勾股定理與它的逆定理的證明

關(guān)于勾股定理與它的逆定理的證明第一頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日駛向勝利的彼岸勾股定理如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理在西方文獻(xiàn)中又稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯定理（pythagorastheorem）.開(kāi)啟智慧acb勾弦股第二頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日駛向勝利的彼岸勾股定理的證明

我能行1方法一:拼圖計(jì)算方法二：割補(bǔ)法方法三：趙爽的弦圖方法四：總統(tǒng)證法方法五：青朱出入圖方法六：折紙法方法七：拼圖計(jì)算這些證法你還能記得多少?你最喜歡哪種證法?第三頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日總統(tǒng)證法

回顧反思1′駛向勝利的彼岸這個(gè)證明方法出自一位總統(tǒng),1881年，伽菲爾德(J.A.Garfield)就任美國(guó)第二十任總統(tǒng),在1876,利用了梯形面積公式。圖中三個(gè)三角形面積的和是2×ab/2＋c/2;梯形面積為(a+b)(a+b)/2;比較可得:c2=a2+b2

。伽菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話,后來(lái)，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱(chēng)為“總統(tǒng)”證法。．勾股定理不只是數(shù)學(xué)家愛(ài)好，魅力真大！ababcc第四頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日駛向勝利的彼岸勾股定理的逆定理

我能行2如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形.已知:如圖(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.求證:△ABC是直角三角形.acbABC(1)第五頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日駛向勝利的彼岸逆定理的證明

我能行2證明:作Rt△A′B′C′使∠C′=900,A′C′=AC,B′C′=BC(如圖),則已知:如圖(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.求證:△ABC是直角三角形.acbABC(1)acbB′A′C′(2)A′C′2+B′C′2=A′B′2(勾股定理).∵AC2+BC2=AB2(已知),A′C′=AC,B′C′=BC(作圖),∴

AB2=A′B′2(等式性質(zhì)).∴

AB=A′B′(等式性質(zhì)).∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).∴∠A=∠A′＝900(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊).∴△ABC是直角三角形(直角三角形意義).第六頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日幾何的三種語(yǔ)言

回顧反思1′駛向勝利的彼岸勾股定理的逆定理如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形.這是判定直角三角形的根據(jù)之一.在△ABC中∵AC2+BC2=AB2(已知),∴△ABC是直角三角形(如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形).acbABC(1)第七頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日駛向勝利的彼岸命題與逆命題直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形觀察上面兩個(gè)命題,它們的條件與結(jié)論之間有怎樣的關(guān)系?與同伴交流.再觀察下面三組命題:如果兩個(gè)角是對(duì)頂角,那么它們相等,如果兩個(gè)角相等,那么它們是對(duì)頂角;如果小明患了肺炎,那么他一定會(huì)發(fā)燒,如果小明發(fā)燒,那么他一定患了肺炎;三角形中相等的邊所對(duì)的角相等,三角形中相等的角所對(duì)的邊相等.上面每組中兩個(gè)命題的條件和結(jié)論之間也有類(lèi)似的關(guān)系嗎?與同伴進(jìn)行交流.開(kāi)啟智慧第八頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日駛向勝利的彼岸命題與逆命題在兩個(gè)命題中,如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件,那么這兩個(gè)命題稱(chēng)為互逆命題,其中一個(gè)命題稱(chēng)為另一個(gè)命題的逆命題.開(kāi)啟智慧你能寫(xiě)出命題“如果兩個(gè)有理數(shù)相等,那么它們的平方相等”的逆命題嗎?它們都是真命題嗎?想一想:一個(gè)命題是真命題,它逆命題是真命題還是假命題?第九頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日駛向勝利的彼岸定理與逆定理一個(gè)命題是真命題,它逆命題卻不一定是真命題.開(kāi)啟智慧我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些互逆的定理,如:勾股定理及其逆定理,兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行.你還能舉出一些例子嗎?想一想:互逆命題與互逆定理有何關(guān)系?如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題,那么它是一個(gè)定理,這兩個(gè)定理稱(chēng)為互逆定理,其中一個(gè)定理稱(chēng)另一個(gè)定理的逆定理.第十頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日蓄勢(shì)待發(fā)

隋堂練習(xí)1′駛向勝利的彼岸老師提示:你是否能將有關(guān)命題的知識(shí)予以整理.說(shuō)出下列合理的逆命題,并判斷每對(duì)命題的真假:四邊形是多邊形;兩直線平行,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ);如果ab=0,那么a=0,b=0.請(qǐng)你舉出一些命題,然后寫(xiě)出它的逆命題,并判斷這些逆命題的真假.第十一頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日學(xué)無(wú)止境

讀一讀1勾股定理是數(shù)學(xué)上有證明方法最多的定理──有四百多種說(shuō)明！古今中外有許多人探索勾股定理的證明方法，不但有數(shù)學(xué)家，還有物理學(xué)家，甚至畫(huà)家、政治家。如趙爽（中）、梅文鼎（中）、歐幾里德（希臘）、辛卜松（英）、加菲爾德（美第二十屆總統(tǒng)）等等。其證明方法達(dá)數(shù)百種之多，這在數(shù)學(xué)史上是十分罕見(jiàn)的.′駛向勝利的彼岸P18《讀一讀》：勾股定理的證明.第十二頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日學(xué)無(wú)止境

讀一讀1歷時(shí)幾千年的兩個(gè)定理，牽動(dòng)著世界上不知多少代億萬(wàn)人們的心，前人以堅(jiān)韌的毅力，開(kāi)拓創(chuàng)新的精神譜寫(xiě)了科學(xué)知識(shí)寶庫(kù)中探寶的光輝篇章，還有許多寶藏等待后人開(kāi)采。自然無(wú)限，創(chuàng)造永恒。同學(xué)們要努力學(xué)習(xí)，提高自身素質(zhì)，不辜負(fù)時(shí)代重托，將來(lái)為人類(lèi)作出更大貢獻(xiàn)?！漶傁騽倮谋税禤18《讀一讀》：勾股定理的證明.第十三頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日學(xué)無(wú)止境

讀一讀1學(xué)習(xí)永遠(yuǎn)是件快樂(lè)而有趣的事！勾股定理的魅力將把你引入一個(gè)奇妙的境界！′駛向勝利的彼岸P18《讀一讀》：勾股定理的證明.第十四頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日夢(mèng)想成真

試一試P1421.如圖(單位：英尺),在一個(gè)長(zhǎng)方體的房間里,一只蜘蛛在一面墻的正中間離天花板1英尺的A處,蒼蠅則在對(duì)面墻的正中間離地板1英尺的B處.試問(wèn):蜘蛛為了捕獲蒼蠅,需要爬行的最短距離是多少?●AB●301212第十五頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日回味無(wú)窮勾股定理:如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理在西方文獻(xiàn)中又稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯定理（pythagorastheorem）.勾股定理的逆定理:如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形.命題與逆命題在兩個(gè)命題中,如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件,那么這兩個(gè)命題稱(chēng)為互逆命題,其中一個(gè)命題稱(chēng)為另一個(gè)命題的逆命題.定理與逆定理如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題,那么它是一個(gè)定理,這兩個(gè)定理稱(chēng)為互逆定理,其中一個(gè)定理稱(chēng)另一個(gè)定理的逆定理.小結(jié)拓展第十六頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日知識(shí)的升華獨(dú)立作業(yè)P9習(xí)題1.41,2,3題.祝你成功！第十七頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日習(xí)題1.4

獨(dú)立作業(yè)1駛向勝利的彼岸1.如圖，在△ABC中，已知AB=13cm,BC=10cm,BC邊上的中線AD=12cm.求證:AB=AC.證明:∵BD=CD,BC=10cm(已知),∴BD=5cm(等式性質(zhì)).∵AD2+BD2=122+52＝144+25=169,AB2=132=169,∴AD2+BD2=AB2.

DBCA∴在△ABD中,∴△ABC是直角三角形(如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形).在Rt△ADC中∴AC2=DC2+AD2=122+52＝144+25=169,∴AC2=AB2.∴AB=AC(等式性質(zhì)).第十八頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日習(xí)題1.4

獨(dú)立作業(yè)2駛向勝利的彼岸2.房梁的一部分如圖所示,其中BC⊥AC,∠A=300,AB=10m,CB1⊥AB,B1C1⊥AC,垂足為B1,C1,那么BC的長(zhǎng)是多少？B1C1呢？解:∵BC⊥AC,∠A=300,AB=10m(已知),∴BC=AB/2=10÷2＝5(在直角三角形中,如果有一個(gè)銳角等于300,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半),又∵CB1⊥AB,∠BCB1=900-600=300(直角三角形兩銳角互余),∴CB1=BC/2=5÷2＝2.5(在直角三角形中,如果有一個(gè)銳角等于300,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).老師提示:對(duì)于含300角的直角三角形邊之間,角之間的關(guān)系要作為常識(shí)去認(rèn)可.BCA300B1C1∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5(等式性質(zhì)).∴B1C1=AB1/2=7.5÷2＝3.75(在直角三角形中,如果有一個(gè)銳角等于300,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).第十九頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日習(xí)題1.4

獨(dú)立作業(yè)3駛向勝利的彼岸3.如圖,正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為5cm,側(cè)棱長(zhǎng)為8cm,一只螞蟻欲從正四棱柱的底面上的點(diǎn)A沿棱柱側(cè)面到點(diǎn)C1處吃食物,那么它需要爬行的最短路徑是多少？解:如下圖,將四棱柱的側(cè)面展開(kāi),連結(jié)AC1,∵AC=10cm,CC1=8cm(已知),老師提示:對(duì)于空間圖形需要?jiǎng)邮植僮?將其轉(zhuǎn)化為平面圖形來(lái)解決.B