2021高三數(shù)學第11章 第5講古典概型含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2021高三人教B版數(shù)學一輪（經(jīng)典版）課時作業(yè)：第11章第5講古典概型含解析課時作業(yè)1．（2020·中山摸底）袋子里有3個白球，4個黑球，5個紅球，某人一次抽取3個球，若每個球被抽到的機會均等，則該人抽到的球顏色互異的概率是()A。eq\f（1,4)B。eq\f(1，3）C.eq\f（2,7）D.eq\f（3,11)答案D解析基本事件總數(shù)為Ceq\o\al(3，12）＝220(種)，該人抽到的球顏色互異的情況有3×4×5＝60（種），故所求概率為eq\f（60,220）＝eq\f（3,11).故選D.2．若有2位老師，2位學生站成一排合影，則每位老師都不站在兩端的概率是（）A.eq\f（1,12）B。eq\f(1,6）C。eq\f(1，4）D.eq\f（1，2)答案B解析依題意，所求概率為P＝eq\f（A\o\al(2，2)A\o\al(2,2），A\o\al（4,4)）＝eq\f(1，6）。故選B.3．(2019·貴州貴陽摸底）某市國際馬拉松邀請賽設置了全程馬拉松、半程馬拉松和迷你馬拉松三個比賽項目,4位長跑愛好者各自任選一個項目參加比賽，則這三個項目都有人參加的概率為()A.eq\f（8,9）B。eq\f(4，9)C。eq\f(2,9）D。eq\f（8，27)答案B解析基本事件總數(shù)n＝34＝81，這三個項目都有人參加所包含的基本事件個數(shù)m＝Ceq\o\al（2,4）Aeq\o\al(3,3）＝36,故這三個項目都有人參加的概率為P＝eq\f(m,n)＝eq\f（36,81）＝eq\f(4,9）。4．(2018·全國卷Ⅱ）我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30＝7＋23.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是()A。eq\f（1,12）B。eq\f(1,14)C。eq\f（1,15)D。eq\f(1，18)答案C解析不超過30的素數(shù)有2,3，5，7，11，13，17，19,23,29,共10個，隨機選取兩個不同的數(shù),共有Ceq\o\al（2，10）＝45種方法，因為7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法，故概率為eq\f(3，45）＝eq\f(1，15)，選C。5．(2020·湖南益陽調(diào)研）已知a∈{－2,0，1，2，3}，b∈｛3,5},則函數(shù)f（x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率是(）A。eq\f（3，10)B。eq\f(3，5）C。eq\f（2,5)D.eq\f（1,5)答案C解析若函數(shù)f（x）＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)，則a2－2<0，且與b的值無關(guān)，解得－eq\r（2)<a<eq\r（2），∵a∈{－2,0,1，2,3}，∴a∈｛0,1}，∴函數(shù)f(x）＝(a2－2）ex＋b為減函數(shù)的概率是eq\f（2，5)。6．（2019·山西大同聯(lián)考)從1,2,3,4，5這5個數(shù)中一次性隨機地取兩個數(shù)，則所取兩個數(shù)之和能被3整除的概率是(）A。eq\f(2，5)B.eq\f(3,10)C。eq\f（3,5)D。eq\f（4，5）答案A解析從1,2，3,4，5這5個數(shù)中一次性隨機地取兩個數(shù)，共有Ceq\o\al（2,5）＝10種取法,其中所取兩個數(shù)之和能被3整除包含(1，2)，（1,5），(2，4），(4,5）4種取法，所以所求概率為eq\f(4，10)＝eq\f（2，5)，選A.7．（2020·海淀模擬)袋中有紅、黃、白色球各1個，每次任取1個，有放回地取三次,則三次顏色各不相同的概率為()A。eq\f（1，6） B。eq\f(1,3）C.eq\f（2，9） D．1答案C解析每次取球都有3種方法,共有33＝27種不同結(jié)果,即27個基本事件，記事件A為“三次顏色各不相同"，則P（A）＝eq\f（A\o\al（3,3)，27）＝eq\f（2，9).8．（2020·山東濰坊期末）四色猜想是世界三大數(shù)學猜想之一，1976年數(shù)學家阿佩爾與哈肯證明，稱為四色定理．其內(nèi)容是：“任意一張平面地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家涂上不同的顏色．”用數(shù)學語言表示為“將平面任意地細分為不相重疊的區(qū)域，每一個區(qū)域總可以用1，2，3，4四個數(shù)字之一標記，而不會使相鄰的兩個區(qū)域得到相同的數(shù)字．"如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線圍成的各區(qū)域上分別標有數(shù)字1，2，3,4的四色地圖符合四色定理，區(qū)域A和區(qū)域B標記的數(shù)字丟失．若在該四色地圖上隨機取一點，則恰好取在標記為1的區(qū)域的概率所有可能值中，最大的是（)A。eq\f(1,15）B。eq\f(1，10)C。eq\f（1,3）D.eq\f（11,30）答案C解析A,B只能有一個可能為1,題目求恰好取在標記為1的區(qū)域的概率所有可能值中的最大值,令B為1，則總數(shù)有30個，1號有10個，則概率為eq\f(1，3)，故選C。9．(2019·福建寧德質(zhì)檢)《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學著作．其中的一道題“今有木,方三尺,高三尺,欲方五寸作枕一枚．問:得幾何？”意思是:“有一塊棱長為3尺的正方體方木，要把它作成邊長為5寸的正方體枕頭，可作多少個？"現(xiàn)有這樣的一個正方體木料，其外周已涂上油漆，則從切割后的正方體枕頭中任取一塊，恰有一面涂上油漆的概率為（)A。eq\f（125,216）B。eq\f(8，27）C.eq\f(4，9）D。eq\f(1，4）答案C解析有一塊棱長為3尺的正方體方木,要把它作成邊長為5寸的正方體枕頭,可作eq\f（303，53)＝216個，由正方體的結(jié)構(gòu)及鋸木塊的方法，可知一面帶有紅漆的木塊是每個面的中間那16塊，共有6×16＝96個，所以從切割后的正方體枕頭中任取一塊，恰有一面涂上油漆的概率P＝eq\f(96,216）＝eq\f（4，9）.故選C.10．（2019·山東濟寧二模）甲、乙兩位同學將高三6次物理測試成績做成如圖所示的莖葉圖加以比較(成績均為整數(shù)，滿分100分)，乙同學對其中一次成績記憶模糊，只記得成績不低于90分且不是滿分,則甲同學的平均成績超過乙同學的平均成績的概率為(）A。eq\f（2，5）B。eq\f（1,2)C.eq\f(3，5)D.eq\f（4,5）答案C解析由題意，得eq\o(x，\s\up6（－））甲＝eq\f(88＋87＋85＋92＋93＋95,6）＝90，設被污損的數(shù)字為x，則eq\o(x,\s\up6(－））乙＝eq\f（85＋86＋86＋88＋90＋99＋x,6)＝89＋eq\f（x,6),滿足題意時,eq\o（x，\s\up6（－)）甲〉eq\o（x,\s\up6(－））乙，即90〉89＋eq\f（x，6)?x〈6，即x可能的取值為0,1，2,3，4，5，結(jié)合古典概型計算公式可得滿足題意的概率值P＝eq\f（6,10）＝eq\f(3，5)。故選C。A。eq\f（1，2）B。eq\f(1，4）C。eq\f(3,4)D。eq\f(3,8）答案D解析只考慮A，B兩個方格的排法．不考慮大小,A，B兩個方格有Ceq\o\al(1,4）Ceq\o\al（1，4)＝16種排法．要使填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字，則從1,2，3，4中選2個數(shù)字，大的放入A格，小的放入B格，有Ceq\o\al(2，4）＝6種，故填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字的概率為eq\f（6，16）＝eq\f（3,8)，選D.12．(2019·江西九江模擬統(tǒng)考)河圖是上古時代神話傳說中伏羲通過黃河中浮出龍馬身上的圖案，與自己的觀察,畫出的“八卦",而龍馬身上的圖案就叫做“河圖”．把一到十分成五組，如圖，其口訣：一六共宗，為水居北；二七同道，為火居南；三八為朋，為木居東;四九為友，為金居西；五十同途，為土居中．現(xiàn)從這十個數(shù)中隨機抽取四個數(shù)，則能成為兩組的概率是（)A。eq\f(1，5)B.eq\f（1，10)C.eq\f（1，21)D。eq\f(1,252)答案C解析現(xiàn)從這十個數(shù)中隨機抽取四個數(shù)，基本事件總數(shù)n＝Ceq\o\al（4，10），能成為兩組的基本事件個數(shù)m＝Ceq\o\al（2，5），則能成為兩組的概率是P＝eq\f（m,n)＝eq\f(C\o\al（2,5）,C\o\al（4,10))＝eq\f（1,21）.故選C。13．（2019·合肥模擬)從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，每天一人,則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為________．答案eq\f（1,3）解析設2名男生記為A1，A2，2名女生記為B1，B2，任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，共有Aeq\o\al（2，4）＝12種情況,而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有Aeq\o\al（2，2）·Aeq\o\al（2,2）＝4種情況，則所求的概率為P＝eq\f（4,12)＝eq\f（1，3)。14．(2019·廣州模擬)在一個袋內(nèi)裝有同樣大小、質(zhì)地的五個球，編號分別為1，2,3，4,5，若從袋中任意取兩個，則編號的和是奇數(shù)的概率為________(結(jié)果用最簡分數(shù)表示)．答案eq\f（3，5)解析從袋中任意取兩個球,共有Ceq\o\al（2，5)＝10種．若編號的和為奇數(shù)，則有Ceq\o\al（1,3）Ceq\o\al(1，2)＝6種，所以編號的和是奇數(shù)的概率為eq\f（6，10)＝eq\f（3，5）。15．某人在微信群中發(fā)了一個7元“拼手氣”紅包，被甲、乙、丙三人搶完，若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則甲領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人的概率是________．答案eq\f（2，5）解析由題意，得甲、乙、丙領(lǐng)取錢數(shù)的所有可能有(1，1,5)，(1,5，1），(5,1,1)，(1，2,4)，(1，4,2),（2，1,4），(2,4，1)，（4，1，2)，(4，2，1)，(1,3,3）,（3，1，3)，（3,3，1），(2，2,3），（2,3，2)，(3,2,2），共15種,其中甲領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人的可能有(5，1,1),（4，1，2）,(4,2，1），(3，1,3)，(3,3，1），（3，2，2），共6種,所以所求概率為eq\f（6,15）＝eq\f(2，5)。16．(2019·云南部分校聯(lián)考)袋中共有7個球，其中3個紅球、2個白球、2個黑球．若從袋中任取3個球，則所取3個球中至多有1個紅球的概率是________．答案eq\f(22，35)解析所取3個球中沒有紅球的概率為P1＝eq\f（C\o\al（3,4），C\o\al（3,7))＝eq\f（4，35）,所取3個球中恰有1個紅球的概率為P2＝eq\f(C\o\al(1,3）C\o\al（2,4）,C\o\al(3，7））＝eq\f(18，35），則所取3個球中至多有1個紅球的概率為P＝P1＋P2＝eq\f（22，35)。17．（2020·蘭州雙基測試)一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數(shù)字1，2,3，這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同．隨機有放回地抽取3次，每次抽取一張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c"的概率；(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率．解(1）∵有放回地抽取3次，∴總的結(jié)果有：3×3×3＝27種，設“抽取卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c"為事件A,則事件A包括(1，1,2），（1,2，3)，（2,1,3）共3種，∴概率P(A）＝eq\f(3，27)＝eq\f（1,9）。(2)設“抽取的卡片上的數(shù)字a，b,c不完全相同”為事件B，則事件eq\x\to(B）包括(1,1,1）,（2,2，2)，（3,3，3)，共3種,所以P（B）＝1－P（eq\x\to(B）)＝1－eq\f(3,27）＝eq\f（8,9),因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為eq\f(8,9）.18．某學校高一年級共有20個班,為參加全市鋼琴比賽,調(diào)查了各班中會彈鋼琴的人數(shù)，并以組距5將數(shù)據(jù)分組成[0，5),［5，10)，…,[30，35），[35，40]，作出頻率分布直方圖如圖所示．(1)由頻率分布直方圖估計各班中會彈鋼琴的人數(shù)的平均值;（2）若會彈鋼琴的人數(shù)為[35，40］的班級作為第一類備選班級,會彈鋼琴的人數(shù)為［30,35)的班級作為第二類備選班級，現(xiàn)要從這兩類備選班級中選出兩個班參加市里的鋼琴比賽，求這兩類備選班級中均有班級被選中的概率．解（1）設各班中會彈鋼琴的人數(shù)的平均值為eq\o(x，\s\up6(－))，由頻率分布直方圖知，eq\o(x，\s\up6(－）)＝2.5×0.01×5＋7。5×0。01×5＋12.5×0.04×5＋17。5×0。02×5＋22.5×0.04×5＋27.5×0。03×5＋32。5×0。03×5＋37.5×0。02×5＝22，所以各班中會彈鋼琴的人數(shù)的平均值為22.(2)由頻率分布直方圖知，第一類備選班級有2個，第二類備選班級有3個，從這5個備選班級中選出兩個班共有Ceq\o\al(2，5）種情況，其中兩類備選班級均有班級被選中的情況有Ceq\o\al(1,2）Ceq\o\al（1,3）種，故兩類備選班級中均有班級被選中的概率P＝eq\f（C\o\al（1，2)C\o\al（1,3）,C\o\al（2,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)。19．已知8支球隊中有3支弱隊，以抽簽方式將這8支球隊分為A,B兩組，每組4支,求：(1)A，B兩組中有一組恰好有2支弱隊的概率；（2）A組中至少有2支弱隊的概率．解（1）解法一：3支弱隊在同一組中的概率為eq\f(C\o\al（1,5），C\o\al（4,8))×2＝eq\f（1，7）,故有一組恰好有2支弱隊的概率為1－eq\f(1，7)＝eq\f（6,7）。解法二:A組恰有2支弱隊的概率為eq\f(C\o\al(2,3）C\o\al(2，5),C\o\al（4，8）),B組恰好有2支弱隊的概率為eq\f(C\o\al(2，3)C\o\al（2,5)，C\o\al(4,8)).所以有一組恰好有2支弱隊的概率為eq\f（C\o\al（2，3)C\o\al(2，5）,C\o\al(4，8))＋eq\f（C\o\al（2，3)C\o\al(2，5），C\o\al（4，8））＝eq\f(6,7）.(2)解法一：A組中至少有2支弱隊的概率為eq\f（C\o\al（2,3）C\o\al（2，5）,C\o\al（4，8）)＋eq\f（C\o\al(3,3）C\o\al（1，5)，C\o\al（4,8）)＝eq