2019-2020學(xué)年黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2019-2020學(xué)年黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)空間中兩點(diǎn)間的距離公式求解.【詳解】故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中兩點(diǎn)間的距離公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.2．已知，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式及法則求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.3．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)空間點(diǎn)的對(duì)稱性求解.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱，把x變?yōu)?x，z變?yōu)?z，y不變，所以點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中兩點(diǎn)間的對(duì)稱，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.4．已知命題，﹔命題，，則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】先判斷命題，命題的真假，再利用復(fù)合命題的結(jié)論判斷.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的值域知，命題是真命題，因?yàn)?，所以，命題是假命題，則是真命題，所以是真命題.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的真假判斷，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.5．是成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．不充分也不必要條件【答案】A【解析】利用不等式的性質(zhì)可知能推出,利用取特殊值法可知推不出,從而得到結(jié)論.【詳解】解:當(dāng)時(shí),由不等式的性質(zhì)知成立;當(dāng)時(shí),取,則不成立,所以是成立的充分不必要條件.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)和四種條件的判定,屬基礎(chǔ)題.6．曲線和圍成的封閉面積是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意畫(huà)出直線與曲線所圍成的封閉圖形，利用定積分求出面積.【詳解】直線與曲線所圍成的封閉圖形如圖陰影部分,兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，其面積為：故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用定積分求曲邊梯形的面積，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.7．已知空間向量，，若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)，則求解【詳解】因?yàn)橄蛄?，，又因?yàn)?，所?解得=.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.8．命題“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】根據(jù)命題的否定的定義判斷，要注意既要否定結(jié)論，也要轉(zhuǎn)化量詞.【詳解】因?yàn)槊}“，”根據(jù)命題的否定的定義所以命題“，”的否定是，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的否定，還考查了理解辨析的的能力，屬于基礎(chǔ)題.9．如圖所示，在正方體中，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先建立空間直角坐標(biāo)系，求得相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到相應(yīng)向量的坐標(biāo)，再利用線線角的向量法求解.【詳解】以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=1則B(1,1,0)，C(0,1,0)，M(,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，所以，與，設(shè)異面直線與所成角為，.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線所成的角，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.10．已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作斜率為的直線，恰好與圓相切，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先通過(guò)焦點(diǎn)設(shè)出直線方程，再利用直線恰好與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑求解.【詳解】設(shè)左焦點(diǎn)為，則直線方程，即，因?yàn)橹本€恰好與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，所以，所以.所以雙曲線的漸近線方程為故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.11．函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】將當(dāng)時(shí)，恒成立，轉(zhuǎn)化為時(shí)恒成立，再令，用導(dǎo)數(shù)法求最小值即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以時(shí)，恒成立，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)取得最小值e.所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式恒成立問(wèn)題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.12．橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同，，分別為左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】先根據(jù)橢圓與雙曲線的定義求得，再在中，利用余弦定理，化簡(jiǎn)變形求解.【詳解】設(shè)，根據(jù)題意，，解得，在中，設(shè)，由余弦定理得，所以，，，，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓與雙曲線的定義和余弦定理，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題13．已知拋物線方程為，則其準(zhǔn)線方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即，且開(kāi)口向上，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，所以其準(zhǔn)線方程為，應(yīng)填答案．14．已知，滿足線性約束條件，則的最小值為_(kāi)_______.【答案】；【解析】根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，平移目標(biāo)函數(shù)所在的直線，找到最優(yōu)點(diǎn)，將最優(yōu)點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求解.【詳解】根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，如圖所示：平移目標(biāo)函數(shù)所在的直線，最優(yōu)點(diǎn)A()，所以故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.15．計(jì)算__________．【答案】【解析】分析：根據(jù)定積分的幾何意義，將定積分化為兩個(gè)區(qū)域的面積求解．詳解：令，可得，表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓的上半部分．結(jié)合圖形可得所求定積分為和扇形的面積之和（如圖），且中，，扇形中，．故．點(diǎn)睛：求定積分的方法有兩種，一是根據(jù)微積分基本定理求解；二是根據(jù)定積分的幾何意義求解，特別是對(duì)于被積函數(shù)中含有根號(hào)形式的定積分，一般要根據(jù)幾何意義轉(zhuǎn)化為圖形的面積求解．16．已知函數(shù)，且對(duì)于任意的，，，恒成立，則的取值范圍是________.【答案】【解析】先求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，然后不妨設(shè)，且，將恒成立，去絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為恒成立，令，轉(zhuǎn)化為是減函數(shù)，通過(guò)恒成立求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以在是增函?shù)，不妨設(shè)，且，因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，所以恒成立，令，因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以，恒成立，所以恒成立，因?yàn)樗?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)法研究不等式恒成立問(wèn)題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.三、解答題17．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是和；單調(diào)遞減區(qū)間是（2）最大值為，最小值為.【解析】（1）先求導(dǎo)，，則的解集對(duì)應(yīng)的是增區(qū)間，的解集對(duì)應(yīng)的是減區(qū)間.（2）根據(jù)（1）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，求出極值點(diǎn)，再加上端點(diǎn)值，其中最大的為最大值，最小的為最小值.【詳解】（1），當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是和，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性與最值問(wèn)題，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18．（1）證明不等式.（2）證明：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）構(gòu)造函數(shù)，若證不等式成立，則，用導(dǎo)數(shù)法求的最小值即可.（2）構(gòu)造函數(shù)，若證時(shí)，不等式恒成立，則，用導(dǎo)數(shù)法求最小值即可.【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁匠闪?，所以成立，令，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，即，所以.（2）要證時(shí)，不等式恒成立，只需時(shí)，不等式恒成立，令，，由（1）可知，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，即，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)法證明不等式，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.19．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線與，兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得，如果存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】（1）根據(jù)，求得，得到點(diǎn)，再代入拋物線方程求解.（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，與聯(lián)立拋物線得：，設(shè)點(diǎn)，，，根據(jù)，則兩直線的斜率互為相反數(shù)，即，再由求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，點(diǎn)，代入拋物線方程得，，解得，所以拋物線方程是.（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立得：，，，設(shè)點(diǎn)，，，，，因?yàn)?，所以，即，，所以，所以，由于具有任意性，所以，?【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的方程及直線與拋物線的位置關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20．如圖所示在四棱錐中，下底面為正方形，平面平面，為以為斜邊的等腰直角三角形，，若點(diǎn)是線段上的中點(diǎn).（1）證明平面.（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，有，再根據(jù)線面平行的判定理證明.（2）取中點(diǎn)，由平面平面，得平面，即，，倆倆垂直，以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，再利用面面角的向量法求解.【詳解】（1）連結(jié)，相交于點(diǎn)，連結(jié)，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫矫妫云矫?（2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)，，，，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，即，，兩兩垂?以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令z1=1，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令z2=1，所以.二面角的平面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的判定定理，二面角的求法，還考查了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.21．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小值；（2）若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1）先求導(dǎo)，再求極小值點(diǎn)，從而求得最小值.（2）先將恒成立，轉(zhuǎn)化為，恒成立，令，用導(dǎo)數(shù)法求的最大值即可.【詳解】（1）因?yàn)?所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為.（2）因?yàn)楹愠闪ⅲ?，恒成立，所以，恒成立，令，，令，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)為函數(shù)取得最大值，所以，所以取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值，證明不等式恒成立問(wèn)題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.22．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，該橢圓與軸正半軸交于點(diǎn)，且是邊長(zhǎng)為的等邊三角形.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)任作一直線交橢圓于，兩點(diǎn)，平面上有一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，且滿足，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）（2）點(diǎn)的軌跡的方程為【解析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)，得到的關(guān)系求橢圓的方程.（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，