2021-2022學年北京市石景山區(qū)高三（上）期末數學試卷

2021-2022學年北京市石景山區(qū)高三（上）期末數學試卷試題數：21，總分：1501.（單選題，4分）設集合A={x|-2＜x＜4}，B={2，3，4，5}，則A∩B=（）A.{2，3，4}B.{3，4}C.{2，3}D.{2}2.（單選題，4分）已知i為虛數單位，若（2+i）z=i，則復數z在復平面內對應的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（單選題，4分）設函數，則f（x）是（）A.奇函數，且在（0，+∞）單調遞增B.奇函數，且在（0，+∞）單調遞減C.偶函數，且在（0，+∞）單調遞增D.偶函數，且在（0，+∞）單調遞減4.（單選題，4分）將2本不同的數學書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數學書相鄰的概率為（）A.B.C.D.5.（單選題，4分）記Sn為等差數列{an}的前n項和，若S2=3，S4=18，則S6=（）A.36B.45C.63D.756.（單選題，4分）某高校調查了200名學生每周的自習時間（單位：小時），其中自習時間的范圍是[17.5，30]，并制成了頻率分布直方圖，如右圖所示，樣本數據分組為[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根據頻率分布直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是（）A.56B.60C.120D.1407.（單選題，4分）若a＞b＞1，0＜c＜1，則（）A.cb＜caB.logca＞logcbC.ac＜bcD.logac＞logbc8.（單選題，4分）在△ABC中，若2bcosB=acosC+ccosA，則B=（）A.B.C.D.9.（單選題，4分）設{an}是首項為-1的等比數列，公比為q，則“q＜0”是“對任意的正整數n，a2n-1+a2n＞0”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件10.（單選題，4分）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E，F，且，給出下列三個結論：

①AC⊥BE；

②△AEF的面積與△BEF的面積相等；

③三棱錐A-BEF的體積為定值．

其中，所有正確結論的個數是（）A.0B.1C.2D.311.（填空題，5分）已知向量=（2，5），=（λ，4），若||，則λ=___．12.（填空題，5分）雙曲線的焦點坐標為___，漸近線方程為___．13.（填空題，5分）設函數f（x）=，則使f（x）≤2成立的x的取值范圍是___．14.（填空題，5分）若點P（cosθ，sinθ）關于x軸的對稱點為，則θ的一個取值為___．15.（填空題，5分）數學中有許多形狀優(yōu)美的曲線，如星形線，讓一個半徑為r的小圓在一個半徑為4r的大圓內部，小圓沿著大圓的圓周滾動，小圓的圓周上任一點形成的軌跡即為星形線．如圖，已知r=1，起始位置時大圓與小圓的交點為A（A點為x軸正半軸上的點），滾動過程中A點形成的軌跡記為星形線C．有如下結論：

①曲線C上任意兩點間距離的最大值為8；

②曲線D：|x|+|y|=4的周長大于曲線C的周長；

③曲線C與圓x2+y2=4有且僅有4個公共點．

其中正確的序號為___．16.（問答題，13分）已知函數，h（x）=cosx，從條件①f（x）=g（x）?h（x）、條件②f（x）=g（x）+h（x）這兩個條件中選擇一個作為已知，求：

（Ⅰ）f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）f（x）在區(qū)間上的最小值．17.（問答題，14分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠DAB=∠ADC=，側面PAD為直角三角形，∠PAD=，CD⊥平面PAD．

（Ⅰ）求證：CD||平面PAB；

（Ⅱ）求證：PA⊥平面ABCD；

（Ⅲ）若AB=3，PD=4，CD=AD=2，判斷在線段PD上是否存在一點M，使得直線AM與平面PBC所成角的大小為．18.（問答題，13分）某校組織“創(chuàng)建文明城區(qū)”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的學生先在兩類問題中選擇一類，然后從所選類別的問題中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，比賽結束．A類問題回答正確得10分，否則得0分；B類問題回答正確得30分，否則得0分．已知小明同學能正確回答A類中的每一個問題的概率均為0.8，能正確回答B(yǎng)類中的每一個問題的概率均為0.5，且能正確回答問題的概率與回答次序無關．

（Ⅰ）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

（Ⅱ）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由．19.（問答題，15分）已知橢圓，O為坐標原點，右焦點坐標為，橢圓C的離心率為．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）橢圓C在y軸上的兩個頂點為A，B，點P滿足，直線PF交橢圓于M，N兩點，且，求此時∠OPF的大?。?0.（問答題，15分）已知函數．

（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（0，-1）處的切線方程；

（Ⅱ）當a＞0時，求f（x）的單調區(qū)間；

（Ⅲ）求證：當a≤-1時，f（x）≥-e．21.（問答題，15分）記實數a，b中的較大者為max{a，b}，例如max{1，2}=2，max{1，1}=1，對于無窮數列{an}，記，若對于任意的k∈N*，均有φk+1＜φk，則稱數列{an}為“趨勢遞減數列”．

（Ⅰ）已知數列{an}，{bn}的通項公式分別為an=-2n+1，，判斷數列{an}，{bn}是否為“趨勢遞減數列”，并說明理由；

（Ⅱ）已知首項為1公比為q的等比數列{cn}是“趨勢遞減數列”，求q的取值范圍；

（Ⅲ）若數列{dn}滿足d1，d2為正實數，且dn+2=|dn+1-dn|，求證：{dn}為“趨勢遞減數列”的充要條件為{dn}的項中沒有0．

2021-2022學年北京市石景山區(qū)高三（上）期末數學試卷參考答案與試題解析試題數：21，總分：1501.（單選題，4分）設集合A={x|-2＜x＜4}，B={2，3，4，5}，則A∩B=（）A.{2，3，4}B.{3，4}C.{2，3}D.{2}【正確答案】：C【解析】：利用交集定義直接求解．

【解答】：解：∵集合A={x|-2＜x＜4}，B={2，3，4，5}，

∴A∩B={2，3}．

故選：C．

【點評】：本題考查集合的運算，考查交集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．2.（單選題，4分）已知i為虛數單位，若（2+i）z=i，則復數z在復平面內對應的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正確答案】：A【解析】：根據復數的運算求出z，從而求出復數z在復平面內對應的點所在的象限．

【解答】：解：∵（2+i）z=i，

∴z====+i，

則復數z在復平面內對應的點位于第一象限，

故選：A．

【點評】：本題考查了復數的運算，考查復數z在復平面內對應的點所在的象限，是基礎題．3.（單選題，4分）設函數，則f（x）是（）A.奇函數，且在（0，+∞）單調遞增B.奇函數，且在（0，+∞）單調遞減C.偶函數，且在（0，+∞）單調遞增D.偶函數，且在（0，+∞）單調遞減【正確答案】：A【解析】：根據函數奇偶性和單調性的定義進行判斷即可．

【解答】：解：函數的定義域為{x|x≠0}，

f（-x）=-x3+=-（x3-）=-f（x），則f（x）是奇函數，

當x＞0時，y=x3和y=-是增函數，則f（x）在（0，+∞）上也是增函數，

故選：A．

【點評】：本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷，掌握函數奇偶性和單調性的定義和性質是解決本題的關鍵，是基礎題．4.（單選題，4分）將2本不同的數學書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數學書相鄰的概率為（）A.B.C.D.【正確答案】：D【解析】：將2本不同的數學書和1本語文書在書架上隨機排成一行的情況共有種，其中2本數學書相鄰的情況有種，以此可解決此題．

【解答】：解：將2本不同的數學書和1本語文書在書架上隨機排成一行的情況共有=6種，其中2本數學書相鄰的情況有=4種，則2本數學書相鄰的概率為=．

故選：D．

【點評】：本題考查排列數應用及古典概型，考查數學運算能力，屬于基礎題．5.（單選題，4分）記Sn為等差數列{an}的前n項和，若S2=3，S4=18，則S6=（）A.36B.45C.63D.75【正確答案】：B【解析】：利用等差數列{an}的前n項和公式列出方程組，求出a1=0，d=3，由此能求出S6．

【解答】：解：Sn為等差數列{an}的前n項和，S2=3，S4=18，

∴，

解得a1=0，d=3，

∴S6=6×0+=45．

故選：B．

【點評】：本題考查等差數列的前6項和的求法，考查等差數列前n項和公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．6.（單選題，4分）某高校調查了200名學生每周的自習時間（單位：小時），其中自習時間的范圍是[17.5，30]，并制成了頻率分布直方圖，如右圖所示，樣本數據分組為[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根據頻率分布直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是（）A.56B.60C.120D.140【正確答案】：D【解析】：根據直方圖確定自習時間不少于22.5小時的頻率，再結合頻率與頻數的關系，即可求解．

【解答】：解：這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的頻率為（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，

因此這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數為200×0.7=140．

故選：D．

【點評】：本題主要考查頻率分布直方圖的應用，屬于基礎題．7.（單選題，4分）若a＞b＞1，0＜c＜1，則（）A.cb＜caB.logca＞logcbC.ac＜bcD.logac＞logbc【正確答案】：D【解析】：分別結合指數函數，對數函數與冪函數單調性檢驗各選項即可判斷．

【解答】：解：因為0＜c＜1，a＞b，

所以y=cx在R上單調遞減，所以cb＞ca，A錯誤；

y=logcx在（0，+∞）上單調遞減，logca＜logcb＜0，B錯誤；

因為y=xc在（0，+∞）上單調遞增且a＞b，

所以ac＞bc，C錯誤；

所以logac＞logbc，D正確．

故選：D．

【點評】：本題主要考查了指數函數，對數函數與冪函數單調性在函數值大小比較中的應用，屬于基礎題．8.（單選題，4分）在△ABC中，若2bcosB=acosC+ccosA，則B=（）A.B.C.D.【正確答案】：C【解析】：直接利用三角函數的關系式的變換和正弦定理的應用求出結果．

【解答】：解：在△ABC中，若2bcosB=acosC+ccosA，

利用正弦定理：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB；

由于0＜A、B＜π，

所以cosB=，

解得B=．

故選：C．

【點評】：本題考查的知識要點：三角函數的關系式的變換，正弦定理的應用，主要考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于基礎題．9.（單選題，4分）設{an}是首項為-1的等比數列，公比為q，則“q＜0”是“對任意的正整數n，a2n-1+a2n＞0”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【正確答案】：B【解析】：由已知結合等比數列的通項公式分別檢驗充分性及必要性即可判斷．

【解答】：解：因為a2n-1+a2n=-q2n-2+（-1）×q2n-1=-（q+1）?q2n-2，

當q＜0時，無法確定q+1的正負，故無法確定a2n-1+a2n的正負，

當a2n-1+a2n＞0時，可得-（q+1）?q2n-2＞0，

所以q+1＜0，即q＜-1，此時一定有q＜0，

故q＜0是對任意的正整數n，a2n-1+a2n＞0的必要不充分條件．

故選：B．

【點評】：本題主要考查了等比數列的通項公式，還考查了充分性及必要性的檢驗，屬于基礎題．10.（單選題，4分）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E，F，且，給出下列三個結論：

①AC⊥BE；

②△AEF的面積與△BEF的面積相等；

③三棱錐A-BEF的體積為定值．

其中，所有正確結論的個數是（）A.0B.1C.2D.3【正確答案】：C【解析】：①根據條件，可知AC⊥面DD1B1B，由線面垂直的性質，可得AC⊥BE；②由△AEF與△BEF是同底不等高，得出面積不相等；③直接求出該三棱錐的體積即可判斷．

【解答】：解：對于①，根據題意，結合圖形知，AC⊥面DD1B1B，BE?平面DD1B1B，

∴AC⊥BE，命題①正確；

對于②，∵點B到直線EF的距離與點A到直線EF的距離不相等，

∴△AEF與△BEF的面積不相等，命題②錯誤；

對于③，三棱錐A-BEF的體積為V三棱錐A-BEF=?S△BEF?h=×××1×=，

∴三棱錐A-BEF的體積為定值，命題③正確；

對于綜上，正確的命題有2個．

故選：C．

【點評】：本題以正方體為載體，考查了空間中的平行與垂直關系，面積與體積的計算問題，是綜合性題目，屬中檔題．11.（填空題，5分）已知向量=（2，5），=（λ，4），若||，則λ=___．【正確答案】：[1]【解析】：根據題意，由||，可得關于λ的方程，再求出λ即可．

【解答】：解：因為=（2，5），=（λ，4），||，

所以8-5λ=0，解得λ=．

故答案為：．

【點評】：本題考查向量平行的坐標表示，涉及向量的坐標計算，屬于基礎題．12.（填空題，5分）雙曲線的焦點坐標為___，漸近線方程為___．【正確答案】：[1]（±4，0）;[2]y=x【解析】：直接利用雙曲線方程求解焦點坐標以及漸近線方程即可．

【解答】：解：雙曲線，可得a=2，b=2，c=4，

所以雙曲線的焦點坐標為（±4，0），

漸近線方程為：y=x．

故答案為：（±4，0）；y=x．

【點評】：本題考查雙曲線的簡單性質的應用，焦點坐標以及漸近線方程的求法，是基礎題．13.（填空題，5分）設函數f（x）=，則使f（x）≤2成立的x的取值范圍是___．【正確答案】：[1]（-∞，4]【解析】：由分段函數可得當x＜1時，f（x）≤2即為2x-1≤2，當x≥1時，f（x）≤2即為≤2，運用指數函數和冪函數的單調性，解出不等式，最后求并集即可．

【解答】：解：函數f（x）=，

當x＜1時，f（x）≤2即為2x-1≤2，解得x≤2，即為x＜1；

當x≥1時，f（x）≤2即為≤2，解得x≤4，即為1≤x≤4．

則有x的取值范圍是（-∞，1）∪[1，4]=（-∞，4]．

故答案為：（-∞，4]．

【點評】：本題考查分段函數的運用：解不等式，主要考查指數函數和冪函數的單調性的運用，考查運算能力，屬于中檔題．14.（填空題，5分）若點P（cosθ，sinθ）關于x軸的對稱點為，則θ的一個取值為___．【正確答案】：[1]-【解析】：直接利用點的對稱的應用和三角函數的關系式的變換的應用求出結果．

【解答】：解：∵點P（cosθ，sinθ）關于x軸的對稱點為，

∴cosθ=cos（θ+），sinθ=-sin（θ+）．

由sinθ+sin（θ+）=0，整理得：sinθ+sinθ+cosθ=0，

即+cosθ=0，sin（θ+）=0，

故θ=-時，上式成立，

故答案為：-．

【點評】：本題考查的知識要點：三角函數的關系式的變換，主要考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于中檔題．15.（填空題，5分）數學中有許多形狀優(yōu)美的曲線，如星形線，讓一個半徑為r的小圓在一個半徑為4r的大圓內部，小圓沿著大圓的圓周滾動，小圓的圓周上任一點形成的軌跡即為星形線．如圖，已知r=1，起始位置時大圓與小圓的交點為A（A點為x軸正半軸上的點），滾動過程中A點形成的軌跡記為星形線C．有如下結論：

①曲線C上任意兩點間距離的最大值為8；

②曲線D：|x|+|y|=4的周長大于曲線C的周長；

③曲線C與圓x2+y2=4有且僅有4個公共點．

其中正確的序號為___．【正確答案】：[1]①③【解析】：根據題意，分析曲線C的圖形，據此分析3個結論，即可得答案．

【解答】：解：根據題意，曲線C的形狀如圖：其中A（0，4），B（-4，0），C（0，-4），D（4，0），

由此分析3個結論：

對于①，曲線C上，AC或BD之間的距離最大，且|AC|=|BD|=8，即任曲線C上任意兩點間距離的最大值為8，正確；

對于②曲線D：|x|+|y|=4，圖形為圖中的正方形，必有D的周長小于曲線C的周長；

對于③，曲線C與圓x2+y2=4有且僅有4個公共點，即ABCD四點，正確；

正確的是①③，

故答案為：①③．

【點評】：本題考查曲線的軌跡，涉及命題真假的判斷，屬于中檔題．16.（問答題，13分）已知函數，h（x）=cosx，從條件①f（x）=g（x）?h（x）、條件②f（x）=g（x）+h（x）這兩個條件中選擇一個作為已知，求：

（Ⅰ）f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）f（x）在區(qū)間上的最小值．【正確答案】：

【解析】：選擇條件①：（Ⅰ）利用三角函數恒等變換的應用可求函數解析式為f（x）=sin（2x-）-，利用正弦函數的周期公式即可求解；（Ⅱ）由已知可求2x-∈[-，]，利用正弦函數的性質，即可求解函數的最大值．

選擇條件②：（Ⅰ）利用三角函數恒等變換的應用可求函數解析式為f（x）=sin（x+），利用正弦函數的周期公式即可求解；（Ⅱ）由已知可求得x+∈[，]，利用正弦函數的性質，即可求解函數的最大值．

【解答】：解：選擇條件①：f（x）=g（x）?h（x），

（Ⅰ）f（x）=sin（x-）cosx=（sinx-cosx）cosx

=sinxcosx-cos2x=××sin2x-×=sin2x-cos2x-

=sin（2x-）-，

所以f（x）的最小正周期T==π．

（Ⅱ）因為x∈[0，]，可得2x-∈[-，]，

所以sin（2x-）∈[-，1]，可得sin（2x-）-∈[-，]，

當2x-=，即x=時，f（x）有最大值．

選擇條件②：f（x）=g（x）+h（x），

（Ⅰ）f（x）=sin（x-）+cosx=（sinx-cosx）+cosx

=sinx+cosx=sin（x+），

所以f（x）的最小正周期T==2π．

（Ⅱ）因為x∈[0，]，可得x+∈[，]，

所以sin（x+）∈[，1]，

當x+=，即x=時，f（x）有最大值1．

【點評】：本題主要考查了三角函數恒等變換，正弦函數的周期公式以及正弦函數的性質，考查了轉化思想和函數思想的應用，屬于基礎題．17.（問答題，14分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠DAB=∠ADC=，側面PAD為直角三角形，∠PAD=，CD⊥平面PAD．

（Ⅰ）求證：CD||平面PAB；

（Ⅱ）求證：PA⊥平面ABCD；

（Ⅲ）若AB=3，PD=4，CD=AD=2，判斷在線段PD上是否存在一點M，使得直線AM與平面PBC所成角的大小為．【正確答案】：

【解析】：（I）由條件得到AB||CD即可；

（II）由條件可得CD⊥PA，AD⊥PA，即可證明；

（III）以點A為坐標原點，分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系A-xyz，算出平面PBC的法向量，設，然后可得，然后可建立方程求解．

【解答】：證明：（I）因為四棱錐P-ABCD中，，

所以AB||CD，

因為AB?平面PAB，CD?平面PAB，

所以CD||平面PAB．

證明：（II）因為CD⊥平面PAD，PA?平面PAD，所以CD⊥PA，

又因為，所以AD⊥PA，

因為CD，AD?平面ABCD，CD∩AD=D，

所以PA⊥平面ABCD．

解：（III）存在，當M為線段PD中點時，理由如下：

由（II）可知，因為PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，

所以AB⊥PA，

又AD⊥PA，AB⊥AD，

如圖以點A為坐標原點，分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系A-xyz，

則．

設平面PBC的法向量為=（x，y，z），

由得

令，所以．

設，

則，

所以，

直線AM與平面PBC所成角為θ，

所以，

解得，符合題意，

所以當M為線段PD中點時，直線AM與平面PBC所成角的大小為．

【點評】：本題考查利用空間向量解決立體幾何的問題，考查學生的運算能力，屬于中檔題．18.（問答題，13分）某校組織“創(chuàng)建文明城區(qū)”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的學生先在兩類問題中選擇一類，然后從所選類別的問題中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，比賽結束．A類問題回答正確得10分，否則得0分；B類問題回答正確得30分，否則得0分．已知小明同學能正確回答A類中的每一個問題的概率均為0.8，能正確回答B(yǎng)類中的每一個問題的概率均為0.5，且能正確回答問題的概率與回答次序無關．

（Ⅰ）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

（Ⅱ）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由．【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）得分情況有三種可能性，第一個問題錯誤，0分；第一個問題正確，第二個錯誤，10分；兩個問題都正確，40分，分別求出相應的概率，能求出X的分布列；

（Ⅱ）將兩種情況分別進行計算，比較大小即可得出結論．

【解答】：解：（Ⅰ）得分情況有三種可能性，第一個問題錯誤，X=0分，

P（X=0）=1-0.8=0.2，

第一個問題正確，第二個錯誤，X=10分，

P（X=10）=0.8×（1-0.5）=0.4，

兩個問題都正確，X=40分，

P（X=40）=0.8×0.5=0.4，

∴X的分布列為：X1040P0.20.40.4（Ⅱ）由（1）知，若小明先回答A問題，則E（X）=0×0.2+10×0.4+40×0.4=20，

若小明先回答B(yǎng)問題，記Y為小明的累計得分，則Y的可能取值為0，30，40，

P（Y=0）=1-0.5=0.5，

P（Y=30）=0.5×（1-0.8）=0.1，

P（Y=40）=0.5×0.8=0.4，

∴E（Y）=0×0.5+30×0.1+40×0.4=19，

∵19＜20，∴小明應選擇先回答A類問題．

【點評】：本題考查離散型隨機變量的分布列、數學期望的求法，考查運算求解能力，是中檔題．19.（問答題，15分）已知橢圓，O為坐標原點，右焦點坐標為，橢圓C的離心率為．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）橢圓C在y軸上的兩個頂點為A，B，點P滿足，直線PF交橢圓于M，N兩點，且，求此時∠OPF的大小．【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）利用橢圓的焦點坐標及橢圓的離心率可求解；

（Ⅱ）分析可知直線PF斜率存在，設為，聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理弦長公式可知直線PF的方程為，再利用，知點P在以原點為圓心，半徑為1的圓上，利用點到直線的距離公式可判斷直線與圓的位置關系，進而求解．

【解答】：解：（Ⅰ）因為右焦點為，所以，

因為離心率，

所以，

所以橢圓C的方程為．

（Ⅱ）當直線PF垂直于x軸時，（舍）；

當直線PF不垂直于x軸時，設直線PF的方程為，

由，整理得，

設M（x1，y1），N（x2，y2），由題意Δ＞0恒成立，

所以，

利用弦長公式知=，

解得k=±1，

所以直線PF的方程為，

因為A，B為橢圓C在y軸上的兩個頂點，不妨設A（0，1），B（0，-1），

因為，設P（m，n），

所以（m，n-1）?（m，n+1）=0，

即m2+n2=1，

即點P在以原點為圓心，半徑為1的圓上，

因為原點到直線PF的距離，

所以直線PF與圓m2+n2=1相切，

所以∠OPF=90°．

【點評】：本題考查了橢圓的標準方程，直線與橢圓的綜合，屬于中檔題．20.（問答題，15分）已知函數．

（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（0，-1）處的切線方程；

（Ⅱ）當a＞0時，求f（x）的單調區(qū)間；

（Ⅲ）求證：當a≤-1時，f（x）≥-e．【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）求導，由導數的幾何意義求出切線方程；

（Ⅱ）求出f'（x），分0＜a＜、a=、a＞，討論y=f（x）的單調性可得答案；

（Ⅲ）當a≤-1時，令f'（x）=0，得x=或x=2，f（x）取得極小值f（）=-，-∈[-e，1），由極小值定義及f（x）的單調性可知：

當x＜2時，f（x）≥-e；當x≥2時，設g（x）=-ax2+x-1，由二次函數的性質可知g（x）＞g（2）＞0恒成立，可得答案．

【解答】：解：（Ⅰ）因為f'（x）===，

所以f'（0）=2，f（0）=-1，

所以曲線y=f（x）在點（0，-1）處的切線方程為y=2x-1．

（Ⅱ）由（1）知：f'（x）=，

因為a＞0，令f'（x）=0，所以x=或x=2．

當0＜a＜時，，則

當x∈（-∞，2）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；

當x∈（2，）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；

當x∈（，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；

當a=時，f'（x）≥0恒成立，f（x）在R上恒為增函數；

當a＞時，0＜＜2，則

當x∈（-∞，）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；

當x∈（，2）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；

當x∈（2，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；

綜上，當0＜a＜時，單調遞增區(qū)間是（-∞，2）和（，+∞），單調遞減區(qū)間是（2，）；

當a=時，單調遞增區(qū)間是R，無單調遞減區(qū)間；

當a＞時，單調遞增區(qū)間是（-∞，）和（2，+∞），單調遞減區(qū)間是（，2）．

（Ⅲ）當a≤-1時，令f'（x）=0得x=或x=2，則

當x∈（-∞，）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；

當x∈（，2）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；

當x∈（2，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；

所以當x=時，f（x）取得極小值f（）=-，

因為a≤-1，所以-∈[-e，-1），

所以由極小值定義及f（x）的單調性可知：

當x＜2時，f（x）≥-e；

接下來，研究f（x）在x≥2的變化情況，

因為ex＞0恒成立，設g（x）=-ax2+x-1，x≥2，a≤-1，則

對稱軸x=＜0，Δ=1-4a＞0，拋物線開口向上，g（2）=1-4a＞0，

所以由二次函數的性質可知：g（x）＞g（2）＞0恒成立，

所以f（x）＞0在x≥2上恒成立．

綜上所述，當a≤-1時，f（x）≥-e．

【點評】：本題考查利用導數研究函數的單調性、最值與極值，考查學生的邏輯思維能力和運算能力，屬中檔題．21.（問答題，15分）記實數a，b中的較大者為max{a，b}，例如max{1，2}=2，max{1，1}=1，對于無窮數列{an}，記，若對于任意的k∈N*，均有φk+1＜φk，則稱數列{an}為“趨勢遞減數列”．

（Ⅰ）已知數列{an}，{bn}的通項公式分別為an=-2n+1，，判斷數列{an}，{bn}是否為“趨勢遞減數列”，并說明理由；

（Ⅱ）已知首項為1