成都嘉祥外國語學(xué)校郫縣分校必修二第一章《立體幾何初步》測(cè)試題(含答案解析)2251

一、選擇題ABCD1．在底面為正方形的四棱錐PADPABCD中，側(cè)面底面，PAAD，PAAD，則異面直線與AC所成的角為（）PB45．60．90D．A．30BCABCDABCDAA2DD112M，，為棱上的一．如圖，在長方體中，ABAD11111AMMCBM取得最小值時(shí)，的長為（）1點(diǎn)．當(dāng)1A．3B．6C．23D．26ABCDABCD3．已知正方體2AACDE的棱長為，點(diǎn)，E為棱的中截面交棱AB111111CDFD于點(diǎn)，則四面體的外接球表面積為（）F139．44341．ABC．12D．444AB．如圖所示，，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)，則異面直線M，N為其所在棱的中AB與MN所成角的大小為（）A．30°B．45°C．60°D．90°51．下圖中小正方形的邊長為，粗線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該四棱錐的體積為（）A．64B．48C．32D．16624．已知正四棱錐的高為，底面正方形邊長為，其正視圖為如圖所示的等腰三角形，正四棱錐表面點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為腰的中點(diǎn)，正四棱錐表面點(diǎn)N在正視圖上對(duì)應(yīng)A|MN|點(diǎn)為，則的取值范圍為（）．BA．[10,19]B．[11,19]C．[10,25]D．[11,25]PABCD中，底面是矩形其中，2，是ABCD.AD7AB3△PAD．如圖，在四棱錐若PAB60，則為直角的等腰直角三角形，異面余弦值直線PC與AD所成角的以A是（）22．1122．1127．7211D．11ABC8．在下面四個(gè)正方體ABCDABCD中，點(diǎn)NM、、均為所在P棱的中點(diǎn)，過M、N、作正方體截面，則下列圖形中，平面MNP不與直線AC垂直的是（）PA．B．C．D．9．一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖如圖所示，在正方體中，為設(shè)BC的中點(diǎn)MGHN，的中點(diǎn)為，下列結(jié)論正確的是（）A．MN//平面ABEB．MN//平面ADEC．MN//平面BDHD．MN//平面CDE10．蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用腳踢、踏的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)含米糠的球．運(yùn)動(dòng)．年5月2006因而蹴鞠就是指古人以腳踢、踏皮球的活動(dòng)，類似現(xiàn)在的足球已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名3D20日，蹴鞠錄．打印屬于快速成形技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層堆疊積累的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)．過去常在模具制造、工業(yè)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域被用于制造模型，現(xiàn)正用于一些產(chǎn)的品直接制造，特別是一些高價(jià)值應(yīng)用（比如人體的髖關(guān)節(jié)、牙齒或飛機(jī)零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四個(gè)點(diǎn)A．．．，BCD滿足任意兩點(diǎn)間的直線距離為6cm，現(xiàn)在利用打印技術(shù)制作模型，由ABCD組成的幾何體后剩下的部分，打印所用原材料的密度為1g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原材料的質(zhì)量約為（）3D該模型是由蹴鞠的內(nèi)部挖去（參考數(shù)據(jù)）π3.14，21.41，31.73，62.45．A．101gB．182gC．519gD．731gABCDABCD中，三棱錐ABCD的表面積為43，則正方體外接11．在正方體111111球的體積為（）．43．6C．323D．86ABABCDABCDAABD的六個(gè)面都是菱形，那么點(diǎn)在面上的射影一11112．平行六面體1111ABD1的________心，點(diǎn)在面上的射影一定是A1BCDBCD的________心（）1定是11A．外心、重心B．內(nèi)心、垂心C．外心、垂心D．內(nèi)心、重心二、填空題13．四棱錐VABCD中，底面是正方形，所成角的大小為______.O的直徑AB上一點(diǎn)，AH:HB1:3，平面，為垂足，14．已知是球ABCDVC各條棱長均為2.則異面直線與ABHABH截球O所得截面的面積為，則球O的表面積為__________.N15．在如圖棱長為2的正方體中，點(diǎn)M、在棱AB、BC上，且AMBN1，在P棱AA1上，為過M、、三點(diǎn)的平面，則下列說法正確的是__________．PN存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使面與正方體的截面為五邊形；P①當(dāng)時(shí)，面與正方體的截面面積為；②AP1331只有一個(gè)點(diǎn)，使面與正方體的截面為四邊形；當(dāng)面交棱于點(diǎn)③④PPMBBH，則、HN、三條直線交于一點(diǎn)二十面體是由20個(gè)等邊．CC1116．如圖，正1230三角形組成的正多面體，共有個(gè)條棱，頂點(diǎn)，3.6之一如果把sin36按計(jì)算，則棱個(gè)面，是五個(gè)柏拉圖多面體長為的正二十面體的520___________.外接球半徑等于17ACBCADBD32，，則三棱錐．已知三棱錐ABCD中，ABCDABCD的體積____________是．18．一件剛出土的珍貴文物要在博物館大廳中央展出，需要設(shè)計(jì)一個(gè)各面是玻璃平面的無底正四棱柱將其罩住，罩內(nèi)充滿保護(hù)文物的無色氣體．已知文物近似于塔形（如圖所0.9米，體積立方米，其底部是直徑為米的圓形，要求文物底部與玻璃罩底邊至少間隔0.3玻璃罩上底面至少間隔0.21.80.5示），高1000米，氣體每立方米元，米，文物頂部與_________元．則氣體費(fèi)用最少為19．世界四大歷史博物館之首盧浮宮博物館始建于1204年，原是法國的王宮，是法國文藝復(fù)興時(shí)期最珍貴的建筑物之一，以收藏豐富的古典繪畫和雕刻而聞名于世，盧浮宮玻璃金字塔為正四棱錐，且該正四棱錐的高為21米，底面邊長為30米，是華人建筑大師貝聿銘.______.設(shè)計(jì)的若玻璃金字塔五個(gè)頂點(diǎn)恰好在一個(gè)球面上，則該球的半徑為米20__________．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是．三、解答題ABCABCABBA中，平面ABC，側(cè)面為矩形，1111BC21．如圖，在三棱柱11AB1,AAAC2.1ABBA平面；1（）證明：平面BBC111CABBA的體積.112（）求四棱錐ABCDABCD222．在棱長為的正方體.中，O是底面ABCD的中心11111:BO//;（）求證平面DAC1112.O到平面的距離DAC（）求點(diǎn)11PABCD中，底面是邊長為的正方形，PA底面ABCD231．如圖，在四棱錐ABCD，PAAB，點(diǎn).M是棱的中點(diǎn)PD1（）求證：平面；PB//ACM三棱錐PACM的體積2.（）求DABC中，．如圖，三枝錐ABC90，AB1，BCCDDB2.24（）若平面BCD平面ABC.求證：ABCD；12（）若.AD1，求CD與平面ABC所成的角ABCDABCD25ABCDEAA的底面是正方形，是棱的中點(diǎn)，1．如圖，長方體1111AA2AB2.1（）證明：平面EBC平面1EBC.12BEBC.（）求點(diǎn)到平面的距離126ABC－ABC.中，為AC中點(diǎn)F111．如圖，在三棱柱1（）若AA2AC，求大小；異面直線與BF所成角的AB1此三棱柱為正三棱柱，1且11（）求證：//平面BFC.2AB11***【參考答案】試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、選擇題1．C解析：C【分析】由已知可得PA⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，分別過P，D點(diǎn)作AD，AP的平行線交于M，連接CM，，AM因?yàn)镻B∥CM，所以ACM就是異面直線PB與AC所成的角,再求解即可.【詳解】由題意：底面ABCD為正方形，PAAD，底面ABCD，側(cè)面PAD面PAD面ABCDAD，PA⊥平面ABCD分別過P，D點(diǎn)作AD，AP，的平行線交于M，連接CM，，AM∵PM∥AD，AD∥BC，PM＝AD，AD＝BC．∴PBCM是平行四邊形，∴PB∥CM，所以∠ACM就是異面直線PB與AC所成的角．設(shè)PA＝AB＝a，AM2a,AC2a,CM2a，中，在三角形ACM∴三角形ACM是等邊三角形．所以∠ACM即異面直線PB與AC所成的角為60°．故選：C.等于，60°【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先利用面面垂直得到PA⊥平面ABCD，分別過P，D點(diǎn)作AD，AP的平行線交于M，連接CM，，AM得到∠ACM就是異面直線PB與AC所成的角．2．AA解析：【分析】DDAC本題首先可通過將側(cè)面CDDC繞逆時(shí)針轉(zhuǎn)90展開得出當(dāng)、M、共線時(shí)12111AMMC1DDADDABAM為的中點(diǎn)，然后根據(jù)平面得出11111取得最小值，此時(shí)BAAM，最后根據(jù)BMBA2AM2即可得出結(jié)果.1111111【詳解】DDADDA如圖，將側(cè)面繞逆時(shí)針轉(zhuǎn)90展開，與側(cè)面共面，CDDC11111ACACAMMC取得最小值，連接，易知當(dāng)、M、共線時(shí)，121212，1，，所以AA21DDM為的中點(diǎn)，AM1因?yàn)锳BAD1BA11ADDAAMADDABAAM，因?yàn)槠矫妫矫?，所?1111111BA2AM21(2)23，則BM12111A.故選：【點(diǎn)睛】DD關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)線面垂直判斷線線垂直，能否根據(jù)題意得出當(dāng)M為的中1AMMC取得最小值是解決本題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中點(diǎn)時(shí)1.檔題3．BB解析：【分析】△DFCOG，的外接圓的球心為，四面體1DD可證為AB的中點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為F1CDFD球心為，連接OOG,OF,OO,AB，利用解1的外接球的三角形的方法可求11△DFCCDFD.的外接球的半徑的外接圓的半徑，從而可求四面體1【詳解】△DFCODDCDFDG，的外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為設(shè)的中點(diǎn)為111O，連接OG,OF,OO,AB，11AABB//因?yàn)槠矫?1DDCCCDEAABBEF，平面，平面平面11111CDEDDCCDCEF//DC，故，1平面平面1111EF//AB而，故，故為AB的中點(diǎn)，AB//DCF11110432555，cosDFC所以DFCF145，故4內(nèi)角，故sinDFC，故的外接圓的因?yàn)椤螪FC為三角形的△DFC半徑為5125454，2OODDOO//DD1平面ABCD，平面ABCD，故，111GDOO1OGDD,ODDDOG//OD，，故1在平面中，111GDOO故四邊形1OO//GDOOGD，為平行四邊形，故，112541，4CDFD所以四面體的外接球的半徑為11164141，44CDFD故四面體的外接球表面積為161故選：B.【點(diǎn)睛】確定，通常利用“球心方法點(diǎn)睛：三棱錐的外接球的球的半徑，關(guān)鍵是球心位置的在過底面外接圓的圓心且垂直于底面的直線上”來確定.4．C解析：C【分析】由MN與正方體的面對(duì)角線平行，可得異面直線所成的角，此角是正三角形的內(nèi)角，由此可得．【詳解】作如圖所示的輔助線，由于M，N為其所在棱的中點(diǎn)，所以MN//PQ，又因?yàn)锳C//PQ，所以AC//MN，所以即為異面直線與MN所成的角（或補(bǔ)角），CABAB.易得ABACBC，所以CAB60C故選：．5．CC解析：【分析】.在長方體中還原三視圖后，利用體積公式求體積【詳解】根據(jù)三視圖還原后可知，該四棱錐為鑲嵌在長方體中的四棱錐P-ABCD（補(bǔ)形法）且該長方體的長、寬、高分別為6、4、4，1V(64)432.3故該四棱錐的體積為C故選．【點(diǎn)睛】(1)①、首先看俯視圖，根據(jù)根據(jù)三視圖畫直觀圖，可以按下面步驟進(jìn)行：俯視圖畫出幾何；、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；③、畫進(jìn)行調(diào)整；②觀圖體地面的直出整體，讓后再根據(jù)三視圖(2)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解．6．AA解析：【分析】由題意畫出如圖正四棱錐，可得M點(diǎn)在GK上運(yùn)動(dòng)，N點(diǎn)在CD上運(yùn)動(dòng)，且四邊形|MN|KCDG是等腰梯形，則的取值范圍的最小值就是等腰梯形的高，最大值就是梯形KHED，在直角三角形中求KJ、KD的長可得答案.的對(duì)角線長，作【詳解】ECDFPECDF，PO平面，O是底面中心，如圖正四棱錐G、K分別是PF、PE的中點(diǎn)，由題意知，M點(diǎn)在GK上運(yùn)動(dòng)，N點(diǎn)在CD上運(yùn)動(dòng)，GK//FE//DC，且GKFE1DC2，122所以所以四邊形KCDG是梯形，在ECK與△FDG中，ECFD,EKFG,KECGFD，所以ECK△FDGKCGD，，所以|MN|所以四邊形KCDG是等腰梯形，則的取值范圍的最小值就是等腰梯形的高，1PO2ECCD2，EOED22，，最大值就是梯形的對(duì)角線長，且2KH//PO，KH平面ECDF，于H，所以作KHEDKH1PO1，且是EO的中點(diǎn)，EHEO2，1DH32，H22EDC45，作KJCD于J，連接DJ3，所以，CJHJ，CDKG12HJDH2DJ22DHDJcosEDC9，由余弦定理得2KJKH2HJ21910，KJ10，所以2DK2EH2HD211819，DK19，A.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了正四棱錐的性質(zhì)及線段的取值范圍問題，關(guān)鍵點(diǎn)是畫出正四棱錐分析出問題的.實(shí)質(zhì)，考查了學(xué)生的空間想象力7．DD解析：【分析】在圖形中找到（并證明）異面直線所成的角，然后在三角形中計(jì)算．【詳解】PCAD因?yàn)锳D//BC，所以∠PCB是異面直線與所成角（或其補(bǔ)角），又PAAD，所以PABC，因?yàn)锳BBC，ABPAAAB,PA平面，所以平面，，PABBC⊥PAB平面PAB，所以PBBC．又PB由已知PAAD2，所以PBPA2AB22PAABcosPAB2232223cos607，cosPCBBCPC221111，(7)222211余弦值為．11所以異面直線PC與AD所成角的D故選：．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：1（）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；2（）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；3（）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；0,24（）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．8．AA解析：【分析】利用線面垂直的判定定理可判斷BCD選，項(xiàng)利用假設(shè)法推出矛盾，可判斷A選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選，項(xiàng)連接BC，假設(shè)AC平面，MNP在正方體ABCDABCD中，ABBC，所以，ABC為直角三角形，且ACB為銳角，M、N分別為BB、BC的中則MN//BC，所以，MN與AC不垂直，這與AC平面MNP矛盾，AC，如下圖所示：AB平面，BC平面，BBCCBBCC因?yàn)辄c(diǎn)，即AC與平面MNP不垂直故假設(shè)不成立，；對(duì)于B選項(xiàng)，連接BD、則ACBD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，CC平面ABCD，CCBD，ABCD，BD平面ACCCC，平面BDACC，ACC，ACBD，AC平面MN//BDMPAC，，可得、分別為、AB的中點(diǎn)，則MADP同理可證ACMN，MPMNM，AC平面MNP；對(duì)于C選項(xiàng)，連接CD、AN、CN、AP的中點(diǎn)E，連接CE、、PC，取ABPE，四邊形CCDD為正方形，則CDCD，AD平面CCDD，平面CCDD，CDAD因?yàn)镃D，CDADD，CD平面ACD，C平面ACD，ACCD，A、N分別為、CD的中DDACMN，MN//CD點(diǎn)，，M點(diǎn)，AE//CN且AECN，在正方形ABCD中，E、N分別為、CD的中AN//CE且ANCE，同理可證四邊形CCEP為平行四邊形，CE//CP且CECP，ABAECN為平行四邊形，所以，所以，四邊形AN//CP且ANCP，所以，APCN為平行四邊形，易得ANCN，所以，APCN為菱形，ACPN，四邊形所以，所以，四邊形MNPNN，AC平面MNP；對(duì)于D選項(xiàng)，連接AC、BD，則ACBD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，AA平面ABCD，BD平面ABCD，AABD，ACAAA，BD平面AAC，ACBD，、N分別為CD、BC的中MN//BD，ACMN，同理可證，AC平面AAC點(diǎn)，則MACMP，MNMPM，AC平面MNP.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；三是平行線法（若兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面），解題時(shí)，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；另外，在證明線線垂直時(shí)，要注意題中隱含的垂直關(guān)系，如等腰三角形的底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對(duì)的圓周角、菱形的對(duì)角線互相垂直、直角三角形（或給出線段長度，經(jīng)計(jì)算滿足勾股定理）、直角梯形等等．9．C解析：C【分析】根據(jù)題意，得到正方體的直觀圖及其各點(diǎn)的標(biāo)記字母，取FH的中點(diǎn)O,連接ON,BO，可以證明MN‖BO,利用BO與平面ABE的關(guān)系可以判定MN與平面ABE的關(guān)系，進(jìn)而對(duì)選擇支A作出判定；根據(jù)MN與平面BCF的關(guān)系，利用面面平行的性質(zhì)可以判定MN與平面ADE關(guān)系，進(jìn)而對(duì)選擇支B作出判定；利用線面平行的判定定理可以證明MN與平面BDE的的平行關(guān)系，進(jìn)而判定C；利用M,N在平面CDEF的兩側(cè)，可以判定MN與平面CDE的關(guān)系，進(jìn)而對(duì)D作出判定.【詳解】根據(jù)題意，得到正方體的直觀圖及其各點(diǎn)的標(biāo)記字母如圖所示，取FH的中點(diǎn)O,連接ON,BO，平行且相等，四邊形ONMB為平行四邊形，MN‖BO,易知ON與BM∵BO與平面ABE（即平面ABFE)相交，故MN與平面ABE相交，故A錯(cuò)誤；∵平面ADE‖平面BCF,MN∩平面BCF=M,∴MN與平面ADE相交，故B錯(cuò)誤；∵BO?平面BDHF,即BO‖平面BDH,MN‖BO,MN?平面BDHF,∴MN‖平面BDH,故C正確；顯然M,N在平面CDEF的兩側(cè)，所以MN與平面CDEF相交，故D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查從面面平行的判定與性質(zhì)，涉及正方體的性質(zhì)，面面平行，線面平行的性質(zhì)，屬于小綜合題，關(guān)鍵是正確將正方體的表面展開圖還原，得到正方體的直觀圖及其各頂點(diǎn)的標(biāo)記字母，并利用平行四邊形的判定與性質(zhì)找到MN的平行線BO.10．B解析：B【分析】由題意可知所需要材的料體積即為正四面體外接球體積與正四面體體積之差，求出正四面.體體積、外接球體積，然后作差可得所需要材的料體積，再乘以原料密度可得結(jié)果【詳解】由題意可知，幾何體ABCD是棱長為6cm的正四面體，所需要材料的體積即為正四面體外接球體積與正四面體體積之差，2236a，3a設(shè)正四面體的棱長為，則正四面體的高為a2a326a2332a)2，解得R6a，4設(shè)正四面體外接球半徑為R，則R2(R)2(3所以3D打印的體積為：V4a33611a2aa3，662a3343223812又a6216，33所以V276182207.71125.38182.331182，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正四面體與正四面體的外接球，考查幾何體的體積公式，解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是求出正四面體外接球體積與正四面體體積，考查學(xué)生空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．11．B解析：B【分析】根據(jù)三棱錐的表面積進(jìn)一步求出正方體的棱長，最后求出正方體的外接球的半徑，進(jìn)一步求出結(jié)果．【詳解】a解：設(shè)正方體的棱長為，則BDACABADBCDC2a，111111由于三棱錐ABCD的表面積為43，1113所以S4S所以a242a43222ABC12222所以正方體的外接球的半徑為226，22346所以正方體的外接球的體積為632故選：．B【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn).均在球面上，正方體的體對(duì)角線長等于球的直徑12．CC解析：【分析】AABDABCD分離出將三棱錐、三棱錐1來單獨(dú)分析，根據(jù)線段長度以及線線關(guān)系1111AABDBCD.射影點(diǎn)分別是和的哪一種心111證明的1【詳解】AABDABDAO,BO,DO，射影點(diǎn)為，連接11A三棱錐如下圖所示：記在面上的O111111AAADABAOABD，又平面，111因?yàn)?1111AAAO2AO2,ADAO2OD2,ABAO2OB2，所以1111111111所以AOOBOD，所以為的外心；OABD1111ABCDABCDO如下圖所示：記在面上的射影點(diǎn)為，連接111三棱錐11BO,CO,DO1，111BC//ADADDAADADBCAD，因?yàn)椋宜倪呅问橇庑?，所以，所?1111111AOBCDAOBC,AOADA又因?yàn)槠矫?，所以?111111111BCAODDOAODDOBC所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以?1111111BODC,CODBOBCD，所以為的垂心，11同理可知：1111C.故選：【點(diǎn)睛】A關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是通過的射影點(diǎn)去證明線段長度的關(guān)系、線段位置的關(guān)1.系，借助線面垂直的定義和判定定理去分析解答問題二、填空題13．60°【分析】根據(jù)AB∥CD邊三角形∠VCD2△VCD各條棱長均為所以為等邊三∠VCD△VCD為等得到異面直線與所成角即為由AB∥CD正方形所以所以異面直線與即可求解【詳解】如圖示因?yàn)槭撬山羌礊橛?0°解析：【分析】根據(jù)AB∥CD,∠VCD,△VCD得到異面為等邊三角形，即可求直線VC與AB所成角即為由.解【詳解】AB∥CD,如圖示，因?yàn)锳BCD是正方形，所以∠VCD.所以異面直線VC與AB所成角即為2△VCD均為，所以為等邊又各條棱長三角形，所以∠VCD=60°，異面60°.大小為直線VC與AB所成角的60°故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：(1)(2)(3)平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；，當(dāng)所作的角為(4)0,取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角2作為兩條異面直線所成的角．14．【分析】求出截面圓的半徑設(shè)可得出從而可知球的半徑為根據(jù)勾股定理求出的值可得出球的半徑進(jìn)而可求得球的表面積【詳解】如下圖所示設(shè)可得出則球的直徑為球的半徑為設(shè)截面圓的半徑為可得由勾股定理可得即即所以球的16解析：3【分析】求出截面圓的半徑，設(shè)AHx，可得出HB3x，從而可知，球的半徑為，根O2xHx據(jù)勾股定理求出的值，可得出球O的半徑，進(jìn)而可求得球O的表面積.【詳解】如下圖所示，設(shè)AHx，可得出HB3xOAB4x，則球的直徑為，球的半徑為O2x，H，r1，r設(shè)截面圓的半徑為，可得r2，即2xAH214x由勾股定理可得OH2r2x2，即x14x2，2223，3x23162所以，球O的半徑為2x23，則球O的表面積為S4.33316故答案為：.3【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求解有關(guān)球的截面圓的問題時(shí)，一般利用球的半徑、截面圓的半徑以及球心.到截面圓的距離三者之間滿足勾股定理來求解15．①②④【分析】讓從開始逐漸向運(yùn)動(dòng)變化觀察所得的截面從而可得正確的選項(xiàng)【詳解】由題設(shè)可得為所在棱的中點(diǎn)當(dāng)時(shí)如圖（1）直線分別交與連接并延長于連接交于則與正方體的截面為五邊形故①正確當(dāng)如圖（2）此時(shí)與正①②④解析：【分析】A讓從開始逐漸向運(yùn)動(dòng)變化，PA觀察所得的截面，從而可得正確的選項(xiàng)．1【詳解】由題設(shè)可得M,N為所在棱的中點(diǎn).當(dāng)0AP2時(shí)，如圖（1），3直線MN分別交AD,DC與T,S，連接TP并延長DD于G，1五邊形，故①正確.連接GS交CC于H，則與正方體的截面為1與正方體的截面為正六邊形，其邊長為2，AP1當(dāng)，如圖（），此時(shí)213其面積為62=33，故B正確.24重合時(shí)，如圖（），當(dāng)A,P重合或A,P13③.與正方體的截面均為四邊形，故錯(cuò)誤4如圖（），在平面內(nèi)，設(shè)PMHNS，則，而平面，SPMABBAPM11ABBAS故平面，同理平面，CBBCS1111CBBCBBBB三條直線交于一點(diǎn).即、HN、ABBA故平面11平面11PMS11故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平面的性質(zhì)有3個(gè)公理及其推理，注意各個(gè)公理的作用，其中公理可用來證23明三點(diǎn)共線或三線共點(diǎn)，公理及其推理可用來證明點(diǎn)共面或線共面，作截面圖時(shí)用利用2.公理來處理16．【分析】由已知得出正二十面體的外接球即為上方正五棱錐的外接球設(shè)正五邊形的外接圓半徑為由平面幾何知識(shí)可求得外接球的半徑【詳解】由圖正二十面體的外接球即為上方正五棱錐的外接球設(shè)其半徑為正五邊形的外接圓半解析：181111【分析】由已知得出正二十面體的外接球即為上方正五棱錐的外接球，設(shè)正五邊形的外接圓半徑為r，由平面幾何知識(shí)可求得外接球的半徑．【詳解】由圖，正二十面體的外接球即為上方正五棱錐的外接球，3設(shè)其半徑為R，正五邊形的外接圓半徑為，則r3sin36，得r=5，所以正五棱5r錐的頂點(diǎn)到底面的距離是362511，1811.11所以R225R11，解得R21811故答案為：．11【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查幾何體的外接球的問題，關(guān)鍵在于確定外接球的球心和半徑．17．【分析】取中點(diǎn)連接由條件可證明平面由此將三棱錐的體積表示為計(jì)算可得結(jié)果【詳解】取中點(diǎn)連接如下圖所示：因?yàn)樗云矫嫫矫嫠云矫嬗忠驗(yàn)樗运杂忠驗(yàn)楣蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是通過找的2解析：3【分析】取AB中點(diǎn)O，連接CO,DO，由條件可證明AB平面CDO，由此將三棱錐ABCD1的體積表示為ABS，計(jì)算可得結(jié)果.3CDO【詳解】取AB中點(diǎn)O，連接CO,DO，如下圖所示：因?yàn)锳CBCADBD，所以ABCO,ABDO，CODOO，CO平面CDO，DO平面CDO，所以AB平面CDO，ACBCADBD3，ABCD2，所以又因?yàn)?210，CODO322222所以S1221021，22CDO1ABS312132，3又因?yàn)閂ABCDCDO2故答案為：.3【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是通過找AB的中點(diǎn)，證明出線面垂直，從而將三棱錐的體11積表示為ABS，區(qū)別于常規(guī)的底面積高的計(jì)算方法，本例實(shí)際可看成是兩33CDO.個(gè)三棱錐的體積之和184000．【分析】根據(jù)題意先求出正四棱柱的底面邊長和高由體積公式求出正四棱柱的體積減去文物的體積可得罩內(nèi)空氣的體積進(jìn)而求出所需的費(fèi)用【詳09m解】由題意可知文物底部是直徑為的圓形文物底部與玻璃罩底邊至4000解析：【分析】根據(jù)題意，先求出正四棱柱的底面邊長和高，由體積公式求出正四棱柱的體積減去文物的體積可得罩內(nèi)空氣的體積，進(jìn)而求出所需的費(fèi)用.【詳解】0.9m0.3m，由題意可知，文物底部是直徑為的圓形，文物底部與玻璃罩底邊至少間隔0.9+2×0.3=1.5m，所以由正方形與圓的位置關(guān)系可知：底面正方形的邊長為1.8m由文物高，文物頂部與玻璃置上底面至少間隔0.2m，所以正四棱柱的高為1.8+0.2=2m.，則正四棱柱的體積為2V=1.5×2=4.5m30.5m,4.5-0.5=4m3,文物體積為所以置內(nèi)空氣的體積為3因?yàn)?000,每立方元所以共需費(fèi)用為4×1000=4000（元）氣體米【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題是常見考查形式：分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵詞和量，理順數(shù)量關(guān)系，然后將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.求解應(yīng)用性問題時(shí)，首先要弄清題意，19．【分析】作出圖形設(shè)球體的解得的值【詳解】如下圖所示：意可得則設(shè)該球的半徑為設(shè)球心為則由勾股定理可得即解得故答半徑為根據(jù)幾何關(guān)系可得出關(guān)于的等式進(jìn)而可在正四棱錐中設(shè)為底面形的對(duì)角線的正方交點(diǎn)則底面由題297解析：14【分析】作出圖形，設(shè)球體的半徑為得出關(guān)于進(jìn)而可解R，根據(jù)幾何關(guān)系可R的等式，得R的值.【詳解】如下圖所示：PABCD中，設(shè)ABCDM為底面正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)，則PM底面在正四棱錐ABCD，由題意可得21，AB30，2AB302，則BM152，PMBDR，設(shè)球心為O，則OPM，設(shè)該球的半徑為29714由勾股定理可得OB2OM2BM2，即R2R212152，解得R.2297故答案為：.14【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓.心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可20．【分析】先根據(jù)三視圖得到幾何體是底面是直角三角形的一個(gè)三棱錐再根據(jù)錐體的體積計(jì)算公式求解即可【詳解】利用正方體法還原三視圖如圖所示根22據(jù)三視圖可知該幾何體是底面直角邊為的等腰直角三角形高為的三棱錐4解析：.3【分析】先根據(jù)三視圖得到幾何體是底面是直角三角形的一個(gè)三棱錐，再根據(jù)錐體的體積計(jì)算公式.求解即可【詳解】利用正方體法還原三視圖，如圖所示，22S-根據(jù)三視圖，可知該幾何體是底面直角邊為的等腰直角三角形，高為的三棱錐11V22243ABC.，故其體積324故答案為：.3【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖還原幾何體，錐體的體積公式，考查考生的觀察分析能力與空間想象.能力及運(yùn)算能力，屬于中檔題三、解答題3．（）證明見解析；（）32112.【分析】1AB（）根據(jù)線面垂直的判定定理，先證明平面，再由面面垂直的判定定理，即BBC1可證明結(jié)論成立；（）先由（）得到ABBC，求出BC和，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求出C21BCCDBBD11.CD，再由棱錐的體積公式，即可求出結(jié)果【詳解】1∵BC（）平面ABC，AB平面ABC，∴BCAB，11ABBB.∴又四邊形為矩形，ABBA111BBBCBBBBC∵又，平面，平面，平面，AB∴BBC1BBC1BBC111111∴.平面BBC1ABBAABBA又AB平面，平面1111ABBC∴21，AB（）由（）知平面，BBC1BC則AC2AB23222，從而BC131，△BBC在中，過點(diǎn)C作于點(diǎn)，CDBBD11ABBA由于平面11ABBA平面，平面11BBCBB平面，BBC111∴CD平面ABBA，113，2S1由2BBC1BCBC1BBCD可得CD2111CABBA的體積為CD11233.323∴四棱錐VS113ABBA11【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明空間中位置關(guān)系時(shí)，通常根據(jù)空間中線面、面面平行或垂直的判定定理及性質(zhì)，直接證明即可；有時(shí)也可建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出對(duì)應(yīng)的直線的方向向量，以及平面.的法向量等，根據(jù)空間位置的向量表示進(jìn)行判斷23．（）證明見解析；（）2212.3【分析】1（）連接，設(shè)BDBDACODOBODO，連接，證明是平行四邊形，再利用1111111111.線面平行的判定定理即可證明2DACBDDBO作OHDO于H，在矩形1（）由題意可得平面平面，過點(diǎn)1111BDDB1OO△OOD∽△OHD中，連接，可得，由1三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求11.解【詳解】1（）證明：連接，設(shè)BDBDACODO.，連接11111111OB//DOOBDO，且1111BODO.是平行四邊形11BO//DO.11DOBODAC1又平面，平面，DAC11111BO//.1平面DAC112ACBDACBBBBBDB1（），，且，1111111111ACBDDB.平面1111DACBDDBDO.平面平面，且交線為11111BDDBOOHDO于H，則OH平面，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作DAC11111.O到平面的距離DAC即OH的長就是點(diǎn)11ODODBDDBOO△OOD∽△OHD在矩形中，連接，，則，1OOOH11111OH2223.3623.O到平面的距離為DAC3即點(diǎn)11【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了線面平行的判定定理，點(diǎn)到面的距離，解題的關(guān)鍵是過點(diǎn)O作OHDO考查了計(jì)算能力.于H，得出OH的長就是點(diǎn)到平面的距離，DACO111223231．（）證明見解析；（）．【分析】1O，由中位線定理得OM//PB，從而得證線面平行（）連接BD交AC于點(diǎn)；12V，求出三棱錐PACD的體積后可得．PACD2（）由M是中點(diǎn)，得PDMVACD【詳解】1（）如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OM，則O是BD中點(diǎn)，又M是中點(diǎn)，PD∴OM//PB，又PB平面ACM，OM平面ACM，所以PB//平面ACM；122221S3PA1224，△ACD33（）由已知S2ACD，VPACD12VPACD2又M是中點(diǎn)，所以VPD，MACD3所以VVPACDVMACD2．3PACM【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查證明線面平行，求三棱錐的體積．求三棱錐的體積除掌握體積公式外，還需要注意割補(bǔ)法，不易求體積的三棱錐（或一個(gè)不規(guī)則的幾何體）的體積可通過幾個(gè)規(guī)則的幾何體（柱、錐、臺(tái)等）的體積加減求得．三棱錐的體積還可通過轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)，轉(zhuǎn)移底面利用等體積法轉(zhuǎn)化為求其他三棱錐的體積，從而得出結(jié)論．241230．（）證明見解析（）【分析】（）先由面面垂直證明平面，再由線面垂直的性質(zhì)證明ABCD；ABBCD1E，連接，先證明AC平面BDE，進(jìn)而得出2（）過點(diǎn)作AC的垂線，垂足于點(diǎn)DBEVDABC，再由等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，最后由直角三角形的邊角關(guān)系得出ABCD.線面角【詳解】ABC901（），ABBC又平面BCD平面ABC，平面BCD平面ABCBC，AB平面ABCAB平面BCDCD平面BCDABCD2（）過點(diǎn)作AC的垂線，垂足于點(diǎn)E，連接BEDABBC1236△ABC△ACD，BEAC，且DEBEAC3，BE,DE平面BDEBEDEE又AC平面BDE222231cosBED