線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性課件

第四章線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性4．1能控性和能觀測(cè)性的定義能控性和能觀測(cè)性是從控制和觀測(cè)角度表征系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的兩個(gè)基本特性。不完全能控但能觀測(cè)不能控不能觀測(cè)電路狀態(tài)能控性，能達(dá)性定義對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)如果存在一個(gè)時(shí)刻以及一個(gè)無(wú)約束的容許控制u(t),使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=x0轉(zhuǎn)移到x(t1)=0，則稱非零狀態(tài)X0在t0時(shí)刻為能控。如果存在一個(gè)時(shí)刻t1∈J,t1>t0,以及一個(gè)無(wú)約束的容許控制u(t),t∈[t0,t1],使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=0轉(zhuǎn)移到x(t1)=xf≠0,則稱非零狀態(tài)xf在t0時(shí)刻為能達(dá)。注意：

對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性等價(jià)；對(duì)離散時(shí)間線性系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)，若系統(tǒng)矩陣G為非奇異，則能控性和能達(dá)性等價(jià)；對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性一般為不等價(jià)。定義：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)和指定初始時(shí)刻t0∈J，如果狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)在時(shí)刻t0∈J都為能控/能達(dá)，稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為完全能控/能達(dá)。定義：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)和指定初始時(shí)刻t0∈J，如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)非零狀態(tài)或一個(gè)非空狀態(tài)集合在時(shí)刻t0∈J為不能控/能達(dá)，稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為不完全能控/能達(dá)。定義：若系統(tǒng)的能控/能達(dá)性與初始時(shí)刻t0的選取無(wú)關(guān)，或系統(tǒng)在任意初始時(shí)刻t0∈J均為完全能控/能達(dá)，則稱系統(tǒng)為一致完全能控/能達(dá)。注：從工程實(shí)際角度考慮，一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)為能控/能達(dá)的概率幾乎等于1。系統(tǒng)能控性，能達(dá)性定義

該系統(tǒng)是不完全能觀測(cè)的由于可見系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)的能觀測(cè)性與x(t0)的能觀測(cè)性是等價(jià)的。注：從工程實(shí)際角度考慮，一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)為能觀測(cè)的概率幾乎等于1。其解為；4．2連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的能控性判據(jù)

結(jié)論1：(格拉姆矩陣判據(jù))線性時(shí)變系統(tǒng)在t0時(shí)刻是狀態(tài)完全能控的充分必要條件是下列格拉姆矩陣為非奇異矩陣。證明：

充分性為非奇異時(shí)，系統(tǒng)能控說明系統(tǒng)是能控的。必要性證明采用反證法，自閱。

由于時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求解困難，故能控性格拉姆矩陣判據(jù)的意義主要在于理論分析中的應(yīng)用。結(jié)論3：n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)設(shè)A(t),B(t)對(duì)t為n-1階連續(xù)可微，定義則系統(tǒng)在時(shí)刻t0∈J完全能控的一個(gè)充分條件為，存在一個(gè)有限時(shí)刻t1∈J，t1>t0，,使能控性秩判據(jù)結(jié)論2：連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)：完全能控的充分必要條件是，存在時(shí)刻t1>0，使格拉姆矩陣為非奇異。(格拉姆矩陣判據(jù))主要在于理論分析和推導(dǎo)中的應(yīng)用。結(jié)論7：（約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)）對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，若A為對(duì)角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是B中不包含零行向量。結(jié)論8：（約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)）對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，若A為約當(dāng)陣，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是：①特征值互異的約當(dāng)塊最后一行對(duì)應(yīng)的B陣中，該行元素不全為零。②特征值相同的各約當(dāng)塊最后一行對(duì)應(yīng)的B陣各行向量線性無(wú)關(guān)。注：1.能控性PBH特征向量判據(jù)主要用于理論分析中，特別是線性時(shí)不變系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。2.狀態(tài)向量的線性非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性。例

圖示電路，判斷系統(tǒng)能控性條件解

選取狀態(tài)變量x1=iL，x2=uC，得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：即（R1R4=R2R3）時(shí)，系統(tǒng)不能控。否則系統(tǒng)能控。例

系統(tǒng)能控的充分必要條件是向量組{bl11、bl12、bl13}線性無(wú)關(guān)以及{bl21}不為零向量。系統(tǒng)能控結(jié)論10：對(duì)完全能控多輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，設(shè)rankB=r，則能控性指數(shù)滿足如下估計(jì)：設(shè)為矩陣A的最小多項(xiàng)式次數(shù)，則結(jié)論11：多輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，且rankB=r，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為：結(jié)論12：對(duì)完全能控多輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，將Q表為：其中：1＋2＋＋r＝n由于rankB=r，將Q中的n個(gè)線性無(wú)關(guān)列重新排列：能控性指數(shù)滿足：＝max{1，2，，r}且稱{1，2，，r}為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集。BA-1B4．3連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)

結(jié)論1：線性時(shí)變系統(tǒng)在t0時(shí)刻是狀態(tài)完全能觀測(cè)的充分必要條件是下列格蘭姆矩陣為非奇異矩陣結(jié)論2：連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是，存在時(shí)刻t1>0，使格拉姆矩陣為非奇異。結(jié)論4

對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為能觀測(cè)性判別矩陣滿秩，即rankQo=n結(jié)論5n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為：或?yàn)橄到y(tǒng)特征值C為復(fù)數(shù)域結(jié)論7：對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，若A為對(duì)角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是C陣中不包含零列向量。結(jié)論8：對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，若A為約當(dāng)陣，系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是：特征值互異的約當(dāng)塊第一列對(duì)應(yīng)的C陣中，該列元素不全為零。特征值相同的約當(dāng)塊第一列對(duì)應(yīng)的C陣中，各列向量線性無(wú)關(guān)。結(jié)論6：n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為：矩陣A不存在與C所有行正交的非零右特征向量，即對(duì)矩陣A所有特征值，使同時(shí)滿足的右特征向量定義：令完全能觀測(cè)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能觀測(cè)性指數(shù)定義為＝使“rankQk=n”成立的最小正整數(shù)。結(jié)論9：對(duì)完全能觀測(cè)單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，則能觀測(cè)性指數(shù)為＝n。結(jié)論10：對(duì)完全能觀測(cè)多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為q，設(shè)rankC=m，則設(shè)為矩陣A的最小多項(xiàng)式次數(shù)，則結(jié)論11：對(duì)多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)rankC=m，則系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是：結(jié)論2若系統(tǒng)矩陣G(k)對(duì)所有k∈[h,l-1]非奇異，則離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻h∈Jk完全能控的充分必要條件為，存在時(shí)刻l∈Jk,l>h，使格蘭姆矩陣為非奇異若系統(tǒng)矩陣G(k)對(duì)一個(gè)或一些k∈[h,l-1]奇異。格蘭姆矩非奇異為系統(tǒng)在時(shí)刻h完全能控的一個(gè)充分條件。若系統(tǒng)矩陣G(k)對(duì)所有k∈[h,l-1]非奇異，則系統(tǒng)能控性和能達(dá)性等價(jià)。若離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的時(shí)間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價(jià)。時(shí)不變系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性判據(jù)

結(jié)論3離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)系統(tǒng)完全能達(dá)的充分必要條件為，存在時(shí)刻l>0，使格蘭姆矩陣為非奇異。若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為存在時(shí)刻l

>0，使格蘭姆矩陣為非奇異。若系統(tǒng)矩陣G奇異，則上述格蘭姆矩陣非奇異為系統(tǒng)完全能控的充分條件。結(jié)論4n維離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)系統(tǒng)完全能達(dá)的充分必要條件為矩陣滿秩若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為rankQkc=n。若系統(tǒng)矩陣G奇異，rankQkc=n為系統(tǒng)完全能控的一個(gè)充分條件。結(jié)論5對(duì)于單輸入離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)完全能控時(shí)，可構(gòu)造如下一組輸入控制則系統(tǒng)必可在n步內(nèi)由任意非零初態(tài)X(0)，轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)，通常稱這組控制為最小拍控制。若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)能控性和能達(dá)性等價(jià)。若離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價(jià)。

令

若令無(wú)解。即不存在控制序列u（0），u（1）能夠使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(0)=[2,1,0]T轉(zhuǎn)移到x(2)=0。時(shí)變系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)結(jié)論6離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻h∈Jk完全能觀測(cè)的充分必要條件為，存在一個(gè)離散時(shí)刻l∈Jk,l>h,使格蘭姆矩陣為非奇異時(shí)不變系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)

結(jié)論7離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為，存在一個(gè)離散時(shí)刻l>0,使格蘭姆矩陣為非奇異顯然，是一個(gè)p維輸入q維輸出的n階系統(tǒng)，其對(duì)偶系統(tǒng)d是一個(gè)q維輸入p維輸出的n階系統(tǒng)。d系統(tǒng)矩陣＝系統(tǒng)矩陣的轉(zhuǎn)秩d輸入矩陣＝輸出矩陣的轉(zhuǎn)秩d輸出矩陣＝輸入矩陣的轉(zhuǎn)秩對(duì)偶系統(tǒng)之間具有如下屬性：1.線性屬性和時(shí)變屬性2.系數(shù)矩陣的對(duì)偶性3.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的對(duì)偶性互為轉(zhuǎn)秩逆！互為對(duì)偶的兩系統(tǒng)，輸入端與輸出端互換，信號(hào)傳遞方向相反，信號(hào)引出點(diǎn)和綜合點(diǎn)互換，對(duì)應(yīng)矩陣轉(zhuǎn)置。TTTATCTBTd原構(gòu)系統(tǒng)與其對(duì)偶系統(tǒng)具有相同屬性。4.方塊圖對(duì)偶屬性結(jié)論:設(shè)Σ為原構(gòu)線性系統(tǒng),Σd為對(duì)偶線性系統(tǒng),則有Σ完全能控Σd完全能觀測(cè)Σ完全能觀測(cè)Σd完全能控線性時(shí)不變系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)矩陣互為對(duì)偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置，特征方程式相同，特征值相同。對(duì)偶性原理Σ完全能控Σd完全能觀測(cè)根據(jù)這一原理，一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控（狀態(tài)完全能觀測(cè)）的特性，可以轉(zhuǎn)化為其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)完全能觀測(cè)（狀態(tài)完全能控）的特性來(lái)研究。對(duì)偶原理的意義，不僅在于提供了一條途徑，使可由一種結(jié)構(gòu)特性判據(jù)導(dǎo)出另一種結(jié)構(gòu)特性判據(jù)，而且還在于提供了一種可能性，使可建立了系統(tǒng)最優(yōu)控制問題和最佳估計(jì)問題基本結(jié)論間的對(duì)于關(guān)系。4.6離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測(cè)性的條件

設(shè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的時(shí)間離散化系統(tǒng)其中G=eAT

H=A的特征值結(jié)論1：如果連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）不能控（不能觀測(cè)），則對(duì)任意采樣周期T離散化后的系統(tǒng)（G、H、C）也是不能控（不能觀測(cè)）的。本定理也可敘述為：如果離散化后的系統(tǒng)是能控（能觀測(cè)）的，則離散化前的連續(xù)系統(tǒng)一定是能控（能觀測(cè)）的。將線性連續(xù)系統(tǒng)化為線性離散系統(tǒng)進(jìn)行分析和控制，是現(xiàn)今系統(tǒng)與控制理論中常為采用的一種模式。結(jié)論2：設(shè)連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）能控（能觀測(cè)），則離散化后的系統(tǒng)也能控（能觀測(cè)）的必要條件是：不是A的特征值。其中l(wèi)為非零整數(shù)結(jié)論3:對(duì)時(shí)間離散化系統(tǒng)，使采樣周期T的值，對(duì)滿足Re[i－j]=0的一切特征值，成立則時(shí)間離散化系統(tǒng)能控的充分必要條件是eATB為行線性無(wú)關(guān)結(jié)論4:連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，其時(shí)間離散化系統(tǒng)保持完全能控/完全能觀測(cè)的一個(gè)充分條件為，采樣周期T滿足如下條件：對(duì)A的任意兩個(gè)特征值1、2，不存在非零整數(shù)l，使成立對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)，本定理是充分必要的。4.7能控性、能觀測(cè)性與傳遞函數(shù)的關(guān)系

結(jié)論1:單輸入單輸出系統(tǒng)（A、b、c）是能控且能觀測(cè)的充分必要條件是：傳遞函數(shù)G（s）的分母|sI-A|與分子之間不發(fā)生因子相消。例設(shè)單輸入、單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由于存在零、極點(diǎn)對(duì)消，系統(tǒng)不可能是既能控又能觀測(cè)的。結(jié)論2:多輸入多輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)能控的充分必要條件是：狀態(tài)向量與輸入向量之間的傳遞矩陣的各行在復(fù)數(shù)域上線性無(wú)關(guān)。結(jié)論3：多輸入多輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)能觀測(cè)的充分必要條件是：輸出向量與初始狀態(tài)向量X(0)之間的傳遞矩陣的各列在復(fù)數(shù)域上線性無(wú)關(guān)。4．8能控規(guī)范形和能觀測(cè)規(guī)范形：SISO情形

由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性，系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述也不是唯一的。在實(shí)際應(yīng)用中，常常根據(jù)所研究問題的需要，將狀態(tài)空間描述化成相應(yīng)的幾種規(guī)范形式：如約當(dāng)規(guī)范型，對(duì)于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算，能控性和能觀性分析是十分方便的。能控規(guī)范型對(duì)于狀態(tài)反饋來(lái)說比較方便，而能觀測(cè)規(guī)范型則對(duì)于狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)及系統(tǒng)辯識(shí)比較方便。無(wú)論選用哪種規(guī)范形，其實(shí)質(zhì)都是對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)空間描述進(jìn)行非奇異線性變換，其關(guān)鍵在于尋找相應(yīng)的變換矩陣。本節(jié)以線性時(shí)不變SISO系統(tǒng)為對(duì)象，討論能控規(guī)范形和能觀測(cè)規(guī)范形的基本形式和變換矩陣的構(gòu)造方法。線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為能控性能觀測(cè)性在線性非奇異變換下的屬性引入坐標(biāo)變換，則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為結(jié)論1：連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性在線性非奇異變換下保持不變。能控性指數(shù)，能觀測(cè)性指數(shù)也保持不變。能控規(guī)范形結(jié)論2：對(duì)完全能控n維單輸入單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)則通過變換矩陣或可將系統(tǒng)變換成能控規(guī)范形，即導(dǎo)出：注：1.能控規(guī)范形以明顯形式直接和特征多項(xiàng)式系數(shù)｛0，1，…，n-1｝

聯(lián)系起來(lái)，對(duì)于系統(tǒng)綜合與仿真研究很方便。2.完全能控的任意兩個(gè)代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)必具有相同的能控規(guī)范形。3.一個(gè)單輸入系統(tǒng)，如果其A、b陣具有如上形式，則系統(tǒng)一定能控。4.單輸入系統(tǒng)具有唯一的能控規(guī)范形。無(wú)特殊形式結(jié)論3：對(duì)完全能觀測(cè)的n維單輸入單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，其能觀測(cè)規(guī)范形可基于線性非奇異變換導(dǎo)出其中注：1.能觀測(cè)規(guī)范形以明顯形式直接和特征多項(xiàng)式系數(shù)｛0，1，…，n-1｝

聯(lián)系起來(lái)，對(duì)于綜合系統(tǒng)的觀測(cè)器很方便。2.完全能觀測(cè)的任意兩個(gè)代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)必具有相同的能觀測(cè)規(guī)范形。3.一個(gè)單輸出系統(tǒng)，如果其A、c陣具有如上形式，則系統(tǒng)一定能觀測(cè)。4.單輸出系統(tǒng)具有唯一的能觀測(cè)規(guī)范形。無(wú)特殊形式例：已知線性時(shí)不變能控系統(tǒng)的狀態(tài)方程，試化為能控規(guī)范型。解：4．9能控規(guī)范形和能觀測(cè)規(guī)范形MIMO情形

多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控規(guī)范型和能觀測(cè)規(guī)范型，相比于單輸入單輸出情形，無(wú)論規(guī)范形式還是構(gòu)造方法都要復(fù)雜一些。1.規(guī)范形式的不唯一性2.構(gòu)造變換矩陣的復(fù)雜性本節(jié)僅討論應(yīng)用較廣的龍伯格規(guī)范形。搜索線性無(wú)關(guān)的行或列的方法多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性判別矩陣和能觀測(cè)性判別矩陣從Qc或Qo中找出n個(gè)線性無(wú)關(guān)的列或行，通常需經(jīng)過一個(gè)搜索過程。nnpnqn考察n維多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)能控性判別矩陣為若系統(tǒng)完全能控，rankQc=n，即Qc的np列中只有n個(gè)線性無(wú)關(guān)。nnp1.搜索Qc中的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量的“列向搜索方案”用格柵圖的方法在Qc中搜索n個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量。格柵圖b1b2b3b4A0A1A2A3A4A5BABA2BA3BA4BA5Bn＝61

2

3搜索到1＋

2＋

3＝n停止。1＝3，

2＝2，

3＝1，l＝3Qc中的6個(gè)線性無(wú)關(guān)的列:b1,Ab1,A2b1;b2,Ab2;b3

b1b2b3b4A0A1A2A3A4A51

2

31＝3，2＝1，

3＝22.搜索Qc中的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量的“行向搜索方案”rankB=r<pn＝6，p＝4，r＝3搜索到1＋2＋

3＝n停止。{1,2,3}為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集。Qc中的6個(gè)線性無(wú)關(guān)的列:b1,Ab1,A2b1;b2;b3,

Ab3BABA2BA3BA4BA5B龍伯格能控規(guī)范形龍伯格能控規(guī)范形在系統(tǒng)極點(diǎn)配置綜合問題中有著廣泛的用途?？疾焱耆芸氐膎維多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)能控性判別矩陣為rankB=r<p采用“行向搜索方案”，在Qc中找出n個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量，并組成非奇異矩陣：其中{1，2，，r}為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集，且1＋2＋＋r＝n構(gòu)造變換矩陣S{1，2，，r}為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集，且1＋2＋＋r＝n對(duì)于完全能控的n維多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)rankB=r<p基于線性非奇異變換，可導(dǎo)出系統(tǒng)的龍伯格能控規(guī)范形無(wú)特殊形式r列P-r列例：已知完全能控的連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)試將其變換為龍伯格能控規(guī)范形解：1.寫出能控性判別矩陣Qc采用“行向搜索方案”，在Qc中找出3個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量b1b2Ab1Ab2A2b1A2b2b1b2A0A1A21

21＝2，2＝1rankB=r=p=2Qc中3個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量為b1，b2，Ab1由Qc中找出的3個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量組成非奇異矩陣：1＝2，2＝1龍伯格能控規(guī)范形為：4.10連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解系統(tǒng)按能控性分解

設(shè)不完全能控n維多輸入多數(shù)出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為在Qc中采用“行向搜索方案”或“列向搜索方案”搜索出k個(gè)線性無(wú)關(guān)列q1,q2，…，qk；其次，在除Qc外的n維狀態(tài)空間中，任意選取n-k個(gè)線性無(wú)關(guān)列qk+1,qk+2，…，qn，構(gòu)成非奇異變換P-1

結(jié)構(gòu)分解的實(shí)質(zhì)是以明顯的形式，將不完全能控或/和不完全能觀測(cè)的系統(tǒng)分解為不同的四部分，其目的既可以深入了解系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征，又可以深入揭示狀態(tài)空間描述與輸入輸出描述間的關(guān)系。能控性判別矩陣的秩引入非奇異線性變換其中可使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)按能控性的結(jié)構(gòu)分解：狀態(tài)向量的非奇異線性變換，不改變系統(tǒng)的能控性及能控程度。經(jīng)非奇異變換后，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程寫為于是可得能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：不能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：由于輸入u的作用，只能改變能控振型位置，不能改變不能控振型位置，這對(duì)系統(tǒng)分析和綜合具有重要意義。結(jié)構(gòu)分解形式惟一性和結(jié)果的不惟一性?；诮Y(jié)構(gòu)分解式的能控性判據(jù)。特征值為能控振型特征值為不能控振型例：已知試按能控性進(jìn)行規(guī)范分解解：系統(tǒng)不完全能控，取能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為不能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為系統(tǒng)按能觀測(cè)性分解

設(shè)不能觀測(cè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為其能觀測(cè)性矩陣Qo=[C,CA,CA2,…,CAn-1]T的秩為m<n，選出其中m個(gè)線性無(wú)關(guān)行，再加任意n-m個(gè)行，構(gòu)成非奇異變換F系統(tǒng)按能觀測(cè)性的結(jié)構(gòu)分解對(duì)偶于系統(tǒng)按能控性的結(jié)構(gòu)分解。能觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為不能觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解是指，對(duì)不完全能控和不完全能觀測(cè)系統(tǒng)，同時(shí)按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。但變換陣Tco的構(gòu)造需要涉及較多的線性空間概念。下面介紹一種逐步分解的方法。(1)先將系統(tǒng)按能控(能觀測(cè))性分解；(2)將不能控的子系統(tǒng)按能觀測(cè)(能控)性分解；(3)將能控的子系統(tǒng)按能觀測(cè)(能控)性分解；(4)綜合以上三次變換，導(dǎo)出系統(tǒng)同時(shí)按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解的表達(dá)式?？赏ㄟ^非奇異變換，將原系統(tǒng)(A,B,C)變換為按能控性和能觀測(cè)性規(guī)范分解的系統(tǒng)（Aco,Bco,Cco）。設(shè)系統(tǒng)（A、B、C）不完全能控、不完全能觀測(cè)，可先對(duì)系統(tǒng)按能控性分解，即令kn-k再分別對(duì)k維能控子系統(tǒng)、n－k維不能控子系統(tǒng)按能觀測(cè)性分解Fo1為kk維非奇異方陣，F(xiàn)o2為(n－k)(n－

k)維非奇異為方陣。綜合以上三次變換，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為結(jié)構(gòu)分解形式惟一性和結(jié)果的不惟一性。作為輸入輸出描述的傳遞函數(shù)矩陣G(s)只能反映系統(tǒng)的能控能觀測(cè)部分。u＋y＋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)規(guī)范分解方塊圖作為輸入輸出描述的傳遞函數(shù)矩陣G(s)只能反映系統(tǒng)的能控能觀測(cè)部分。例：設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)如下，試將該系統(tǒng)按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。解：1.系統(tǒng)能控性判別陣rankQc=2<n=3,所以系統(tǒng)是不完全能控的。取

其中q3是任意的，只要能保證P非奇異即可。2.按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解變換后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：顯然，不能控子空間是能觀測(cè)的，無(wú)需再進(jìn)行分解。將能控子空間按能觀測(cè)性進(jìn)行分解。能控子系統(tǒng)為

3.對(duì)能控子系統(tǒng)按能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解顯然，能控子系統(tǒng)不完全能觀測(cè)即

綜合以上兩次變換結(jié)果，系統(tǒng)按能控性和能觀測(cè)性分解為

能控能觀測(cè)：x1，x2能控不能觀測(cè)：x3，x5不能控能觀測(cè)：x4不能控不能觀測(cè)：x6結(jié)構(gòu)分解的另一種方法按此順序重新排列，可導(dǎo)出；4.11最小實(shí)現(xiàn)

由描述系統(tǒng)輸入—輸出動(dòng)態(tài)關(guān)系的微分方程式或傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，這樣的問題叫實(shí)現(xiàn)問題。由于狀態(tài)變量的選擇是非唯一的，因此實(shí)現(xiàn)也是非唯一的。而且并非任意的微分方程式或傳遞函數(shù)都能求得其實(shí)現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)存在的條件是

從工程的觀點(diǎn)看，在無(wú)窮多個(gè)內(nèi)部不同結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)中，其中維數(shù)最小的一類實(shí)現(xiàn)就是所謂的最小實(shí)現(xiàn)。對(duì)于給定傳遞函數(shù)陣G(s)，若有一狀態(tài)空間描述使之成立則稱為傳遞函數(shù)陣G(s)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。當(dāng)m<n時(shí)，D＝0當(dāng)m=n時(shí)，標(biāo)量傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)(單輸入單輸出系統(tǒng))上式中的d就是下列動(dòng)態(tài)方程中的直接傳遞部分所以只需討論上式中的嚴(yán)格真有理分式部分。給定嚴(yán)格真有理函數(shù)設(shè)給定