2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題專題34幾何體外接球的與內(nèi)切球鞏固練習(xí)(解析版)

專題34幾何體外接球的與內(nèi)切球（解析版）一、單選題81．體積為的正方體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）32D．3816A．B．12C．【答案】B【分析】根據(jù)正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于其外接球直徑可求出外接球半徑，再根據(jù)球的表面積公式即可求出．【詳解】因?yàn)檎襟w的體積為，即其棱長(zhǎng)為，體對(duì)角線長(zhǎng)為23，因此其外接球直徑為23，8243122，所以其外接球的表面積為3．半徑為故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查球的表面積公式的應(yīng)用，屬于容易題．2．棱長(zhǎng)為4的正方體的內(nèi)切球的表面積為（）1620A．4B．12C．D．【答案】C【分析】由正方體的內(nèi)切球直徑為正方體棱長(zhǎng)，直接求解.【詳解】由球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑，得2r4r=2S4r216，故表面積為，，故選：C.【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.3．一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬、分高別為5，3，6則該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為（）36B．40C．4570A．D．試卷第1頁(yè)，總14頁(yè)【答案】B【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的外接球半徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的一半，再結(jié)合球的表面積公式，求出結(jié)果.【詳解】R該長(zhǎng)方體的外接球的半徑為體對(duì)角線的一半，則6253222596，10R22．則該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為：4R240故選：B.4．若球的半徑為10cm，一個(gè)截面圓的面積是36cm2，則球心到截面圓心的距離是（）A．5cmB．6cmC．8cmD．10cm【答案】C【分析】由題意可解出截面圓的半徑，然后利用勾股定理求解球心與截面圓圓心的距離．【詳解】36cm6cm，則球心到截面圓心的距離為由截面圓的面積為2可知，截面圓的半徑為d102628cm．故選：C．【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于，球心與截面圓圓心的連線垂直于截面．ABCDABCD1111AB5AA3，AD4，，且此長(zhǎng)方體內(nèi)接于15．長(zhǎng)方體中，若OO球，則球的表面積為（）50200A．202B．252C．D．【答案】C【分析】AC算出長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)，從而得到長(zhǎng)方體外接球的直徑，由長(zhǎng)方體的對(duì)角線公式，1結(jié)合球的表面積公式即可得到，該球的表面積．【詳解】試卷第2頁(yè)，總14頁(yè)ABCDABCD1111AB5AA3中，，AD4，，長(zhǎng)方體1ACAB2AD2AA232425252，1長(zhǎng)方體的對(duì)角線1ABCDABCD的各頂點(diǎn)都在同一球面上，1111長(zhǎng)方體52R2，AC52，可得半徑球的一條直徑為152因此，該球的表面積為S4R24()2502故選：C．6．一個(gè)圓柱的底面直徑與高都等于一個(gè)球的直徑，則圓柱的全面積與球的表面積之比（）2:1B．1:2C．3:2D．A．2:3【答案】D【分析】r設(shè)球的半徑為，分別求出圓柱及球的表面積，即可求出表面積之比．【詳解】S2r2r2r6rS4r2，2，r設(shè)球的半徑為，則由題意2圓柱球3:2所以圓柱的全面積與球的表面積之比為，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查圓柱和球的的表面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.AC1且，在中，，PABCABCPA3ABCPA，平面，7．已知三棱錐BC2，且滿足sin2Asin2B，則三棱錐PABC外接球的體積為（）32B．38D．322A．382C．3【答案】C【分析】先證明ACBC，設(shè)三棱錐PABCR,把此外接球的半徑為三棱錐放到長(zhǎng)方體中，使三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)，解方程2RAC2BC2PA28,2即得解.【詳解】試卷第3頁(yè)，總14頁(yè)BCACsin2Asin2B由且，22，ABABC22,,則ACBC則，PABCRPABC設(shè)三棱錐外接球的半徑為,把此三棱錐放到長(zhǎng)方體中，使三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)，2RAC2BC2PA28,R22，則482.VR則3球33故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體外接球的體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.ABCDBCDAB8．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，且平面，CD22AB23，ACAD4，，則球O的表面積為（）20A．B．183624C．D．【答案】A【分析】ABBC根據(jù)平面BCD，得到，，再由，，ABABBDAB23ACAD4CD22，得到BCBD，則三棱錐ABCD截取于一個(gè)長(zhǎng)方體，然后由長(zhǎng)方體的外接球即為三棱錐的外接球求解.【詳解】AB因?yàn)槠矫鍮CD，ABBCABBD所以，，∴BCBD42(23)22，△BCDCD22在中，，∴CD2BCBD22，BCBD∴.如圖所示：試卷第4頁(yè)，總14頁(yè)ABCD三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體AGFH-BCED的外接球，2RBA2BC2BD2(23)2222225，設(shè)球O的半徑為R，則R5解得，20π所以球O的表面積為，故選：A.9．在正方體ABCDABCD1111ABCD16的內(nèi)切球的表面積為，則中，三棱錐11正方體外接球的體積為（）81A．36C．722D．B．288【答案】B【分析】ABCDa，求出三棱錐11A1BCD1的內(nèi)切球半徑，設(shè)到平面的距離設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a43，從而可得，求出正方體的對(duì)角線可得正方體VABCD14VOBCD為h，可得11外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則BD2a，ABCD16π的內(nèi)切球的表面積為，1的內(nèi)切球半徑為2.因?yàn)槿忮F1ABCD所以三棱錐11ABCD設(shè)三棱錐11的內(nèi)切球的球心為O，A1BCD1V4Vh，則A1BCDOBCD到平面的距離為，111S∴3△h41S2h8，3△BCDBCD116a43.∴h2a8，3試卷第5頁(yè)，總14頁(yè)1R3a6，所以正方體外接球的半徑24πR288π，正方體外接球的體積為33故選：BABCDBCD△BCDAB中，平面，是邊長(zhǎng)為3的正三角形，10．在三棱錐AB3，則該三棱錐的外接球的表面積為（）21A．6B．24C．15D．【答案】D【分析】△BCD利用正弦定理求出的外接圓的半徑，再由勾股定理求出三棱錐的外接球的半徑，進(jìn)而得出表面積.【詳解】O1r，半徑為，該三棱錐的外接球的球心為，半徑為OR△BCD設(shè)的外接圓圓心為3∵3153，∴222rROO2r231r3OO，，1sin604415∴S4R2415表4故選：D【點(diǎn)睛】△BCD關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用正弦定理求出的外接圓的半徑，結(jié)合勾股定理得出三棱錐的外接球的半徑.100011．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著﹐它在幾何學(xué)中的研究比西方早多年.在《九PABCD是章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬.如圖ABC,DPA5,AB3PA陽(yáng)馬，平面BC4，.則該陽(yáng)馬的外接球的表面積為（）500D．1252A．350B．100C．3【答案】B試卷第6頁(yè)，總14頁(yè)【分析】O1OOOOPC中點(diǎn)O，連接，則可證明平面ABCD，即11連接AC，BD，交于，取RtPAC△O為該四棱錐的外接球的球心，在中，求得PC的值，進(jìn)而可求得外接球半徑R，代入公式，即可求得答案.【詳解】連接AC，BD，交于O1OOPC中點(diǎn)O，連接，如圖所示1，取O,O分別為PC，AC的中點(diǎn)，因?yàn)?所以O(shè)O//PA，1又PA平面ABCD，OO1平面ABCD，所以PO=OC，所以O(shè)到A,B,C,D的距離都相等，又所以O(shè)為該四棱錐的外接球的球心，PA5ACAB2BC232425，RtPAC△在中，，所以PCPA2AC2525252，PC52R2，2所以該四棱錐的外接球的半徑522S4R450.所以該陽(yáng)馬的外接球的表面積22故選：B4212．正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為，底面邊長(zhǎng)為，則該球的表面積為（）81818181D．7A．B．C．245【答案】B【分析】先判斷球心必在高上，利用球心到各個(gè)頂點(diǎn)距離相等，列方程組，解得半徑，求出外接試卷第7頁(yè)，總14頁(yè)球的表面積.【詳解】SN4AB2如圖示：正四棱錐SABCD中，高，底面正方形邊長(zhǎng),rrBN2R設(shè)正四棱錐的外接球半徑為，底面正四邊形外接圓半徑為則，R24R22，解得：，9R4由OSOB得：281∴V4πR2π.4故選：B.【點(diǎn)睛】多面體的外接球問(wèn)題解題關(guān)鍵是找球心和半徑，求半徑的方法有：(1)公式法；(2)多面體幾何性質(zhì)法；(3)補(bǔ)形法；(4)尋求軸截面圓半徑法；(5)確定球心位置法．二、填空題8113．表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是7，則這個(gè)正四棱柱的表面積為．________【答案】144【分析】根據(jù)正四棱柱體的對(duì)角線長(zhǎng)即為球的直徑，建立方程求出四棱柱的底面邊長(zhǎng)，從而求出表面積【詳解】94RR281得2a設(shè)正四棱柱的底面正方形邊長(zhǎng)為正四棱柱體的對(duì)角線長(zhǎng)即為球的直徑aa729體對(duì)角線長(zhǎng)為22試卷第8頁(yè)，總14頁(yè)a4解得2444747144四棱柱的表面積為故答案為：14414．若球與棱長(zhǎng)為2的正方體的各棱相切，求該球的表面積__________【答案】8π【分析】aR，正方體的棱長(zhǎng)為，2的正方體的各棱相切，設(shè)球的半徑為根據(jù)球與棱長(zhǎng)為由2R2a,求得半徑，再代入球的表面積公式求解.【詳解】a設(shè)球的半徑為R，正方體的棱長(zhǎng)為，因?yàn)榍蚺c棱長(zhǎng)為2的正方體的各棱相切，所以2R2a22,R2解得，，所以S4R288故答案為：ABCABC111AAABC中，底面ABC，是正三角形，若115．在三棱柱AA2AB231，則該三棱柱外接球的表面積為_______.16【答案】【分析】利用對(duì)稱性可得到上下底面的中心連線的中點(diǎn)即為外接球的球心，然后在有關(guān)三角形中計(jì)算，求得球的半徑，最后利用球的表面積公式計(jì)算即得.【詳解】AC,AC的中點(diǎn)M,N如圖所示：取11G,G1GGO的中點(diǎn)1,兩底面的中心分別為,線段解：OBOBR,即為該三棱柱的外接球的球心，連接.即為外接球的半徑2AB3，GB2MBAB31,ABC為正三角形，332AA23,OG3,OBOGBG222,1S4R216,O球試卷第9頁(yè)，總14頁(yè)16故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的外接球的表面積問(wèn)題，關(guān)鍵是利用對(duì)稱性找到球心的位置，屬基礎(chǔ)題.PABCDPA中，平面ABCD，4PA，3AB，16．在底面為正方形的四棱錐則該四棱錐的外接球的表面積為___．34【答案】【分析】由三線兩兩垂直聯(lián)想長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體外接球直徑為其體對(duì)角線長(zhǎng)即可得解.【詳解】解：由題意可知PA,AB,AD兩兩垂直，所以四棱錐PABCD為長(zhǎng)方體的一部分，其外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，外接球直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，R設(shè)外接球的半徑為，則17R2，2R4232322，解得2，S4R234所以外接球的表面積為34故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查四棱錐外接球問(wèn)題，利用了補(bǔ)體法求解，屬于基礎(chǔ)題.17．正方體的外接球的體積是其內(nèi)切球的體積的______倍.33【答案】【分析】設(shè)出正方體的棱長(zhǎng)，分別求出正方體的內(nèi)切球與其外接球的半徑，即可得到答案．【詳解】試卷第10頁(yè)，總14頁(yè)13aa，它的外接球的半徑為a設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則它的內(nèi)切球的半徑為，223333故外接球與內(nèi)切球的體積之比為1，133所以正方體的外接球的體積是其內(nèi)切球的體積的倍．33故答案為：．OOP18．如圖，過(guò)球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，所得截面圓的面1積與球的表面積之比為________．3【答案】16【分析】求出截面圓半徑后可得面積比．【詳解】12R23R，2r截面圓半徑為，球半徑為，則由題意得RrR23RS4R24R2162Sr23．4所以截面圓面積與球表面積比為13故答案為：．16PABCDABCDABCDPAD中，平面平面，其中為正方形，19．已知四棱錐△PADPAPD2PABCD，則四棱錐的外接球的體積為等腰直角三角形，為______．82【答案】3【分析】ABCDABCD△PAD根據(jù)平面平面，其中為正方形，為等腰直PAD角三角形，試卷第11頁(yè)，總14頁(yè)P(yáng)ABCD利用球的截面性質(zhì)，得到四棱錐的外接球的球心為