建立空間直角坐標(biāo)系的幾種方法

建立空間直角坐標(biāo)系的幾種方法坐標(biāo)法是利用空間向量的坐標(biāo)運算解答立體幾何問題的重要方法，運用坐標(biāo)法解題往往需要建立空間直角坐標(biāo)系.依據(jù)空間幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，充分利用圖形中的垂直關(guān)系或構(gòu)造垂直關(guān)系來建立空間直角坐標(biāo)系，是運用坐標(biāo)法解題的關(guān)鍵.下面舉例說明幾種常見的空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建策略.一、利用共頂點的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標(biāo)系例1已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2,底面ABCD是直角梯形，/A為直角AB〃CD，AB=4,AD=2,DC=1，求異面直線BC1與DC所成角的余弦值.，、y、z軸建立空間直角坐解析：如圖1,以D為坐標(biāo)原點，分別以DA、DC、DD1所在直線為D標(biāo)系，則C1（0，1，2）、，、y、z軸建立空間直角坐D???BC=（-2，-3,2），CD=（0，-1，0）.1設(shè)理與CD所成的角為e,二、點,BCCD3二、點,BCCD3而則COSe=1..——-BCJ可利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系例2如圖2,在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB±側(cè)面BB",E為棱CC1上異于C、C1的一EA±EB1?已知AB=^2,BB1=2,BC=1,ZBCC1=:.求二面角A-EB-A］的平面角的正切17值.解析:如圖2,以B為原點，分別以BB］、BA所在直線為y軸、z軸，過B點垂直于平面AB1的直線為，軸建立空間直角坐標(biāo)系.由于BC=1,BB1=2,AB=v'2,/BCC］=f,...在三棱柱ABC-AiB1C1中，有B(0,0,0)、A(0,0,<2)、B(0,2,0)、c手3,手3,0\a，0J由EA±EB1，得EA.EB]=0,3、a一一2J*，2，0j故cos03、a一一2J*，2，0j故cos0^kBX_<2E^||b1aJ73即tan0—笠2TOC\o"1-5"\h\z,~…3八——+a(a—2)=a2—2a+—=043…即a=或a=-(舍去).2由已知有EA1EB^,~BA^1EB^,故二面角A-EB-A1的平面角。的大小為向量BA^與EA的夾角.—一廠一/方1”因BA=BA=(0,0,，2),EA=———,——,，211k22J三、利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系例3如圖3,在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD±底面ABCD.TOC\o"1-5"\h\z(1)證明AB上平面VAD;r(2)求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值.解析：(1)取AD的中點0為原點，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AD=2,則A(1,0,0)、D(-1,0,0)、B(1,2,0)、"打V(0,0,<3),「.AB=(0,2,0),VA=(1,0,-<3).■押匕一_■圖3由AbVA=(0,2,0).(1,0,一寸3)—0，得ABLVA.又ABLAD，從而AB與平面VAD內(nèi)兩條相交直線VA,AD都垂直,「.ABL平面VAD;—r1_點)(2)設(shè)E為DV的中點，則E—-,0，3k22J???eA=r32,°，—k???eA=r32,°，—k>r3eb=2，2，-

k2DV=(1,0,,3).?.?.?瓦m=f3，2，-gk22)?(1,0*3)=0,:.EBIDV^又EA±DV,因此/AEB是所求二面角的平面角.?.?cosEA,EB?=產(chǎn)EAEb\EA?EB?.?cosEA,EB?=產(chǎn)EAEb\,一人…<21故所求二面角的余弦值為一廠四、利用正棱錐的中心與高所在直線構(gòu)建直角坐標(biāo)系例4已知正四棱錐V-ABCD中，E為VC中點，正四棱錐底面邊長為2。，高為h.求/DEB的余弦值；若BELVC，求/DEB的余弦值.解析：(1)如圖4，以V在平面AC的射影O為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，其中Ox〃BC，Oy〃AB，則由AB=2sOV=h，有B(a，。，0)、C(-a，。，0)、D(-a，-。，0)、V(0，0，h)、Jaah)E，,，,

kJaah)E，,，,

k222)ABEDEh)a，2)cos：：BE，dE'}_BE?DE-6a2+h210a2+h2-6a2+h2艮口cos/DEB=；10a2+h2(2)因為E是VC的中點，又BELVC，?(—a，a，—h)=0，所以be.vc=0,即(—3a，—a?(—a，a，—h)=0，3a2h2——a2————222=0,Ah=v'2a.這時cos：：'BE，DE')=—6a2+h210a2+h2即cos/DEB=—3引入空間向量坐標(biāo)運算，使解立體幾何問題避免了傳統(tǒng)方法進行繁瑣的空間分析，只需建立空cos<AQPB>=AQPBcos<AQPB>=AQPB_1AQP^|3五、利用圖形中的對稱關(guān)系建立坐標(biāo)系圖形中雖沒有明顯交于一點的三條直線，但有一定對稱關(guān)系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身對稱性可建立空間直角坐標(biāo)系.例5已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高都為2AB=4.（1）證明:PQ1平面ABCD；（2）求異面直線AQ與PB所成的角;（3）求點P到平面QAD的距離.簡解：（1）略；（2）由題設(shè)知，ABCD是正方形，且ACLBD.由（1），PQ1平面ABCD,故可分別以直線CA，DB，QP為x，y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖1），易得AQ=（―2技，0,—2），PB=（0,2/2，—2）,所求異面直線所成的角是arccos1.(3)由(2)知，點D(0,—2寸云0)~AD=(—2、五一2寸2，0)PQ=(0,0,—4).設(shè)n=（x,y設(shè)n=（x,y，z）是平面QAD的一個法向