名師教案 高中數(shù)學(xué)人教B版 必修 第二冊 對數(shù)運算

第四章指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.2對數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.2.1對數(shù)運算本節(jié)課要學(xué)的內(nèi)容是對數(shù)運算及常用的對數(shù)與自然對數(shù)，其核心是弄清楚對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質(zhì)，理解它的關(guān)鍵就是通過實例使學(xué)生認識對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系，分析得出對數(shù)的概念及對數(shù)式與指數(shù)式的互化，通過實例推導(dǎo)對數(shù)的運算性質(zhì)。由于它還與后續(xù)很多內(nèi)容，比如對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)，這也是高考必考內(nèi)容之一，所以在本學(xué)科有著很重要的地位。教學(xué)的重點是對數(shù)的概念，對數(shù)的運算。解決重點的關(guān)鍵是抓住對數(shù)的概念、并讓學(xué)生掌握對數(shù)式與指數(shù)式的互化：通過實例推導(dǎo)對數(shù)的運算性質(zhì)，讓學(xué)生準確地運用對數(shù)運算性質(zhì)進行運算.考點教學(xué)目標核心素養(yǎng)對數(shù)的概念了解對數(shù)、常用對數(shù)、自然對數(shù)的概念，會用對數(shù)的定義進行對數(shù)式與指數(shù)式的互化數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算對數(shù)的基本性質(zhì)理解和掌握對數(shù)的性質(zhì)，會求簡單的對數(shù)值數(shù)學(xué)運算【教學(xué)重點】理解對數(shù)的概念，對數(shù)式與指數(shù)式的互化以及對數(shù)性質(zhì).理解和掌握常用對數(shù)與自然對數(shù).【教學(xué)難點】1、推導(dǎo)對數(shù)性質(zhì).預(yù)習(xí)教材P15－P18的內(nèi)容，思考以下問題：1．對數(shù)的概念是什么？對數(shù)有哪些性質(zhì)？2．什么是常用對數(shù)、自然對數(shù)？3．對數(shù)恒等式是什么？4．如何進行對數(shù)式和指數(shù)式的互化？【情境與問題】（1）地震的（1）地震的里氏震級是根據(jù)最大振幅計算出來的。2008年5月12日，我國四川紋用發(fā)生了地震，速報震級為里氏7.8級，修訂后的震級為里氏8.0級。震級相差0.2，最大振幅之間具有什么關(guān)系？（2）化學(xué)學(xué)科中，我們用pH表示溶液的酸堿性，pH是由c（H+）（即溶液中H+的來度）決定的.pH=7和pH=8的兩種溶液，它們的c（H+）有什么關(guān)系？上述情境中兩個問題的答案，都與對數(shù)知識有關(guān).對數(shù)的概念在關(guān)系式ab=N中，以a或N為未知數(shù)的方程，我們都已經(jīng)接觸過，例如x5=32，23=x等，本節(jié)要研究b為未知數(shù)的情形，即求解類似2x=64的方程.【嘗試與發(fā)現(xiàn)】說出2說出2x=64的一個實數(shù)根判斷方程2x=64的實數(shù)根的個數(shù)，并說明理由。因為26=64，所以x=6一定是2x=64的實數(shù)根，再由y=2x是一個增函數(shù)可知2x=64有唯一的實數(shù)解x=6.我們已經(jīng)知道，當(dāng)a>0且a≠1時，指數(shù)函數(shù)y=ax是定義域為R，值域為（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)，這就意味著，如下圖所示，任意給定y0∈（0，+oo），存在唯一的x0∈R，使得y0=ax0因此，在表達式ab=N（a>0且a≠1，N∈（0，+oo））中，當(dāng)a與N確定之后，只有唯一的b能滿足這個式子，此時，冪指數(shù)b稱為以以a為底N的對數(shù)，記作b=logaN，其中a稱為對數(shù)的底數(shù)，N稱為對數(shù)的真數(shù)。例如，由前面的嘗試與發(fā)現(xiàn)可知，因為26=64，所以log264=6.由上可以看出，當(dāng)a>0且a≠1時，b=logaN的充要條件是ab=N.由此可知，只有N＞0時，logaN才有意義，這通常簡稱為“負數(shù)和零沒有對數(shù)”.我們可以舉出更多對數(shù)的例子：因為42=16，所以2是以4為底16的對數(shù)，即log416=2，即42=16?log416=2，另外，41=4?log44=1，?log42=4-1=?log4=-1?log4=-【典型例題】例1已知a>0且a≠1，求loga1與logaa的值.解：因為a0=1，a1=a，所以loga1=0，logaa=1.例1的結(jié)論可以簡述為“1的對數(shù)為0”“底的對數(shù)為1”.由上可知，指數(shù)表達式ab=N與對數(shù)表達式b=logaN實際上表示的是同一數(shù)量關(guān)系，如果把對數(shù)表達式中的b代入指數(shù)表達式，則可得alogaN=N；類似地，如果把指數(shù)表達式中的N代人對數(shù)表達式，則有l(wèi)ogaab=b例如，2log232=32，log10103=3.例2求下列各式的值：（1）log216；（2）log2（3）52log53解：（1）因為24=16，所以l0g216=4.（2）因為2-1=，所以log2=-1（3）因為5log53=3，所以52log53=(5log53)2=32=9對數(shù)發(fā)明起源的簡介對數(shù)發(fā)明起源的簡介幾乎所有的現(xiàn)代數(shù)學(xué)書（包括我們這本）中，對數(shù)運算是通過解指數(shù)方程來引入的、但是，你知道嗎？對數(shù)發(fā)明的起源并不完全是這樣的！這是不是多多少少讓你覺得有些意外？事實上，對數(shù)是簡化繁雜運算的產(chǎn)物。16世紀時，科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展對計算技術(shù)的改進提出了前所未有的需求，為了簡化數(shù)值計算，自然希望將乘除法歸結(jié)為簡單的加減法.當(dāng)時已經(jīng)有數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)這在某些請況下是可以實現(xiàn)的。比如，利用以下2的冪次的對應(yīng)表可以方便地算出16×256的值。456789101112163264128256512102420484096首先，在第二行找到16與256；然后找出它們在第一行中對應(yīng)的效，即4與8，并求它們的和，即12；最后在第一行中找到12.讀出其對應(yīng)的第二行中的數(shù)4096，這就是16×256的值。用類似的方法可以算出的值.當(dāng)然，用這個表格解決不了一般的兩個數(shù)相乘與相除的問題。但是，不難想到，如果上述表格中第二行的數(shù)足夠密，就能用類似的方法算出更多的乘積。蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在17世紀的時候發(fā)明了對數(shù)方法。后來的人們利用對數(shù)表就大大簡化了有關(guān)乘除運算，簡化的過程類似于計算上述16×256的過程，只不過查表的過程更加復(fù)雜。二、常用對數(shù)與自然對數(shù)以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)，即log10N是常用對數(shù).為了簡便起見，常用對數(shù)的表示中，通常把底10略去不寫，并把“l(fā)og”寫成“l(fā)g”，即把log10N簡寫為lgN.后續(xù)如果沒有指出對數(shù)的底，則默認為指的都是常用對數(shù).例如，“100的對數(shù)是2”，就是指“100的常用對數(shù)是2”.在科學(xué)技術(shù)中，常常還使用以無理數(shù)e=2.71828...為底的對數(shù)，以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，自然對數(shù)logeN通常簡寫為lnN.【典型例題】例3求下列各式的值：（1）lg10；（2）lg100；（3）1g0.01；（4）lne5.解：（1）因為101=10，所以lg10=1.（2）因為102=100，所以lg100=2（3）因為10-2=0.01，所以1g0.01=-2（4）因為logaab=b，所以lne5=5例4已知log4a=log25b=，求lg(ab)的值.解：由log4a=log25b=可得，所以所以lg(ab)=2.三、用信息技術(shù)計算常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)與自然對數(shù)的值，可以通過科學(xué)計算器和計算機軟件求得.下圖（1）是某特定型號計算器上的常用對數(shù)按鈕和自然對數(shù)按鈕，圖（2）顯示的是用GeoGebra計算lg2017和ln2017的結(jié)果.下面我們來給出本節(jié)情境與問題中里氏震級問題的答案.里氏震級的計算公式為M=lgA/A0，其中A是被測地震的最大振幅，A0是“標準地震”的振幅.用A7.8和A8.0分別表示震級為7.8和8.0的最大振幅，則有7.8=lgA7.8/A08.0=lgA8.0/A0從而A7.8/A0=107.8，A8.0/A0=108.0，因此A8.0/A7.8=108.0/107.8=100.2≈1.58，即A8.0≈1.58A7.8情境中與pH有關(guān)的問題可用類似的方法解決，留作