多目標優(yōu)化設計方法

關于多目標優(yōu)化設計方法第一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日7.1概述一、多目標優(yōu)化及數(shù)學模型單目標最優(yōu)化方法多目標最優(yōu)化方法多目標優(yōu)化的實例：物美價廉第二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日設計車床齒輪變速箱時，要求：

7.1概述（續(xù)）

各齒輪體積總和盡可能小降低成本各傳動軸間的中心距總和使變速箱結構緊湊。

合理選用材料使總成本盡可能小。盡可能小。盡可能小傳動效率盡可能高機械耗損率

在優(yōu)化設計中同時要求幾項指標達到最優(yōu)值的問題稱為多目標優(yōu)化設計問題。第三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日7.1概述（續(xù)）

例如，在機械加工時，對于用單刀在一次走刀中將零件車削成形，為選擇合適的切削速度和每轉給進量，提出以下目標：

機械加工成本最低；

生產率最高；

刀具壽命最長。還應滿足的約束條件是：

進給量小于毛坯所留最大加工余量

刀具強度等第四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日7.1概述（續(xù)）

對于一個具有L個目標函數(shù)和若干個約束條件的多目標優(yōu)化問題，其數(shù)學模型的表達式可寫為：求：向量形式的目標函數(shù)設計變量應滿足的所有約束條件n維歐氏空間的一個向量第五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日7.1概述（續(xù)）二、幾個基本概念設1、最優(yōu)解(D為可行域），若對于任意，恒使成立，則稱X*為多目標優(yōu)化問題的絕對最優(yōu)解，簡稱最優(yōu)解。若干個最優(yōu)解組成的集合稱為絕對最優(yōu)解集,用表示。只有當F(X)的各個子目標fi(X)的最優(yōu)點都存在，并且全部重疊于同一點時，才存在有絕對最優(yōu)解。第六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日7.1概述（續(xù)）設2、有效解（非劣解）(D為可行域），若不存在，使成立，則稱X*為多目標優(yōu)化問題的非劣解或有效解。若干個有效解組成的集合稱為有效解集,用表示。第七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日7.1概述（續(xù)）設3、弱有效解（弱非劣解）若不存在,使成立，則稱X*為多目標優(yōu)化問題的弱非劣解或弱有效解。所有弱有效解組成的集合稱為弱有效解集,用表示。三者之間關系：在多目標優(yōu)化設計中，如果一個解使每個分目標函數(shù)值都比另一個解為劣，則這個解稱為劣解。第八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日三、多目標優(yōu)化問題的特點及解法7.1概述（續(xù)）

多目標優(yōu)化是向量函數(shù)的優(yōu)化（單目標函數(shù)是標量函數(shù)的優(yōu)化）；

對于多目標優(yōu)化問題，任何兩個解不一定能比較其優(yōu)劣；

多目標優(yōu)化問題得到的可能只是非劣解（有效解），而非劣解往往不止一個，需要在多個非劣解中找出一個最優(yōu)解。1、特點第九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日7.1概述（續(xù)）2、解法：直接求出非劣解，然后再選擇較好的解間接法將多目標優(yōu)化問題轉化為單目標優(yōu)化問題三、多目標優(yōu)化問題的特點及解法（續(xù))線性加權和法、主要目標函數(shù)法、理想點法、平方和加權法、子目標乘除法、功效系數(shù)法將多目標優(yōu)化問題轉化為一系列單目標優(yōu)化問題分層序列法、寬容分層序列法直接法：第十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日7.2

統(tǒng)一目標函數(shù)法（綜合目標法）一、基本思想

統(tǒng)一目標函數(shù)法就是設法將各分目標函數(shù)f1(X),f2(X),…,fl(X)統(tǒng)一到一個新構成的總的目標函數(shù)f(X),這樣就把原來的多目標問題轉化為一個具有統(tǒng)—目標函數(shù)的單目標問題來求解．即：D為可行域，f1(X)，f2(X)，…，fl(X)為各個子目標函數(shù)。第十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日7.2統(tǒng)一目標函數(shù)法（續(xù)）二、統(tǒng)一目標函數(shù)的構造方法1、線性加權和法（線性加權組合法）

根據(jù)各子目標的重要程度給予相應的權數(shù)，然后用各子目標分別乘以他們各自的權數(shù)，再相加即構成統(tǒng)一目標函數(shù)。即評價函數(shù)為：應滿足歸一性和非負性條件——各子目標函數(shù)——權數(shù)第十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日優(yōu)化的數(shù)學模型為注意：1、建立這樣的評價函數(shù)時，各子目標的單位已經(jīng)脫離了通常的概念。2、權數(shù)（加權因子）的大小代表相應目標函數(shù)在優(yōu)化模型中的重要程度，目標越重要，權數(shù)越大。第十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日權因子的確定方法：

在確定權因子前，應先將各子目標函數(shù)進行無量綱化，處理的方法是：是多目標問題中某個帶量綱的子目標；是作了無量綱處理后的第i個子目標函數(shù)(1)專家評判法（老手法）憑經(jīng)驗評估，并結合統(tǒng)計處理來確定權數(shù)的方法。特點：方法實用，但要求專家人數(shù)不能太少。第十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日（2）容限法若已知子目標函數(shù)fi(X)的變動范圍為：則稱為該目標函數(shù)的容限這時權數(shù)可取為：目的：在評價函數(shù)中使各子目標在數(shù)量級上達到統(tǒng)一平衡。第十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日（3）加權因子分解法本征權因子，反應第i個目標的相對重要程度。校正權因子，用于調整各目標在量級方面差異的影響。目的：使目標變化快慢不一致的趨于一致。第十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日7.2統(tǒng)一目標函數(shù)法（續(xù)）2、理想點法

基本思想：使各個目標盡可能接近各自的最優(yōu)值，從而求出多目標函數(shù)的較好的非劣解。二、統(tǒng)一目標函數(shù)的構造方法（續(xù)）

步驟：先用單目標優(yōu)化方法求得各子目標的約束最優(yōu)值和相應的最優(yōu)點，然后構造評價函數(shù)。評價函數(shù)：第十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日7.2統(tǒng)一目標函數(shù)法（續(xù)）3、平方和加權法

基本思想：在理想點法的基礎上引入權數(shù)二、統(tǒng)一目標函數(shù)的構造方法（續(xù)）評價函數(shù)：構造評價函數(shù)。滿足歸一性和非負性條件第十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日7.3

主要目標函數(shù)法

基本思想：從所有L個子目標函數(shù)中選出一個設計者認為最重要的作為主要目標函數(shù)，而將其余L-1個子目標限制在一定的范圍內，并轉化為新的約束條件，將多目標優(yōu)化問題轉化為單目標優(yōu)化問題。設f2(X)為主要目標函數(shù)，則優(yōu)化的數(shù)學模型為：——原問題第t個目標函數(shù)的上限值。第十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日7.4功效系數(shù)法基本思想：

先按各子目標值的“優(yōu)”或“劣”（即“功效”）分別求出與其對應的功效函數(shù)，然后再由各個功效函數(shù)構造出問題的評價函數(shù)進行求解。

目的是將多目標優(yōu)化問題轉化為單目標優(yōu)化問題第二十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日7.4功效系數(shù)法一、功效系數(shù)多目標優(yōu)化設計中，各子目標的要求不同極小值極大值一個合適的數(shù)值每個子目標都用一個功效函數(shù)di表示——其值為功效系數(shù)功效函數(shù)的范圍[0,1]fi(X)的值滿意時，di=1fi(X)的值不滿意時，di=0第二十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日二、評價函數(shù)7.4功效系數(shù)法（續(xù)）用所有子目標的功效系數(shù)的幾何平均值作為評價函數(shù)f(X)的值越大，設計方案越好；反之越差；f(X)=1時，表示取得最滿意的設計方案f(X)=0時，表示此設計方案不能接受

該評價函數(shù)不會使某一個目標最不滿意——功效系數(shù)法的特點第二十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日三、功效函數(shù)的確定(a)目標函數(shù)越大越好(b)目標函數(shù)越小越好(c)目標函數(shù)過大過小都不好第二十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日

對于一個具有L個目標函數(shù)和若干個約束條件的多目標優(yōu)化問題，若有S個子目標函數(shù)為求極小，而其余L-S個子目標函數(shù)為求極大時，各子目標對應的功效函數(shù)的求法：7.4功效系數(shù)法（續(xù)）三、功效函數(shù)的確定（續(xù)）1、在可行域D中求出各子目標函數(shù)的最小值和最大值第二十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日7.4功效系數(shù)法（續(xù)）三、功效函數(shù)的確定（續(xù)）2、對于前S個要求極小化的子目標函數(shù)fi(X)，若規(guī)定對應的功效函數(shù)滿足則可得線性功效函數(shù)為第二十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日7.4功效系數(shù)法（續(xù)）三、功效函數(shù)的確定（續(xù)）3、對于后面L-S個要求極大化的子目標函數(shù)fi(X)，若規(guī)定對應的功效函數(shù)滿足則可得功效函數(shù)為第二十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日7.4功效系數(shù)法（續(xù)）三、功效函數(shù)的確定（續(xù)）4、對于L個子目標函數(shù)對應的功效函數(shù)為5、優(yōu)化問題的數(shù)學模型為：評價函數(shù)：第二十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日五、功效系數(shù)法的特點1、直接按要求的性能指標來評價函數(shù)，直觀，且初步試算后，調整方便；2、無論各子目標的量級和量綱如何，最終都轉化為在[0,1]區(qū)間取值，而且一旦有一個子目標達不到要求，則其相應的功效系數(shù)為0，從而使評價函數(shù)也為0，表明不能接受所得設計方案；3、可以處理既非越大越好，也非越小越好的目標函數(shù)；4、對難以事先確定目標函數(shù)取值范圍的情況不適用。第二十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日7.5

分層序列法及寬容分層序列法將多目標優(yōu)化問題轉化為一系列單目標優(yōu)化問題的求解方法：分層序列法寬容分層序列法第二十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日7.5分層序列法及寬容分層序列法（續(xù)）一、分層序列法1、基本思想

將多目標優(yōu)化問題中的l個目標函數(shù)分清主次，按照其重要程度逐一排除，然后依次對各個目標函數(shù)求最優(yōu)解，只是后一目標應在前一目標最優(yōu)解的集合域內尋優(yōu)。2、基本步驟設最重要，其次，

再其次，….。

首先對第一個目標函數(shù)求解，得最優(yōu)值第三十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日在第一個目標函數(shù)的最優(yōu)解集合域內，求第二個目標函數(shù)的最優(yōu)值，也就是將第一個目標函數(shù)轉化為輔助約束。即求的最優(yōu)值，記作

然后再在第一、第二個目標函數(shù)的最優(yōu)解集合域內，求第三個目標函數(shù)的最優(yōu)值，此時，第一、第二個目標函數(shù)轉化為輔助約束，即求：最優(yōu)值，記作一、分層序列法(續(xù)）第三十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日最優(yōu)值是一、分層序列法(續(xù)）以此類推，最后求第目標函數(shù)的最優(yōu)值，即,對應的最優(yōu)點是3、分層序列法的優(yōu)缺點：

在求解過程中可能會出現(xiàn)中斷現(xiàn)象，使求解過程無法繼續(xù)進行下去。當求解到第k個目標函數(shù)的最優(yōu)解是唯一時，則再往后求第（k+1），(k+2)，….，l個目標函數(shù)的解就完全沒有意義了。尤其是當求得的第一個目標函數(shù)的最優(yōu)解是唯一時，則失去了多目標優(yōu)化的意義了。第三十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日二、寬容分層序列法1、基本思想

這種方法是對各目標函數(shù)的最優(yōu)值放寬要求，可以對各目標函數(shù)的最優(yōu)值取給定的寬容值，即ε1>0，ε2>0,…。這樣，在求后一個目標函數(shù)的最優(yōu)值時，對前一目標函數(shù)不嚴格限制在最優(yōu)解內，而是在前一目標函數(shù)最優(yōu)值附近的某一范圍內進行優(yōu)化，因而避免了計算過程的中斷。第三十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日……二、寬容分層序列法（續(xù)）其中，最后求得最優(yōu)解第三十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日

兩目標優(yōu)化問題用寬容分層序列法求最優(yōu)解的情況如圖。二、寬容分層序列法（續(xù)）第三十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日二、寬容分層序列法（續(xù)）例題：用寬容分層序列法