優(yōu)選教案：高中數(shù)學人教B版 必修 第一冊 均值不等式及其應用

2.2不等式《2.2.4均值不等式及其應用》教學設(shè)計第1課時教學目標1．學會推導并掌握均值不等式定理．2．能夠簡單應用定理求最值．教學重難點教學重點：1．均值不等式定理的證明和應用．2．會用均值不等式解決簡單的最大（?。﹩栴}．教學難點：注意運用定理求最大（?。┲档臈l件課前準備PPT課件．教學過程一、整體概述問題1：閱讀課本第71~75頁，回答下列問題：（1）本節(jié)將要研究哪類問題？（2）本節(jié)研究的起點是什么？目標是什么？師生活動：學生帶著問題閱讀課本，并在本節(jié)課中回答相應問題．預設(shè)的答案：（1）本節(jié)將要研究均值不等式及其應用．（2）起點是不等式的性質(zhì)以及比較法，目標是知道均值不等式，會證明均值不等式定理，會用均值不等式解決簡單的最大（?。﹩栴}．進一步提升數(shù)學運算、邏輯推理等素養(yǎng)．設(shè)計意圖：通過閱讀讀本，讓學生明晰本階段的學習目標，初步搭建學習內(nèi)容的框架．二、探索新知1．情境與問題問題1：給定兩個正數(shù)a，b，數(shù)稱為a，b的算術(shù)平均值；數(shù)稱為a，b的幾何平均值．兩個數(shù)的算術(shù)平均值，實質(zhì)上是這兩個數(shù)在數(shù)軸上對應的點的中點坐標，那么幾何平均值有什么幾何意義呢？兩個數(shù)的算術(shù)平均值和幾何平均值之間有什么相對大小關(guān)系呢？【嘗試與發(fā)現(xiàn)】（1）假設(shè)一個矩形的長和寬分別為a和b，求與這個矩形周長相等的正方形的邊長，以及與這個矩形面積相等的正方形的邊長，并比較這兩個邊長的大??；（2）如下表所示，再任意取幾組正數(shù)，算出它們的算術(shù)平均值和幾何平均值，猜測一般情況下兩個數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值的相對大小，并根據(jù)（1）說出結(jié)論的幾何意義．a(chǎn)12b14131師生活動：學生完成上述問題，從具體實例中可以看出，兩個正數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它們的幾何平均值．教師總結(jié)．2．探究新知知識點1均值不等式均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么．當且僅當a=b時，等號成立．師生活動：學生證明，教師指點！證明因為a，b都是正數(shù)，所以，即．而且，等號成立時，當且僅當，即a=b．教師點評：值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正實數(shù)，因此我們可以代入任意滿足條件的數(shù)或式子，比如一定是正確的．設(shè)計意圖：均值不等式的證明不是太難，放手讓學生自己證明，這樣既能較好地復習不等式的性質(zhì)和證明方法，又能幫助學生準確地理解定理中等號成立的條件．其證明方法還可能是綜合法、分析法和反證法等．綜合法證明如下：因為，所以，所以．即．又因為a>0，b>0，所以，即．顯然，當且僅當，即時，等號成立．知識點2均值不等式的幾何意義問題2：均值不等式也稱為基本不等式（基本不等式中的a，b還可以為零），其實質(zhì)是：兩個正實數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值．那么，均值不等式有什么幾何意義呢？師生活動：與學生一起探討：將均值不等式兩邊平方可得．如果矩形的長和寬分別為a和b，那么矩形的面積為ab，可以看成與矩形周長相等的正方形的面積，因此均值不等式的一個幾何意義為：所有周長一定的矩形中，正方形的面積最大．【想一想】你能推廣這個結(jié)論嗎？比如所有周長相等的三角形中，什么樣的三角形面積最大？平面上，周長相等的所有封閉圖形中，什么樣的圖形面積最大？預設(shè)的答案：正三角形，圓設(shè)計意圖：通過類比可以發(fā)現(xiàn)新的問題，得到新的結(jié)論．類比思想是我們學習過程中常用的合情推理！問題3：如圖所示半圓中，AB為直徑，O為圓心．已知AC=a，BC=b，D為半圓上一點，且DC⊥AB，算出OD和CD，是否可以給出均值不等式的另一個幾何意義？師生活動：與學生一起探討：在RtΔABD中，由于DC⊥AB，利用射影定理可得，又，由圖可知，所以，變形為．結(jié)論：均值不等式的幾何意義是：一個圓的直徑大于等于垂直該直徑的弦．三、初步應用例1（1）已知x>0，求的最小值，并說明x為何值時y取得最小值．（2）已知x∈（－1，3），求y=（1+x）（3－x）的最大值，以及y取得最大值時x的值．（3）求函數(shù)y＝x（1－x），的最大值．師生活動：與學生一起探討如何利用均值不等式求最值，教師書寫規(guī)范解答．預設(shè)的答案：解：（1）因為x>0，所以根據(jù)均值不等式有其中等號成立當且僅當，即x2=1，解得x=1或x=－1（舍）．因此x=1時，y取得最小值2．（2）當x∈（－1，3）時，一1<x<3，因此1+x>0，3一x>0．由均值不等式可得．從而（1+x）（3－x）≤4，即y≤4．當且僅當1+x=3－x，即x=1時，等號成立．從而x=1時，y取得最大值4．（3）錯解：由，易知1－x>0，從而．所以y的最大值為．正解：，當時，．設(shè)計意圖：通過該例說明可利用均值不等式求一類函數(shù)最值．方法總結(jié)：（1）在利用均值不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”：一正，a，b均為正數(shù)；二定，不等式一邊為定值；三相等，不等式中的等號能取到，即a=b有解．（2）兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值；兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有最大值．（3）利用均值不等式求最值時，等號必須取得到才能求出最值，若題設(shè)條件中的限制條件使等號不能成立，則要轉(zhuǎn)換到另一種形式解答．例2（1）已知矩形的面積為100，則這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？（2）已知矩形的周長為36，則這個矩形的長、寬各為多少時，它的面積最大？最大面積是多少？師生活動：師生一起分析：在（1）中，矩形的長與寬的積是一個常數(shù)，要求長與寬之和的兩倍的最小值；在（2）中，矩形的長與寬之和的兩倍是一個常數(shù)，要求長與寬的積的最大值．教師書寫規(guī)范解答．預設(shè)的答案：解：（1）設(shè)矩形的長與寬分別為x與y，依題意得xy=100．因為x>0，y>0，所以所以2（x+y）≥40．當且僅當x=y時，等號成立，由，可知此時x=y=10．因此，當矩形的長和寬都是10時，它的周長最短，最短周長為40．（2）設(shè)矩形的長與寬分別為x與y，依題意得2（x+y）=36，即x+y=18．因為x>0，y>0，所以因此，即xy≤81．當且僅當x=y時，等號成立，由，可知此時x=y=9．因此，當矩形的長和寬都是9時，它的面積最大，最大面積為81．設(shè)計意圖：通過該例說明如何利用均值不等式求解實際應用問題．方法總結(jié)：求實際問題中最值的一般思路：（1）讀懂題意，設(shè)出變量，列出函數(shù)關(guān)系式；（2）把實際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值或最小值問題；（3）在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值時，一般先考慮用均值不等式，當用均值不等式求最值的條件不具備時，再考慮利用第三章要學習的函數(shù)的單調(diào)性求解．（4）正確地寫出答案．練習：教科書P76練習A1，3補充練習：（1）已知a為大于0的常數(shù)，x>0，求的最小值，并求y取得最小值時相應的x的值；（2）已知x<0，求的最大值，并求y取得最大值時相應x的值；（3）已知x>1，求的最小值，并求y取得最小值時相應x的值；（4）已知x<1，求的最大值，并求y取得最大值時相應x的值．師生活動：學生思考后回答，教師完善．設(shè)計意圖：進一步熟悉利用均值不等式求最值．參考答案為：（1）當時，y有最小值為；（2）當x＝－1時，y有最大值為一2；（3）當x=2時，y有最小值為3；（4）當x＝0時，y有最大值為一1．四、歸納小結(jié)，布置作業(yè)1．板