平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答

平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答要點(diǎn)——用逆解法、半逆解法求解平面彈性力學(xué)問(wèn)題。彈性力學(xué)§3-1多項(xiàng)式解答§3-2位移分量的求出§3-3簡(jiǎn)支梁受均布載荷§3-4楔形體受重力和液體壓力§3-5級(jí)數(shù)式解答§3-6簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷主要內(nèi)容彈性力學(xué)§3-1多項(xiàng)式解答適用性：由一些直線邊界構(gòu)成的彈性體。目的：考察一些簡(jiǎn)單多項(xiàng)式函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)，能解決什么樣的力學(xué)問(wèn)題?！娼夥ㄆ渲校篴、b、c

為待定系數(shù)。檢驗(yàn)φ(x,y)是否滿足雙調(diào)和方程：顯然φ(x,y)滿足雙調(diào)和方程，因而可作為應(yīng)力函數(shù)。（1）1.一次多項(xiàng)式（2）（3）對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量：若體力：X=Y=0，則有：彈性力學(xué)結(jié)論1：（1）（2）一次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于無(wú)體力和無(wú)應(yīng)力狀態(tài)；在該函數(shù)φ(x,y)上加上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)力無(wú)影響。2.二次多項(xiàng)式（1）其中：a、b、c

為待定系數(shù)。(假定：X=Y=0;a>0,b>0,c>0)檢驗(yàn)φ(x,y)是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）(可作為應(yīng)力函數(shù))（3）由式（2-26）計(jì)算應(yīng)力分量：xy2c2c2a2a結(jié)論2：二次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于均勻應(yīng)力分布。xy彈性力學(xué)xy試求圖示板的應(yīng)力函數(shù)。例：xy3.三次多項(xiàng)式（1）其中:a、b、c、d為待定系數(shù)。檢驗(yàn)φ(x,y)是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）(可作為應(yīng)力函數(shù))(假定：X=Y=0)（3）由式（2-26）計(jì)算應(yīng)力分量：結(jié)論3：三次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于線性應(yīng)力分布。彈性力學(xué)討論：可算得：xy1ll圖示梁對(duì)應(yīng)的邊界條件：MM可見(jiàn)：——對(duì)應(yīng)于矩形截面梁的純彎曲問(wèn)題應(yīng)力分布。常數(shù)d與彎矩M的關(guān)系：(1)由梁端部的邊界條件：(2)可見(jiàn)：此結(jié)果與材力中結(jié)果同，說(shuō)明材力中純彎曲梁的應(yīng)力結(jié)果是正確的。彈性力學(xué)xy1llMM說(shuō)明：(1)組成梁端力偶M的面力須線性分布，且中心處為零，結(jié)果才是精確的。(2)若按其它形式分布，如：則此結(jié)果不精確，有誤差；但按圣維南原理，僅在兩端誤差較大，離端部較遠(yuǎn)處誤差較小。(3)當(dāng)l

遠(yuǎn)大于h

時(shí)，誤差較??；反之誤差較大。4.四次多項(xiàng)式（1）檢驗(yàn)φ(x,y)是否滿足雙調(diào)和方程（2）代入：得彈性力學(xué)可見(jiàn)，對(duì)于函數(shù)：其待定系數(shù)，須滿足下述關(guān)系才能作為應(yīng)函數(shù)：（3）應(yīng)力分量：——應(yīng)力分量為x、y的二次函數(shù)。（4）特例：（須滿足：a+e=0）彈性力學(xué)總結(jié)：（多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)的性質(zhì)）（1）多項(xiàng)式次數(shù)n

<4時(shí)，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足。多項(xiàng)式次數(shù)n

≥4時(shí)，則系數(shù)須滿足一定條件，才能滿足。多項(xiàng)式次數(shù)n

越高，則系數(shù)間需滿足的條件越多。（2）一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)于無(wú)體力和無(wú)應(yīng)力狀態(tài)；任意應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)上加上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)力無(wú)影響。二次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)均勻應(yīng)力狀態(tài)，即全部應(yīng)力為常量；三次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)于線性分布應(yīng)力。（3）（4）用多項(xiàng)式構(gòu)造應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)的方法——逆解法（只能解決簡(jiǎn)單直線應(yīng)力邊界問(wèn)題）。按應(yīng)力求解平面問(wèn)題，其基本未知量為：，本節(jié)說(shuō)明如何由求出形變分量、位移分量？問(wèn)題：彈性力學(xué)§3-2位移分量的求出以純彎曲梁為例，說(shuō)明如何由求出形變分量、位移分量？xyl1hMM1.形變分量與位移分量由前節(jié)可知，其應(yīng)力分量為：平面應(yīng)力情況下的物理方程：（1）形變分量(a)將式（a）代入得：(b)（2）位移分量將式（b）代入幾何方程得：(c)彈性力學(xué)（2）位移分量(c)將式（c）前兩式式積分，得：(d)將式(d)代代入(c)中中第三式，得：式中：為待定函數(shù)。整理得：（僅為x的函數(shù)）（僅為y的函數(shù)）要使上式成立，須須有(e)式中：ω為常數(shù)。積分上式，得將上式代入式（d），得(f)彈性力學(xué)（1）(f)討論：式中：u0、v0、ω由位移邊界條件確確定。當(dāng)x=x0=常數(shù)（2）位移分量xyl1hMM——u關(guān)于鉛垂方向的變變化率，即鉛垂方方向線段的轉(zhuǎn)角。。說(shuō)明：同一截面上的各鉛鉛垂線段轉(zhuǎn)角相同同。橫截面保持平面——材力中“平面保持持平面”的假設(shè)成成立。彈性力學(xué)（2）將下式中的第二式對(duì)x求二階導(dǎo)數(shù)：說(shuō)明：在微小位移移下，梁縱向纖維維的曲率相同。即即——材料力力學(xué)中撓曲線微分分方程彈性力學(xué)2.位移邊界條件的利利用（1）兩端簡(jiǎn)支(f)其邊界條件：將其代入(f)式式，有將其代回(f)式式，有(3-3)梁的撓曲線方程：：——與材力力中結(jié)果相同彈性力學(xué)（2）懸臂梁(f)邊界條件h/2h/2由式（f）可知，，此邊界條件無(wú)法法滿足。邊界條件改寫(xiě)為：：（中點(diǎn)不動(dòng)）（軸線在端部不轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)）代入式（f），有有可求得：彈性力學(xué)(3-4)h/2h/2撓曲線方程：與材料力學(xué)中結(jié)果果相同說(shuō)明：（1）求位移的過(guò)程：（a）將應(yīng)力分量量代入物理方程（b）再將應(yīng)變分分量代入幾何方程程（c）再利用位移移邊界條件，確定定常數(shù)。彈性力學(xué)（2）若為平面應(yīng)變問(wèn)題題，則將材料常數(shù)數(shù)E、μ作相應(yīng)替換。（3）若取固定端邊界條條件為：h/2h/2（中點(diǎn)不動(dòng)）（中點(diǎn)處豎向線段轉(zhuǎn)角為零）得到：求得：此結(jié)果與前面情形形相同。（為什么？）彈性力學(xué)（1）(2-27)（2）然后將代入式（2-26）求出應(yīng)力分量：先由方程（2-27）求出應(yīng)力函數(shù)：(2-26)（3）再讓滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件（多連體問(wèn)題）。按應(yīng)力求解平面問(wèn)問(wèn)題的基本步驟：：按應(yīng)力求解平面問(wèn)問(wèn)題的方法：逆解法（1）根據(jù)問(wèn)題的條件（幾何形狀、受力力特點(diǎn)、邊界條件件等），假設(shè)各種滿足相容容方程（2-27）的φ(x,y)的形式；（2）然后利用應(yīng)力分量計(jì)算式（2-26），求出（具有待定系數(shù)）；（3）再利用應(yīng)力邊界條條件式（2-18），來(lái)考察這些些應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)對(duì)應(yīng)什么樣的邊界界面力問(wèn)題，從而而得知所設(shè)應(yīng)力函函數(shù)φ(x,y)可以求解什么問(wèn)題題。彈性力學(xué)（1）根據(jù)問(wèn)題的條件（幾何形狀、受力力特點(diǎn)、邊界條件件等），假設(shè)部分應(yīng)力分量的某種函數(shù)形式；（2）根據(jù)與應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)的關(guān)系及，求出φ(x,y)的形式；（3）最后利用式（2-26）計(jì)算出并讓其滿足邊界條件和位移單值條件?！肽娼夥ǖ牡臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理理方程中分離變量量法。半逆解法位移分量求解：（1）將已求得的應(yīng)力分分量（2）（3）代入物理方程，求求得應(yīng)變分量將應(yīng)變分量代入幾何方程，并并積分求得位移分分量表達(dá)式；由位移邊界條件確確定表達(dá)式中常數(shù)數(shù)，得最終結(jié)果。。彈性力學(xué)§3-3簡(jiǎn)支支梁受均布載荷要點(diǎn)——用半逆解法法求解梁、長(zhǎng)板類類平面問(wèn)題。xyllqlql1yzh/2h/2q1.應(yīng)力函數(shù)的確定(1)分析：——主要由彎矩矩引起；——主要由剪力力引起；——由q引起（擠壓應(yīng)力））。又∵q=常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對(duì)稱，∴不隨x變化。推得：(2)由應(yīng)力分量表達(dá)式確定應(yīng)力函數(shù)的形式：積分得：(a)(b)——任意的待定定函數(shù)彈性力學(xué)xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)——任意的待定函數(shù)(3)由確定：代入相容方程：彈性力學(xué)xyllqlql1yzh/2h/2q方程的特點(diǎn)：關(guān)于x的二次方方程，且且要求－－l≤x≤l內(nèi)方程均均成立。。由“高等等代數(shù)””理論，，須有x的一、二二次的系系數(shù)、自自由項(xiàng)同同時(shí)為零零。即：：對(duì)前兩個(gè)個(gè)方程積積分：(c)此處略去去了f1(y)中的常常數(shù)項(xiàng)對(duì)第三個(gè)個(gè)方程得得：積分得：：(d)彈性力力學(xué)學(xué)(c)(d)xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)將(c)(d)代代入入(b)，，有(e)此處略去去了f2(y)中的一一次項(xiàng)和和常數(shù)項(xiàng)項(xiàng)式中含有有9個(gè)待待定常數(shù)數(shù)。彈性力力學(xué)學(xué)(e)2.應(yīng)力分量量的確定定(f)(g)(h)3.對(duì)稱條件件與邊界界條件的的應(yīng)用彈性力力學(xué)學(xué)(f)(g)(h)3.對(duì)稱條件與邊界條件的應(yīng)用（1）對(duì)對(duì)稱條件件的應(yīng)用用：xyllqlql1yzh/2h/2q由q對(duì)稱、幾幾何對(duì)稱稱：——x的偶函數(shù)數(shù)——x的奇函數(shù)數(shù)由此得：：要使上式式對(duì)任意意的y成立，須須有：彈性力力學(xué)學(xué)xyllqlql1yzh/2h/2q（2）邊邊界條件件的應(yīng)用用：(a)上上下下邊界（（主要邊邊界）：：由此解得得：代入應(yīng)力力公式彈性力力學(xué)學(xué)xyllqlql1yzh/2h/2q(i)(j)(k)(b)左左右右邊界（（次要邊邊界）：：（由于對(duì)對(duì)稱，只只考慮右右邊界即即可。））——難難以滿足足，需借借助于圣圣維南原原理。靜力等效效條件：：軸力N=0；；彎矩M=0；；剪力Q=－ql；彈性力力學(xué)學(xué)(i)(j)(k)可見(jiàn)，這這一條件件自動(dòng)滿滿足。彈性力力學(xué)學(xué)xyllqlql1yzh/2h/2q(p)截面上的的應(yīng)力分分布：三次拋物線4.與材料力力學(xué)結(jié)果果比較彈性力力學(xué)學(xué)xyllqlql1yzh/2h/2q(p)4.與材料力學(xué)結(jié)果比較材力中幾幾個(gè)參數(shù)數(shù)：截面寬：：b=1,截面慣矩矩：靜矩：彎矩：剪力：將其代入入式(p)，有（3-6）彈性力力學(xué)學(xué)xyllqlql1yzh/2h/2q（3-6）比較，得得：（1）第一項(xiàng)與與材力結(jié)結(jié)果相同同，為主主要項(xiàng)。。第二項(xiàng)為為修正項(xiàng)項(xiàng)。當(dāng)h/l<<1，該項(xiàng)誤誤差很小小，可略略；當(dāng)h/l較大時(shí)，，須修正正。（2）為梁各層層纖維間間的擠壓壓應(yīng)力，，材力中中不考慮慮。（3）與材力中中相同。。注意：按式（3-6）），梁的的左右邊邊界存在在水平面面力：說(shuō)明式（（3-6）在兩兩端不適適用。彈性力力學(xué)學(xué)解題步驟驟小結(jié)：：（1）（2）（3）根據(jù)問(wèn)題的條件：幾何特點(diǎn)、受力特點(diǎn)、約束特點(diǎn)（面力分布規(guī)律、對(duì)稱性等），估計(jì)某個(gè)應(yīng)力分量（）的變化形式。由與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式（2-26），求得應(yīng)力函數(shù)的具體形式（具有待定函數(shù)）。（4）（5）將具有待定函數(shù)的應(yīng)力函數(shù)代入相容方程：確定中的待定函數(shù)形式。由與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式（2-26），求得應(yīng)力分量。由邊界條件確定中的待定常數(shù)。用半逆解解法求解解梁、矩矩形長(zhǎng)板板類彈性性力學(xué)平平面問(wèn)題題的基本本步驟：：彈性力力學(xué)學(xué)應(yīng)力函數(shù)數(shù)法求解解平面問(wèn)問(wèn)題的基基本步驟驟：（1）(2-27)（2）然后將代入式（2-26）求出應(yīng)力分量：先由方程（2-27）求出應(yīng)力函數(shù)：(2-26)（3）再讓滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件（多連體問(wèn)題）。求解方法法：逆解法（1）根據(jù)問(wèn)題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)各種滿足相容方程（2-27）的φ(x,y)的形式；（2）然后利用應(yīng)力分量計(jì)算式（2-26），求出（具有待定系數(shù)）；（3）再利用應(yīng)力邊界條件式（2-18），來(lái)考察這些應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)對(duì)應(yīng)什么樣的邊界面力問(wèn)題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)可以求解什么問(wèn)題。彈性力力學(xué)學(xué)——半半逆解法法的數(shù)學(xué)學(xué)基礎(chǔ)：：數(shù)理方方程中分分離變量量法。（1）根據(jù)問(wèn)題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)部分應(yīng)力分量的某種函數(shù)形式；（2）根據(jù)與應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)的關(guān)系及，求出φ(x,y)的形式；（3）最后利用式（2-26）計(jì)算出并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。半逆解法位移分量量求解：（1）將已求得的應(yīng)力分量（2）（3）代入物理方程，求得應(yīng)變分量將應(yīng)變分量代入幾何方程，并積分求得位移分量表達(dá)式；由位移邊界條件確定表達(dá)式中常數(shù)，得最終結(jié)果。彈性力力學(xué)學(xué)1.應(yīng)力函數(shù)數(shù)的確定定(1)分析：——主要由彎矩引起；——主要由剪力引起；——由q引起（擠壓應(yīng)力）。又∵q=常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對(duì)稱，∴不隨x變化。推得：(2)由應(yīng)力分量表達(dá)式確定應(yīng)力函數(shù)的形式：積分得：(a)(b)——任意的待定函數(shù)簡(jiǎn)支梁受受均布載載荷xyllqlql1yzh/2h/2q彈性力力學(xué)學(xué)(e)xyllqlql1yzh/2h/2q彈性力力學(xué)學(xué)2.應(yīng)力分量量的確定定(f)(g)(h)3.由邊界條條件確定定待定常常數(shù)xyllqlql1yzh/2h/2q彈性力力學(xué)學(xué)附：應(yīng)力函數(shù)數(shù)確定的的“材料料力學(xué)方方法”要點(diǎn)：利用材料料力學(xué)中中應(yīng)力與與梁內(nèi)力力的關(guān)系系，假設(shè)設(shè)某個(gè)應(yīng)應(yīng)力分量量的函數(shù)數(shù)形式。。適用性：：直梁、長(zhǎng)長(zhǎng)板條等等受連續(xù)續(xù)分布面面力、桿桿端集中中力、桿桿端集中中力偶等等。應(yīng)力函數(shù)數(shù)?？杀肀硎緸椋海涸O(shè)法由邊界面力先確定其中之一，然后將其代入確定另外一個(gè)函數(shù)。材力中，，應(yīng)力分分量與梁梁內(nèi)力的的關(guān)系為為：式中：M(x)———彎矩矩方程；；Q(x)———剪力力方程。。彈性力力學(xué)學(xué)當(dāng)有橫向分布力q(x)作用時(shí)，縱向纖維間存在擠壓應(yīng)力，同時(shí)，橫向分布力q(x)的擠壓作用時(shí)，對(duì)軸向應(yīng)力也產(chǎn)生影響。應(yīng)力分量量與梁內(nèi)內(nèi)力的關(guān)關(guān)系可表表示為：：考慮擠壓應(yīng)力影響導(dǎo)致然后由：：確定應(yīng)力函數(shù)的具體形式。彈性力力學(xué)學(xué)例：懸臂梁，厚度為單位1，τ=常數(shù)。求：應(yīng)力函數(shù)及梁內(nèi)應(yīng)力。xyObl解：(1)應(yīng)應(yīng)力力函數(shù)的的確定xQM取任意截截面，其其內(nèi)力如如圖：取作為分析對(duì)象，可假設(shè)：（a）——f(y)為待定函數(shù)由與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系，有：（b）對(duì)x積分一次，有有：對(duì)y再積分一次，，有：其中：（c）彈性力學(xué)學(xué)xyOblxQM（c）由確定待定函數(shù)：（d）要使上式對(duì)任任意的x，y成立，有（e）（f）由式（e））求得（g）由式（f））得（h）（i）積分式（h）和（i））得（j）（k）彈性力學(xué)學(xué)xyOblxQM(l)包含9個(gè)待定定常數(shù)，由邊邊界條件確定定。(2)應(yīng)應(yīng)力分量的確確定(m)(3)利利用邊界條條件確定常數(shù)數(shù)彈性力學(xué)學(xué)xyOblxQM(3)利用邊界條件確定常數(shù)(o)代入可確定常常數(shù)為：代入式（m））得彈性力學(xué)學(xué)xyOblxQM注：也可利用M（x）=0，考慮進(jìn)行分析。此此時(shí)有：為待定函數(shù)，，由相容方程程確定。彈性力學(xué)學(xué)llqlql1yzh/2h/2q剪力：可假設(shè)剪應(yīng)力力：彈性力學(xué)學(xué)§3-4楔楔形體受重力力和液體壓力力要點(diǎn)——半逆解法法（因次或量量綱分析法））xyO問(wèn)題的提法：：楔形體，下部部可無(wú)限延伸伸。側(cè)面受水壓作作用：（水的容重）；自重作用：（楔形體的容重）；求：楔形體應(yīng)力分布規(guī)律。1.應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)應(yīng)力分量(1)分分析：(a)∵的量綱為：∴的形式應(yīng)為：的線性組合。的量綱為：(b)由推理得：應(yīng)為x、y的三次函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)可假假設(shè)為：彈性力學(xué)學(xué)xyO(2)應(yīng)應(yīng)力分量考慮到：X=0，Y=（常體力）(a)顯然，上述應(yīng)應(yīng)力函數(shù)滿足足相容方程。。2.邊界條件的利利用(1)x=0（應(yīng)應(yīng)力邊界）：：代入式（a）），則應(yīng)力分分量為：彈性力學(xué)學(xué)xyON(b)(2)

（應(yīng)力邊界）：其中：將(b)代入入，有代入，可求得得：彈性力學(xué)學(xué)xyO(b)代入式（b）），有：(3-7)——李維（（Levy））解答沿水平方向的的應(yīng)力分布與材力結(jié)果比比較：——沿水平平方向不變，，在材力中無(wú)無(wú)法求得。——沿水平平方向線性分分布，與材力力中偏心受壓壓公式算得結(jié)結(jié)果相同?！厮狡椒较蚓€性分分布，材力中中為拋物線分分布。彈性力學(xué)學(xué)(3-7)——李維（Levy）解答xyO沿水平方向的應(yīng)力分布結(jié)果的適用性性：（1）當(dāng)壩的橫截面面變化時(shí)，不不再為平面應(yīng)應(yīng)變問(wèn)題，其其結(jié)果誤差較較大。（2）假定壩下端無(wú)無(wú)限延伸，可可自由變形。。而實(shí)際壩高高有限，底部部與基礎(chǔ)相連連，有地基約約束，故底部部處結(jié)果誤差差較大。（3）實(shí)際壩頂非尖尖頂，壩頂處處有其它載荷荷，故壩頂處處結(jié)果誤差較較大?！切涡沃亓蔚木_分析，常常借助于有限限元數(shù)值方法法求解。工程應(yīng)用：——求使壩穩(wěn)定時(shí)的角度，稱為安息角。彈性力學(xué)學(xué)因次分析法（量綱分析法）：xyO楔形體，下部可無(wú)限延伸。側(cè)面受水壓作用：（水的溶重）；自重作用：（楔形體的溶重）；求：楔形體應(yīng)力分布規(guī)律。分析思路：(a)∵的量綱為：∴的形式應(yīng)為：的線性組合。的量綱為：(b)由推理得：應(yīng)為x、y的三次函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：彈性力學(xué)學(xué)平面問(wèn)題的直直角坐標(biāo)解答答一、多項(xiàng)式解解答——逆解法二、梁、長(zhǎng)板板類彈性體應(yīng)應(yīng)力函數(shù)方法法應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系可表示為：考慮擠壓應(yīng)力影響導(dǎo)致然后由：確定應(yīng)力函數(shù)的具體形式。彈性力學(xué)學(xué)三、三角形板板、楔形體的的求解方法因次分析法（量綱分析法）：xyO楔形體，下部可無(wú)限延伸。側(cè)面受水壓作用：（水的溶重）；自重作用：（楔形體的溶重）；分析思路：(a)∵的量綱為：∴的形式應(yīng)為：的線性組合。的量綱為：(b)由推理得：應(yīng)為x、y的三次函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：彈性力學(xué)學(xué)例：圖示矩形板，，長(zhǎng)為l，高為h，體力不計(jì)，，試證以下函函數(shù)是應(yīng)力函函數(shù)，并指出出能解決什么么問(wèn)題。式中中k、q為常數(shù)。xyOlh解：(1)應(yīng)力分量：邊界條件：顯然，上下邊邊界無(wú)面力作作用。上下邊界(2)彈性力學(xué)學(xué)xyOlh左邊界k右邊界kkl結(jié)論：可解決決懸臂梁左端端受集中力問(wèn)問(wèn)題。彈性力學(xué)學(xué)例：圖示矩形截面面簡(jiǎn)支梁，長(zhǎng)長(zhǎng)為l，高為h，受有三角形形分布載荷作作用，體力不不計(jì)。試求其其應(yīng)力分布。。解：（1）應(yīng)力函函數(shù)形式的確確定梁截面上彎矩矩和剪力為：：由材料力學(xué)方方法可確定應(yīng)應(yīng)力分量的分離變量形式：取應(yīng)力分量分析，取應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系：對(duì)此式積分：：彈性力學(xué)學(xué)對(duì)此式積分：——為待定函函數(shù)（2）由相容容方程確定待待定函數(shù)代入彈性力學(xué)學(xué)要使上述方程程對(duì)任意的x成立，有(a)(b)(c)積分式（a）），得將上式代入（（b）積分，，得積分式（c）），得(d)(e)(f)將求得的代入應(yīng)力函數(shù)數(shù)，有彈性力學(xué)學(xué)（3）計(jì)算應(yīng)應(yīng)力分量(g)(h)彈性力學(xué)學(xué)（3）利用邊邊界條件確定定待定常數(shù)上邊界：(i)(j)(k)彈性力學(xué)學(xué)下邊界：(l)(m)(n)彈性力學(xué)學(xué)左邊界：左邊界：(o)(p)(q)(r)(s)(t)聯(lián)立求解式式（i）~（t）,可得具體體的應(yīng)力分分量。注：位移邊界條條件轉(zhuǎn)化為為應(yīng)力邊界界條件。彈性力力學(xué)（1）（2）試按材料力力學(xué)中確定定應(yīng)力的方方法，寫(xiě)出出圖示兩梁梁所有應(yīng)力力分量形式式。（含有有待定函數(shù)數(shù)）課堂練習(xí)：：彈性力力學(xué)§3-5級(jí)級(jí)數(shù)式解解答問(wèn)題的提出出多項(xiàng)式解答答：只能求解載載荷簡(jiǎn)單，，且連續(xù)分分布的問(wèn)題題。不能求解載載荷復(fù)雜，，且間斷分分布的問(wèn)題題。級(jí)數(shù)式解答答：其基本思路是將應(yīng)力函數(shù)分解成關(guān)于x．y的兩個(gè)單變量函數(shù)的乘積?！蛛x變量法。（屬逆解法法）1.級(jí)數(shù)形式的的應(yīng)力函數(shù)數(shù)假設(shè)：(a)式中：為任意常數(shù)，其量綱為,為y的任意（待定）函數(shù)。將其代入：載荷復(fù)雜，，且間斷分分布的問(wèn)題題，可由級(jí)級(jí)數(shù)式解答答解決。彈性力力學(xué)有：(b)解上述方程程，得其中：A、B、C、D都是任意常常數(shù)，將其代入應(yīng)力函數(shù)，得(c)再取如下應(yīng)應(yīng)力函數(shù)：：式中：也為任意常數(shù),為y的任意（待定）函數(shù)。類似于上面面的運(yùn)算，，可得應(yīng)力力函數(shù)的另另一解：彈性力力學(xué)(d)顯然，將式式(c)與與(d)相加，仍仍為可作為為應(yīng)力函數(shù)數(shù)：(e)取和的一系列值，即?。簩⒂纱藰?gòu)成的加起來(lái)，有(3-8)顯然，式(3-8)滿足相相容方程，，可作為應(yīng)應(yīng)力函數(shù)。。且在其上上再加若干干個(gè)滿足相相容方程的的應(yīng)力函數(shù)數(shù)，仍可作作為應(yīng)力函函數(shù)。彈性力學(xué)學(xué)2.級(jí)數(shù)形式的應(yīng)力力分量將上述應(yīng)力函數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式（2-26），有(3-9)式（3-9）滿滿足相容方程、、平衡方程，只只要適當(dāng)選?。海菏蛊錆M足邊界條條件，即為某問(wèn)問(wèn)題的解。彈性力學(xué)§3-6簡(jiǎn)支支梁受任意橫向向載荷邊界條件1.邊界條件的級(jí)數(shù)數(shù)表示上下邊界：左右邊界：（a）（b）（c）（d）由邊界條件（c），得彈性力學(xué)學(xué)此時(shí)應(yīng)力分量式式（3-9）簡(jiǎn)簡(jiǎn)化為（3-10）彈性力學(xué)學(xué)將此應(yīng)力分量式式（3-10））代入邊界條件件（b），有（e）（f）（b）（i）（j）彈性力學(xué)學(xué)（g）（a）（h）將此應(yīng)力分量式式（3-10））代入邊界條件件（a），有將在區(qū)間（0，l）上展為和等式左邊相同的級(jí)數(shù)，即的級(jí)數(shù)，由Fourier級(jí)數(shù)的展開(kāi)法則，有（3-11）彈性力學(xué)學(xué)比較式（3-11）與式（g）和（h）兩兩邊的系數(shù)，有有（k）（l）由式(i)、(j)、(k)、(l)可求得全部和系數(shù)：，代入式（3-10）求得應(yīng)力分量。說(shuō)明：（1）邊界條件（d））在求解中沒(méi)有有用到，但可以以證明是自動(dòng)滿滿足的。（2）級(jí)數(shù)求解計(jì)算工工作量很大，通通常由有關(guān)計(jì)算算軟件求解，如如：MathCAD、Matlab、Mathematica等。（3）結(jié)果在梁的端部部誤差較大；另另外，當(dāng)梁的跨跨度與高度相當(dāng)當(dāng)時(shí)結(jié)果誤差也也較大。彈性力學(xué)學(xué)《彈性力學(xué)平面面問(wèn)題的基本理理論》小結(jié)一、兩類平面問(wèn)問(wèn)題及其特征名稱平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題未知量已知量未知量已知量位移應(yīng)變應(yīng)力外力幾何形狀體力、面力的作作用面都平行于于xoy平面，且沿板厚厚不變化。體力、面力的作作用面都平行于于xoy平面，且沿z向不變化。z方向的尺寸遠(yuǎn)小于板面內(nèi)的尺寸寸（等厚度薄平平板）z方向的尺寸遠(yuǎn)大于xoy平面內(nèi)的尺寸（（等截面長(zhǎng)柱體體）彈性力學(xué)學(xué)二、平面問(wèn)題的的基本方程（1）平衡微分分方程（2-2）（假定：小變形形、連續(xù)性、均均勻性）（2）幾何方程程（2-9）（假定：小變形形、連續(xù)性、均均勻性）（3）物理方程程(2-15)（平面應(yīng)力）(2-16)（平面應(yīng)變）（假定：小變形形、連續(xù)性、均均勻性、線彈性性、各向同性））彈性力學(xué)學(xué)三、平面問(wèn)題的的基本求解方法法及基本方程思路：（1）按按位移求求解以位移u、v為基本未未知量，，在所有有基本方方程中消消去其余余6個(gè)量量，得到到以位移移表示的的基本方方程，從從中求出出u、v，再由幾幾何方程程、物理理方程求求出其余余未知量量?；痉匠坛蹋海?-20）位移表示示的平衡衡方程（2-21）（2-17）位移表示示的應(yīng)力力邊界條條件位移邊界界條件彈性力力學(xué)