生命曲線預(yù)測方法

關(guān)于生命曲線預(yù)測方法第一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二生物的生長過程經(jīng)歷發(fā)生、發(fā)展到成熟三個階段，在這三個階段中生物生長速度是不一樣的，例如,南瓜的增長速度，在第一階段增長較慢，在成長時期則突然加快，而到了成熟期又趨減慢，形成一條S形曲線，這就是有名的生長曲線（增長曲線）。生命曲線也可以是描述經(jīng)濟指標隨時間變化呈某種生物變化規(guī)律的一種曲線。第七章生命曲線預(yù)測方法第二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二在市場預(yù)測中，經(jīng)常會碰到預(yù)測對象在其發(fā)展過程中呈現(xiàn)出與生物類似的發(fā)展過程。即在成長期快速增長、成熟（飽和期增長放慢）、衰退等各種不同形態(tài)。例如新技術(shù)、新產(chǎn)品的開發(fā)和更新?lián)Q代過程，需求增長規(guī)律等均可用生命曲線來描述。這種方法是根據(jù)時間序列變化的歷史數(shù)據(jù)，運用三和法、三點法。第三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二一、例子1、人類成長的生命曲線年齡36912151821242730身高4876112140168172176178180181例1人類身高的成長曲線的生長規(guī)律如表7-1所示單位：cm年齡身高

圖7-1人身高成長曲線第一節(jié)生命曲線的概念與一般模型第四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二例2如表7-2是南瓜重量隨時間變化的生長曲線。天2468101214161820222426克1202004001000260033003800430049005100530054005450圖7-2南瓜重量生長曲線天重量2、生物生長的生命曲線第五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二例3

典型產(chǎn)品生命周期曲線導(dǎo)入期成長期成熟期衰推期t銷量第六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二二階差分

三階差分

一階差分環(huán)比指數(shù)注意：增長曲線模型在理論上的變化規(guī)律都遵循著一階差分、二階差分、三階差分、一階差分環(huán)比指數(shù)為一常數(shù)的特征。一階差分補充知識：n階差分第七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二二、成長曲線預(yù)測模型的基本類型（一）多項式增長曲線模型P225（二）簡單指數(shù)型增長曲線模型簡單指數(shù)型增長曲線模型為：其中：a,b—參數(shù)，

t—時間序列,yt—經(jīng)濟目標值如圖所示（1）a>0b＞1a>00＜b＜1圖7-5簡單指數(shù)型增長曲線圖(0，a)t第八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二將（1）取對數(shù)，有：（2）（3）由（3）可知：①其曲線方程為一條直線。②為一階差分為一常數(shù)。即：

結(jié)論:當時間序列yt的環(huán)比指數(shù)大體相等，或時間序列yt的對數(shù)一階差分近似為一常數(shù)，可用簡單指數(shù)曲線來擬合實際曲線。第九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二結(jié)論∴當時間序列yt

的環(huán)比指數(shù)大體相等或大體相等時，可用修正指數(shù)曲線來擬合實際曲線。1、其模型為：（5）（三）修正指數(shù)型增長曲線模型第十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二k＞0，a＜0，0＜b＜1y0=K+a圖7-6修正曲線的幾種類型tttt圖(d)飽和后期圖（a）飽和期圖(b)成長期圖（c）衰退期k＞0，a＞1，b＞1k＞0，a＜0，b＞1k＞0，a＞0，0＜b＜1修正曲線模型的幾種類型圖第十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二其模型為：

（1）（3）（2）結(jié)論：龔柏茲曲線類似于修正曲線。（四）龔柏茲曲線模型第十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二

0＜a＜1，0＜b＜1y0=Ktttt圖(d)衰退期圖（a）成長期和成熟前期圖(b)成長期后半期和衰退期圖（c）成長期0＜a＜1，b＞1a＞1，b＞1a＞1，0＜b＜1y0=K龔柏茲曲線的幾種類型圖第十三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二式中：k,a,b為待定參數(shù).由（9）可得一階、二階導(dǎo)數(shù)為(9)(10)k＞0，a＞10＜b＜1t圖7-12y0=1/(k+a)（五）羅吉斯曲線其曲線模型yt=0y∞=1/k第十四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二羅吉斯曲線拐點左側(cè)呈上凹趨勢，過了該拐點后曲線轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛳掳稼厔荨＃?）當t=0時,有：yt=1/k+a，則yt

=0和yt=1/k都是羅吉斯曲線的漸進線。（2）當t→∞時，yt

→1/k

當t→-∞時，yt→0羅吉斯曲線形狀與龔柏茲曲線形狀很相似，它所描述的經(jīng)濟變量的變化規(guī)律也是開始緩慢增長，而后逐漸加快，達到拐點后，增長率減緩，最后達到一臨界值。第十五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二（六）生命曲線模型識別（略P230）是利用收集到的產(chǎn)品銷售量的數(shù)據(jù)，組成一組時間序列，擬和某種成長曲線，對產(chǎn)品市場生命周期進行分析預(yù)測的方法。生命曲線預(yù)測法比一般直線趨勢有著更廣泛的應(yīng)用，因為它可以反映出現(xiàn)象的相對發(fā)展變化程度。第十六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二常用的生命曲線是指修正曲線、龔柏茲曲線、羅吉斯曲線。利用這三種曲線可描述產(chǎn)品市場生命周期的不同階段，從而揭示產(chǎn)品生命周期銷售何時由某一階段向另一階段的轉(zhuǎn)變，預(yù)測產(chǎn)品的市場需求潛量、最大銷售量以及達到飽和狀態(tài)的時間等。增長曲線預(yù)測方法有三和法、三點法、最小二乘法等。當極限值k可確定，可采用最小二乘法可簡化計算；不能確定時就用三和法或三點法。但三點法用在時間序列數(shù)據(jù)收集不全的情況下。下面就重點介紹三和法。第十七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二1、將時間序列分為項數(shù)相等的三段，每段的項數(shù)為r(r=n/3，n為時間序列總項數(shù))，若原序列項數(shù)不能被3整除，需刪除序列最初一期或兩期數(shù)據(jù)；2、時間序列t取值第一段，0，1，…，r-1；第二段，

r，r+1，…，2r-1;

第三段，

2r，2r+1，…，3r-1;3、分別求出序列每段數(shù)據(jù)的和，第一，第二，第三段數(shù)據(jù)的和分別用∑1Yt、∑2Yt

、∑3Yt

表示，增長曲線中的參數(shù)估計，以修正曲線為例，具體步驟如下：第十八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二4、利用公式求出解此方程組得：或第十九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二用三和預(yù)測法確定成長曲線舉例1某地區(qū)電冰箱銷售資料如表所示，試預(yù)測2005年的銷售量和達到飽和狀態(tài)的時間。某地區(qū)電冰箱銷售資料單位：萬臺年份199619971998199920002001200220032004銷售量256390498586656714762800830第二十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二解：（1）畫散點圖∵環(huán)比系數(shù)為0.81，0.81,0.80,0.83,0.79,0.79,大體相同，∴用修正曲線進行預(yù)測。N=9,r=3,t=0,1,2,…,8,計算得∑1Yt=1142,∑2Yt=1956,∑3Yt=2392123456789900600300第二十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二第二節(jié)生命曲線模型的識別在前面，我們介紹了幾種常用的生命曲線模型，但在實際的應(yīng)用中，怎樣根據(jù)時間序列變化，建立生命曲線模型？選擇哪一種模型最合適？這就涉及到生命增長曲線模型的識別問題。下面，介紹幾種識別的方法。第二十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二一、模型識別在識別模型之前，我們應(yīng)根據(jù)圖形的幾種特性，掌握要識別模型的大概全貌，然后，才能識別模型。因此要注意以下幾個方面：（一）圖形的單調(diào)性利用y'判斷。（某區(qū)間內(nèi)）（二）極值利用y'和y"判斷。（三）拐點

利用y'和y"判斷。（四）對稱性

利用拐點左右兩端及與對稱中心的極限之差進行比較確定。（五）時間性第二十三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二二、預(yù)測模型的識別方法（一）目估法這種方法首先將圖畫出來，根據(jù)此圖形，選擇合適的模型。若構(gòu)成指數(shù)形，可選擇簡單指數(shù)形或修正指數(shù)模型；若接近S形，可選擇龔柏茲模型。特點：1、直觀簡便2、若數(shù)據(jù)不足，（不能畫出完整的圖形）對選擇模型造成困難。第二十四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二（二）離差法(i=1,2,…,n)第二十五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二（三）增長特征法這種方法就是以研究動態(tài)序列的增長變化特征與增長曲線的相應(yīng)特征為基礎(chǔ)的一種識別方法。其基本點就是選擇增長曲線在理論上的變化規(guī)律與樣本序列的實際的變化規(guī)律最接近的一種曲線作為選擇的最優(yōu)曲線。具體方法如下：1、計算時間序列的滑動平均值。其目的是要消除時間序列中的隨機因素，計算公式為（9）第二十六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二2、計算時間序列的平均增長量。其公式為：（10）第二十七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二（10）是平均增長計算公式，主要是因為對動態(tài)時間序列選配趨勢直線時，是以時間原點作為中心進行計算的。直線方程是：y=a+btb是平均增長，其計算公式為：第二十八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二3、計算時間序列的增長特征時間序列經(jīng)過移動平均修勻后，的變化特征，可通過計算平均增長數(shù)及和來判斷識別曲線的模型。如表7-7第二十九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二

的平均增長特征平均增長特征對時間變化的性質(zhì)曲線模型①基本一樣直線方程②線性變化二次曲線方程③線性變化三次曲線方程④基本一樣指數(shù)曲線方程⑤線性變化雙指數(shù)曲線方程⑥線性變化龔柏茲曲線方程⑦線性變化羅吉斯曲線方程表7-7增長特征法判別曲線模型第三十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二應(yīng)用1某企業(yè)1993～2004年銷售額如表7-8所示資料，試建立銷售額的曲線模型。表7-81993～2004年銷售額資料表年份199319941995199619971998199920002001200220032004銷售額164193255279512606766838941105510881044第三十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二思考：1、畫出散點圖，初步識別屬于哪一類？

2、為識別增長曲線屬于哪一種類型，可采用增長特征法進行識別。在這里我們用以3年為一個跨越期，求出，然后再求出。

3、分別計算出、、、與時間t的相關(guān)系數(shù)r,計算公式如下：具體計算結(jié)果如表5-9所示第三十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二年份t19931164-----19942199204----19953255242.372.350.29910857-2.90919964279348.7111.70.3202.048-3.03719975512465.7139.70.3002.145-3.19119986606628.0135.50.2162.132-3.46419997766736.7110.20.1502.042-3.69120008838848.3104.00.1232.017-3.83920019941944.789.90.1151.954-3.91520021010551028.058.80.0571.769-4.25620031110887062.3----2004121044-----表7-91993年～2004年銷售額增長特征計算表第三十三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二由表7-9可知，的值基本保持不變。根據(jù)表7-7應(yīng)選取雙曲指數(shù)曲線模型。第三十四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二在前面，介紹了對實際問題的模型識別，進行完了這一步工作后，還要確定預(yù)測方程里的參數(shù)（待定系數(shù)）后，才完成了建立預(yù)測模型。確定參數(shù)，以預(yù)測模型與實際模型之間的偏差為最小原則。通常是最小二乘法。由于非線性問題用最小二乘法，使得計算非常復(fù)雜，于是用三和法、三點法和優(yōu)選法，下面分別介紹如下：

第三節(jié)生命曲線模型的參數(shù)估計第三十五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二一、最小二乘法(略)二、三和法這種方法是將整個增長的時間序列分為三個相等的時間周期，并對每一個時間周期的數(shù)據(jù)求和后，再估計參數(shù)。它適用于“S”形的模型?，F(xiàn)以修正指數(shù)方程應(yīng)用“三和法”確定參數(shù)為例：第三十六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二由修正指數(shù)方程，將時間序列分為三段，假定有3n段，每段為n。

則第一段各期的觀察值求和為：(1)第一段為：第二段為：第三段為：第三十七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二(2)(3)將（2）-（1）和（3）-（2）得：（4）（5）（5）/（4）有：（6）第三十八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二（7）（8）（9）（10）第三十九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二分析誤差的大小對參數(shù)的影響假設(shè)k=120，a=-60，b=0.5各期的時間序列數(shù)據(jù)按yt=120-60*0.5t的規(guī)律形成，當t=0，1，2，……，11的各時期yt，用三和法時，誤差的大小對a，b，k的影響。見表7-10表7-10隨機誤差εt

對模型參數(shù)的影響計算表第四十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二t060+2.462.4190+4.894.82105-6.099.03112.5+6.0118.5367.5374.74116.25-1.2115.055118.12+3.6121.726119.06-2.4116.667119.58+2.5122.03472.96475.468119.77+2.4122.179119.88+1.2121.0810119.94-4.8115.1411119.970119.97497.56478.36第四十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二當用第二列的數(shù)據(jù)去估算，其參數(shù)為a=-60,b=0.5,k=120。但用第4列的數(shù)據(jù)去估算時，b=0.3528,a=-67.5K=114,其模型為：由此可見，用三和法，隨機因素的大小對參數(shù)影響很大。因此，用這種方法時，最好先用指數(shù)平滑法對時間序列濾去隨機因素，再用此法。在式中，當：

第四十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二三和法特點：1、對隨機因素的干擾很敏感；2、時間序列變化范圍小；3、收集的數(shù)據(jù)要完整。第四十三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二三、三點法這種方法是用在觀察數(shù)據(jù)不全的情況下，假定曲線通過已知的相鄰間隔相等的三個點(必要條件)，現(xiàn)假設(shè)：第四十四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二(1)(3)(5)(6)（2）（4）第四十五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二(5)÷(6)有：(7)(8)將（7）代入（5）有：（9）將（9）代入（2）得：（10）將a，b，k代入（1），即可得預(yù)測模型。第四十六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二三點法特點：1、在計算模型參數(shù)時，僅用了三個數(shù)據(jù)點，因而選用數(shù)據(jù)時，要盡量未受到隨機因素干擾的數(shù)據(jù)，因此，在可能情況下，最好選均值。2、計算簡單。第四十七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二應(yīng)用2現(xiàn)用三點法估算修正指數(shù)型增長曲線模型的各參數(shù)k、a和b。設(shè)曲線通過三點y0=15，y1=90，y2=125,且相鄰兩點之間的間距為6個時間單位（2P+1=6），則第四十八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二a<0,0<b<1第四十九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二以上介紹“三和法”和“三點法”雖然在計算上簡單，但精度較低?！白钚《朔ā本容^高，但遇到非線性問題計算非常煩瑣。為了簡化計算，下面介紹在優(yōu)選法的基礎(chǔ)上利用“最小二乘法”簡稱“優(yōu)選法”。具體方法如下:由龔柏茲曲線

（1）已知時間序列的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)為：若能通過某種方式首先估出參數(shù)k，(1)就可線性化了。四、優(yōu)選法第五十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二即：有：令：（2）（3）第五十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二由（3）可將（2）轉(zhuǎn)化為：（4）其中：A，B為待定參數(shù)。由最小二乘法可得:(5)(6)現(xiàn)來確定k，k的優(yōu)選標準是使：則估計k的方法如下：1、根據(jù)預(yù)測對象的發(fā)展規(guī)律，試估計k的取值范圍。例如，取2、按0.618法選取k的第一個估計值，計算k：并將代入（3），與歷史數(shù)據(jù)算出的時間序列值組成新的時間序列數(shù)據(jù)，然后用最小二乘法估計參數(shù)A、B，再求出a1,b1.第五十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二3、計算殘差Qi4、按0.618法的步驟，繼續(xù)對k作第二次選擇試算（7）（8）返回第二步，試估計出a、b并類似第三步求出殘差平方和Q2：（9）5、對比Q1和Q2，按0.618法的基本原理，若Q2＜Q1，則k的試算區(qū)間為,若Q1

＜Q2略去（a）(b)若Q1

＜Q2略去第五十三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二6、按0.618法，的優(yōu)選步驟，在留下的區(qū)間內(nèi)繼續(xù)優(yōu)選k值，直到選出一個使殘差平方和最小的為止。

第五十四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二第四節(jié)生命預(yù)測法應(yīng)用舉例一、龔伯茲曲線預(yù)測應(yīng)用例7-7已知某地區(qū)某商品1995～2003年銷售額如表7-11所示，試預(yù)測2004和2005年的銷售額各為多少萬元？表7-111995~2004年銷售額年份199519961997199819992000200120022003銷售額258503280044480560006496072080802808584089900第五十五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二圖7-16銷售額變化趨勢圖t銷售額2、識別模型3、確定參數(shù)，建立模型（三和法、三點法、優(yōu)選法）4、進行預(yù)測。1、根據(jù)銷售額畫出散點圖分析：根據(jù)散點圖，曲線的變化趨勢是一個S型的，為了確定合適的預(yù)測模型，需要計算時間序列數(shù)據(jù)的對數(shù)一階差分及其環(huán)比指數(shù)，計算結(jié)果。第五十六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期二解:（1）模型識別計算表7-12年份年t銷