馬科維茨投資組合理論

馬科維茨投資組合理論第一頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章2第二章馬科維茨投資組合理論（均方模型）

第二頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章3教學目的及要求1、掌握多元化投資分散風險的原理2、掌握均值－方差模型描述的構(gòu)建有效投資組合的技術路徑3、掌握證券投資組合的系統(tǒng)性風險和非系統(tǒng)性風險的內(nèi)涵及與市場收益的關系本章重點掌握馬科維茲投資組合理論的假設條件的合理性及有效投資組合選擇，及其中蘊涵的多元化投資、風險、收益間關系。重點內(nèi)容。第三頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章4第一節(jié)馬科維茲投資組合理論的假設和主要內(nèi)容第二節(jié)證券收益與風險的度量——均值、方差及協(xié)方差與投資組合的風險分散效應第三節(jié)證券投資組合的可行集、有效集與最優(yōu)投資組合第四頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章5第一節(jié)馬科維茲投資組合理論

的假設條件和主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容二、假設條件第五頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章6一、主要內(nèi)容馬科維茨(H.Markowitz,1927～)《證券組合選擇理論》有著棕黃色頭發(fā)，高大身材，總是以溫和眼神凝視他人，說話細聲細語并露出淺笑。第六頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章7瑞典皇家科學院決定將1990年諾貝爾獎授予紐約大學哈利.馬科維茨（HarryMarkowitz）教授,為了表彰他在金融經(jīng)濟學理論中的先驅(qū)工作—資產(chǎn)組合選擇理論。第七頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章8發(fā)展了一個在不確定條件下嚴格陳述的可操作的選擇資產(chǎn)組合理論：均值方差方法Mean-Variancemethodology.這個理論演變成進一步研究金融經(jīng)濟學的基礎.這一理論通常被認為是現(xiàn)代金融學的發(fā)端.這一理論的問世，使金融學開始擺脫了純粹的描述性研究和單憑經(jīng)驗操作的狀態(tài),標志著數(shù)量化方法進入金融領域。馬科維茨的工作所開始的數(shù)量化分析和MM理論中的無套利均衡思想相結(jié)合,醞釀了一系列金融學理論的重大突破。

主要貢獻第八頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章9Markowitz的基本思想風險在某種意義下是可以度量的。各種風險有可能互相抑制，或者說可能“對沖”。因此，投資不要“把雞蛋放在一個籃子里”，而要“分散化”。在某種“最優(yōu)投資”的意義下，收益大意味著要承擔的風險也更大。第九頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章10馬科維茲模型概要馬科維茲于1952年提出的“均值－方差組合模型”是在禁止融券和沒有無風險借貸的假設下，以資產(chǎn)組合中個別股票收益率的均值和方差找出投資組合的有效邊界(EfficientFrontier)，即一定收益率水平下方差最小的投資組合，并導出投資者只在有效邊界上選擇投資組合。根據(jù)馬科維茲資產(chǎn)組合的概念，欲使投資組合風險最小，除了多樣化投資于不同的股票之外，還應挑選相關系數(shù)較低的股票。因此，馬科維茲的“均值－方差組合模型”不只隱含將資金分散投資于不同種類的股票，還隱含應將資金投資于不同產(chǎn)業(yè)的股票。同時馬科維茲均值－方差模型也是提供確定有效邊界的技術路徑的一個規(guī)范性數(shù)理模型。

第十頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章11實現(xiàn)方法：收益——證券組合的期望報酬風險——證券組合的方差風險和收益的權(quán)衡——求解二次規(guī)劃

第十一頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章12首先，投資組合的兩個相關特征是：（1）它的期望回報率（2）可能的回報率圍繞其期望偏離程度的某種度量，其中方差作為一種度量在分析上是最易于處理的。其次，理性的投資者將選擇并持有有效率投資組合，即那些在給定的風險水平下的期望回報最大化的投資組合，或者那些在給定期望回報率水平上的使風險最小化的投資組合。第十二頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章13再次，通過對某種證券的期望回報率、回報率的方差和某一證券與其它證券之間回報率的相互關系（用協(xié)方差度量）這三類信息的適當分析，辨識出有效投資組合在理論上是可行的。最后，通過求解二次規(guī)劃，可以算出有效投資組合的集合，計算結(jié)果指明各種證券在投資者的資金中占多大份額，以便實現(xiàn)投資組合的效性——即對給定的風險使期望回報率最大化，或?qū)τ诮o定的期望回報使風險最小化。第十三頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章14二、假設

投資者將一筆資金在給定時期(持有期)里進行投資,在期初,他購買一些證券,然后在期末全部賣出,那么在期初他將決定購買哪些證券,資金在這些證券上如何分配？投資者的選擇應該實現(xiàn)兩個相互制約的目標——預期收益率最大化和收益率不確定性（風險）的最小化之間的某種平衡。

第十四頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章15馬科維茲投資組合理論的假設為：1.單期投資

單期投資是指投資者在期初投資，在期末獲得回報。單期模型是對現(xiàn)實的一種近似描述，如對零息債券、歐式期權(quán)等的投資。雖然許多問題不是單期模型，但作為一種簡化，對單期模型的分析成為我們對多時期模型分析的基礎。2.投資者事先知道投資收益率的概率分布，并且收益率滿足正態(tài)分布的條件。

第十五頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章163.資者的效用函數(shù)是二次的，即u(W)=a+bW+CW2。（注意：假設2和3成立可保證期望效用僅僅是財富期望和方差的函數(shù)）4.投資者以期望收益率（亦稱收益率均值）來衡量未來實際收益率的總體水平，以收益率的方差（或標準差）來衡量收益率的不確定性（風險），因而投資者在決策中只關心投資的期望收益率和方差。5.投資者都是不知足的和厭惡風險的，遵循占優(yōu)原則，即：在同一風險水平下，選擇收益率較高的證券；在同一收益率水平下，選擇風險較低的證券。

第十六頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章17第二節(jié)證券收益與風險的度量及證券組合的風險分散化效應一、價格與回報率二、期望收益率三、方差四、協(xié)方差五、相關系數(shù)六、證券組合的方差、協(xié)方差和風險的分散化第十七頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章18什么是投資組合狹義的定義：是指如何構(gòu)筑各種有價證券的頭寸（包括多頭和空頭）來最好地符合投資者的收益和風險的權(quán)衡。廣義的定義：包括對所有資產(chǎn)和負債的構(gòu)成做出決策，甚至包括人力資本（如教育和培訓）的投資在內(nèi)。我們的討論限于狹義的含義。

第十八頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章19盡管存在一些對理性的投資者來說應當遵循的一般性規(guī)律，但在金融市場中，并不存在一種對所有投資者來說都是最佳的投資組合或投資組合的選擇策略，原因如下：

投資者的具體情況投資周期的影響對風險的厭惡程度投資組合的種類第十九頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章20一、價格與回報率

對于單期投資而言，假設你在時間0（今天）以價格S0購買一種資產(chǎn)，在時間1（明天）賣出這種資產(chǎn)，得到收益S1。那么，你的投資回報率為r=(S1-S0)/S0。對于證券組合而言，它的回報率可以用同樣的方法計算：

這里，W0記t=0時包含在組合中的證券的綜合價格，W1是t=1時這些證券的綜合價格，以及t=0與t=1之間收到的現(xiàn)金（或等價的現(xiàn)金）的綜合值。

第二十頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章21我們注意到，投資者必須在t=0時刻對購買一個什么樣的組合做出決策。在這樣做的時候，對于大多數(shù)所考慮的各種組合，投資者不知道W1的值，因為他們不知道這些組合的回報率是多少。從而，根據(jù)馬科維茨的理論，投資者應該講這些組合中的任一組合的回報率視為統(tǒng)計中所稱的一個隨機變量；這樣的變量可以通過它們的矩陣來描述，其中的兩個是預期值（或均值）和標準差。

第二十一頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章22二、證券的期望收益率

第一個概念：單個證券的期望值定義為：式中：E(r)－收益率期望值；R(s)－s狀態(tài)下的收益率；Pr(s)－r(s)狀態(tài)的發(fā)生概率第二十二頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章23

或者;E(rp)=X’E(r)第二個概念：一個證券組合的預期收益率：是其所含證券的預期收益率的加權(quán)平均，以構(gòu)成比例為權(quán)重。每一證券對組合的預期收益率的貢獻依賴于它的預期收益率，以及它在組合初始價值中所占份額，而與其他一切無關。那么，一位僅僅希望預期收益率最大的投資者將持有一種證券，這種證券是他認為預期收益率最大的證券。很少有投資者這樣做，也很少有投資顧問會提供這樣一個極端的建議。相反，投資者將分散化投資，即他們的組合將包含不止一種證券。這是因為分散化可以減少由標準差所測度的風險。

第二十三頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章24三、方差

——一個證券預期收益的方差（第三個概念）一個證券的預期收益率描述了以概率為權(quán)數(shù)的平均收益率。但是這是不夠的，我們還需要一個有用的風險測度，其應該以某種方式考慮各種可能的“壞”結(jié)果的概率以及“壞”結(jié)果的量值。取代測度大量不同可能結(jié)果的概率，風險測度將以某種方式估計實際結(jié)果與期望結(jié)果之間可能的偏離程度，方差就是這樣一個測度，因為它估計實際回報率與預期回報率之間的可能偏離。第二十四頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章25在證券投資中，一般認為投資收益的分布是對稱的，即實際收益低于預期收益的可能性與實際收益高于預期收益的可能性是一樣大的。實際發(fā)生的收益率與預期收益率的偏差越大，投資于該證券的風險也就越大，因此對單個證券的風險，通常用統(tǒng)計學中的方差或標準差來表示。第二十五頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章26沿用上面的表示方法，一個證券在該時期的方差是未來收益可能值對期望收益率的偏離（通常稱為離差）的平方的加權(quán)平均，權(quán)數(shù)是相應的可能值的概率。記方差為2，即有

方差越大風險越大投資者選擇方差較小的證券第二十六頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章27三、方差——兩個證券組合預期收益的方差（第四個概念）方差分別為與的兩個資產(chǎn)以w1與w2的權(quán)重構(gòu)成一個資產(chǎn)組合的方差為，如果一個無風險資產(chǎn)與一個風險資產(chǎn)構(gòu)成組合（第五個概念），則該組合的標準差等于風險資產(chǎn)的標準差乘以該組合投資于這部分風險資產(chǎn)的比例。第二十七頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章28四、協(xié)方差協(xié)方差（第六個概念）是兩個隨機變量相互關系的一種統(tǒng)計測度，即它測度兩個隨機變量，如證券A和B的收益率之間的互動性。第二十八頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章29協(xié)方差為正值表明證券的回報率傾向于向同一方向變動——例如，一個證券高于預期收益率的情形很可能伴隨著另一個證券的高于預期收益率的情形。一個負的協(xié)方差則表明證券與另一個證券相背變動的傾向——例如，一種證券的高于預期收益率的情形很可能伴隨著另一個證券的低于預期收益率的情形。一個相對小的或者0值的協(xié)方差則表明兩種證券之間只有很小的互動關系或沒有任何互動關系。

第二十九頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章30五、相關系數(shù)與協(xié)方差密切相關的另一個統(tǒng)計測量度是相關系數(shù)（第七個概念）。事實上，兩個隨機變量間的協(xié)方差等于這兩個隨機變量之間的相關系數(shù)乘以它們各自的標準差的積。證券A與B的相關系數(shù)為

第三十頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章31測量兩種股票收益共同變動的趨勢:Corr(RA,RB)或A,B -1.0+1.0完全正相關:+1.0完全負相關:-1.0完全負相關會使風險消失完全正相關不會減少風險在-1.0和+1.0之間的相關性可減少風險但不是全部第三十一頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章32六、方差——多個證券組合的方差協(xié)方差矩陣（第八個概念）

第三十二頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章33七、證券組合的方差和風險的分散化

（一）證券組合風險分散的原因總結(jié)以上：證券組合的預期收益和方差是，假定市場上有證券1，2，，N證券i的期望收益率為Ei,方差為i,證券i與證券j的協(xié)方差為ij（或相關系數(shù)為ij）（i=1，2，，n，j=1，2，，m）投資者的投資組合為：投資于證券i的比例為wi，i=1，2，，N，則第三十三頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章34那么該投資組合的期望收益率和方差為第三十四頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章35一個資產(chǎn)組合預期收益和風險的案例A公司的股票價值對糖的價格很敏感。多年以來，當加勒比海糖的產(chǎn)量下降時，糖的價格便猛漲，而A公司便會遭受巨大的損失，見下表糖生產(chǎn)的正常年份異常年份股市的牛市股市的熊市糖的生產(chǎn)危機概率0.50.30.2收益率%2510-25第三十五頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章36B公司的股票情況分析糖生產(chǎn)的正常年份異常年份股市的牛市股市的熊市糖的生產(chǎn)危機概率0.50.30.2收益率1-535第三十六頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章37假定某投資者考慮下列幾種可供選擇的資產(chǎn)，一種是持有A公司的股票，一種是購買無風險資產(chǎn)，還有一種是持有B公司的股票?，F(xiàn)已知投資者50％持有的A公司的股票，另外50％該進行如何選擇。無風險資產(chǎn)的收益率為5%。第三十七頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章38全部投資在于A公司股票10.5%18.90%全部投資在于B公司股票6.0%14.7%一半投資于國庫券，其余是A股票7.75%9.45%一半投資于B公司股票，其余是A股票8.25%4.83％第三十八頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章39

案例小結(jié)：協(xié)方差對資產(chǎn)組合風險的影響：正的協(xié)方差提高了資產(chǎn)組合的方差，而負的協(xié)方差降低了資產(chǎn)組合的方差，它穩(wěn)定資產(chǎn)組合的收益管理風險的辦法：套期保值——購買和現(xiàn)有資產(chǎn)負相關的資產(chǎn)，這種負相關使得套期保值的資產(chǎn)具有降低風險的性質(zhì)。在資產(chǎn)組合中加入無風險資產(chǎn)是一種簡單的風險管理策略，套期保值策略是取代這種策略的強有力的方法。第三十九頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章40作業(yè)：假設以上案例中B公司的可能收益有上述變化，請計算以下結(jié)果，并比較該結(jié)果與以上案例結(jié)果，由此做一個簡單分析1、如果某投資人的資產(chǎn)組合仍是一半A股票，一半B股票，這個組合的期望收益和標準差是多少，2、兩個股票收益的協(xié)方差是多少3、用第四個概念的方式計算該組合的標準差是多少糖生產(chǎn)的正常年份異常年份股市的牛市股市的熊市糖的生產(chǎn)危機概率0.50.30.2收益率10-520第四十頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章41由上可知，證券組合的方差不僅取決于單個證券的方差，而且還取決于各種證券間的協(xié)方差。隨著組合種證券數(shù)目的增加，在決定組和方差時，協(xié)方差的作用越來越大，而方差的作用越來越小。例如，在一個由30種證券組成的組合中，有30個方差和870個協(xié)方差。若一個組合進一步擴大到包括所有的證券，則協(xié)方差幾乎就成了組合標準差的決定性因素。風險的分散化原理被認為是現(xiàn)代金融學中唯一“白吃的午餐”。將多項有風險資產(chǎn)組合到一起，可以對沖掉部分風險而不降低平均的預期收益率，這是馬科維茨的主要貢獻。第四十一頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章42假定資產(chǎn)1在組合中的比重是w，則資產(chǎn)2的比重就是1-w。它們的預期收益率和收益率的方差分別記為E(r1)和E(r2)，21和22，組合的預期收益率和收益率的方差則記為E(r)和2。那么，E(r)=wE(r1)+(1-w)E(r2)2=w221+(1-w)222+2w(1-w)1212因為-1≤≤+1，所以有[w1-(1-w)2]2≤2≤[w1+(1-w)2]2

第四十二頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章43由上面右方的不等式可以看出，組合的標準差不會大于標準差的組合。事實上，只要<1，就有，∣∣<∣w1+(1-w)2∣,即證券組合的標準差就會小于單個證券標準差的加權(quán)平均數(shù)，這意味著只要證券的變動不完全一致，單個有高風險的證券就能組成單個有中低風險的證券組合，這就是投資分散化的原理。第四十三頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章44下表假設每一成分證券間的協(xié)方差為零，每一成分證券的標準差為40％。對每一成分證券的投資都相等

成分證券數(shù)1281632128510組合標準差40·028·314·110·07·13·51·8第四十四頁，共86頁。Markowitz證券組合選擇問題的數(shù)學模型假設有n種證券，它們的收益率是隨機變量r1,r2,…，rn.。證券組合是指這n種證券的一個組合，它在數(shù)學上可用一個n維向量w=(w1,w2,…,wn)來表示，其中實數(shù)wi代表第i種證券的價格在總價值中所占的比重，一次，w1+w2+…+wn=1。Markowitz原來考慮的wi都必須是非負的。這一投資組合w的收益率將是隨機變量:rp=w1r1+w2r2+…wnrn.2023/3/20投資學第二章45第四十五頁，共86頁。Markowitz考慮的問題是如何確定wi，使得證券組合w在期望收益率E[rp]=一定時，風險（收益率的方差或標準差）最小，這里E表示數(shù)學期望。令μi=E[ri]，i=1,2,…,n，Vij=Cov[ri,rj]=E[ri-μi,rj-μj]為ri與rj的協(xié)方差，i,j=1,2,…,n，那么Markowitz的問題（它通常稱為均值—方差證券組合選擇問題）為2023/3/20投資學第二章46第四十六頁，共86頁。這里min表示對后面的證券組合的收益率方差求最小值。這一問題的解稱為對應收益的極小風險組合。2023/3/20投資學第二章47第四十七頁，共86頁。Markowitz的基本結(jié)論為：如果對于收益（期望收益率）解得的最小風險為，那么在所有可能的組合中不包含無風險證券組合（其收益率退化為常數(shù)）時，隨著得變化，點在平面上畫出向右開口的雙曲線的一支，這支曲線后面將要介紹的Markowitz有效前沿。2023/3/20投資學第二章48第四十八頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章49結(jié)論組合的方差事協(xié)方差矩陣各元素與投資比例為權(quán)重相乘的加權(quán)總值，它除了與各個證券的方差有關外，還取決于證券間的協(xié)方差或相關系數(shù)。證券組合的預期收益可以通過對各種單項資產(chǎn)加權(quán)年均得到，但風險卻不能通過各項資產(chǎn)風險的標準差的加權(quán)平均得到(這只是組合中成分證券間的相關系數(shù)為一且成分證券方差相等特例情況)。第四十九頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章50在證券方差或標準差給定下，組合的每對證券的相關系數(shù)越高，組合的方差越高。只要每兩種證券的收益間的相關系數(shù)小于一，組合的標準差一定小于組合中各種證券的標準差的加權(quán)平均數(shù)。如果每對證券的相關系數(shù)為完全負相關即為－1且成分證券方差和權(quán)重相等時，則可得到一個零方差的投資組合。但由于系統(tǒng)性風險不能消除，所以這種情況在實際中是不存在的第五十頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章51（二）證券組合消除的是非系統(tǒng)性風險，系統(tǒng)性風險不能消除非系統(tǒng)風險是企業(yè)特有的風險，諸如企業(yè)陷入法律糾紛、罷工、新產(chǎn)品開發(fā)失敗，等等?？煞Q為可分散風險、特有風險、特定資產(chǎn)風險。非系統(tǒng)性風險主要通過分散化減少，因此由許多種資產(chǎn)構(gòu)成的組合將幾乎不存在非系統(tǒng)性風險.系統(tǒng)風險是指整個市場承受到的風險，如經(jīng)濟的景氣情況、市場總體利率水平的變化等因為整個市場環(huán)境發(fā)生變化而產(chǎn)生的風險?？煞Q為不可分散風險、市場風險。系統(tǒng)性風險影響所有的資產(chǎn)，不能通過分散化來去除第五十一頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章52總風險=系統(tǒng)性風險+非系統(tǒng)性風險對于一個好的分散化組合，非系統(tǒng)性風險可以忽略，幾乎所有的風險都是系統(tǒng)性風險造成的。(證明)如果一種資產(chǎn)的收益同其它資產(chǎn)的收益有較高的相關性，那么總風險將主要是由系統(tǒng)性風險構(gòu)成。如果一種資產(chǎn)的收益同其它的資產(chǎn)組合收益有相對較低的相關性，那么在代數(shù)上的組合分散化將導致相當大的非系統(tǒng)性風險消除和乘下較小的系統(tǒng)性風險。第五十二頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章53系統(tǒng)性風險不能通過分散化去除。.因為非系統(tǒng)性風險能夠沒有成本的消除，所以對它沒有回報系統(tǒng)性風險定理:“一種資產(chǎn)的預期收益僅依賴于它的系統(tǒng)性風險。.”測度系統(tǒng)性風險（第四章的內(nèi)容）Beta或Beta測度一種資產(chǎn)相對于一種市場平均收益率資產(chǎn)有多大的系統(tǒng)性風險.進攻型股票(>1);防御型股票(<1)betas越大說明系統(tǒng)性風險越大第五十三頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章54組合的風險–標準差

組合中的股票數(shù)量市場風險特定公司風險總風險可分散風險非系統(tǒng)性風險不可分散風險第五十四頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章55分散投資消除非系統(tǒng)性風險成分股數(shù)平均回報率％標準差％可消除風險份額％市場風險分額％1940·045552932·438628926·6208016924·0128832923·6892128922·8298500922·00100第五十五頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章56分散投資降低或消除風險效應主要通過下列途經(jīng)發(fā)揮作用：選擇兩兩股票相關系數(shù)小于一的股票組合組合的證券成分數(shù)要足夠多改變不同風險收益特性股票的投資比例第五十六頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章57第三節(jié)證券投資組合的可行集、有效集與最優(yōu)投資組合

一、無差異曲線二、可行集三、有效集四、有效前沿的得出第五十七頁，共86頁。一、投資者的無差異曲線在不同的系統(tǒng)性風險中，投資者之所以選擇不同的投資組合，是因為他們對風險的厭惡程度和對收益的偏好程度是不同的。對一個特定的投資者而言，任意給定一個證券組合，根據(jù)他對期望收益率和風險的偏好態(tài)度，按照期望收益率對風險補償?shù)囊?，可以得到一系列滿意程度相同的（無差異）證券組合。所有這些組合在均值方差（或標準差）坐標系中形成一條曲線，這條曲線就稱為該投資者的一條無差異曲線。

第五十八頁，共86頁。風險厭惡者都愿意放棄一些預期的期末財富以換來更小的風險。不同投資的預期期末財富（或預期收益）和風險對于一個投資者而言將產(chǎn)生相同水平的預期收益。這種關系引出了無差異曲線。當資產(chǎn)的回報率服從以為均值，以為標準差的正態(tài)分布時，風險厭惡者的回報與風險之間的邊際替代率是正的，無差異曲線是凸的，并且，位于更西北方向的無差異曲線的效用更高。無差異曲線第五十九頁，共86頁。風險厭惡者的無差異曲線第六十頁，共86頁。不同風險厭惡程度第六十一頁，共86頁。無差異曲線不能相交第六十二頁，共86頁。假設：所有風險厭惡者的無差異曲線如上圖所示，在均值-標準差平面上，為嚴格增的凸函數(shù)，并且，越在西北方向的無差異曲線，其效用越高。無差異曲線第六十三頁，共86頁。同一條無差異曲線上的組合滿意程度相同；無差異曲線位置越高，該曲線上的組合的滿意程度越高。無差異曲線滿足下列特征：(1)無差異曲線向右上方傾斜。

(2)無差異曲線是下凹的。

(3)同一投資者有無數(shù)條無差異曲線。

(4)同一投資者在同一時間、同一時點的任何兩條無差異曲線都不相交。

第六十四頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章65二、可行集

N個證券可以形成無窮多個組合，由N種證券中任意k種證券所形成的所有預期收益率和方差的組合的集合就是可行集。從幾何的觀點看，以期望收益率rp為縱座標，以標準差橫p座標，在rp－p坐標系中的某一個點就有可能是一個組合。它包括了現(xiàn)實生活中所有可能的組合，也就是說，所有可能的證券投資組合將位于可行集的內(nèi)部或邊界上。第六十五頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章66兩個證券組合的可行集舉例證券預期收益標準差A5%20%B15%40%第六十六頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章67組合ABCDEFGX1X21.000.000.830.170.670.330.50.50.330.670.170.830.001.00相關系數(shù)分別為1，-1，0時，組合的期望收益與標準差分別是多少？第六十七頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章68組合abcdefg預期收益56.78.31011.713.315標準差下限=－1上限=1=02020201023.3317.94026.6718.811030.0022.362033.3327.603036.6733.3740.0040.0040.00第六十八頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章69第六十九頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章70三、有效集或有效前沿

1.有效集的定義可行集中有無窮多個組合，但是投資者有必要對所有這些組合進行評價嗎？對于一個理性投資者而言，他們都是厭惡風險而偏好收益的。對于同樣的風險水平，他們將會選擇能提供最大預期收益率的組合；對于同樣的預期收益率，他們將會選擇風險最小的組合。這是所有投資者的共同偏好。能滿足這兩個條件的投資組合的集合被稱為有效集（EfficientSet）或有效邊界。有效集描繪了投資組合的風險與收益的最優(yōu)配置。

第七十頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章71

有效邊界（有效集）：因為投資者是不知足且厭惡風險，即風險一定時追求收益最大，收益一定時追求風險最小。所以，同時滿足在各種風險水平下，提供最大預期收益和在各種預期收益下能提供最小風險這兩個條件就稱為有效邊界。即雙曲線的上半部。上面各點所代表的投資組合一定是通過充分分散化而消除了非系統(tǒng)性風險的組合。第七十一頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章72有效集曲線的形狀具有如下特點：（1）有效集是一條向右上方傾斜的曲線，它反映了“高收益、高風險”的原則；（2）有效集是一條向左凸的曲線。有效集上的任意兩點所代表的兩個組合再組合起來得到的新的點（代表一個新的組合）一定落在原來兩個點的連線的左側(cè)，這是因為新的組合能進一步起到分散風險的作用，所以曲線是向左凸的；（3）有效集曲線上不可能有凹陷的地方。

第七十二頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章732、個人投資者的最優(yōu)投資組合選擇AB第七十三頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章74

按照投資者的共同偏好準則，有些證券組合是不能區(qū)分好壞的，因為投資者在遵守共同偏好準則后，還有自己的特殊偏好，對那些不能被共同偏好準則區(qū)分的組合，不同的投資者有不同的比較結(jié)果。如對A與B兩個組合怎樣比較呢？只有靠投資者的風險態(tài)度來區(qū)分了，二者的區(qū)別在于投資者對風險補償?shù)钠?。第七十四頁，?6頁。2023/3/20投資學第二章75四、有效集的得出

所有可能的點（rp,p）構(gòu)成了（rp,p）平面上可行區(qū)域，對于給定的rp，使組合的方差越小越好，即求解下列二次規(guī)劃：第七十五頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章76用二次規(guī)劃得出N種證券的有效集假定市場上有N>2種風險資產(chǎn)，允許賣空。假設期望收益率為ej，j=1,…n.權(quán)重為wj.假設任一資產(chǎn)的收益率不能由其他資產(chǎn)的收益率線性表出，方差--協(xié)方矩陣V滿足對稱非奇異正定的第七十六頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章77定義:稱一個證券組合是前沿證券組合(afrontierportfolio),如果它在所有等均值收益率的證券組合中具有最小方差值。用數(shù)學語言描述為：是一個前沿證券組合當且僅當它的證券組合權(quán)重是下列二次規(guī)劃問題的解。第七十七頁，共86頁。2023/3/20投資學第二章78求解結(jié)果：任何前沿資產(chǎn)組合都可用上式表示,另一方面,任何可用上式表示的資產(chǎn)組合都是前沿邊界的資