線性空間的定義

關(guān)于線性空間的定義第一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間一、線性子空間二、生成子空間§6.5線性子空間第二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間一、線性子空間

1、線性子空間的定義設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，集合若W對于V中的兩種運算也構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間,則稱W為V的一個線性子空間，簡稱為子空間．注：①線性子空間也是數(shù)域P上一線性空間，它也②任一線性子空間的維數(shù)不能超過整個空間的有基與維數(shù)的概念.

維數(shù).第三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間2、線性子空間的判定，若W對于V中兩種運算封閉，即

則W是V的一個子空間．

定理：設(shè)V為數(shù)域P上的線性空間，集合

推論：V為數(shù)域P上的線性空間,

則W是V的子空間第四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間∵，∴.

且對，

由數(shù)乘運算封閉，有

，即W中元素的負(fù)元素就是它在V中的負(fù)元素，4）成立．就是V中的零元，3）成立．由于

，規(guī)則1）、2）、5）、6）、7）、8）是顯然成立的．下證3）、4）成立．

由加法封閉，有,即W中的零元

證明：要證明W也為數(shù)域P上的線性空間，即證W中的向量滿足線性空間定義中的八條規(guī)則．

第五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間

例2設(shè)V為所有實函數(shù)所成集合構(gòu)成的線性空間,則R[x]為V的一個子空間．

例3P[x]n是P[x]的的線性子空間．

例1設(shè)V為數(shù)域P上的線性空間，只含零向量的子集合是V的一個線性子空間，稱之為V的零子空間．線性空間V本身也是V的一個子空間.這兩個子空間有時稱為平凡子空間，而其它的子空間稱為非平凡子空間．

第六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間的全部解向量所成集合W對于通常的向量加法和數(shù)①(＊)的解空間W的維數(shù)＝n－秩(A)，；例4

n元齊次線性方程組

(＊)

注②(＊)的一個基礎(chǔ)解系就是解空間W的一組基.空間，稱W為方程組(＊)的解空間．量乘法構(gòu)成的線性空間是

n

維向量空間

Pn

的一個子第七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間例5判斷Pn的下列子集合哪些是子空間：

解：W1、W3是Pn的子空間，

W2不是Pn的子空間.若為Pn的子空間，求出其維數(shù)與一組基.事實上，W1是n元齊次線性方程組的解空間.所以，維W1＝n－1，①的一個基礎(chǔ)解系①第八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間就是W1的一組基.而在

W2中任取兩個向量，設(shè)則故W2不是Pn的子空間.第九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間故，W3為V的一個子空間，且維W3＝n－1，則有

其次，

設(shè)下證W3是Pn的子空間.就是W3的一組基.第十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間例6設(shè)V為數(shù)域P上的線性空間，

則W關(guān)于V的運算作成V的一個子空間．

即的一切線性組合所成集合.第十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間稱為V的由生成的子空間，二、一類重要的子空間

——生成子空間

定義：V為數(shù)域P上的線性空間，

則子空間

，記作．稱為的一組生成元.第十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間例7在Pn

中，

為Pn的一組基，即Pn

由它的一組基生成.類似地，還有事實上，任一有限維線性空間都可由它的一組基生成.第十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間有關(guān)結(jié)論1、設(shè)W為n維線性空間V的任一子空間，是W的一組基，則有2、（定理3）

1）；為線性空間V中的兩組向量，則與等價．

2）生成子空間的維數(shù)＝向量組的秩．第十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間證：1）若

則對

有，

從而可被線性表出；同理每一個

也可被線性表出.

所以，

與等價．

，

可被線性表出，

從而可被線性表出，即

反之，

與等價．

第十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間所以,

同理可得，

故，

由§3定理1，

2）設(shè)向量組

的秩＝t，不妨設(shè)

為它的一個極大無關(guān)組．

因為

與等價，

就是的一組基，

所以，的維數(shù)＝t．第十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間無關(guān)組，則推論：設(shè)是線性空間V中不全為零的一組向量，是它的一個極大3、設(shè)為P上n維線性空間V的一組基，則的維數(shù)＝秩(A).A為P上一個矩陣，若第十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間證：設(shè)秩(A)＝r，不失一般性，設(shè)A的前r列線性無關(guān)，并將這r列構(gòu)成的矩陣記為A1，其余s-r列構(gòu)成的矩陣記為A2，則A＝(A1,A2)，且秩(A1)＝秩(A)＝r，設(shè)即下證線性無關(guān).第十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間是V的一組基，又秩(A1)＝r，∴方程組②只有零解，即②線性無關(guān).從而第十九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間任取將A的第

j

列添在A1的右邊構(gòu)成的矩陣記為Bj，則則有即設(shè)第二十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間從而有③而秩(Bj)＝r，∴③有非零解，故有不全為零的數(shù)故為的極大無關(guān)組，所以的維數(shù)＝r＝秩(A).線性相關(guān).第二十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間則向量組與矩陣A的列向量組具有相同線性相關(guān)性.所以可對矩陣A作初等行變換化階梯陣來求向量組的一個極大無關(guān)組，從而求出生成子空間的維數(shù)與一組基.注：由證明過程可知，若為V的一組基，第二十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間為

V

的一組基．即在

V

中必定可找到

n－m

個向量設(shè)W為

n維線性空間

V

的一個

m

維子空間，4、（定理4）為W的一組基，則這組向量必定可擴充，使為

V

的一組基．?dāng)U基定理

證明：對n－m作數(shù)學(xué)歸納法．當(dāng)n－m＝0時，即

n＝m，定理成立．就是V的一組基.假設(shè)當(dāng)n－m＝k時結(jié)論成立.第二十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間因n－(m＋1)＝(n－m)－1＝(k＋1)－1＝k，下面我們考慮n－m＝k＋1的情形．必定是線性無關(guān)的．既然還不是V的一組基，它又是線性無關(guān)的，那么在V中必定有一個向量不能被線性表出，把它添加進去，則由定理3，子空間

是m＋1維的．可以擴充為整個空間V的一組基．由歸納原理得證.

由歸納假設(shè)，的基第二十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間它擴充為P4的一組基，其中例8

求的維數(shù)與一組基，并把解：對以為列向量的矩陣A作初等行變換第二十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間由B知，為的一個極大故，維＝3，就是的一組基.無關(guān)組.第二十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間則線性無關(guān)，從而為P4的一組基.第二十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.5

線性子空間練習(xí)設(shè)V為數(shù)域P上的線性空間，為V的一組基，且求的一組基，并把它擴充為V的一組基.第二十八頁，共三十一頁，編輯