2020年上海新高一新教材數(shù)學講義-專題21期中復(fù)習（教師版）

專題21期中復(fù)習

知識梳理

一、集合與命題

1.區(qū)分集合中元素的形式:

{x|y=/(x)}3〉=/(%)}{(x,y)l>=/(%)}

函數(shù)的定義域函數(shù)的值域函數(shù)圖象上的點集

2.研究集合必須注意集合元素的特征，即集合元素的三性：確定性、互異性、無序性.

3.集合的性質(zhì)：①任何一個集合P都是它本身的子集，記為

②空集是任何集合尸的子集，記為

③空集是任何非空集合P的真子集，記為0UP.

注意：若條件為A[3,在討論的時候不要遺忘了A=0的情況.

集合的運算：④(4n8)nc=An(Bnc)、(AUB)UC=AU(BUC)；

施(AB)=(d)(?/)、疵(AB)=(uA)(?/).

⑤AB=A=AB=B=■Ac.B=■疵Bq。AT=0.

⑥對于含有〃個元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)

依次為:2"、2"—1、2"—1、2"-2.

4.命題是表達判斷的語句.判斷正確的叫做真命題；判斷錯誤的叫做假命題.

①命題的四種形式及其內(nèi)在聯(lián)系:

原命題：如果a,那么p；

逆命題：如果尸，那么a；

否命題：如果那么瓦

逆否命題：如果瓦那么亂

②等價命題：對于甲、乙兩個命題，如果從命題甲可以推出命題乙，同時從命題乙也可以推出命題甲，既

“甲o乙”，那么這樣的兩個命題叫做等價命題.

③互為逆否命題一定是等價命題，但等價命題不一定是互為逆否命題.

④當某個命題直接考慮有困難時，可通過它的逆否命題來考慮.

5.常見結(jié)論的否定形式：

原結(jié)論是都是一定p或qp且q大于小于

否定形式不是不都是不一定p且qp或q不大于不小于

對所有無對任何X

原結(jié)論至少一個至多一個至少〃個至多〃個

都成立不成立

一個也

至多1至少n+\存在某X存在某X

否定形式至少兩個

個個不成立成立

沒有

6.充要條件:

條件結(jié)論推導(dǎo)關(guān)系判斷結(jié)果

a=Ba是夕的充分條件

aBna。是夕的必要條件

a=B豆B=a。是夕的充要條件

在判斷“充要條件”的過程中，應(yīng)注意步驟性：

首先必須區(qū)分誰是條件、誰是結(jié)論，然后由推導(dǎo)關(guān)系判斷結(jié)果.

二、不等式

1.基本性質(zhì)：（注意：不等式的運算強調(diào)加法運算與乘法運算）

①且。>cn〃>c；

②推論：i.a>b<^a±c>b±c；ii.?！ㄇ襝>d=>Q+C>Z?+d；

ac>bec>0

③a>b=><ac=be=0c=Q；

ac<hec<0

④推論：i.a>h>0,c>d>0=>ac>hd；ii.。>方且a、b同號=>」<，；

ab

ii.a>0>b=>—>0>—；iii.a>b>0,a>0^>aa>ba,\!a>\fb；

ab

c/八八bb+m

⑤a>b>0,m>0=>—<-----；

aa+m

>0>b

⑥a-b<=0<=>a<=h；

<0<b

2.解不等式：(解集必須寫成集合或區(qū)間的形式)

①一元二次或一元高次不等式以及分式不等式的解題步驟：

i.分解因式=>找到零點；五.畫數(shù)軸=標根=畫波浪線；iii.根據(jù)不等號，確定解集；

注意點：i.分解因式所得到的每一個因式必須為x的一次式；ii.每個因式中x的系數(shù)必須為正.

②絕對值不等式--關(guān)摯一》去絕對值：

i.|x|>6?ox>a或<-a（Q>0）；ii.—QVx<Q（a>°）；

iii.\a\>\b\<^a2>b2-,iv.(g(x)>0)of(x)<-g(x)或/(x)>g(x)；

v.|/(x)|<g(x)=—g(x)</(x)<g(x)；

③解含參數(shù)的不等式時，定義域是前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵.

而分類討論的關(guān)鍵在于“分界值”的確定以及注意解完之后要總結(jié)：綜上所述

④對于不等式恒成立問題，常用“函數(shù)思想”、“分離變量思想”以及“圖象思想”.

3.基本不等式：

①a,beR,則“2+。222出?，當且僅當a=〃時，等號成立.

a,beR+,則a+匕22疝，當且僅當a=8時，等號成立.

綜上，若a,beR,則/+〃之(巴+”)：N2a「,當且僅當a=。時，等號成立.

2

則審》疝21

*②若a,beR”，T當且僅當。=人時，等號成立.

---1---

ab

I>2x>0,當且僅當》='，即x=l時，等號成立

*(3)%+-<X

X當且僅當％=,，即》=-時，等號成立

<-2x<0,1

X

4.不等式的證明：

①比較法：作差一因式分解或配方一與“0”比較大小一

②綜合法：由因?qū)Ч?

③分析法：執(zhí)果索因；基本步驟：要證即證即證.

④反證法：正難則反.

⑤最值法：a>/(x)max,則a>/(x)恒成立；a</(x)min,則a</(x)恒成立.

三、寨'指與對數(shù)

1、幕的有關(guān)概念：

正整數(shù)指數(shù)基：a"=a?a????a(nsN*)

〃個

零指數(shù)嘉：a°=l(aHO)

負整數(shù)指數(shù)幕：a-P='-(a#O,〃eN*)

ap

分數(shù)指數(shù)幕：

an="(6?>0,m,neN*且〃>1)

-竺11*

an=——=——(a>0,m,neN',n>D

1.根式的運算性質(zhì)：(1)當n為任意正整數(shù)時，(④

(2)當n為奇數(shù)時，'-{[a"=a；當n為偶數(shù)時，'4a"=同="')

-a(a<0)

(3)根式的基本性質(zhì)：'07不=行，(?>0)

am-an=a"""(m,〃eQ)

2.分數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)：(/')"=a'"n(m,neQ)

(aby=a"-b"(neQ)

一、對數(shù)

1、對數(shù)的定義：

如果ab=N(a>0,1),那么b叫做以a為底N的對數(shù)，記作如gW=b.

易得:"叫W=N——對數(shù)恒等式，自然對數(shù)：以e為底的對數(shù)成為自然對然，記作In,常用對數(shù)：以10

為底的對數(shù)，記作1g。

實際上指數(shù)與對數(shù)只是數(shù)量間的同一關(guān)系的兩種不同形式.

2、指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系:

ab=NoiogaN=b(。>0,N>0).

要能靈活運用這個關(guān)系，能隨時將二者互化。

3、對數(shù)運算性質(zhì):

①log”(MN)=logaM+logaN.

②loga—=log“M—logJV.

N

③logJVT=九10g〃M.(M>0,N>0,4>0,aWl)

n

④logAT=—log“M(M>0,N>0,a>0,

m

log,N

⑤換底公式：log於1L(0<aWl,0〈6#I,N>0).

log.》

例題解析

一'集合與命題

(-)集合的概念與運算

【例1】已知集合A={x|y=J1-尤、,1€2},8={曠|了=2%-1,%€4},則403=.

【難度】★

【答案】(一1,1}

【例2】集合xeR,yeR+,A=卜~+x+1,—x,—x—1[B=1—y,—■,y+1/,A=B)求x,y.

【難度】★★

【答案】x=l,y=2

【例3】已知集合A=,-2A+6vxvA?-3]8=同一kvx<z},若A聶B,求實數(shù)Z的取值范圍.

【難度】★★★

【答案】0<xW匕巫

【例4】集合A=1x|x2+4ax-4a+3=()},B=|x|x2+(a-l)x+/=o},c=1xp2+2av-2a=01,

若A,B,C中至少有一個不是空集，求。的取值范圍.

【難度】★★★

【答案】卜8，—]](―1,+00)

【鞏固訓(xùn)練】

1.A={(x,y)|y=兇-2,xeR],B==-x2+2x+15,xeAc8=.

【難度】★★

【答案】

2.若集合力={x|2a+14x43a-5},8={印4x422},則能使4鼻8成立的所有實數(shù)a的集合是()

A.{a|l<a<9}B.{a|6<a<9)C.{a|a<9)D.0

【難度】★★

【答案】A

3.已知集合歷={4》-《)(/一公+4_1)=()}各元素之和等于3,則實數(shù)°的值為.

【難度】★★

【答案】根據(jù)集合中元素的互異性，當方程(》-4)(產(chǎn)-6+。-1)=0重根時，重根只能算一個元素。

M=1x|(x-6Z)(x-l)(x-(?-l))=o|

當a=l時，M={0,1}不合題意；

當a-l=l時，即a=2時,M={1,2},符合題意；

當awl,Il.aw2時，a+\+a—\=3<則a=。，M=/—,1,符合題意。

2122J

綜上a=2或之

4.設(shè)集合A={x|--2x+2/〃+4=0},8={x|x<0},,若Ac8W。,求實數(shù)機的取值范圍.

【難度】★★

【答案】見解析

【解析】分析：關(guān)鍵是準確理解，首先要從數(shù)學意義上解釋ACBH0的意義，然后才能提出解決問題的

具體方法.

(解法一)：據(jù)題意得方程f-2x+2m+4=0至少有一個負實數(shù)根。

玉+々=2>0.,.兩根必一正一負

r(3

A=4-4(2m+4)>0m<—

2=>m<-2

xx1=2m+4<0

}m<-2

(解法二)命題o方程的小根r=1-V-2/H-3<0

J—―3〉1—2m-3>1tn<-2.

(解法三)設(shè)/(*)=/-2x+2/n+4,這是開口向上的拋物線，?.?其對稱軸x=l>0,則二次函數(shù)性質(zhì)

知命題乂等價于/（0）<0=根<一2,

注意，在解法三中，/（x）的對稱軸的位置起了關(guān)鍵作用，否則解答沒有這么簡單.

（二）命題與充要條件

【例5】命題“若一<1,則一1<%<1”的逆否命題是.

【難度】★

【答案】若xNl或xKT,則/之1

【例6】一元二次方程a—+2x+1=00）有一個正根和一個負根的充分不必要條件是

【難度】★★

【答案】a<-l

【鞏固訓(xùn)練】

1.有4個命題：（1）沒有男生愛踢足球；（2）所有男生都不愛踢足球；（3）至少有一個男生不愛踢足球;

（4）所有女生都愛踢足球；其中是命題“所有男生都愛踢足球''的否定是.

【難度】★

【答案】（3）

2.若非空集合A,8,C滿足AB=C,且B不是A的子集，則（）

A.“xeC”是“xwA”的充分條件但不是必要條件

8.“工€。”是“％64”的必要條件但不是充分條件

C.“XeC”是“xeA”的充要條件

D.“xeC”既不是“xeA”的充分條件也不是“xeA”必要條件

【難度】★★

【答案】B

（三）集合與命題綜合應(yīng)用

【例7】集合M={l,2,…,2008},若X=M,XH0,心為X中最大數(shù)與最小數(shù)的和（若集合X中只

有一個元素，則此元素既為最大數(shù)，又為最小數(shù)），那么，對”的所有非空子集，全部心的平均值為

【難度】★★★

【答案】2009

[例8]（2015崇明一模理14文14）若X是一個集合，?是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足:

（1）X屬于T，0屬于J（2），中任意多個元素的并集屬于J（3）7中任意多個元素的交集屬于「.

則稱「是集合X上的一個拓撲.已知集合乂={。,4可，對于下面給出的四個集合r：

①r={0,{a},[c},{a,b,c]}；②r={0,,{c},{b,c},{a,b,c}}-③T={0,{a},[a,b],{a,c]};

④T={0,{a,e}Ab,c},{c},{a,b,c}}.其中是集合X上的拓撲的集合T的序號是.

（寫出所有集合X上的拓撲的集合7的序號）

【難度】★★★

【答案】②④

【鞏固訓(xùn)練】

1.設(shè)集合〃={1,2,34,5,6},S2,Sk都是M的含兩個元素的子集,且滿足:對任意的5,.=｛a,.,bj,

,、、-.a,b,.b

Sj={aj,bj)(zVj,z>je{1,2,3,人｝),都4m有mm〈一＜上,上,(min{x,y}表示兩

也也%.

個數(shù)x,y中的較小者)，則上的最大值是

【難度】★★★

【答案】11

2.對正整數(shù)〃，記/“=｛1,2,3,,〃｝,匕=j正帆

(1)在集合/“中，任意取出一個子集，計算它的各元素之和.求所有子集的元素之和。

(2)當〃=2014時，對集合/“及每一個非空子集定義唯一“交替和”如下:把子集中的數(shù)按遞減順序排列,

然后從最大數(shù)開始,交替地加減相繼各數(shù)，如｛124,6,9｝的“交替和”是9—6+4—2+1=6,集合｛7,10｝的“交

替和”是10—7=3,集合｛5｝的“交替和”是5等等.試求的所有的“交替和”的總和.并針對于集合｛1,2,…,

求出所有的“交替和”.

⑶*若《的子集4中任意兩個元素之和不懸整數(shù)的平方，則稱4為“稀疏集”.求〃的最大值，使〃能分

成兩個不相交的稀疏集的并.

【難度】★★★

【答案】(1)?(n+l)2,'-2

(2)n-2'-'

(3)先證：當〃》15時，8不能分成兩個不相交的稀疏集的并.若不然，設(shè)46為不相交的稀疏集，使/U

B=P?^I?,不妨設(shè)1丘4則因1+3=2、故3任力，即3GA同理6G410丘氏又推得15仁4,但1+15=

42,這與｛為稀疏集矛盾.

mI

再證凡符合要求，當k=1時,telme，4可分成兩個稀疏集之并，事實上，只要取4=

{1,2,4,6,9,11,13},^={3,5,7,8,10,12,14},則4,瓜為稀疏集，且4U4=九.

13

當k=\時，集.黃Ww中除整數(shù)外剩下的數(shù)組成集,可分解為下面兩稀疏集的并:

T

4={91微當，4=俁身

當k=9時，集贊上〃€中除正整數(shù)外剩下的數(shù)組成集仁—L可分解為下面兩稀

33J

/_[4510131J278H_141

疏集的并：&=H'i5'T'TJ仔5話亍丁J

最后，集C=（區(qū)⑷且左wL4,9j中的數(shù)的分母均為無理數(shù)，它與凡中的任何其他數(shù)之和都

不是整數(shù)，因此，令4=4U/f21M：,UGB=B\UBzUBs,則{和6是不相交的稀疏集，且/UQ凡.

綜上，所求〃的最大值為14.

注：對小的分拆方法不是唯一的.

二、不等式

（-）不等式性質(zhì)與證明

【例9】若。＜8＜0,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.不等式和4〉上均不能成立

ab\a\\b\

B.不等式」一＞■!?和」＞4均不能成立

b-aa\a\\b\

C.不等式一1—＞L和（a+工］均不能成立

b-aaIb）\aJ

D.不等式」＞/口心+「!〈伍+”均不能成立

14MlI入〔口

【難度】★★

【答案】D

【例10］設(shè)都是正實數(shù)，比較+y2與d+,3的大小關(guān)系.

【難度】★★

【答案】

【例11］若。>2/>2,比較。瓦。+匕的大小關(guān)系.

【難度】★★

【答案】

【鞏固訓(xùn)練】

1.設(shè)a,8c都是大于-1的負數(shù)，且。>b>c,則下列不等式正確的是（）

（A）a+b-c<0（B）a-b>b-c（C）abc>-1（D）—>—

cc

【難度】★★

【答案】C

v.2j-5

2.設(shè)為實數(shù)，滿足24孫243,34—44,則二的最大值是.

y）’

【難度】★★

【答案】

3.設(shè)〃12令。2=1+--------.

1+〃]

（1）證明后介于〃]、。2之間；

（2）求⑶、。2中哪一個更接近于行；

（3）你能設(shè)計一個比。2更接近于后的一個。3嗎？并說明理由.

【難度】★★★

【答案】（1）證明：（41—a\）（V2—。2）=（V2—a\）,（V2—1——-——）--―<0.

1+%1+〃]

，行介于41、例之間.

（2）解：|痣一。2|=|痣一1——5—1

1+

（1—5/2^）（5/2—611）

=|不1

--IV2—tzi|<|V2—?i|.

1+勺

???〃2比0更接近于VT

（3）解：令〃3=1+—,

1+0

則43比S更接近于近.

五_\

由（2）知|后一俏|二-----I/一421Vl收一421.

1+。2

（二）不等式解法綜合應(yīng)用

【例12]關(guān)于x的不等式組'-X-2>°的整數(shù)解的集合為{-2},求實數(shù)A的取值范圍.

2/+（2A+5）X+5A<0

【難度】★★

【答案：見解析】

犬<-1或工>2

(x+l)(x-2)>0

【解析】解:原不等式組O

(2x+5)(x+k)<0(x+-1)(x+^)<0

由數(shù)軸可得：一2<—443=%€[—3,2)。

【例13]已知關(guān)于x的不等式容，<0的解集是M；

x-a

(1)當。=4時，求集合加；

(2)若3eM,5任M,求實數(shù)a的取值范圍.

【難度】★★

【答案】(1)(-oo,-2)(1,2)(2)[1,|)(9,25]

【解析】(1)略(2)???5任〃.則5不滿足不等式殍」<0,

X-Q

5a-5

若則------<0,解得QV1O〃Q>25,因此144?25時，5任四，

25-a

又OM,同上解得。<9ora>9.

3

綜上可知實數(shù)a的取值范圍是I)U(9,25].

【例14]已知適合不等式|『一4x+〃|+|x-3|W5的x的最大值為3,求實數(shù)a的值，并解該不等式.

【難度】★★★

【解答】：]?？，二,一3|二3-x,若x2—4x+a<0,則原不等式化為x2—3x+〃+220.

此不等式的解集不可能是集合｛x|xW3｝的子集，—4x+a<0不成立.

丁是，x2—4x+420,則原不等式化為5x+〃一2<0.

令x2—5x+a—2=(%—3)(%—???)r2—(zn+3)x+3m,比較系數(shù)，得加=2,?*.a=8.

此時，原不等式的解集為32Wx<3｝.

【例15］設(shè)0<h<l+a,若關(guān)于x的不等式(x-乃2〉(辦了的解集中的整數(shù)解恰有3個，則()

A.一1<。<0B.0<。<1C.1<。<3D.3<。<6

【難度】★★★

【答案】C

【解析】不等式變型為［(a+l)x-b］［(a—l)x+"<0解集中恰有三個整數(shù)解知a>1；

-bb-b

不等式的解集為——<x<——<1知整數(shù)解為-2,-1,0故一3W——<-2

a-1Q+1。-1

得2a—2<〃<3。一3,「bv1+〃**?2。-2<1+。**.tz<3

從而1<。<3

【例16］已知當21+ax—2aH0時不等式“+(；—1)"-2a+2>。恒成立,則實數(shù)。的取值范圍是

2x+ax-2a

【難度】★★★

【答案】一7<〃<0或a=2

【鞏固訓(xùn)練】

1.不等式/-爾-2%《0有實數(shù)解，且對于任意的實數(shù)解百,多恒有|石-司43,求實數(shù)m的取值范圍.

【難度】★★★

【答案】[一9,一8][0,1]

2.已知集合4={幻(?一3乂丁+國一2)40,%€吊,B={x\x2-ax-n<0,xeR],若4=8,則實

數(shù)a的取值范圍是.

【難度】★★

【答案】[一1,1]

3.若關(guān)于x的不等式一^-+把<0的解集為(―2,—1)。(2,3),關(guān)于x的不等式一組+如二!■<()的解

X+Qx+cax-lcx-[

集為.

【難度】★★★

■公山.(11)(1八r4.RA-沖、kX+bdr4plM"bx-\_

【答案】0—J【提不】令戶一X審入-----+-----<0即可得到------+-----<0

\23)\2)x+ax+caxex-1

6Z4-1)%2—1

4.解關(guān)于x的不等式---------->x,其中。>0.

OX+1

【難度】★★★

5.已知關(guān)于x的不等式(京―左2一4)。-4)>0,其中女￡/?.

(1)當人變化時，試求不等式的解集A；

(2)對于不等式的解集A,若滿足AZ=B(其中Z為整數(shù)集).試探究集合8能否為有限集?

若能，求出使得集合5中元素個數(shù)最少的攵的所有取值，并用列舉法表示集合B；若不能，請說明理由.

【難度】★★★

【答案】見解析

【解析】解：(1)當上=0時，A=(-oo,4)；

4

當攵〉0且時，A=(-oo,4)伏+—,+8)；

k

當左=2時，A=(-oo,4)(4,+oo)；(不單獨分析左=2時的情況不扣分)

4

當攵<0時，4=(攵+—,4).

k

(2)由(1)知：當Z20時，集合3中的元素的個數(shù)無限；

當人<0時，集合8中的元素的個數(shù)有限，此時集合8為有限集.

因為人+二K—4,當且僅當％=-2時取等號，

k

所以當攵=-2時，集合8的元素個數(shù)最少.

此時A=(-4,4),故集合8={-3,-2,-1,0,1,2,3).

(三)基本不等式

【例17](1)當時，函數(shù)y=5(l—2%)的最大值為.

1g

(2)已知x>0,y>0,且《+,=1,求x+y的最小值_______;

(3)已知求函數(shù)y=4x—2+無、的最大值_______；

(4)已知Q0,)>0,x+2y+2xy=S,則x+2y的最小值是:

(5)已知“*。，則〃+曰的最小值是一

【難度】★★

【答案】⑴上(2)16(3)1(4)4(5)16

【解析】(l)：0<r<4，,1—2x>0,則?2r(l-2x)得(2^三——)2=]^,

當且僅當2x=l—2x,即x=；時取到等號，...ymax=5.

19

⑵Vx>0,y>0,-+-=1,

Ay

12\電

：.x+y=(x+y)G+y)=x+y+1026+10=16.

當且僅當卜當時，上式等號成立，又(+5=1,

xyxy

?*-x=4,y=12時，(x+y)min=16.

5

(3)Vx<^,/.5-4x>0.

>=4x-2+土=—(5—4x+^)+3W—2d(5-4x)?羨+3=1,

當且僅當5—，即X=1時，上式等號成立，故當X=1時，ymax=L

j—4x?

(4)方法一：依題意，得(%+1)(2y+1)=9,

???一+1)+(2y+1)2243+1)(2》+1)=6,即x+2y24.

.—2

x+\=2y+\f

當且僅當時等號成立.

x+2y+2xy=8,{y=i

：.x+2y的最小值是4.

8—x9

方法二：由x+2y+2xy=8=>2y=-----=-------l(0<x<8)

%+1x+1

999

一l=(x+l)+-2>2(%+1).-2=4

x+1(x+1)(x+1)

9

當且僅當(x+l)=------,即x=2時等會成立.

(x+1)

（5）,：a>b>0,：?b（a—b）W（b+,當且僅當q=20時等號成立.

，片十鬲&而三。2+*=/+詈16,當且僅當。=2啦時等號成立.

:?當a=2巾,。=啦時，/+篇三方取得最小值16.

注：多次使用不等式一定要保證

【例18](1)若a,AeR+,且2/+〃=2,則的最大值是________________

(2)設(shè)a〉l,b>\,i.?Z?-(a+Z?)=1,那么（）

A、a+b有最小值2(元+1)B、a+b有最大值（、歷+1產(chǎn)

C、加?有最大值收+1D、而有最小值2（、歷+1）

(1Y(1Y

(3)若x,y是正數(shù)，則x+—+y+--的最小值是（）

12yJ1：lx）

79

A.3B.-C.4D.-

22

【難度】★★

【答案】(1)￡1(2)A(3)C

4

,(1Yf

【解析】(1)略(2)略(3)xH---+y

12yJv+￡14+如+撲后月=

'ii

x+——=y+——

2y2x

當且僅當<x=5得x=y=

:/-時.

【例19】某國際化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2012年英國倫敦奧運會期間進行一系列促

銷活動，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，化妝品的年銷量x萬件與年促銷費/萬元之間滿足3-x與t+\成反比例，

如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件，己知2012年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費用

為3萬元,每生產(chǎn)1萬件化妝品需再投入32萬元的生產(chǎn)費用，若將每件化妝品的售價定為其生產(chǎn)成本的150%

與平均每件促銷費的一半之和，則當年生產(chǎn)的化妝品正好能銷完.

⑴將2012年的利潤y（萬元）表示為促銷費f（萬元）的函數(shù).

（2）該企業(yè)2012年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？

（注：利潤=銷售收入一生產(chǎn)成本一促銷費，生產(chǎn)成本=固定費用+生產(chǎn)費用）

【難度】★★

【答案】見解析

k7

【解析】解（1）由題意可設(shè)3—》=右，將f=0,x=l代入，得k=2.，x=3一后.當年生產(chǎn)x萬件時，

2

:年生產(chǎn)成本=年生產(chǎn)費用+固定費用，.?.年生產(chǎn)成本為32x+3=32（3—不'）+3.

21

當銷售x（萬件）時，年銷售收入為150%?[32（3-；T7）]+3+y.

由題意，生產(chǎn)X萬件化妝品正好銷完，由年利潤=年銷售收入一年生產(chǎn)成本一促銷費，得年利潤y=

含=50—25^=42（萬元）,

當且僅當亍=常，即r=7時，ymax=42,.?.當促銷費投入7萬元時，企業(yè)的年利潤最大.

【例20】設(shè)a,4ceR+,求證：—+—+—+

2a2b2cb+cc+aa+b

【難度】★★★

【答案】

【鞏固訓(xùn)練】

1.已知實數(shù)a、b,判斷下列不等式中口那些一定是正確的？

(1)a+^>4ab；(2)a1+b~>-lab；(3)a2+b2>ab；(4)—+—>2

2ab

(5)ciH—>2；(6)—I—>2(7)2(2(a+份~

a\ba\

【難度】★

【答案】(2)(3)(6)(7)

(1)錯誤。a,方為負實數(shù)時不正確

(2)正確

(3)正確

(4)錯誤。a、b為負實數(shù)時不正確

(5)錯誤。8為負實數(shù)時不正確

(6)正確

(7)正確

2.設(shè)a>b>c>0,則2/+-1+—!----10ac+25c2的最小值是()

aba(a-b)

A.2B.4C.2石D.5

【難度】★★

【答案】B

3.如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN,要求B點在AM上，/)點在4V上,

且對角線MN過點C,已知AB=3米，AQ=2米.

(1)要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則ON的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

(2)當。N的長度為多少時，矩形花壇AMPN的面積最小？并求出最小值.

D—

【難度】★★

【答案】見解析

【解析】解：(1)設(shè)QN的長為Q>0)米，則14Vl=(x+2)米.

|￡W|\DC\3(x+2)3(x+2)2

?,?A/V|=\AM\':/AM="S矩形AMPN=\AM\=".

3(x+2)2?

由S矩形AMPN>32,得--------->32.又心>0,得—20犬+12>0,解得或心>6,

即ZW長的取值范圍是(0,令2U(6,+oo).(單位：米)

ALRH—J/HE、，3(x+2)23JT+12X+12,12,/12.

(2)矩形花壇的面積為y=---------=------;-----=3x+—+12(X>0)>2A/3X--+12=24,

人人人人

當且僅當聶=1?2即工=2時，矩形花壇的面積最小，為24平方米.

4.若實數(shù)x、y、4滿足斤加|>|廣m|,則稱x比y遠離機.

(1)若比1遠離0,求x的取值.范圍；

(2)對任意兩個不相等的正數(shù)4、h,證明：a3+h3\^aib+ah2?2ab4ab.

【難度】★★

【答案】(1)XG(-OO,->/2)(V2.+00)；

(2)對任意兩個不相等的正數(shù)。、b,有成+b3>2ab&,a2b+ab2>2ab4^b,

因為\a3+b3-2ab強\-\a2b+ab2-2ab強|=(a+b)(a-b)2>0,

所以|/+b'-2ab\[ab|>|a2b+ab2-2ab\[ab\,即/+爐比a2b+ab2遠離2ab&i^.

三'寨'指與對數(shù)

【例1】在下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的有

①y=《1)x②1y=③y=2.3'.④y=a'gO,a〉O,"^y=%y=(1/?y=x2-

【難度】★【答案】①⑥

【例2】函數(shù)y=(4-3。+3)/是指數(shù)函數(shù)，求。的值

【難度】★★【答案】2

【例3】函數(shù)y=(0.5*-8)/的定義域是

【難度】★★【答案】(-8,-3)

【例4】函數(shù)〃x)=在xe(-8,+co)上是減函數(shù)，求a的取值范圍

【難度】★★【答案】

【鞏固訓(xùn)練】

1.指出下列函數(shù)哪些是指數(shù)函數(shù)?

(1)y=4'；(2)y=x4；(3)y——4A；(4)y—(—4)x；

(5)丁=(2。-1)，3>:且戶1)；(6)y=4~x.

【難度】★【答案】(1)(5)(6)

2.作出函數(shù)y=2卜"與y=澗T的圖像.

【難度】★★【答案】

3.已知x>0,函數(shù)>=("一8『的值恒大于1,則實數(shù)。的取值范圍是

【難度】★★【答案】a>3ora<-3

4.函數(shù)y=av(a>O,aBl)在區(qū)間［1,2］上的最大值比最小值大則實數(shù)。的值是.

13

【難度】★★【答案】-or-

22

5.函數(shù)y=2,的圖像與函數(shù)y=的圖像關(guān)于對稱，它們的交點坐標是

【難度】★★【答案】軸，(0,1)

［例1］求下列各式中的實數(shù)X.

5

(1)(72-1)'=2(2)x=3

(3)log36x=-^-(4)log式由+4=T

【難度】★

【答案】解題策略：因為/=Nolog“N='(a>0jia*l,N>0),

a"=NOa=而(a>0,且aRl,N>0)利用這種等價關(guān)系可以解決。

解：(i)x=log(^T)2

(2)x=V3

⑶x=36a_4/26=C

]

(4)/=>/3+5/2,.,.=y/3->/2

V3+V2

【例2】計算

⑴log(國)(3+20)⑵100」端

【難度】★★

【答案】解題策略：為了計算特殊值的對數(shù)值，可先將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，再求指數(shù)即得。

解：⑴設(shè)log(g&)(3+2夜)=y，則(-201=3+20，

即(3—20)5=3+2&

(3+272)(3-272)=1,3+2夜=(3-2A/2)-1

(3-272)2=(3_2揚t,9T.\y=-2

即1°1后歷(3+2及)=-2

(2)io()i舄=100+100-5=ioo+(io'"叫『

=100+(|)2=100x^=16

注意：第(2)題將底數(shù)100改寫成IO?,即立刻應(yīng)用指對數(shù)恒等式：產(chǎn)〃=N(a>(UlaHl,N>0)。

【例3】已知lg2=0.3010.

⑴判斷8"25”是幾位數(shù)？

(2)判斷?(1)小數(shù)點后連續(xù)有多少個零？

【難度】★★

【答案】解題策略：我們對該數(shù)取常用對數(shù)，然后根據(jù)已知條件，利用對數(shù)的運算法則求得IgN,則lgN=n+a(n

是整數(shù)，a是正的純小數(shù)或零)這里n稱為IgN的首數(shù)，a稱為IgN的尾數(shù)，由lgN=n+a得N=

10"?10"(1<10"<10),所以，如果n>0,那么N就是n+1位數(shù)，如果nW。,那么N的小數(shù)點后連續(xù)有n+1

個零。

解：⑴lg(8''25'7)=1g8n+1g2517=331g2+341g5

=331g2+34(l-lg2)=