．（2018·湖北省宜昌·3分）如圖，直線AB是的切線，C為切點，OD∥AB交⊙O點D，點E在⊙O上，連接OC，EC，ED，則∠CED的度數(shù)為（ ）A．30°B．35°C．40°D．45°理可得答案．【解答】解：∵直線AB是⊙O的切線，C為切點，∴∠OCB=90°，∵OD∥AB，∴∠CED=∠COD=45°，∴∠COD=90°，∴∠CED=∠COD=45°，故選：D．周角定理．二、填空題：（2018·廣東）同圓中，已知弧AB100°，則弧AB是50°．【分析】直接利用圓周角定理求解．【解答】解：弧AB所對的圓心角是100°，則弧AB所對的圓周角為50°．故答案為50°．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．AB∥CD，若∠ABC=40°，80°．【考點】圓周角定理；平行線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)由AB∥CD得到∠C=∠ABC=40°，然后根據(jù)圓周角定理求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C=∠ABC=40°，∴∠BOD=2∠C=80°．故答案為80°．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角的度數(shù)等于它所對的圓心角度數(shù)的一半．也考查了平行線的性質(zhì)．如圖，直角坐標系中一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A，B，C，其中B點坐標為弧所在圓的圓心坐標為（2，0）．【考點】確定圓的條件；坐標與圖形性質(zhì)．【專題】網(wǎng)格型．ABBC交點即為圓心．【解答】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．如圖所示，則圓心是（2，0）．三、解答與計算題：若ON=AB，證明：OM=CD．如圖，ABCDO分別作ON⊥CDN，OM⊥ABM，若ON=AB，證明：OM=CD．【考點】垂徑定理；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．CON中利用勾股定理即可求得CN然后根據(jù)垂徑定理求得CD中，利用勾股定理求得OM得．在直角△CON在直角△CONCN==，∴CD=2CN=2，∴CD=2CN=2，∴AM=AB=x，∵OM⊥AB，∴AM=AB=x，在△AOM在△AOMOM==，∴OM=CD．AB=AC，以BC為直徑的半圓O與邊AB相交于點D，切線DE（2）．（2）．【考點】等邊三角形的判定；圓周角定理．【專題】證明題．【分析】（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，從而得到平行線，得到∠ODB=∠A，∠ODB=∠B，則∠A=∠B，得到AC=BC，從而證明該三角形是等邊三角形；（2）再根據(jù)在圓內(nèi)直徑所對的角是直角這一性質(zhì)，推出30°的直角三角形，根據(jù)30°所對的直角邊是斜邊的一半即可證明．【解答】證明：（1）連接OD，得OD∥AC；∴∠BDO=∠A；又OB=OD，∴∠OBD=∠ODB；∴∠OBD=∠A；∴BC=AC；又∵AB=AC，∴△ABC是等邊三角形；（2）如上圖，連接CD，則CD⊥AB；∵AE=AD=AB，∴D是AB中點；∵AE=AD=AB，∴AE=CE．∴EC=3AE；∴AE=CE．【點評】本題中作好輔助線是解題的關(guān)鍵，連接過切點的半徑是圓中常見的輔助線作法之一．另外還要掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)以及30°的直角三角形的性質(zhì)．【能力篇】11.201?ft東菏澤3分如圖在O中O⊥A∠ADC=32°則OBA的度數(shù)（ ）A．64°B．58°C．32°D．26°【考點】M5：圓周角定理；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】根據(jù)垂徑定理，可得 =，∠OEB=90°，根據(jù)圓周角定理，可得∠3，根據(jù)直角【解答】解：如圖【分析】根據(jù)垂徑定理，可得 =，∠OEB=90°，根據(jù)圓周角定理，可得∠3，根據(jù)直角【解答】解：如圖，=，∠OEB=90°．=，∠OEB=90°．∴∠2=∠3．∵∠2=2∠1=2×32°=64°．∴∠3=64°，在Rt△OBE中，∠OEB=90°，∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°，故選：D．【點評】本題考查了圓周角定理，利用垂徑定理得出=【點評】本題考查了圓周角定理，利用垂徑定理得出=，∠OEB=90°是解題關(guān)鍵，又（2018?ft東棗莊?3分）如圖是⊙O的直徑，弦CD交AB于點P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，則CD的長為（ ）A．B．2C．2D．8OH=OP=1Rt△OHCCH=，所以CD=2CH=2OH⊥CDOH⊥CD得到A．B．2C．2D．8OH=OP=1Rt△OHCCH=，所以CD=2CH=2．【解答】解：作OH⊥CDH，連結(jié)OC，如圖，．∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA﹣AP=2，在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴OH=OP=1，∴∠POH=60°，∴OH=OP=1，∴CH==∴CH==，∴CD=2CH=2．故選：C．∴CD=2CH=2．30如圖是⊙O的內(nèi)接正三角形，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形則DOR的度數(shù)是（ ）A．60 B．65 C．72 D．75【考點】三角形的外接圓與外心；等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)等邊三角形和正方形的性質(zhì)，求得中心角∠POR和∠POD，二者的差就是所求．【解答】解：連結(jié)OD，如圖，∵△PQR是⊙O的內(nèi)接正三角形，∴∠POR=×360°=120°，∴PQ=PR=QR，∴∠POR=×360°=120°，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，∴∠DOP=×90°=45°，∴∠AOD=90°，∴∠DOP=×90°=45°，∴∠AOQ=∠POR﹣∠DOP=75°．故選D．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理．二、填空題：閱讀下面材料：在數(shù)學課上，老師請同學思考如下問題：小亮的作法如下：老師說：“小亮的作法正確．”請你回答：小亮的作圖依據(jù)是垂徑定理．【考點】垂徑定理的應(yīng)用；作圖—復(fù)雜作圖．【分析】利用垂徑定理得出任意兩弦的垂直平分線交點即可．【解答】解：根據(jù)小亮作圖的過程得到：小亮的作圖依據(jù)是垂徑定理．故答案是：垂徑定理．【點評】此題主要考查了復(fù)雜作圖以及垂徑定理，熟練利用垂徑定理的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（2018?金華）1A，D分別是弓臂BAC與弓弦BCBC=60cmAD方向拉動弓弦的過程中，假設(shè)弓臂BAC2，當弓箭從自然狀態(tài)的點DD時，有AD=30cm，∠BDC=120°．（1）2中，弓臂兩端B（1）2中，弓臂兩端B，C的距離為1 130cm．DBACDD的長為10﹣10cm．2 2 2 12【分析】1B

HB可解決問題；

11 1 1（2）3B

H，B

于G．利用弧長公式求出半圓半徑即可解決問題；

11

22 22中，連接BC

于H．11 1∵DA=DB=30∴D是1的圓心，1 1∴D是1的圓心，∵AD⊥BC，∴BH=CH=30×sin60°=151 1，∴BH=CH=30×sin60°=151 1，∴BC=3011∴弓臂兩端B，C的距離為301 1（2）3中，連接BCDD于H，連接BC∴弓臂兩端B，C的距離為301 1

于G．設(shè)半圓的半徑為r，則πr=，1設(shè)半圓的半徑為r，則πr=，∴r=20，30，10﹣10，∴AG=GB=20，GD=30﹣20=10，Rt△GBRt△GBD，GD=1022 2∴DD12﹣10．三、解答與計算題：（1）P上一點（不與C、D重合），求證：∠CPD=∠COB；ABCD（1）P上一點（不與C、D重合），求證：∠CPD=∠COB；（2）點P′在劣弧CD（不與D）時，∠CP′DCOB你的結(jié)論．【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】幾何綜合題．【分析】根據(jù)垂徑定理知，弧CD=2BC，由圓周角定理知，弧BC的度數(shù)，弧AD2可得：∠CPD=∠COB；2根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補知∠CP′D=180°﹣CP∠CPDCO∴∠CP′+∠COB=180°．【解答】（1）證明：連接OD，∴．∴∠COB=∠DOB=∠COD．∴．∴∠COB=∠DOB=∠COD．又∵∠CPD=∠COD，∴∠CPD=∠COB．又∵∠CPD=∠COD，∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠COB=∠DOB=∠COD，（2）解：∠CP′D+∠COB=180°．理由如下：連接OD，∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠COB=∠DOB=∠COD，又∵∠CPD=∠COD，∴∠COB=∠CPD，又∵∠CPD=∠COD，∴∠CP′D+∠COB=180°．【點評】本題利用了垂徑定理和圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解．何？”（如圖①）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架何？”（如圖①）閱讀完這段文字后，小智畫出了一個圓柱截面示意圖（如圖②），其中BO⊥CD于點A，再次閱讀后，發(fā)現(xiàn)AB=1寸，10寸（一尺等于十寸），【考點】垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理．【分析】根據(jù)題意容易得出AB和CD的長；連接OB，設(shè)半徑CO=OB=x寸，先根據(jù)垂徑定理求出CA的長，再根據(jù)勾股定理求出x的值，即可得出直徑．【解答】解：根據(jù)題意得：AB=1寸，CD=10寸；故答案為：1，10；（2）連接CO，如圖所示：∴．∴．設(shè)CO=OB=x寸，則AO=（x﹣1）寸，在Rt△CAO中，∠CAO=90°，∴AO2+CA2=CO2．∴（x﹣1）2+52=x2．解得：x=13，∴⊙O的直徑為26寸．形，運用勾股定理得出方程是解答此題的關(guān)鍵．（2017ft東臨沂）如圖，∠BACABCD，∠ABCADE，求證：DE=DB；若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC【分析】（1）由角平分線得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出，由圓周角定理得（2）由（1）得：【分析】（1）由角平分線得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出，由圓周角定理得（2）由（1）得：，得出CD=BD=4，由圓周角定理得出BC是直徑，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC==4勾股定理求出BC==4，即可得出△ABC外接圓的半徑．∴，∴，∴∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAE，∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE