噪聲下的通信香農(nóng)翻譯

word文檔可自由復(fù)制編輯word文檔可自由復(fù)制編輯word文檔可自由復(fù)制編輯Ⅰ前言一般的通信系統(tǒng)示意圖如圖1，它主要有5個要素組成。信源：信息源從發(fā)送到接收器的信號空間中選擇某個消息。這個消息可以是各種形式，比如傳輸電報(bào)或電傳的字母或者數(shù)字，傳輸電話或廣播的連續(xù)函數(shù)。發(fā)射機(jī)：發(fā)射機(jī)就是把消息變換成更適合通過信道傳輸?shù)浇邮軝C(jī)的形式。在電話系統(tǒng)，它把聲強(qiáng)轉(zhuǎn)化為成比例的電流，在電報(bào)系統(tǒng)中，它把信息編碼成點(diǎn)、破折號、空格。舉個更復(fù)雜的例子，在PCM中，語音信號先經(jīng)過抽樣、壓縮、量化和編碼，最好通過合理的插值法進(jìn)行重建信號。信道：信道是通過適當(dāng)?shù)貍鬏斀橘|(zhì)把信號從發(fā)射機(jī)傳送到接收機(jī)。它可能是一對電線、同軸電纜、無線信道。在傳輸過程或者接收端因噪聲或者失真而發(fā)生擾動。噪聲與失真是不同的。失真是受到固定的操作的影響，而噪聲卻是隨機(jī)的和不可預(yù)測的。失真原則上可以通過你逆操作得到糾正，然而噪聲引起的干擾卻是不可完全消除的，因?yàn)樾盘栐趥鬏斶^程中會經(jīng)歷不同的噪聲干擾。接收機(jī)：接收機(jī)的作用是試圖通過逆變換重建信號，它通常是發(fā)射機(jī)操作的逆變換，有時為了減弱噪聲的干擾可能與最佳設(shè)計(jì)不同。信宿：信宿是對信息感興趣的人或物。信源信源發(fā)射機(jī)接收機(jī)信宿噪聲信息信號接收信號圖1通信系統(tǒng)奈奎斯特和哈特利的研究表明，以對數(shù)度量信息將是很方便的。如果一個裝置有n個位置，按照上述定義，它存儲的信息量是logn。對數(shù)的底b可以任意b選擇，不同的底決定不同的信息量單位。不同單位之間可通過換算式計(jì)算logaxlogab*logbx。如果我們能夠可靠地區(qū)分T時間內(nèi)在信道中的M個不同的信號函數(shù)，我們就說此信道可以在T時間內(nèi)傳輸log的信息。傳輸速度是logM/T。更精確定2義信道容量為：logM Clim2 TT （1）Ⅱ抽樣定理我們假定：信道的帶寬是W，可以通過T時間信號。如果沒有嚴(yán)格的限制，這個信道可以通過任何帶寬為W，時間為T的信號。盡管上述假設(shè)是不可能的，但是在頻域內(nèi)信號帶寬限制在W，在時域內(nèi)信號可以稍微的大于T。定理一：一個頻帶受限于[0,W]的基帶模擬信號f(t)，可以唯一地被采樣周1期T不大于的采樣序列所決定。2W定理一是大家所熟知的通信藝術(shù)。直觀證明是如果f的頻率不大于W，它1不能在少于的時間內(nèi)達(dá)到一個新值。數(shù)學(xué)證明顯示這不僅是大約也是精確2W地。證明如下。設(shè)F()是f(t)的頻譜，然后1+ f(t) F()eitd2- 1+2W F()eitd2-2Wn假定F的頻譜是從0到W。我們令t 是任意的正數(shù)或者負(fù)數(shù)，我們得到2Wn1+indf()F()e2W 2W 2- （5）式子的左邊是F的抽樣點(diǎn)，式（）右邊的積分實(shí)質(zhì)上是F在[]傅里葉級數(shù)的展n開的第n個系數(shù)。這意味著抽樣點(diǎn)f()的值決定級數(shù)展開的傅里葉系數(shù)，因?yàn)?W在頻率大于W為0，如果它的傅立葉系數(shù)已知，頻率小于W的F也可以被確定。已知信號的頻譜F()就可以完全確定原始信號f(t)。因此，原始抽樣可以完全確定f(t)。這個函數(shù)可以通過下述脈沖重建：sin2Wt 2Wt （6）這個函數(shù)在t=0處是，在所有其他的采樣點(diǎn)t處是0。進(jìn)一步，它的頻譜在W內(nèi)是常數(shù)，在W之外為0。在數(shù)學(xué)上，這個過程可以被描述如下：令x是第n個采樣點(diǎn)，n sin(2Wtn)f(t)x(2Wtn) nn （7）如果頻譜從大于0開始，我們可以通過線性平移，類似于單邊帶調(diào)制。1在采樣間隔為，時間為T的情況下，我們一共可以得到2TW個點(diǎn)。在2TW點(diǎn)2W之外的為0。更準(zhǔn)確地說，我們可以定義一個函數(shù)被限制為在時間間隔T，當(dāng)且僅當(dāng)此區(qū)間外的所有樣品都為零。我們說任何一個頻率受限于W，時間受限于T函數(shù)可以有2TW個點(diǎn)確定。Ⅲ信號的幾何表示一個矢量組x,x,x，無論其信源是何種形式，總是可以認(rèn)為是一個三維空123間中點(diǎn)的坐標(biāo)。同樣，一個信號的2TW個均勻采樣可以認(rèn)為是空間的一個點(diǎn)。每個特定符號對應(yīng)于該空間中的特定點(diǎn)。因此，空間的點(diǎn)總可以對應(yīng)的信號。通常，2TW緯是很高的。比如，在傳輸一個小時的5M帶寬的電視信號中，每個信號是為251066023.61010空間的一個點(diǎn)。很顯然，這么大的矢量空間無法實(shí)現(xiàn)。然而我們可以研究n維空間的性質(zhì)。從某種程度上，我們可以先研究二維和三維的性質(zhì)進(jìn)而直接擴(kuò)展到更高維數(shù)。信號的幾何表示優(yōu)點(diǎn)是我們可以矢量分析方法處理通信問題。實(shí)際上，我們是把一個簡單的環(huán)境下的復(fù)雜對象轉(zhuǎn)化為復(fù)雜環(huán)境下的簡單的對象。我們假設(shè)有2TW個互相正交的坐標(biāo)軸，那么在這個空間的距離就有簡單的解釋。從原點(diǎn)到一個點(diǎn)的距離與二維和三維的情況相似，即為 d2TWx2 n n1 （8）這里的x是第n個采樣點(diǎn)。現(xiàn)在，又因?yàn)閚 f(t)xsin(2(2WtWtn)n) nn （9）我們可以得到 + 12TW f(t)2dt x2 2W n - n1 （10）0sin（2Wtm)sin(2Wtn)1-(2Wtm)(nWtn) 2Wmn（11）mn上述公式運(yùn)用這個事實(shí)：因此，距離的平方是對應(yīng)信號能量的2W倍,即d22WE4（12）2WTP這里P是時間T內(nèi)平均能量。類似地，兩個點(diǎn)之間的距離為2WT倍的兩個對應(yīng)的信號之間的均方根偏差。我們就考慮平均能量小于P的信號，它們所對應(yīng)的點(diǎn)在半徑內(nèi)部,半徑r2WTP。（13）如果在傳輸過程中有噪聲，這意味信號的坐標(biāo)點(diǎn)相對原來位置有與噪聲均方根成比例的偏移。因此噪聲會使信號空間的每個點(diǎn)隨機(jī)發(fā)生小區(qū)域的偏移。固定的失真對應(yīng)信號空間的變形，從而使每個點(diǎn)發(fā)生移動，但是移動是固定的。 與普通的三維空間一樣，我們可以在2TW維信號空間設(shè)定多個不同坐標(biāo)系。不同的坐標(biāo)系描述相同的信號會有不同方式。上述給定的函數(shù)的各種方法只是特殊的情況而已。在通信中一個特別重要的方法是用頻率來表示。函數(shù)f(t)可被展開為頻率間隔1/T為正弦和余弦的和，系數(shù)可以有不同的坐標(biāo)表示。很顯然，這些坐標(biāo)系是相互垂直的，本質(zhì)上可以通過原來的坐標(biāo)變換得到。信號通過一個理想濾波器意味著投影相應(yīng)的點(diǎn)到特定的空間。事實(shí)上，在頻域坐標(biāo)系統(tǒng)，在通帶內(nèi)被保留在阻帶內(nèi)被濾除，從而投影是在線條，平面或超平面。任何形式的濾波都意味著在矢量空間的線性變換將會產(chǎn)生于舊的矢量空間相關(guān)的新的線性空間。Ⅳ消息的幾何表示我們先前把可能的信號空間與2TW維矢量空間進(jìn)行相關(guān)。同樣，我們也可以把信息集合與矢量空間進(jìn)行相關(guān)。假定我們考慮一個語音系統(tǒng)，所有可能的聲音信息在頻域和時域分別受限于W,T。1rr圖2和信號一樣，這些消息可以與2WT維空間的點(diǎn)一一對應(yīng)。這里有幾點(diǎn)需要1說明。首先，如果只是考慮信息目的地，不同的信號空間中的點(diǎn)可以代表同樣的信息。例如，語音信息，耳朵對相位失真不靈敏。如果信息只是相位不同，它們聽起來一樣。目的地等價的點(diǎn)可以組合在一起作為一個點(diǎn)。確定等價類比確定任何點(diǎn)所需的符號將會大大減少。如圖二，在二維空間，點(diǎn)的集合是平面區(qū)域。如果在圓環(huán)上的點(diǎn)為等價類，它就會二維空間降低為一維空間，及一個點(diǎn)可以只需要圓的半徑確定。如果耳朵對語言信息的相位完全的不靈敏，那么我們將可以把空間維數(shù)降低到一半。頻率給定的正弦分量和余弦分量的幅度a,b，不需要單n n獨(dú)確定，只需確定即可。也就是說，我們只需確定各次諧波的振幅a2b2。 n n耳朵對頻率的區(qū)分會隨著頻率的增大而降低，所以我們可以進(jìn)一步降低維數(shù)。聲碼器就是利用了語音信號高等價的性質(zhì)，它首先去掉高頻和相位信息，然后把等價的點(diǎn)組合在一起，特別是在高頻處更是如此。其他的通信可能沒有任何上述的等價類，信宿對2WT維空間的所有的消息1都是靈敏的，電視信息的傳輸就是這種形式。第二點(diǎn)要注意的是信源可能會對實(shí)際信息有一定的限制。2WT維空間可以1確定任何函數(shù)f(t)（頻域W，時域T）。而我們想要傳輸?shù)男畔⒖赡芫褪呛瘮?shù)的 1 1子集。例如，聲音必須有人的發(fā)聲系統(tǒng)產(chǎn)生。如果我們舍棄其他的聲音信息，有效的維數(shù)會大大降低。我們可以通過概率計(jì)算實(shí)現(xiàn)類似的效果。某些信息有可能發(fā)生卻與其他的信息相關(guān)性很大，在某種程度上，我們能夠忽略它。在電視圖像中，連續(xù)的幀可能幾乎相同。如果通過數(shù)學(xué)計(jì)算或分析，當(dāng)T很大時，這種方法1可以降低消息空間的維數(shù)?，F(xiàn)在我們不深入研究這兩個的影響，我們假設(shè)考慮它們的影響，消息空間的維數(shù)為D，D小于或等于2WT。盡管在許多情況下，這些影響是都是存在的，11它的利用率涉及太多復(fù)雜的設(shè)備實(shí)現(xiàn)方法。如果想考慮任何系統(tǒng)，我們需要研究2WT維信號空間。11Ⅴ發(fā)射機(jī)和接收機(jī)的幾何表示我們可以從幾何的角度去考察發(fā)射機(jī)的功能。輸入到發(fā)射機(jī)的信息是消息空間的一個點(diǎn)。它的輸出時是一個信號空間的信號。無論何種形式的編碼或者調(diào)制，發(fā)射機(jī)都必須建立兩個空間的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系。每一個消息空間的點(diǎn)必須對應(yīng)一個信號空間的點(diǎn)，不能夠兩個信息對應(yīng)一個信號。如果兩個信息對應(yīng)一個信號，在接收端就無法區(qū)別是發(fā)送的哪個信息了。這種對應(yīng)關(guān)系成為映射。發(fā)射機(jī)就是把消息空間映射到信號空間。同樣，接收機(jī)會映射信號空間到消息空間，它可以把一個點(diǎn)或以上的點(diǎn)映射到同樣的點(diǎn)。這意味著幾個不同的信號可以解碼或者解調(diào)為同樣的信息。例如，AM調(diào)制，載波的相位在調(diào)制時消失，僅載波不同的信號會被調(diào)制為同樣的信息。在FM調(diào)制中，調(diào)頻信號波形即便大于限幅器的限制值也不會影響恢復(fù)的信息。在PCM中，接收脈沖的適當(dāng)失真不會影響接收器的接收?，F(xiàn)在我們已經(jīng)建立了通信系統(tǒng)和幾何的關(guān)系，這種對應(yīng)關(guān)系如下表。Ⅵ映射注意事項(xiàng)我們可以得到從幾何角度考慮調(diào)制方法的一般性的本質(zhì)的結(jié)論。從數(shù)學(xué)角度來看，最簡單的映射是兩個空間有相同的維數(shù)。單邊帶調(diào)幅本質(zhì)上就是這種簡單的形式，它在信號空間坐標(biāo)與消息空間成比例。在雙邊帶幅度調(diào)制中，信號空間坐標(biāo)是消息空間的二倍，但是它的兩個坐標(biāo)值是一樣的。如果消息空間和信號空間分別是一維和二維，它就是把直線映射到平面，即在直線的坐標(biāo)（x）對應(yīng)平面的坐標(biāo)為（x,x）。因此，沒有必要使用過多的維度。所有的消息都在落在2TW11維空間的之集。下一個坐標(biāo)軸1123在頻率調(diào)制中，映射會涉及更多的維。信號空間比信息空間有更多的維數(shù)。圖三顯示這種映射類型，它把直線上的點(diǎn)映射為三維空間的點(diǎn)這。條線是從距坐標(biāo)原點(diǎn)單位長度的第一個坐標(biāo)軸開始，沿著以該長度為半徑圓到第二個坐標(biāo)軸，然后再到第三個坐標(biāo)軸。可以看出，該線會隨著坐標(biāo)軸的數(shù)目延長。噪聲干擾圖4線的延伸與通過增加帶寬提高信噪比有關(guān)因?yàn)?。噪聲只是對信號點(diǎn)產(chǎn)生小范圍的不確定的偏移，所以我們可以提高信號映射的規(guī)模去減弱噪聲對需要恢復(fù)信息的影響。我們可以通過在更高維線的來回移動獲得較大的長度，圖四顯示我們把直線映射到平面的情景。很顯然，假定噪聲小于某個特定的值，噪聲的影響相對于線長是很小的。如果噪聲位于門限值，對于接收器就無法判斷那一部分是包含信息。這是一個普遍的現(xiàn)象，它表明在有噪聲情況下，任何系統(tǒng)試圖增加帶寬會受到門限效應(yīng)的影響。如果噪聲較小，失真較小，如果噪聲超過某個門限，消息會急劇的失真。這種現(xiàn)象在PCM系統(tǒng)中很常見。另一方面，假設(shè)我們希望壓縮頻帶或時間或兩者以降低維度，即我們希望在帶寬為W信道中傳輸信T消息。如果考慮信源和信宿的性質(zhì)，消息空間的有效 1 1維度D可以小于2TW。因此，我們可以2TW維的信號空間實(shí)現(xiàn)好的映射。為了 11 11保存必要的信息，我們需要在消息空間分割出有效地信息并只傳輸它們。聲碼器在減小帶寬傳輸語音就是這種形式?，F(xiàn)在的問題是我們能否實(shí)現(xiàn)進(jìn)一步的簡化。從幾何分析，我們能否將一個高維的空間映射到較低維的空間？答案是在一定的條件下，這是可能的。例如，平面的點(diǎn)由兩個坐標(biāo)值，可以寫成如下形式：我們可以從x，y交替的選擇一位組成一個數(shù)字（符號），即x.aaa...y.b1b2b3...已知x,y可以確定z，即z.a1b1a2b2a3b3...。z亦可以確定123x,y。這是平面的點(diǎn)到直線的點(diǎn)的一一映射。這種映射是有數(shù)學(xué)家康托，它可以很簡單實(shí)現(xiàn)降維。n維空間可以一一映射為一維空間。原則上，在沒有噪聲的情況下，頻率—時間可據(jù)我們希望進(jìn)行簡化，并且可以準(zhǔn)確的恢復(fù)原來信息。在不太精確地意義上，假設(shè)我們不過于關(guān)注起始點(diǎn)而只是對附近的點(diǎn)感興趣，這種類型的映射正如圖4把平面映射到直線。這和我們在先前增加維度采用相反的形式。在這樣的映射，在減小的過程中，如果擾亂消息，那將會出現(xiàn)門限效應(yīng)。隨著我們小范圍不斷的改變消息，對應(yīng)的信號也會不斷地作小范圍改變，直到越過某個特定的值。在該值時，信號會發(fā)生大的改變。在拓?fù)鋵W(xué)中，我們不可能連續(xù)的把高維空間映射到低維空間。在有些情況上，這是正確的，而在另外的情況下，這是錯誤的。我們不可能把消息空間以一一對應(yīng)和連續(xù)的方式映射到信號空間（數(shù)學(xué)上著名的拓?fù)溆成洌?，除非它們有相同的維數(shù)。因此，如果我們限制發(fā)射機(jī)和接收機(jī)為連續(xù)的一對一的映射，它有個TW下界。這個下界有WT和D決定。然而，我們沒有必要限制反11射斷和接收端為拓?fù)溆成?。事?shí)上，PCM和其他類似的調(diào)制系統(tǒng)是不連續(xù)的，并且很接近映射。我們想找到?jīng)]有對發(fā)射機(jī)和接收機(jī)沒有任何限制的界限。這些界限將會在下幾章節(jié)介紹，它主要取決于信道中的噪聲的大小和性質(zhì)、傳輸能量以及帶寬和時間的乘積。很顯然，任何系統(tǒng)，由于所涉及映射的特殊性質(zhì)，無論是壓縮或擴(kuò)展TW以及利用額外的空間肯定會是高次非線性和復(fù)雜。Ⅶ在高斯白噪聲下的信道容量在改變TW時，我們不難建立一定的定量關(guān)系。假定噪聲是限頻為W的高斯白噪聲，它與傳輸?shù)男盘柉B加得到輸出信號。高斯白噪聲具有如下性質(zhì)：采樣點(diǎn)獨(dú)立。幅值分布為高斯分布，標(biāo)準(zhǔn)差為N，這里的N為平均噪聲功率。在因高斯白噪聲產(chǎn)生的失真接收端，有多少的不同的信號可以被區(qū)分出來？嚴(yán)格的證明如下：如果信號的功率P，干擾后的信號功率PN。可以區(qū)分幅度的數(shù)量為：KPNN，K是一個很小的常數(shù)，它取決于我們怎么定PNN理”。如果我們需要很好的分辨率，K會小，如果忽略偶然的錯誤，K可以變大。因?yàn)樵赥時間內(nèi)有2WT獨(dú)立的幅值，能夠合理區(qū)分的信號的數(shù)量為：M[KPNNPNN在這個時間內(nèi)，發(fā)送比特的數(shù)據(jù)，信息的傳輸速率為：logM logPN 2W K2 T 2 N除了一般近似的特點(diǎn)，上述觀點(diǎn)的問題在于隱形假設(shè)兩個能夠被區(qū)分信號的采樣點(diǎn)之間的差值大于噪聲值。這個觀點(diǎn)的假設(shè)對于PCM或者類似于PCM的信號，二進(jìn)制編碼是最好的方法。確切的說，如果兩個信號僅僅有少量的差異并且假定可以保持一段時間，它們就可以可靠地區(qū)分。接收信號的各個采樣點(diǎn)可以給出少量的發(fā)送信號的統(tǒng)計(jì)信息；結(jié)合上述信息，這些統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，在合理定義信號的合理性，這個概率可以是式()8db。現(xiàn)在我們利用幾何表示確定噪聲信道的實(shí)際容量。定理二：令P平均傳輸功率，假定限帶于W高斯白噪聲的功率為N。通過有效和復(fù)雜的編碼，該信道的信道容量為：PNCWlog2N信息的差錯率可以任意小。如果信源的信息速率大于信道容量，則不可能存在任何一種編碼使傳輸信息的差錯率任意小。這表明速率WlogPN嚴(yán)格限定了信道傳輸信息的能力。這是一個相當(dāng)N讓人吃驚的結(jié)果，因?yàn)槿绻Ｍ档筒铄e率就需要降低傳輸速率，隨著差錯率降為0，信息傳輸速率必然到達(dá)0。準(zhǔn)確地說，在信息傳輸速率為C時，我們對發(fā)射機(jī)和接收機(jī)采用更多的編碼長度和更長延時。發(fā)射機(jī)將使用長的二進(jìn)制數(shù)字序列和用特定的長延時的信號函數(shù)去表示整個序列。采用延時的原因是發(fā)射機(jī)在確定信號前需要等到足夠的序列。同樣，在接收端等到完整信號函數(shù)才可以解碼。現(xiàn)在我們證明定理二。在幾何表示時，每個信號點(diǎn)都會因噪聲干擾而落在其周圍的小范圍內(nèi)。高斯白噪聲的采樣點(diǎn)是高斯分布的隨機(jī)變量并且統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，因此擾動的概率為：2WT 1 x2expn 22WTN 2TWNn1 1 12TW expx2 (22WTN)TW 2TW nn12TW因?yàn)樗皇侨Q于： xn2n1擾動考慮僅僅取決于到原點(diǎn)的距離而與方向無關(guān)。換句話說，不確定的區(qū)域本質(zhì)上是球形。這個限制區(qū)域的形狀在2WT維數(shù)比較小時不太明顯，隨著維數(shù)的增加，這個限制區(qū)域形狀就會越來越明顯。這是因?yàn)楸桓蓴_信號距離的平方在T時間內(nèi)等于2WT倍的平均噪聲功率。隨著T的增加，噪聲必定到達(dá)N。因此，對于大的時間T，這個擾動值肯定會到達(dá)以原點(diǎn)為中心，半徑r2WTN的球體表面附近位置。更精確的說，T是足夠大，能夠保證擾動位于半徑r2WT(N)的球體（為任意小）。當(dāng)2WT非常大時，噪聲區(qū)域大致可以認(rèn)為規(guī)則的臺球。同理，平均功率為PN的接收信號大部分位于半徑為r2WT(PN)的球體表面。發(fā)送信號有多少可以區(qū)分出來？肯定不會超過除去半徑r2WT(PN)球體積，因?yàn)榕c噪聲球體重疊的會導(dǎo)致接收點(diǎn)判斷信息模糊。半徑為 r的n維球體的體積為：n/2 Vn rn(1)2因此，可以被區(qū)分信號數(shù)量M的上界是：PN[]2TW最后，信道容量的邊界為： logM PN C2 Wlog T 2N為了證明定理二的第一部分，我們需要證明：如果信源的信息速率為WlogPN，則存在一種編碼方式可以保證通過該信道傳輸信息的差錯率可2N以任意小。發(fā)射機(jī)輸出一個m比特的序列，一共有2m個序列，每一個對應(yīng)于時間為T的特定的信號函數(shù)。當(dāng)m比特產(chǎn)生完后，發(fā)射機(jī)開始發(fā)送相應(yīng)的信號。接收機(jī)接收到擾動的信號。接收機(jī)把這個信號和M=2m個信號相比較選出和被干擾信號最相近的信號作為實(shí)際的發(fā)送信號。接收端然后構(gòu)建相應(yīng)的二進(jìn)制序列作為其輸出。整個過程將有2T的延遲。為了保證差錯率小于,M個信號函數(shù)必須合理的區(qū)分。實(shí)際上，我們選擇它們的方式如下：被干擾的信號接近實(shí)際信號概率大于1。令人吃驚的是我們可以從半徑r2WTP球體內(nèi)隨機(jī)選擇M個信號實(shí)現(xiàn)大多數(shù)可能的信號。原則上，這與對功率為P的限帶高斯白噪聲進(jìn)行M個采樣為信號函數(shù)一樣。選擇一個特定的球體M個點(diǎn)對應(yīng)特定編碼。一般的證明結(jié)構(gòu)是考慮所有的選擇點(diǎn)并證明其平均錯誤率小于。這是說明存在某種特定的選擇可以使平均錯率小于，當(dāng)然其他的選擇平均差錯率會大于。0A0AB1234PN（圖5中，1為2WTP，2為2WT(PN)，3為2TW ，4為2WTN）PN該幾何形狀如圖五。高維球平面典型的傳輸信號是A，接收信號是B，中心為0。傳輸?shù)男盘柡芙咏霃綖閞2WTP球表面，因?yàn)閹缀跛谐虻捏w積都集中在表面薄殼。接收的信號也是很接近半徑為r2WT(PN)球表面。高維球的透鏡狀體L是可能引起可能信號的區(qū)域，因?yàn)閭鬏斝盘柡徒邮招盘柕木嚯x非常接近。L比半徑h小。我們能夠通過計(jì)算三角形OAB確定，如下兩種形式11112()22222hWTPNWTPWTNPNhTWPN任何選定的信號點(diǎn)的概率位于L是小于，因?yàn)槲覀冊谠O(shè)計(jì)編碼系統(tǒng)時是在半徑為r的球體隨機(jī)選擇。我們一共有M個信號,為了正確接收,除A點(diǎn)外,其余的M-1個點(diǎn)都不應(yīng)該落在透鏡體內(nèi),而M-1點(diǎn)都在透鏡外的概率,即正確接收的概率為:P[1(PN)TW](M1)因此,如果要求差錯率小于某一個任意小的正數(shù)e，則準(zhǔn)確地接收概率應(yīng)大于1-e，即P[1(PN)TW](M