近年年高中數(shù)學第二章數(shù)列2.5等比數(shù)列的前n項和(第2課時)數(shù)列求和鞏固提升(含解析)新人教A版必修

第2課時數(shù)列求和 [A基礎達標]列，則a1＝()CD!所以(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，解得a1＝－錯誤!。2．數(shù)列{an}的通項公式是an＝錯誤!，若前n項和為10,則項數(shù)為()解析：選C。因為an＝錯誤!＝錯誤!－錯誤!，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(錯誤!－錯誤!)＝錯誤!－1，3．數(shù)列{an}，{bn}滿足anbn＝1,an＝n2＋3n＋2，則{bn}的前10項和為()解析：選B.依題意bn＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!－錯誤!，所以{bn}的前10項和為S10＝錯誤!＋錯誤!＋錯誤!＋…＋錯誤!＝錯誤!－錯誤!＝錯誤!,故選.4．設數(shù)列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n項和為Sn，則Sn＝()nnnnn＋1nn＋1＝錯誤!－n＝2n＋1－n－2。SD故S60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.qaaqqq列{|an|}的公比為|q|＝2，則|an|＝錯誤!×2n－1,所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝錯誤!(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝錯誤!(2n－1)＝2n－1－錯誤!。7．已知函數(shù)f(n)＝錯誤!且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100等于1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100。解析：令bn，由數(shù)列的遞推公式，可得錯誤!＝錯誤!，且b1＝錯誤!＝1,則bn＝b1×錯誤!×錯誤!×錯誤!×…×錯誤!＝1×錯誤!×錯誤!×錯誤!×…×錯誤!＝錯誤!，所以Tn＝1＋錯誤!＋錯誤!＋…＋錯誤!＝1＋2錯誤!錯誤!＝1＋2錯誤!＝錯誤!。 (1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設{bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{an＋bn}的前n項和Sn.解：(1)設q為等比數(shù)列{an}的公比，則由a1＝2，a3＝a2＋4，得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2,所以{an}的通項公式為an＝2n(n∈N＊)． (2)由題意得數(shù)列{an＋bn}的前n項和Sn＝a1＋a2＋…＋an＋(b1＋b2＋…＋bn)＝錯誤!nn＋n2－2.10．(2019·廣東深圳調研)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1＝2,an＋1＝2＋Sn(n∈N＊)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝1＋log2(an)2,若數(shù)列錯誤!的前n項和為Tn，求Tn。解:(1)因為an＋1＝2＋Sn(n∈N＊)，所以an＝2＋Sn－1(n≥2),所以an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，所以an＋1＝2an(n≥2)，n比數(shù)列，則an＝2·2n－1＝2n(n∈N＊)． Tn＝錯誤!錯誤!＝錯誤!錯誤!＝錯誤!.[B能力提升]列{an}的前n項和，則S2019的值為()a9＝1，…，則數(shù)列{an}是以6為周期的周期數(shù)列，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，所以S2019＝336×(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6)＋a1＋a2＋a3＝6.故選C。lnxlnxlnxlnx＋ln2x＋ln3x＋…＋ln10x＝________．解析:由lnx＋lnx2＋…＋lnx10＝110。得(1＋2＋3＋…＋10)lnx＝110，所以lnx＝2。從而lnx＋ln2x＋ln3x＋…＋ln10x＝2＋2＋＝2＋2＋2＋…＋2＝錯誤!＝211－2＝2046。求數(shù)列{an}的前n項和Sn.anan＝4(n＋1)－1,兩式相減，得an＋2－an＝4(常數(shù))．Sn＝錯誤!×1＋錯誤!×4＋錯誤!×2＋錯誤!×4＝n2－錯誤!.當n為奇數(shù)時,S×1＋錯誤!×4＋錯誤!×2＋錯誤!×4＝n2－錯誤!。故Sn＝錯誤!14．(選做題)已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－1,在等差數(shù)列{bn}中，bn>0，且b1＋(1)求數(shù)列{anbn}的通項公式； (2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn.＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2.因為bn>0，所以d＝－10應舍去,所以d＝2，所以b1＝3，所以bn＝2n＋1。(2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)·3n－2＋(2n＋1)3n－1①，3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n②，－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3nn＝3＋2×錯誤!－(2n＋1)3n所以Tn＝n·3n.等比數(shù)列(強化練)1．已知等比數(shù)列{an}的公比q＝錯誤!,a2＝8，則其前3項和S3的值為()解析:選B.在等比數(shù)列{an}中，因為公比q＝,a2＝8，Saaa6＋8＋4＝28.2．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若a2＝2,a3＝－4，則a5等于()CD解析:選D.設等比數(shù)列{an}的公比為q。因為a2＝2，a3＝－4，所以q＝錯誤!＝－錯誤!aaqa＝－1。3．在正項等比數(shù)列{an}中，a3＝錯誤!,a5＝8a7，則a10等于()CD誤!解析:選D。q2＝錯誤!＝錯誤!，即q＝錯誤!，所以a10＝a3·q7＝錯誤!·錯誤!錯誤!＝錯誤!，選D.4．在等比數(shù)列{an}中，已知a5a14＝5，則a3a4a15a16等于()2所以a3a4a15a16＝5＝25.2由已知得a1q4·a1q13＝aq17＝5,所以a3a4a15a16＝a1q2·a1q3·a1q14·a1q15＝a錯誤!·q34＝(a錯誤!q17)2＝25。5．設首項為1，公比為錯誤!的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則()解析：選D.在等比數(shù)列{an}中，6．已知數(shù)列{an}滿足：錯誤!＝錯誤!，且a2＝2,則a4等于()122解析：選D。因為數(shù)列{an}滿足：＝錯誤!,所以an＋1＋1＝2(an＋1)，即數(shù)列{an＋aa7．(2019·中山一中調研)在等比數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和．若a2a3＝2a1,且a4與2a7的等差中項為17,則S6＝()解析：選A.由等比數(shù)列的性質,知a1a4＝a2a3＝2a1，得a4＝2。因為a4＋2a7＝2×17＝34，所以a7＝16，所以q3＝錯誤!＝錯誤!＝8，即q＝2。由＝8a1＝2，得a1＝錯誤!，所以S6＝錯誤!＝錯誤錯誤!＝()ABCD!3a3所以錯誤!＋錯誤!＋錯誤!＋錯誤!＝錯誤!＋錯誤!＝錯誤!＝－錯誤!。9．在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，前n項和為Sn，若數(shù)列{an＋1}也是等比數(shù)列，則Sn)nnnnnn解析：選C.因為數(shù)列{an}為等比數(shù)列，設數(shù)列{an}的公比為q，則an＝2qn－1.因為數(shù)列{an＋1}也是等比數(shù)列,則(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)?a錯誤!＋2an＋1＝an·an＋2＋an＋an＋2?an＋an＋2＝2an＋1?an(1＋q2－2q)＝0由a1＝2得an＝2，所以Sn＝2n.個單位,遞減的比例為40%,今共有糧m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的順序進行“衰分”，，則“衰分比"與m的值分別為()解析：選A.設“衰分比”為a，甲衰分得b石,由題意得錯誤!77所以錯誤!＋錯誤!＝0，即(1－q)(q2＋4q＋4)＝0。解得q＝－2或q＝1(舍去)．即錯誤!＝2，所以an＝2×2n－1＝2n.所以bn＝log22n＝n。則數(shù)列{bn}的前10項和為1＋2＋…＋10＝55.813．在14與之間插入n個數(shù)，組成所有項的和為錯誤!的等比數(shù)列,則此數(shù)列的項數(shù)為8公比為q，則數(shù)列共有5項．解析：設數(shù)列{an}的公比為q，因為{an}是等比數(shù)列，且a2＝2，a5＝錯誤!，所以錯誤!＝q3＝8,所以q＝錯誤!,所以a1＝4，又{an}是等比數(shù)列，所以{anan＋1}也是等比數(shù)列，且首項為a1a2＝8，公比q′＝錯誤!,所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝錯誤!＝錯誤!(1－4－n)．ann項和為Sn,已知a2＝1，S10＝45。 (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝2－an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解:(1)因為等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a2＝1，解得錯誤!所以an＝n－1。 (2)由(1)知bn＝2－an＝2－(n－1)＝錯誤!錯誤!，所以數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且首項b1＝1，公比q＝錯誤!.所以Tn＝錯誤!＝2－錯誤!。16．(2018·高考全國卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3。(1)求{an}的通項公式; (2)記Sn為{an}的前n項和．若Sm＝63,求m。解：(1)設{an}的公比為q，由題設得an＝qn－1。故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝錯誤!。由Sm＝63得(－2)m＝－188,此方程沒有正整數(shù)解．ann項和是Sn,且Sn＋錯誤!an＝1，數(shù)列{bn}，{cn}滿足bn＝log3錯誤!,cn＝錯誤!. n(2)數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，若不等式Tn<m對任意的正整數(shù)n恒成立,求m的取值范②－①可得an＋1＋錯誤!an＋1－錯誤!an＝0，anan。所以{an}是首項為錯誤!，公比為錯誤!的等比數(shù)列．因此an＝錯誤!·錯誤!錯誤!＝錯誤!。bnloglogn＝－2n，cn＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!錯誤!.所以Tn＝錯誤!錯誤!因為Tn〈m對任意的正整數(shù)n恒成立，所以m≥錯誤!。所以m的取值范圍是錯誤!。18．(2019·廣東重點中學聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是首項a1＝錯誤!，公比q＝錯誤!的等比數(shù) (1)求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{cn}的前n項和Sn。所以bn＋2＝3log錯誤!錯誤!錯誤!＝3n，所以bn＝3n－2,所以{bn}為等差數(shù)列,其中首項b1＝1，公差d＝3。(2)cn＝anbn＝(3n－2)×錯誤!錯誤!，所以Sn＝1×錯誤!＋4×錯誤!錯誤!＋7×錯誤!錯