八年級數(shù)學(xué)上冊直角三角形全等判定新版冀教版

八年級數(shù)學(xué)上冊直角三角形全等判定新版冀教版第1頁/共18頁三角形全等的判定方法有哪些?復(fù)習(xí)鞏固SSS(三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等)ASA(兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等)SAS(兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等)AAS(兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等)

牛牛文庫文檔分享第2頁/共18頁復(fù)習(xí)鞏固

有哪些邊角的組合不能判定兩個三角形全等?你能通過畫圖說明理由嗎?

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如圖(1)所示,已知兩條線段(這兩條線段長不相等),以長的線段為斜邊、短的線段為一條直角邊,畫一個直角三角形.所有的直角三角形都全等嗎?學(xué)習(xí)新知1.畫一線段AB,使它等于4cm;2.畫∠EAB=90°;3.以點(diǎn)B為圓心,以5cm長為半徑畫

弧,交射線AE于點(diǎn)C;4.連接BC.△ABC即為所求,

如圖(2)所示.

牛牛文庫文檔分享第4頁/共18頁如何證明：斜邊和直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等,簡記為HL(或斜邊、直角邊).如圖所示,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,已知∠ACB=∠A'C'B'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.

由于直角邊AC=A'C',我們移動其中的Rt△ABC,使點(diǎn)A與點(diǎn)A'、點(diǎn)C與點(diǎn)C'重合,且使點(diǎn)B與點(diǎn)B'分別位于線段A'C'的兩側(cè).因為∠ACB=∠A'C'B'=90°,所以∠B'C'B=∠ACB+∠A'C'B'=180°,因此點(diǎn)B,C',B'在同一條直線上,于是在△A'B'B中,由AB=A'B'(已知),得∠B=∠B'.由“角角邊”便可知這兩個三角形全等,于是可得

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已知一直角邊和斜邊,用尺規(guī)作直角三角形.已知:如圖所示,線段a,c.求作:△ABC,使∠C=90°,BC=a,AB=c.作法:如圖所示.(1)作線段CB=a.(2)過點(diǎn)C,作MC⊥BC.(3)以B為圓心,c為半徑畫弧,交CM于點(diǎn)A.(4)連接AB.則△ABC即為所求.分析:首先作出邊BC,由∠C為直角可以作出另一直角邊所在的射線,由AB=c可以確定點(diǎn)A.結(jié)論:斜邊和直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等

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已知:如圖(1)所示,點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別為C,D,且PC=PD.求證:點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.證明:如圖(2)所示,作射線OP.∵PC⊥OA,PD⊥OB.∴∠PCO=∠PDO=90°,在Rt△OPC和Rt△OPD中,

∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL).∴∠POA=∠POB.∴OP是∠AOB的平分線,即點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.PC=PDOP=OP

牛牛文庫文檔分享第7頁/共18頁思考:這個命題與角平分線的性質(zhì)定理有什么

區(qū)別?通過這道題,你能得到怎樣的結(jié)論?歸納:角平分線性質(zhì)定理的逆定理:到角兩

邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上.

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例：(補(bǔ)充例題)如圖所示,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分別為C,D,AC=BD.求證BC=AD.〔解析〕欲證BC=AD,首先應(yīng)尋找和這兩條線段有關(guān)的三角形,這里有△ABD和△BAC,△ADO和△BCO(O為DB,AC的交點(diǎn)),經(jīng)過分析,△ABD和△BAC具備全等的條件.證明:∵AC⊥BC,BD⊥AD.∴∠C與∠D都是直角.在Rt△ABC和Rt△BAD中,∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC=AD.AB=BAAC=BD

牛牛文庫文檔分享第9頁/共18頁想一想:你能用幾種方法判定兩個直角三角形全等?直角三角形是特殊的三角形,所以不僅有一般三角形全等的判定方法:SAS,ASA,AAS,SSS,還有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL”.

牛牛文庫文檔分享第10頁/共18頁練一練:1.如圖所示,兩根長度為12米的繩子,一端系在旗桿上,另一端分別固定在地面兩個木樁上,兩個木樁離旗桿底部的距離相等嗎?請說明你的理由.

牛牛文庫文檔分享第11頁/共18頁2.如圖所示,有兩個長度相同的滑梯,左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方面的長度DF相等,兩個滑梯的傾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么關(guān)系?下面是三名同學(xué)解決第2題的思考過程,你能明白他們的意思嗎?(2)有一條直角邊和斜邊對應(yīng)相等,所以Rt△ABC與Rt△DEF全等.所以∠ABC=∠DEF,所以∠ABC+∠DFE=90°.(3)在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF,所以AB=DE,因此這兩個直角三角形是全等的,所以∠ABC=∠DEF,所以∠ABC+∠DFE=90°.CB=EFAC=DF∠CAB=∠FDE=90°Rt△ABC≌Rt△DEF→∠ABC=∠DEF

→∠ABC+∠DFE=90°

牛牛文庫文檔分享第12頁/共18頁課堂小結(jié)斜邊和直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).

直角三角形首先是三角形,所以一般三角形全等的判定方法都適合它.同時,直角三角形又是特殊的三角形,有它的特殊性,“HL”定理是直角三角形全等獨(dú)有的判定方法,所以直角三角形的判定方法最多,使用時應(yīng)該抓住“直角”這個隱含的已知條件.

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檢測反饋1.能判定兩個直角三角形全等的條件是

(

)A.一個銳角對應(yīng)相等

B.兩個銳角對應(yīng)相等C.一條邊對應(yīng)相等

D.兩條邊對應(yīng)相等D解析:A.一個銳角對應(yīng)相等,利用已知的直角相等,可得出另一組銳角相等,但不能證明兩個直角三角形全等,故A選項錯誤;B.兩個銳角相等,那么也就是三個角對應(yīng)相等,但不能證明兩個直角三角形全等,故B選項錯誤;C.一條邊對應(yīng)相等,再加一組直角相等,不能得出兩個直角三角形全等,故C選項錯誤;D.兩條邊對應(yīng)相等,若是兩條直角邊相等,可利用SAS證全等,若一直角邊對應(yīng)相等,一斜邊對應(yīng)相等,利用HL也可證全等,故D選項正確.故選D.

牛牛文庫文檔分享第14頁/共18頁2.如圖所示,矩形ABCD中,E為CD的中點(diǎn),連接AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F,連接BD,DF,則圖中全等的直角三角形共有

(

)A.3對

B.4對

C.5對

D.6對B解析:由E是CD中點(diǎn),可知DE=EC,由四邊形ABCD是矩形,可得AD=BC,AB=CD,∠DCB=∠DCF=90°,AD∥BF,∴∠DAE=∠EFC,圖中全等的直角三角形有:△AED≌△FEC,△BDC≌△FDC≌△DBA,共4對.故選B.

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3.如圖所示,用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的條件是

(

)A.AC=DF,BC=EF

B.∠A=∠D,AB=DEC.AC=DF,AB=DE

D.∠B=∠E,BC=EFC解析:∵在兩個直角三角形中,AB,DE是斜邊,∴只有C中,AC=DF,AB=DE符合題意.

牛牛文庫文檔分享第16頁/共18頁4.如圖所示,△ABC中,∠ABC=45°,AD⊥BC于D,點(diǎn)E在AD上,且BE=AC,求證DE=CD.證明:∵∠ABC=45°,AD⊥BC,