連續(xù)時間系統(tǒng)復(fù)頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)復(fù)頻域分析而拉普拉斯變換的優(yōu)點一是對信號要求不高,一般指數(shù)階氏變換(英文縮寫為LT)。續(xù)LTI系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具。拉普拉斯變換也簡稱為拉相對簡單的反變換方法。所以拉普拉斯變換也是分析連求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)（初始條件“自動”引入）；三是有轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)運算，而且既能求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，也能信號的變換存在且簡單；二是不但能將時域的卷積運算§3.1拉普拉斯變換果信號的拉氏變換。因果信號的拉氏變換也稱單邊拉氏變3.1.1、單邊拉氏變換1、單邊拉氏變換定義考慮到一般實際應(yīng)用的信號多為因果信號，我們先討論因換。因果信號的傅氏正、反變換為傅氏變換對于一些指數(shù)階的函數(shù)處理不方便,主要原因是式中一個收斂速度足夠快的函數(shù)。即有這類函數(shù)不收斂,例如階躍函數(shù)。為了使函數(shù)收斂，在進行變換時讓原函數(shù)乘以，使得是件。為收斂（衰減）因子，使?jié)M足絕對可積條令的傅氏反變換為則，

等式兩邊同乘可表示為不是，里，由此得到的函數(shù)，可放入積分號（3-2）代入上式且積分上、下限也做相應(yīng)已知，，選定改變，則可寫作為常量，所以，（3-5）因為的作用，(3-2)與(3-5)式是適合指數(shù)階函數(shù)的變換。稱“單邊”變換。將兩式重新表示在一起，單邊拉氏變換式中又由于(3-2)式中的是時為零的因果信號，故定義為

稱為復(fù)頻率，為象函數(shù)，原函數(shù)。為L或可以用直角坐標(biāo)的復(fù)平面（s平面）表示，如圖3-1所示。象函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系還可以表示為

L

0比較傅氏變換、拉氏變換的推導(dǎo)，可知傅氏變換的基本雖然單邊拉普拉斯變換存在條件比傅氏變換寬，但對具體的拉氏變換；拉氏變換是傅氏變換在s平面的推廣。傅氏變換與拉氏變換的關(guān)系：傅氏變換是在虛軸上，拉氏變換的基本信號元是。不難表明信號元是由單邊拉氏變換收斂區(qū)可以解決這些問題。函數(shù)也有變換是否存在及在什么范圍內(nèi)變換存在的問題，2、單邊拉氏變換收斂區(qū)在一定條件下收斂，即有收斂區(qū)是使?jié)M足可積的取值范圍，或是使取值范圍。的單邊拉氏變換存在的由拉氏變換式的推導(dǎo)可見，因為的作用，使得（3-8）（3-8）變換的收斂區(qū)就確定了式中叫做收斂坐標(biāo)，是實軸上的一個點。穿過并與虛軸平行的直線叫做收斂邊界。收斂軸的右邊為收斂區(qū)，收斂區(qū)不包括收斂軸。一旦確定，借助指數(shù)函數(shù)衰減可以被壓下去。指數(shù)階函數(shù)的單邊拉確定。的取值與有關(guān)，具體數(shù)值由(3-8)式計算。滿足(3-8)式的函數(shù)，稱為指數(shù)階函數(shù)。這類函數(shù)若發(fā)散，氏變換一定存在，其收斂區(qū)由收斂坐標(biāo)拉氏以隨時間變化的趨勢，給出收斂區(qū)的大致范圍：是隨時間衰減的，，例如單邊指數(shù)信號的，其拉氏變換的收斂區(qū)如圖3-2(a)所示；0收斂區(qū)(a)區(qū)如圖3-2(c)所示。是隨時間不變的，，例如、，其拉氏變換的收斂區(qū)如圖3-2(b)所示；幅度是隨時間增長的，，例如其拉氏變換的收斂0收斂區(qū)(b)0收斂區(qū)(c)圖3-2收斂區(qū)示意圖存在，但有沖激項。因為指數(shù)階函數(shù)的單邊拉氏變換一定存在，所以一般當(dāng)時，收斂區(qū)包含虛軸，函數(shù)的傅氏變換當(dāng)時收斂區(qū)不包含虛軸，函數(shù)的傅氏變換當(dāng)時，收斂區(qū)不包含虛軸，函數(shù)的傅氏變換可以不標(biāo)明收斂區(qū)。不存在；存在；二、常用函數(shù)的單邊拉氏變換通過求常用函數(shù)的象函數(shù)，掌握單邊拉氏變換的基本方1、當(dāng)拉氏變換的收斂區(qū)包括法。的函數(shù)，僅將軸，可由直接得到，即換為的收斂域如圖3-2(a)所示，包括例3.1-1

已知的拉氏變換。以及

，求

解

軸，所以

2、利用以上結(jié)果，可以推出以下常用信號的拉氏變換。例3-2、的指數(shù)函數(shù)（為任意常數(shù)）

例3-3、例3-4、例3-5例3-6、

3、的正冪函數(shù)LLL即依次類推：LLLL

特別地：表3-1列出了常用函數(shù)的拉氏變換。

除了因果信號，一些非因果雙邊信號也存在拉氏變換，三、雙邊拉氏變換1定義因子，則簡稱雙邊拉氏變換。下面討論雙邊信號的拉氏變換。先討論作用。當(dāng)一定時，若時為收斂時為發(fā)散因子，有

但是，如果有函數(shù)在上式無限區(qū)間積分為有限值,我們說函數(shù)的雙邊L變換給定的范圍內(nèi),使得存在。并記為

或2、雙邊拉氏變換的收斂區(qū)雙邊拉氏變換收斂區(qū)的定義是使通過實例討論雙邊拉氏變換存在的條件，即雙邊拉氏L

L范圍。滿足可積的取值范圍，或是使的雙邊拉氏變換存在的取值變換的收斂區(qū)。例3.1-8已知函數(shù)解：將積分分為兩項②對第①項，只有時積分收斂，收斂區(qū)如圖3-3b所示。邊L變換的收斂區(qū)，試確定雙①斂區(qū)如圖3-3a所示。，即時積分收斂；收對第②項，只有兩項的公共收斂區(qū)為。010變換存在，因此只有當(dāng)時，，雙邊拉氏換為波形與收斂區(qū)如圖3-4所示。其雙邊L變

1雙邊拉氏變換不存在。通常，雙邊拉氏變換有兩個收斂邊界，一個取決于的函數(shù)，是左邊界用表示；另一個取決于的函數(shù)，是右邊界以表示。若時，則與的變換有公共收斂區(qū),雙邊L變換存在；所以，雙如圖3-5所示。邊拉氏變換的收斂區(qū)是s平面上的帶狀區(qū)，若0例3.1-9已知；c.，求所有可能的。解:的收斂區(qū)有三種情況，對應(yīng)的a.；b.為從上例分析可見，雙邊拉氏變換的收斂區(qū)必須標(biāo)明，否則不能正確確定時域信號。§3.2拉氏變換的基本性質(zhì)本節(jié)討論單邊拉氏變換的基本性質(zhì)。1、線性若則，為任意常數(shù)。、例證L2、時延（移位）特性若證，代入上式得則令，時延（移位）特性表明，波形在時間軸上向右平移的不同。，其拉氏變換應(yīng)乘以移位因子。適用時延特性的時延函數(shù)是，而不是。要注意區(qū)分、、、例3-4如圖3-6所示，求象函數(shù)。1102-1解：已知其中（利用線性）

則

圖3.2-1

（時延）3、頻率平移（域）則證為復(fù)常數(shù)

若例3.2-2

已知解方法1，求象函數(shù)。

方法2

4、尺度變換若證其中L，則

令L代入上式得已知解方法1先頻移后尺度，求方法2先尺度再頻移的象函數(shù)。例3-6例3-7

求解的象函數(shù)。、

5、時域微分若，則在可以將上式推廣到高階導(dǎo)數(shù)時的值。

式中是時的值。

式中以及分別為時以及時的值。式中以及分別為時以及證明L，則同理令

L特別地，當(dāng)則時域微分式可分別化簡為式中LL為有始函數(shù)，即，我們有，為微分因子。依此類推，可以得到高階導(dǎo)數(shù)的L變換6、時域積分表示積分運算，若，則

式中

證明：其中利用任意函數(shù)與階躍卷積將(3.2-9)(3.2-10)代入(3.2-8)，得

特別的，如果為積分因子。為因果信號，則時域積分性質(zhì)為式中存在，則*7、初值定理初值定理只適用證明：由時域微分性質(zhì)我們有LL、設(shè)有、，且在