2010年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)）（含解析版）

第頁碼頁碼頁/總NUMPAGES總頁數(shù)總頁數(shù)頁2010年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，則A∩B=（）A．（0，2） B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2} 2．（5分）平面向量，已知=（4，3），=（3，18），則夾角的余弦值等于（）A． B． C． D． 3．（5分）已知復(fù)數(shù)Z=，則|z|=（）A． B． C．1 D．2 4．（5分）曲線y=x3﹣2x+1在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為（）A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2 5．（5分）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（4，2），則它的離心率為（）A． B． C． D． 6．（5分）如圖，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動，其初始位置為P0（，﹣），角速度為1，那么點(diǎn)P到x軸距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D． 7．（5分）設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a、a、a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 8．（5分）如果執(zhí)行如圖的框圖，輸入N=5，則輸出的數(shù)等于（）A． B． C． D． 9．（5分）設(shè)偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=2x﹣4（x≥0），則{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2} 10．（5分）若cosα=﹣，α是第三象限的角，則sin（α+）=（）A． B． C． D． 11．（5分）已知?ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），點(diǎn)（x，y）在?ABCD的內(nèi)部，則z=2x﹣5y的取值范圍是（）A．（﹣14，16） B．（﹣14，20） C．（﹣12，18） D．（﹣12，20） 12．（5分）已知函數(shù)，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是（）A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24） 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．（5分）圓心在原點(diǎn)上與直線x+y﹣2=0相切的圓的方程為．14．（5分）設(shè)函數(shù)y=f（x）為區(qū)間（0，1]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且恒有0≤f（x）≤1，可以用隨機(jī)模擬方法計(jì)算由曲線y=f（x）及直線x=0，x=1，y=0所圍成部分的面積S，先產(chǎn)生兩組（每組N個(gè)），區(qū)間（0，1]上的均勻隨機(jī)數(shù)x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，由此得到N個(gè)點(diǎn)（x，y）（i﹣1，2…，N）．再數(shù)出其中滿足y1≤f（x）（i=1，2…，N）的點(diǎn)數(shù)N1，那么由隨機(jī)模擬方法可得S的近似值為．15．（5分）一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的（填入所有可能的幾何體前的編號）①三棱錐②四棱錐③三棱柱④四棱柱⑤圓錐⑥圓柱．16．（5分）在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，則BD=．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（10分）設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求{an}的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的序號n的值．18．（10分）如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高．（Ⅰ）證明：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱錐P﹣ABCD的體積．19．（10分）為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如表：性別是否需要志愿者男女需要4030不需要160270（1）估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的比例；（2）能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計(jì)該地區(qū)的老年人中需要志愿者提供幫助的老年人比例？說明理由．P（K2≥k）0.0500.0100.0013.8416.63510.828附：K2=．20．（10分）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與E相交于A、B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直線l的斜率為1，求b的值．21．設(shè)函數(shù)f（x）=x（ex﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a=，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥0，求a的取值范圍．22．（10分）如圖：已知圓上的弧，過C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長線交于E點(diǎn)，證明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE?CD．23．（10分）已知直線C1（t為參數(shù)），C2（θ為參數(shù)），（Ⅰ）當(dāng)α=時(shí)，求C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）過坐標(biāo)原點(diǎn)O做C1的垂線，垂足為A，P為OA中點(diǎn)，當(dāng)α變化時(shí)，求P點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線．24．（10分）設(shè)函數(shù)f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）畫出函數(shù)y=f（x）的圖象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范圍．

2010年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，則A∩B=（）A．（0，2） B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2} 【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【專題】11：計(jì)算題．【分析】由題意可得A={x|﹣2≤x≤2}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，從而可求【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}B={x|≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}則A∩B={0，1，2}故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合的交集的求解，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求解A，B，屬于基礎(chǔ)試題2．（5分）平面向量，已知=（4，3），=（3，18），則夾角的余弦值等于（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】9S：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．【分析】先設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)a=（4，3），2a+b=（3，18），求出坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式的變形公式，求出兩個(gè)向量的夾角的余弦【解答】解：設(shè)=（x，y），∵a=（4，3），2a+b=（3，18），∴∴cosθ==，故選：C．【點(diǎn)評】本題是用數(shù)量積的變形公式求向量夾角的余弦值，數(shù)量積的主要應(yīng)用：①求模長；②求夾角；③判垂直，實(shí)際上在數(shù)量積公式中可以做到知三求一．3．（5分）已知復(fù)數(shù)Z=，則|z|=（）A． B． C．1 D．2 【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】11：計(jì)算題．【分析】由復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡可得Z=，由復(fù)數(shù)的模長公式可得答案．【解答】解：化簡得Z===?=?=?=，故|z|==，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，涉及復(fù)數(shù)的模長，屬基礎(chǔ)題．4．（5分）曲線y=x3﹣2x+1在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為（）A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2 【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】1：常規(guī)題型；11：計(jì)算題．【分析】欲求在點(diǎn)（1，0）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．【解答】解：驗(yàn)證知，點(diǎn)（1，0）在曲線上∵y=x3﹣2x+1，y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1=1，得切線的斜率為1，所以k=1；所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為：y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．故選：A．【點(diǎn)評】本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（4，2），則它的離心率為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】KC：雙曲線的性質(zhì)．【專題】11：計(jì)算題．【分析】先求漸近線斜率，再用c2=a2+b2求離心率．【解答】解：∵漸近線的方程是y=±x，∴2=?4，=，a=2b，c==a，e==，即它的離心率為．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)．6．（5分）如圖，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動，其初始位置為P0（，﹣），角速度為1，那么點(diǎn)P到x軸距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換．【分析】本題的求解可以利用排除法，根據(jù)某具體時(shí)刻點(diǎn)P的位置到到x軸距離來確定答案．【解答】解：通過分析可知當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)P到x軸距離d為，于是可以排除答案A，D，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，可知點(diǎn)P在x軸上此時(shí)點(diǎn)P到x軸距離d為0，排除答案B，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的圖象，以及排除法的應(yīng)用和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a、a、a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積．【專題】11：計(jì)算題．【分析】本題考查的知識點(diǎn)是球的體積和表面積公式，由長方體的長、寬、高分別為2a、a、a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則長方體的對角線即為球的直徑，即球的半徑R滿足（2R）2=6a2，代入球的表面積公式，S球=4πR2，即可得到答案．【解答】解：根據(jù)題意球的半徑R滿足（2R）2=6a2，所以S球=4πR2=6πa2．故選：B．【點(diǎn)評】長方體的外接球直徑等于長方體的對角線長．8．（5分）如果執(zhí)行如圖的框圖，輸入N=5，則輸出的數(shù)等于（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【專題】28：操作型．【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出S=的值．【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出S=的值．∵S==1﹣=故選：D．【點(diǎn)評】根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運(yùn)行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：：①分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中即要分析出計(jì)算的類型，又要分析出參與計(jì)算的數(shù)據(jù)（如果參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析管理）?②建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型③解模．9．（5分）設(shè)偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=2x﹣4（x≥0），則{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2} 【考點(diǎn)】3K：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷．【專題】11：計(jì)算題．【分析】由偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為絕對值函數(shù)，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，則f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．應(yīng)選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查偶函數(shù)性質(zhì)、不等式的解法以及相應(yīng)的運(yùn)算能力，解答本題的關(guān)鍵是利用偶函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為絕對值函數(shù)，從而簡化計(jì)算．10．（5分）若cosα=﹣，α是第三象限的角，則sin（α+）=（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】GG：同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；GP：兩角和與差的三角函數(shù)．【專題】11：計(jì)算題．【分析】根據(jù)α的所在的象限以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinα的值，進(jìn)而利用兩角和與差的正弦函數(shù)求得答案．【解答】解：∵α是第三象限的角∴sinα=﹣=﹣，所以sin（α+）=sinαcos+cosαsin=﹣=﹣．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)，以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用．根據(jù)角所在的象限判斷三角函數(shù)值的正負(fù)是做題過程中需要注意的．11．（5分）已知?ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），點(diǎn)（x，y）在?ABCD的內(nèi)部，則z=2x﹣5y的取值范圍是（）A．（﹣14，16） B．（﹣14，20） C．（﹣12，18） D．（﹣12，20） 【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃．【專題】11：計(jì)算題；16：壓軸題．【分析】根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)與向量坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用向量相等求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵．結(jié)合線性規(guī)劃的知識平移直線求出目標(biāo)函數(shù)的取值范圍．【解答】解：由已知條件得?D（0，﹣4），由z=2x﹣5y得y=，平移直線當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B（3，4）時(shí)，﹣?zhàn)畲螅磟取最小為﹣14；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)D（0，﹣4）時(shí)，﹣?zhàn)钚。磟取最大為20，又由于點(diǎn)（x，y）在四邊形的內(nèi)部，故z∈（﹣14，20）．如圖：故選B．【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的頂點(diǎn)之間的關(guān)系，用到向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，體現(xiàn)了向量的工具作用，考查學(xué)生線性規(guī)劃的理解和認(rèn)識，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想．屬于基本題型．12．（5分）已知函數(shù)，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是（）A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24） 【考點(diǎn)】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換；3B：分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；4H：對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；4N：對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【專題】13：作圖題；16：壓軸題；31：數(shù)形結(jié)合．【分析】畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范圍即可．【解答】解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，不妨設(shè)a＜b＜c，則ab=1，則abc=c∈（10，12）．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查分段函數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及利用數(shù)形結(jié)合解決問題的能力．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．（5分）圓心在原點(diǎn)上與直線x+y﹣2=0相切的圓的方程為x2+y2=2．【考點(diǎn)】J1：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；J9：直線與圓的位置關(guān)系．【分析】可求圓的圓心到直線的距離，就是半徑，寫出圓的方程．【解答】解：圓心到直線的距離：r=，所求圓的方程為x2+y2=2．故答案為：x2+y2=2【點(diǎn)評】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．14．（5分）設(shè)函數(shù)y=f（x）為區(qū)間（0，1]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且恒有0≤f（x）≤1，可以用隨機(jī)模擬方法計(jì)算由曲線y=f（x）及直線x=0，x=1，y=0所圍成部分的面積S，先產(chǎn)生兩組（每組N個(gè)），區(qū)間（0，1]上的均勻隨機(jī)數(shù)x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，由此得到N個(gè)點(diǎn)（x，y）（i﹣1，2…，N）．再數(shù)出其中滿足y1≤f（x）（i=1，2…，N）的點(diǎn)數(shù)N1，那么由隨機(jī)模擬方法可得S的近似值為．【考點(diǎn)】CE：模擬方法估計(jì)概率；CF：幾何概型．【分析】由題意知本題是求∫01f（x）dx，而它的幾何意義是函數(shù)f（x）（其中0≤f（x）≤1）的圖象與x軸、直線x=0和直線x=1所圍成圖形的面積，積分得到結(jié)果．【解答】解：∵∫01f（x）dx的幾何意義是函數(shù)f（x）（其中0≤f（x）≤1）的圖象與x軸、直線x=0和直線x=1所圍成圖形的面積，∴根據(jù)幾何概型易知∫01f（x）dx≈．故答案為：．【點(diǎn)評】古典概型和幾何概型是我們學(xué)習(xí)的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積和體積的比值得到．15．（5分）一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的①②③⑤（填入所有可能的幾何體前的編號）①三棱錐②四棱錐③三棱柱④四棱柱⑤圓錐⑥圓柱．【考點(diǎn)】L7：簡單空間圖形的三視圖．【專題】15：綜合題；16：壓軸題．【分析】一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，由三視圖的正視圖的作法判斷選項(xiàng)．【解答】解：一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，顯然①②⑤正確；③是三棱柱放倒時(shí)也正確；④⑥不論怎樣放置正視圖都不會是三角形；故答案為：①②③⑤【點(diǎn)評】本題考查簡單幾何體的三視圖，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題．16．（5分）在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，則BD=2+．【考點(diǎn)】HR：余弦定理．【專題】11：計(jì)算題；16：壓軸題．【分析】先利用余弦定理可分別表示出AB，AC，把已知條件代入整理，根據(jù)BC=3BD推斷出CD=2BD，進(jìn)而整理AC2=CD2+2﹣2CD得AC2=4BD2+2﹣4BD把AC=AB，代入整理，最后聯(lián)立方程消去AB求得BD的方程求得BD．【解答】用余弦定理求得AB2=BD2+AD2﹣2AD?BDcos135°AC2=CD2+AD2﹣2AD?CDcos45°即AB2=BD2+2+2BD①AC2=CD2+2﹣2CD②又BC=3BD所以CD=2BD所以由（2）得AC2=4BD2+2﹣4BD（3）因?yàn)锳C=AB所以由（3）得2AB2=4BD2+2﹣4BD（4）（4）﹣2（1）BD2﹣4BD﹣1=0求得BD=2+故答案為：2+【點(diǎn)評】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生創(chuàng)造性思維能力和基本的推理能力．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（10分）設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求{an}的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的序號n的值．【考點(diǎn)】84：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】（1）設(shè)出首項(xiàng)和公差，根據(jù)a3=5，a10=﹣9，列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的二元一次方程組，解方程組得到首項(xiàng)和公差，寫出通項(xiàng)．（2）由上面得到的首項(xiàng)和公差，寫出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，整理成關(guān)于n的一元二次函數(shù)，二次項(xiàng)為負(fù)數(shù)求出最值．【解答】解：（1）由an=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得a1+9d=﹣9，a1+2d=5解得d=﹣2，a1=9，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=11﹣2n（2）由（1）知Sn=na1+d=10n﹣n2．因?yàn)镾n=﹣（n﹣5）2+25．所以n=5時(shí)，Sn取得最大值．【點(diǎn)評】數(shù)列可看作一個(gè)定義域是正整數(shù)集或它的有限子集的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值對應(yīng)的一列函數(shù)值，因此它具備函數(shù)的特性．18．（10分）如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高．（Ⅰ）證明：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱錐P﹣ABCD的體積．【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LY：平面與平面垂直．【專題】11：計(jì)算題；14：證明題；35：轉(zhuǎn)化思想．【分析】（Ⅰ）要證平面PAC⊥平面PBD，只需證明平面PAC內(nèi)的直線AC，垂直平面PBD內(nèi)的兩條相交直線PH，BD即可．（Ⅱ），∠APB=∠ADB=60°，計(jì)算等腰梯形ABCD的面積，PH是棱錐的高，然后求四棱錐P﹣ABCD的體積．【解答】解：（1）因?yàn)镻H是四棱錐P﹣ABCD的高．所以AC⊥PH，又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD內(nèi)，且PH∩BD=H．所以AC⊥平面PBD．故平面PAC⊥平面PBD（6分）（2）因?yàn)锳BCD為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=．所以HA=HB=．因?yàn)椤螦PB=∠ADB=60°所以PA=PB=，HD=HC=1．可得PH=．等腰梯形ABCD的面積為S=ACxBD=2+（9分）所以四棱錐的體積為V=×（2+）×=．（12分）【點(diǎn)評】本題考查平面與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查空間想象能力，計(jì)算能力，推理能力，是中檔題．19．（10分）為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如表：性別是否需要志愿者男女需要4030不需要160270（1）估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的比例；（2）能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計(jì)該地區(qū)的老年人中需要志愿者提供幫助的老年人比例？說明理由．P（K2≥k）0.0500.0100.0013.8416.63510.828附：K2=．【考點(diǎn)】BL：獨(dú)立性檢驗(yàn)．【專題】11：計(jì)算題；5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）由樣本的頻率率估計(jì)總體的概率，（2）求K2的觀測值查表，下結(jié)論；（3）由99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)，則可按性別分層抽樣．【解答】解：（1）調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此在該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估計(jì)值為（2）K2的觀測值因?yàn)?.967＞6.635，且P（K2≥6.635）=0.01，所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)．（3）根據(jù)（2）的結(jié)論可知，該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能夠看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時(shí)，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女兩層，并采取分層抽樣方法比簡單隨機(jī)抽樣方法更好．【點(diǎn)評】本題考查了抽樣的目的，獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法及抽樣的方法選取，屬于基礎(chǔ)題．20．（10分）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與E相交于A、B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直線l的斜率為1，求b的值．【考點(diǎn)】K4：橢圓的性質(zhì)．【專題】15：綜合題．【分析】（1）由橢圓定義知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，再由|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列，能夠求出|AB|的值．（2）L的方程式為y=x+c，其中，設(shè)A（x1，y1），B（x1，y1），則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組，化簡得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．然后結(jié)合題設(shè)條件和根與系數(shù)的關(guān)系能夠求出b的大小．【解答】解：（1）由橢圓定義知|AF2|+|AB|+|BF2|=4又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得（2）L的方程式為y=x+c，其中設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組．，化簡得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．則．因?yàn)橹本€AB的斜率為1，所以即．則．解得．【點(diǎn)評】本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及其運(yùn)用和直線與橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．21．設(shè)函數(shù)f（x）=x（ex﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a=，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥0，求a的取值范圍．【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】15：綜合題；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（I）求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）f（x）=x（ex﹣1﹣ax），令g（x）=ex﹣1﹣ax，分類討論，確定g（x）的正負(fù)，即可求得a的取值范圍．【解答】解：（I）a=時(shí)，f（x）=x（ex﹣1）﹣x2，=（ex﹣1）（x+1）令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0；∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（﹣1，0）；（II）f（x）=x（ex﹣1﹣ax）．令g（x）=ex﹣1﹣ax，則g'（x）=ex﹣a．若a≤1，則當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，而g（0）=0，從而當(dāng)x≥0時(shí)g（x）≥0，即f（x）≥0．若a＞1，則當(dāng)x∈（0，lna）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，而g（0）=0，從而當(dāng)x∈（0，lna）時(shí)，g（x）＜0，即f（x）＜0．綜合得a的取值范圍為（﹣∞，1]．另解：當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0成立；當(dāng)x＞0，可得ex﹣1﹣ax≥0，即有a≤的最小值，由y=ex﹣x﹣1的導(dǎo)數(shù)為y′=ex﹣1，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)y遞增；x＜0時(shí)，函數(shù)遞減，可得函數(shù)y取得最小值0，即ex﹣x﹣1≥0，x＞0時(shí)，可得≥1，則a≤1．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．22．（10分）如圖：已知圓上的弧，過C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長線交于E點(diǎn)，證明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE?CD．【考點(diǎn)】N9：圓的切線的判定定理的證明；NB：弦切角．【專題】14：證明題．【分析】（I）先根據(jù)題中條件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根據(jù)EC是圓的切線，得到∠ACE=∠ABC，從而即可得出結(jié)論．（II）欲證BC2=BExCD．即證．故只須證明△BDC～△ECB