勾股定理與它的逆定理的證明

關于勾股定理與它的逆定理的證明第一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日駛向勝利的彼岸勾股定理如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理在西方文獻中又稱為畢達哥拉斯定理（pythagorastheorem）.開啟智慧acb勾弦股第二頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日駛向勝利的彼岸勾股定理的證明

我能行1方法一:拼圖計算方法二：割補法方法三：趙爽的弦圖方法四：總統(tǒng)證法方法五：青朱出入圖方法六：折紙法方法七：拼圖計算這些證法你還能記得多少?你最喜歡哪種證法?第三頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日總統(tǒng)證法

回顧反思1′駛向勝利的彼岸這個證明方法出自一位總統(tǒng),1881年，伽菲爾德(J.A.Garfield)就任美國第二十任總統(tǒng),在1876,利用了梯形面積公式。圖中三個三角形面積的和是2×ab/2＋c/2;梯形面積為(a+b)(a+b)/2;比較可得:c2=a2+b2

。伽菲爾德的證法在數學史上被傳為佳話,后來，人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。．勾股定理不只是數學家愛好，魅力真大！ababcc第四頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日駛向勝利的彼岸勾股定理的逆定理

我能行2如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個三角形是直角三角形.已知:如圖(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.求證:△ABC是直角三角形.acbABC(1)第五頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日駛向勝利的彼岸逆定理的證明

我能行2證明:作Rt△A′B′C′使∠C′=900,A′C′=AC,B′C′=BC(如圖),則已知:如圖(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.求證:△ABC是直角三角形.acbABC(1)acbB′A′C′(2)A′C′2+B′C′2=A′B′2(勾股定理).∵AC2+BC2=AB2(已知),A′C′=AC,B′C′=BC(作圖),∴

AB2=A′B′2(等式性質).∴

AB=A′B′(等式性質).∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).∴∠A=∠A′＝900(全等三角形的對應邊).∴△ABC是直角三角形(直角三角形意義).第六頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日幾何的三種語言

回顧反思1′駛向勝利的彼岸勾股定理的逆定理如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個三角形是直角三角形.這是判定直角三角形的根據之一.在△ABC中∵AC2+BC2=AB2(已知),∴△ABC是直角三角形(如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個三角形是直角三角形).acbABC(1)第七頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日駛向勝利的彼岸命題與逆命題直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個三角形是直角三角形觀察上面兩個命題,它們的條件與結論之間有怎樣的關系?與同伴交流.再觀察下面三組命題:如果兩個角是對頂角,那么它們相等,如果兩個角相等,那么它們是對頂角;如果小明患了肺炎,那么他一定會發(fā)燒,如果小明發(fā)燒,那么他一定患了肺炎;三角形中相等的邊所對的角相等,三角形中相等的角所對的邊相等.上面每組中兩個命題的條件和結論之間也有類似的關系嗎?與同伴進行交流.開啟智慧第八頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日駛向勝利的彼岸命題與逆命題在兩個命題中,如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件,那么這兩個命題稱為互逆命題,其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.開啟智慧你能寫出命題“如果兩個有理數相等,那么它們的平方相等”的逆命題嗎?它們都是真命題嗎?想一想:一個命題是真命題,它逆命題是真命題還是假命題?第九頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日駛向勝利的彼岸定理與逆定理一個命題是真命題,它逆命題卻不一定是真命題.開啟智慧我們已經學習了一些互逆的定理,如:勾股定理及其逆定理,兩直線平行,內錯角相等;內錯角相等,兩直線平行.你還能舉出一些例子嗎?想一想:互逆命題與互逆定理有何關系?如果一個定理的逆命題經過證明是真命題,那么它是一個定理,這兩個定理稱為互逆定理,其中一個定理稱另一個定理的逆定理.第十頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日蓄勢待發(fā)

隋堂練習1′駛向勝利的彼岸老師提示:你是否能將有關命題的知識予以整理.說出下列合理的逆命題,并判斷每對命題的真假:四邊形是多邊形;兩直線平行,同旁內角互補;如果ab=0,那么a=0,b=0.請你舉出一些命題,然后寫出它的逆命題,并判斷這些逆命題的真假.第十一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日學無止境

讀一讀1勾股定理是數學上有證明方法最多的定理──有四百多種說明！古今中外有許多人探索勾股定理的證明方法，不但有數學家，還有物理學家，甚至畫家、政治家。如趙爽（中）、梅文鼎（中）、歐幾里德（希臘）、辛卜松（英）、加菲爾德（美第二十屆總統(tǒng)）等等。其證明方法達數百種之多，這在數學史上是十分罕見的.′駛向勝利的彼岸P18《讀一讀》：勾股定理的證明.第十二頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日學無止境

讀一讀1歷時幾千年的兩個定理，牽動著世界上不知多少代億萬人們的心，前人以堅韌的毅力，開拓創(chuàng)新的精神譜寫了科學知識寶庫中探寶的光輝篇章，還有許多寶藏等待后人開采。自然無限，創(chuàng)造永恒。同學們要努力學習，提高自身素質，不辜負時代重托，將來為人類作出更大貢獻?！漶傁騽倮谋税禤18《讀一讀》：勾股定理的證明.第十三頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日學無止境

讀一讀1學習永遠是件快樂而有趣的事！勾股定理的魅力將把你引入一個奇妙的境界！′駛向勝利的彼岸P18《讀一讀》：勾股定理的證明.第十四頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日夢想成真

試一試P1421.如圖(單位：英尺),在一個長方體的房間里,一只蜘蛛在一面墻的正中間離天花板1英尺的A處,蒼蠅則在對面墻的正中間離地板1英尺的B處.試問:蜘蛛為了捕獲蒼蠅,需要爬行的最短距離是多少?●AB●301212第十五頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日回味無窮勾股定理:如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理在西方文獻中又稱為畢達哥拉斯定理（pythagorastheorem）.勾股定理的逆定理:如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個三角形是直角三角形.命題與逆命題在兩個命題中,如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件,那么這兩個命題稱為互逆命題,其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.定理與逆定理如果一個定理的逆命題經過證明是真命題,那么它是一個定理,這兩個定理稱為互逆定理,其中一個定理稱另一個定理的逆定理.小結拓展第十六頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日知識的升華獨立作業(yè)P9習題1.41,2,3題.祝你成功！第十七頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日習題1.4

獨立作業(yè)1駛向勝利的彼岸1.如圖，在△ABC中，已知AB=13cm,BC=10cm,BC邊上的中線AD=12cm.求證:AB=AC.證明:∵BD=CD,BC=10cm(已知),∴BD=5cm(等式性質).∵AD2+BD2=122+52＝144+25=169,AB2=132=169,∴AD2+BD2=AB2.

DBCA∴在△ABD中,∴△ABC是直角三角形(如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個三角形是直角三角形).在Rt△ADC中∴AC2=DC2+AD2=122+52＝144+25=169,∴AC2=AB2.∴AB=AC(等式性質).第十八頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日習題1.4

獨立作業(yè)2駛向勝利的彼岸2.房梁的一部分如圖所示,其中BC⊥AC,∠A=300,AB=10m,CB1⊥AB,B1C1⊥AC,垂足為B1,C1,那么BC的長是多少？B1C1呢？解:∵BC⊥AC,∠A=300,AB=10m(已知),∴BC=AB/2=10÷2＝5(在直角三角形中,如果有一個銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半),又∵CB1⊥AB,∠BCB1=900-600=300(直角三角形兩銳角互余),∴CB1=BC/2=5÷2＝2.5(在直角三角形中,如果有一個銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).老師提示:對于含300角的直角三角形邊之間,角之間的關系要作為常識去認可.BCA300B1C1∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5(等式性質).∴B1C1=AB1/2=7.5÷2＝3.75(在直角三角形中,如果有一個銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).第十九頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日習題1.4

獨立作業(yè)3駛向勝利的彼岸3.如圖,正四棱柱的底面邊長為5cm,側棱長為8cm,一只螞蟻欲從正四棱柱的底面上的點A沿棱柱側面到點C1處吃食物,那么它需要爬行的最短路徑是多少？解:如下圖,將四棱柱的側面展開,連結AC1,∵AC=10cm,CC1=8cm(已知),老師提示:對于空間圖形需要動手操作,將其轉化為平面圖形來解決.B