線性系統(tǒng)的能控性和能觀測性課件

第四章線性系統(tǒng)的能控性和能觀測性4．1能控性和能觀測性的定義能控性和能觀測性是從控制和觀測角度表征系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的兩個基本特性。不完全能控但能觀測不能控不能觀測電路狀態(tài)能控性，能達性定義對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)如果存在一個時刻以及一個無約束的容許控制u(t),使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=x0轉(zhuǎn)移到x(t1)=0，則稱非零狀態(tài)X0在t0時刻為能控。如果存在一個時刻t1∈J,t1>t0,以及一個無約束的容許控制u(t),t∈[t0,t1],使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=0轉(zhuǎn)移到x(t1)=xf≠0,則稱非零狀態(tài)xf在t0時刻為能達。注意：

對連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，能控性和能達性等價；對離散時間線性系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)，若系統(tǒng)矩陣G為非奇異，則能控性和能達性等價；對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，能控性和能達性一般為不等價。定義：對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)和指定初始時刻t0∈J，如果狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)在時刻t0∈J都為能控/能達，稱系統(tǒng)在時刻t0為完全能控/能達。定義：對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)和指定初始時刻t0∈J，如果狀態(tài)空間中存在一個非零狀態(tài)或一個非空狀態(tài)集合在時刻t0∈J為不能控/能達，稱系統(tǒng)在時刻t0為不完全能控/能達。定義：若系統(tǒng)的能控/能達性與初始時刻t0的選取無關(guān)，或系統(tǒng)在任意初始時刻t0∈J均為完全能控/能達，則稱系統(tǒng)為一致完全能控/能達。注：從工程實際角度考慮，一個實際系統(tǒng)為能控/能達的概率幾乎等于1。系統(tǒng)能控性，能達性定義

該系統(tǒng)是不完全能觀測的由于可見系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)的能觀測性與x(t0)的能觀測性是等價的。注：從工程實際角度考慮，一個實際系統(tǒng)為能觀測的概率幾乎等于1。其解為；4．2連續(xù)時間線性系統(tǒng)的能控性判據(jù)

結(jié)論1：(格拉姆矩陣判據(jù))線性時變系統(tǒng)在t0時刻是狀態(tài)完全能控的充分必要條件是下列格拉姆矩陣為非奇異矩陣。證明：

充分性為非奇異時，系統(tǒng)能控說明系統(tǒng)是能控的。必要性證明采用反證法，自閱。

由于時變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求解困難，故能控性格拉姆矩陣判據(jù)的意義主要在于理論分析中的應(yīng)用。結(jié)論3：n維連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)設(shè)A(t),B(t)對t為n-1階連續(xù)可微，定義則系統(tǒng)在時刻t0∈J完全能控的一個充分條件為，存在一個有限時刻t1∈J，t1>t0，,使能控性秩判據(jù)結(jié)論2：連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)：完全能控的充分必要條件是，存在時刻t1>0，使格拉姆矩陣為非奇異。(格拉姆矩陣判據(jù))主要在于理論分析和推導(dǎo)中的應(yīng)用。結(jié)論7：（約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)）對n維線性時不變系統(tǒng)，若A為對角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是B中不包含零行向量。結(jié)論8：（約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)）對n維線性時不變系統(tǒng)，若A為約當(dāng)陣，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是：①特征值互異的約當(dāng)塊最后一行對應(yīng)的B陣中，該行元素不全為零。②特征值相同的各約當(dāng)塊最后一行對應(yīng)的B陣各行向量線性無關(guān)。注：1.能控性PBH特征向量判據(jù)主要用于理論分析中，特別是線性時不變系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。2.狀態(tài)向量的線性非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性。例

圖示電路，判斷系統(tǒng)能控性條件解

選取狀態(tài)變量x1=iL，x2=uC，得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：即（R1R4=R2R3）時，系統(tǒng)不能控。否則系統(tǒng)能控。例

系統(tǒng)能控的充分必要條件是向量組{bl11、bl12、bl13}線性無關(guān)以及{bl21}不為零向量。系統(tǒng)能控結(jié)論10：對完全能控多輸入連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，設(shè)rankB=r，則能控性指數(shù)滿足如下估計：設(shè)為矩陣A的最小多項式次數(shù)，則結(jié)論11：多輸入連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，且rankB=r，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為：結(jié)論12：對完全能控多輸入連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，將Q表為：其中：1＋2＋＋r＝n由于rankB=r，將Q中的n個線性無關(guān)列重新排列：能控性指數(shù)滿足：＝max{1，2，，r}且稱{1，2，，r}為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集。BA-1B4．3連續(xù)時間線性系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)

結(jié)論1：線性時變系統(tǒng)在t0時刻是狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是下列格蘭姆矩陣為非奇異矩陣結(jié)論2：連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是，存在時刻t1>0，使格拉姆矩陣為非奇異。結(jié)論4

對n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為能觀測性判別矩陣滿秩，即rankQo=n結(jié)論5n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為：或為系統(tǒng)特征值C為復(fù)數(shù)域結(jié)論7：對n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，若A為對角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是C陣中不包含零列向量。結(jié)論8：對n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，若A為約當(dāng)陣，系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是：特征值互異的約當(dāng)塊第一列對應(yīng)的C陣中，該列元素不全為零。特征值相同的約當(dāng)塊第一列對應(yīng)的C陣中，各列向量線性無關(guān)。結(jié)論6：n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為：矩陣A不存在與C所有行正交的非零右特征向量，即對矩陣A所有特征值，使同時滿足的右特征向量定義：令完全能觀測n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能觀測性指數(shù)定義為＝使“rankQk=n”成立的最小正整數(shù)。結(jié)論9：對完全能觀測單輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，則能觀測性指數(shù)為＝n。結(jié)論10：對完全能觀測多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為q，設(shè)rankC=m，則設(shè)為矩陣A的最小多項式次數(shù)，則結(jié)論11：對多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，設(shè)rankC=m，則系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是：結(jié)論2若系統(tǒng)矩陣G(k)對所有k∈[h,l-1]非奇異，則離散時間線性時變系統(tǒng)在時刻h∈Jk完全能控的充分必要條件為，存在時刻l∈Jk,l>h，使格蘭姆矩陣為非奇異若系統(tǒng)矩陣G(k)對一個或一些k∈[h,l-1]奇異。格蘭姆矩非奇異為系統(tǒng)在時刻h完全能控的一個充分條件。若系統(tǒng)矩陣G(k)對所有k∈[h,l-1]非奇異，則系統(tǒng)能控性和能達性等價。若離散時間線性時變系統(tǒng)為連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的時間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達性等價。時不變系統(tǒng)的能控性和能達性判據(jù)

結(jié)論3離散時間線性時不變系統(tǒng)系統(tǒng)完全能達的充分必要條件為，存在時刻l>0，使格蘭姆矩陣為非奇異。若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為存在時刻l

>0，使格蘭姆矩陣為非奇異。若系統(tǒng)矩陣G奇異，則上述格蘭姆矩陣非奇異為系統(tǒng)完全能控的充分條件。結(jié)論4n維離散時間線性時不變系統(tǒng)系統(tǒng)完全能達的充分必要條件為矩陣滿秩若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為rankQkc=n。若系統(tǒng)矩陣G奇異，rankQkc=n為系統(tǒng)完全能控的一個充分條件。結(jié)論5對于單輸入離散時間線性時不變系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)完全能控時，可構(gòu)造如下一組輸入控制則系統(tǒng)必可在n步內(nèi)由任意非零初態(tài)X(0)，轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點，通常稱這組控制為最小拍控制。若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則離散時間線性時不變系統(tǒng)能控性和能達性等價。若離散時間線性時不變系統(tǒng)為連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的時間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達性等價。

令

若令無解。即不存在控制序列u（0），u（1）能夠使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(0)=[2,1,0]T轉(zhuǎn)移到x(2)=0。時變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)結(jié)論6離散時間線性時變系統(tǒng)在時刻h∈Jk完全能觀測的充分必要條件為，存在一個離散時刻l∈Jk,l>h,使格蘭姆矩陣為非奇異時不變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)

結(jié)論7離散時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為，存在一個離散時刻l>0,使格蘭姆矩陣為非奇異顯然，是一個p維輸入q維輸出的n階系統(tǒng)，其對偶系統(tǒng)d是一個q維輸入p維輸出的n階系統(tǒng)。d系統(tǒng)矩陣＝系統(tǒng)矩陣的轉(zhuǎn)秩d輸入矩陣＝輸出矩陣的轉(zhuǎn)秩d輸出矩陣＝輸入矩陣的轉(zhuǎn)秩對偶系統(tǒng)之間具有如下屬性：1.線性屬性和時變屬性2.系數(shù)矩陣的對偶性3.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的對偶性互為轉(zhuǎn)秩逆！互為對偶的兩系統(tǒng)，輸入端與輸出端互換，信號傳遞方向相反，信號引出點和綜合點互換，對應(yīng)矩陣轉(zhuǎn)置。TTTATCTBTd原構(gòu)系統(tǒng)與其對偶系統(tǒng)具有相同屬性。4.方塊圖對偶屬性結(jié)論:設(shè)Σ為原構(gòu)線性系統(tǒng),Σd為對偶線性系統(tǒng),則有Σ完全能控Σd完全能觀測Σ完全能觀測Σd完全能控線性時不變系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)矩陣互為對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置，特征方程式相同，特征值相同。對偶性原理Σ完全能控Σd完全能觀測根據(jù)這一原理，一個系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控（狀態(tài)完全能觀測）的特性，可以轉(zhuǎn)化為其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)完全能觀測（狀態(tài)完全能控）的特性來研究。對偶原理的意義，不僅在于提供了一條途徑，使可由一種結(jié)構(gòu)特性判據(jù)導(dǎo)出另一種結(jié)構(gòu)特性判據(jù)，而且還在于提供了一種可能性，使可建立了系統(tǒng)最優(yōu)控制問題和最佳估計問題基本結(jié)論間的對于關(guān)系。4.6離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測性的條件

設(shè)連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)對應(yīng)的時間離散化系統(tǒng)其中G=eAT

H=A的特征值結(jié)論1：如果連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）不能控（不能觀測），則對任意采樣周期T離散化后的系統(tǒng)（G、H、C）也是不能控（不能觀測）的。本定理也可敘述為：如果離散化后的系統(tǒng)是能控（能觀測）的，則離散化前的連續(xù)系統(tǒng)一定是能控（能觀測）的。將線性連續(xù)系統(tǒng)化為線性離散系統(tǒng)進行分析和控制，是現(xiàn)今系統(tǒng)與控制理論中常為采用的一種模式。結(jié)論2：設(shè)連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）能控（能觀測），則離散化后的系統(tǒng)也能控（能觀測）的必要條件是：不是A的特征值。其中l(wèi)為非零整數(shù)結(jié)論3:對時間離散化系統(tǒng)，使采樣周期T的值，對滿足Re[i－j]=0的一切特征值，成立則時間離散化系統(tǒng)能控的充分必要條件是eATB為行線性無關(guān)結(jié)論4:連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，其時間離散化系統(tǒng)保持完全能控/完全能觀測的一個充分條件為，采樣周期T滿足如下條件：對A的任意兩個特征值1、2，不存在非零整數(shù)l，使成立對于單輸入單輸出系統(tǒng)，本定理是充分必要的。4.7能控性、能觀測性與傳遞函數(shù)的關(guān)系

結(jié)論1:單輸入單輸出系統(tǒng)（A、b、c）是能控且能觀測的充分必要條件是：傳遞函數(shù)G（s）的分母|sI-A|與分子之間不發(fā)生因子相消。例設(shè)單輸入、單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由于存在零、極點對消，系統(tǒng)不可能是既能控又能觀測的。結(jié)論2:多輸入多輸出線性時不變系統(tǒng)能控的充分必要條件是：狀態(tài)向量與輸入向量之間的傳遞矩陣的各行在復(fù)數(shù)域上線性無關(guān)。結(jié)論3：多輸入多輸出線性時不變系統(tǒng)能觀測的充分必要條件是：輸出向量與初始狀態(tài)向量X(0)之間的傳遞矩陣的各列在復(fù)數(shù)域上線性無關(guān)。4．8能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形：SISO情形

由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性，系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述也不是唯一的。在實際應(yīng)用中，常常根據(jù)所研究問題的需要，將狀態(tài)空間描述化成相應(yīng)的幾種規(guī)范形式：如約當(dāng)規(guī)范型，對于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算，能控性和能觀性分析是十分方便的。能控規(guī)范型對于狀態(tài)反饋來說比較方便，而能觀測規(guī)范型則對于狀態(tài)觀測器的設(shè)計及系統(tǒng)辯識比較方便。無論選用哪種規(guī)范形，其實質(zhì)都是對系統(tǒng)狀態(tài)空間描述進行非奇異線性變換，其關(guān)鍵在于尋找相應(yīng)的變換矩陣。本節(jié)以線性時不變SISO系統(tǒng)為對象，討論能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形的基本形式和變換矩陣的構(gòu)造方法。線性時不變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為能控性能觀測性在線性非奇異變換下的屬性引入坐標變換，則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為結(jié)論1：連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能控性和能觀測性在線性非奇異變換下保持不變。能控性指數(shù)，能觀測性指數(shù)也保持不變。能控規(guī)范形結(jié)論2：對完全能控n維單輸入單輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)則通過變換矩陣或可將系統(tǒng)變換成能控規(guī)范形，即導(dǎo)出：注：1.能控規(guī)范形以明顯形式直接和特征多項式系數(shù)｛0，1，…，n-1｝

聯(lián)系起來，對于系統(tǒng)綜合與仿真研究很方便。2.完全能控的任意兩個代數(shù)等價系統(tǒng)必具有相同的能控規(guī)范形。3.一個單輸入系統(tǒng)，如果其A、b陣具有如上形式，則系統(tǒng)一定能控。4.單輸入系統(tǒng)具有唯一的能控規(guī)范形。無特殊形式結(jié)論3：對完全能觀測的n維單輸入單輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，其能觀測規(guī)范形可基于線性非奇異變換導(dǎo)出其中注：1.能觀測規(guī)范形以明顯形式直接和特征多項式系數(shù)｛0，1，…，n-1｝

聯(lián)系起來，對于綜合系統(tǒng)的觀測器很方便。2.完全能觀測的任意兩個代數(shù)等價系統(tǒng)必具有相同的能觀測規(guī)范形。3.一個單輸出系統(tǒng)，如果其A、c陣具有如上形式，則系統(tǒng)一定能觀測。4.單輸出系統(tǒng)具有唯一的能觀測規(guī)范形。無特殊形式例：已知線性時不變能控系統(tǒng)的狀態(tài)方程，試化為能控規(guī)范型。解：4．9能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形MIMO情形

多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能控規(guī)范型和能觀測規(guī)范型，相比于單輸入單輸出情形，無論規(guī)范形式還是構(gòu)造方法都要復(fù)雜一些。1.規(guī)范形式的不唯一性2.構(gòu)造變換矩陣的復(fù)雜性本節(jié)僅討論應(yīng)用較廣的龍伯格規(guī)范形。搜索線性無關(guān)的行或列的方法多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能控性判別矩陣和能觀測性判別矩陣從Qc或Qo中找出n個線性無關(guān)的列或行，通常需經(jīng)過一個搜索過程。nnpnqn考察n維多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)能控性判別矩陣為若系統(tǒng)完全能控，rankQc=n，即Qc的np列中只有n個線性無關(guān)。nnp1.搜索Qc中的n個線性無關(guān)的列向量的“列向搜索方案”用格柵圖的方法在Qc中搜索n個線性無關(guān)的列向量。格柵圖b1b2b3b4A0A1A2A3A4A5BABA2BA3BA4BA5Bn＝61

2

3搜索到1＋

2＋

3＝n停止。1＝3，

2＝2，

3＝1，l＝3Qc中的6個線性無關(guān)的列:b1,Ab1,A2b1;b2,Ab2;b3

b1b2b3b4A0A1A2A3A4A51

2

31＝3，2＝1，

3＝22.搜索Qc中的n個線性無關(guān)的列向量的“行向搜索方案”rankB=r<pn＝6，p＝4，r＝3搜索到1＋2＋

3＝n停止。{1,2,3}為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集。Qc中的6個線性無關(guān)的列:b1,Ab1,A2b1;b2;b3,

Ab3BABA2BA3BA4BA5B龍伯格能控規(guī)范形龍伯格能控規(guī)范形在系統(tǒng)極點配置綜合問題中有著廣泛的用途。考察完全能控的n維多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)能控性判別矩陣為rankB=r<p采用“行向搜索方案”，在Qc中找出n個線性無關(guān)的列向量，并組成非奇異矩陣：其中{1，2，，r}為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集，且1＋2＋＋r＝n構(gòu)造變換矩陣S{1，2，，r}為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集，且1＋2＋＋r＝n對于完全能控的n維多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)rankB=r<p基于線性非奇異變換，可導(dǎo)出系統(tǒng)的龍伯格能控規(guī)范形無特殊形式r列P-r列例：已知完全能控的連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)試將其變換為龍伯格能控規(guī)范形解：1.寫出能控性判別矩陣Qc采用“行向搜索方案”，在Qc中找出3個線性無關(guān)的列向量b1b2Ab1Ab2A2b1A2b2b1b2A0A1A21

21＝2，2＝1rankB=r=p=2Qc中3個線性無關(guān)的列向量為b1，b2，Ab1由Qc中找出的3個線性無關(guān)的列向量組成非奇異矩陣：1＝2，2＝1龍伯格能控規(guī)范形為：4.10連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解系統(tǒng)按能控性分解

設(shè)不完全能控n維多輸入多數(shù)出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為在Qc中采用“行向搜索方案”或“列向搜索方案”搜索出k個線性無關(guān)列q1,q2，…，qk；其次，在除Qc外的n維狀態(tài)空間中，任意選取n-k個線性無關(guān)列qk+1,qk+2，…，qn，構(gòu)成非奇異變換P-1

結(jié)構(gòu)分解的實質(zhì)是以明顯的形式，將不完全能控或/和不完全能觀測的系統(tǒng)分解為不同的四部分，其目的既可以深入了解系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征，又可以深入揭示狀態(tài)空間描述與輸入輸出描述間的關(guān)系。能控性判別矩陣的秩引入非奇異線性變換其中可使系統(tǒng)實現(xiàn)按能控性的結(jié)構(gòu)分解：狀態(tài)向量的非奇異線性變換，不改變系統(tǒng)的能控性及能控程度。經(jīng)非奇異變換后，系統(tǒng)的動態(tài)方程寫為于是可得能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為：不能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為：由于輸入u的作用，只能改變能控振型位置，不能改變不能控振型位置，這對系統(tǒng)分析和綜合具有重要意義。結(jié)構(gòu)分解形式惟一性和結(jié)果的不惟一性?；诮Y(jié)構(gòu)分解式的能控性判據(jù)。特征值為能控振型特征值為不能控振型例：已知試按能控性進行規(guī)范分解解：系統(tǒng)不完全能控，取能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為不能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為系統(tǒng)按能觀測性分解

設(shè)不能觀測系統(tǒng)的動態(tài)方程為其能觀測性矩陣Qo=[C,CA,CA2,…,CAn-1]T的秩為m<n，選出其中m個線性無關(guān)行，再加任意n-m個行，構(gòu)成非奇異變換F系統(tǒng)按能觀測性的結(jié)構(gòu)分解對偶于系統(tǒng)按能控性的結(jié)構(gòu)分解。能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為不能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解是指，對不完全能控和不完全能觀測系統(tǒng)，同時按能控性和能觀測性進行結(jié)構(gòu)分解。但變換陣Tco的構(gòu)造需要涉及較多的線性空間概念。下面介紹一種逐步分解的方法。(1)先將系統(tǒng)按能控(能觀測)性分解；(2)將不能控的子系統(tǒng)按能觀測(能控)性分解；(3)將能控的子系統(tǒng)按能觀測(能控)性分解；(4)綜合以上三次變換，導(dǎo)出系統(tǒng)同時按能控性和能觀測性進行結(jié)構(gòu)分解的表達式。可通過非奇異變換，將原系統(tǒng)(A,B,C)變換為按能控性和能觀測性規(guī)范分解的系統(tǒng)（Aco,Bco,Cco）。設(shè)系統(tǒng)（A、B、C）不完全能控、不完全能觀測，可先對系統(tǒng)按能控性分解，即令kn-k再分別對k維能控子系統(tǒng)、n－k維不能控子系統(tǒng)按能觀測性分解Fo1為kk維非奇異方陣，F(xiàn)o2為(n－k)(n－

k)維非奇異為方陣。綜合以上三次變換，系統(tǒng)的動態(tài)方程為結(jié)構(gòu)分解形式惟一性和結(jié)果的不惟一性。作為輸入輸出描述的傳遞函數(shù)矩陣G(s)只能反映系統(tǒng)的能控能觀測部分。u＋y＋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)規(guī)范分解方塊圖作為輸入輸出描述的傳遞函數(shù)矩陣G(s)只能反映系統(tǒng)的能控能觀測部分。例：設(shè)線性時不變系統(tǒng)如下，試將該系統(tǒng)按能控性和能觀測性進行結(jié)構(gòu)分解。解：1.系統(tǒng)能控性判別陣rankQc=2<n=3,所以系統(tǒng)是不完全能控的。取

其中q3是任意的，只要能保證P非奇異即可。2.按能控性進行結(jié)構(gòu)分解變換后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：顯然，不能控子空間是能觀測的，無需再進行分解。將能控子空間按能觀測性進行分解。能控子系統(tǒng)為

3.對能控子系統(tǒng)按能觀測性進行結(jié)構(gòu)分解顯然，能控子系統(tǒng)不完全能觀測即

綜合以上兩次變換結(jié)果，系統(tǒng)按能控性和能觀測性分解為

能控能觀測：x1，x2能控不能觀測：x3，x5不能控能觀測：x4不能控不能觀測：x6結(jié)構(gòu)分解的另一種方法按此順序重新排列，可導(dǎo)出；4.11最小實現(xiàn)

由描述系統(tǒng)輸入—輸出動態(tài)關(guān)系的微分方程式或傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，這樣的問題叫實現(xiàn)問題。由于狀態(tài)變量的選擇是非唯一的，因此實現(xiàn)也是非唯一的。而且并非任意的微分方程式或傳遞函數(shù)都能求得其實現(xiàn)，實現(xiàn)存在的條件是

從工程的觀點看，在無窮多個內(nèi)部不同結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)中，其中維數(shù)最小的一類實現(xiàn)就是所謂的最小實現(xiàn)。對于給定傳遞函數(shù)陣G(s)，若有一狀態(tài)空間描述使之成立則稱為傳遞函數(shù)陣G(s)的一個實現(xiàn)。當(dāng)m<n時，D＝0當(dāng)m=n時，標量傳遞函數(shù)的實現(xiàn)(單輸入單輸出系統(tǒng))上式中的d就是下列動態(tài)方程中的直接傳遞部分所以只需討論上式中的嚴格真有理分式部分。給定嚴格真有理函數(shù)設(shè)給定