2020高考文科數(shù)學(xué)(人教版)一輪復(fù)習(xí)講義：第51講空間中的垂直關(guān)系含答案

第51空間中的垂直關(guān)系．了解空間直線與平面垂直、平面與平面垂直的定義．．掌握判斷空間直線與平面垂直、平面與平面垂直的方法，能正確判斷空間直線與平面垂直、平面與平面垂直．．掌握直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)．知識梳理．直線與平面垂直判定利用定義：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則此直線與這個平面垂直．判定定理：一條直線與一平面內(nèi)的兩相交直線都直，那么這條直線就垂直于這個平面．用符號語言可表示為mα，?，m∩＝A，l⊥ml?l⊥．直線與平面垂直性質(zhì)由直線和平面垂直的定義知若條直線垂直于平面則這條直線垂直于平面α內(nèi)任意一條直線．性質(zhì)定理：垂直于同一平面的兩條直線平行.用符號語言表示為：⊥，⊥?a．兩平面垂直的判利用定義：兩個平面相交，若所成的二面角為，則稱這兩個平面互相垂直．判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．用符號語言表示為：⊥，??⊥．兩平面垂直的性性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直用符號語言表示為：⊥，∩＝l，⊥l，bα則⊥．若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．．若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直證明線線垂直的一個重要方法．．垂直于同一條直線的兩個平面平行．．一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則這一條直線也與另一個平面也垂直．熱身練習(xí)．下列命題正確的是D)如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面；如果一條直線和一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面；如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面；如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．A①②B①③C．④D．③④①中兩條直線一定要是兩相交直線，如果是兩平行直線，結(jié)論不成立；②中的無數(shù)條直線如果是平行直線，結(jié)論也不成立；只有③與④才成立．．下列四個命題：平行于同一直線的兩條直線平行；垂直于同一直線的兩條直線平行；若直線垂直于平面，則它垂直于平面內(nèi)的所有直線；垂直于同一個平面的兩條直線平行．其中正確的命題A)A①③④B①④C．．②④由三線平行公理知①正確；由直線與平面垂直的定義知③正確；由直線與平面垂直的性質(zhì)定理知④正確．．下面命題中：兩平面相交，如果所成的二面角是直角，則這兩個平面垂直；一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面一定垂直；一直線與兩平面中的一個平行與另一個垂直，則這兩個平面垂直．其中正確命題的個數(shù)(D)A．0個B個C．個．3個①正確，是兩個平面垂直的定義；②正確，是兩平面垂直的判定定理；③正確，即∥，a⊥，則α⊥證明如下：過平面γ使αγ＝′因為a，所以a∥′，又a⊥，所以′β，又a′?，以α⊥，選D.．下列兩個命題中：①兩平面垂直，經(jīng)過第一個平面上一點垂直于它們的交線的直線必垂直第二個平面；②一平面與兩平行平面中的一個垂直，則與另一個平面也垂直．對上述兩命題的判斷中，正確判斷的(C)A①、②都正確B①正確，②不正確C．不正確，②正確D①、②都不正確不正確，當(dāng)點在交線上時，滿足條件，但該直線不一定垂直第二個平面．正確，即若∥，α⊥，β⊥.證明如下：設(shè)α∩＝a在內(nèi)直線la，則l因為∥?⊥?⊥又lγ由以上分析可知，選．(2016·江卷)知互相垂直的平面，交于直線l，若直線足∥，n⊥，(C)A．mlB．mnC．⊥lD．⊥n因為∩＝l，所以l?.為⊥，以n⊥，故選C.線面垂直的判定(2018·北卷理)如圖，在三棱柱－C中CC⊥平面ABCDEFG分11別為，，C，BB的點AB＝5，＝＝2.證：AC平面BEF1111在高考中，立體幾何解答題常常設(shè)置兩問，問常證明線面的位置關(guān)系(?？疾榕c體積、距離等有關(guān)的計算．兩問的條件常常是一同敘述，圖形也由同一圖形給出，因此，在明第問，要根據(jù)證明的求，對條件要進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮Y選．在處理后面所選的例題及變式時，也要注意這一點．在三棱柱ABCAC中，11因為CC⊥平面ABC，1所以四邊形A為形．11又EF分為，AC的中點，1所以AC因為＝，以⊥，∩＝E，所以⊥平面BEF0°0°．四面體ABCD中ACBD，，分是，BC的點，且EF

，＝90°求證：⊥平面ACD.取CD的點G，接EGFG，因為E，分別是AD的中點，所以EG

，F(xiàn)G

.22222222又AC，所以FG，所以在中＋＝＝EF，所以⊥，所以⊥，又∠＝，即BD⊥CD因為AC?平面，AC∩＝C，所以BD平面.面面垂直的判定(2018·廣模如圖，已知多面體PABCDE的面ABCD是長為2的形⊥面ABCDEDPA且＝2ED＝證明：面⊥平面PCE連接BD，交AC于O設(shè)PC的中點為F，連接OF，EF因為O分為，的點，所以O(shè)F∥，且＝PA，因為DE∥，且＝PA，所以O(shè)F∥，且OF＝DE所以四邊形OFED為平行四邊形，所以O(shè)D∥，BD.因為PA⊥平面ABCD?平面ABCD，所以⊥BD因為四邊形ABCD是形，所以BD.因為PA∩AC＝，所以⊥平面PAC因為BD∥EF所以EF平面因為?平面PCE，所以平面⊥平面PCE.．(2018·南關(guān)區(qū)校級期末節(jié)選在平面四邊形ACBD圖)中與△均直角三角形且有公共斜邊AB，設(shè)AB＝2，BAD＝，BAC45°將折起，構(gòu)成如圖②所示的三棱錐C′－ABD當(dāng)′＝時，求證：平面C′AB⊥平面DAB2222當(dāng)C′＝2，取的點，接′，DO在eq\o\ac(△,Rt)AC′，eq\o\ac(△,Rt)ADB＝2則′DO，又因為C′＝2，所以′O＋DO＝′D，即′O，又因為C′OAB，∩＝OABOD?平面ABD所以′⊥面，又因為C′O平面ABC，所以平面′AB平面DAB線面垂直、面面垂直的性質(zhì)(2015·廣卷節(jié)選如圖，三角所在的平面與長方形所的平面垂直＝＝，AB＝，＝3.點E是邊的中點，點F別在線段，BC上且AF＝2＝2GB.證明：PE⊥.在△中，因為為CD中點，且PCPD所以⊥CD又因為平面⊥平面，且平∩平面＝CD，?面PCD所以⊥平面ABCD又因為FG?平面ABCD，以PE⊥FG.．(2017·江蘇卷如圖，在三棱錐－BCD中⊥AD，⊥BD平面ABD平面BCD點EFE與A，不合分別在棱AD，BD上，且EFAD.求證：(1)∥面；(2)AD.(1)在平面ABD內(nèi)因為⊥，EF⊥，所以∥AB.又因為?平面ABC，?面ABC，所以∥平面ABC(2)因為平面ABD⊥平面BCD平面∩平面＝，?面，⊥BD所以⊥平面ABD因為AD平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥，∩＝B，?面ABC，?面，所以⊥平面又因為AC平面ABC，所以⊥AC.．直線與平面垂直、平面與平面垂直是直線與平面、平面與平面相交的特殊情況，對這種特殊位置關(guān)系的認(rèn)識，既可從直線和平面、平面與平面所成的角為的角度認(rèn)識，也可從已有的線線垂直、線面垂直關(guān)系出發(fā)進(jìn)行推理論證．．在空間垂直關(guān)系中，線線垂直是問題的核心，可以根據(jù)已知圖形通過計算證明垂直，也可根據(jù)已知的垂直關(guān)系證明線線垂直．．在線面垂直和面面垂直的判定定理中一些非常重要的限制條件如兩條相交直線”，“一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線”等既為證明指明了方向同又有很強的制約性使用這些定理時，要特別注意交代