代數(shù)式變形在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用分式函數(shù)應(yīng)對(duì)策略之分離常數(shù)法

cccccc代式形高數(shù)中應(yīng)（）分式函數(shù)應(yīng)對(duì)略之分離常數(shù)法代數(shù)式變形在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用十分廣泛。其中的分離常數(shù)法是研究分式函數(shù)的變形的常用方法。分式型函數(shù)解題的關(guān)鍵是采用拆項(xiàng)使分式的分子為常數(shù)，或拆項(xiàng)分成一個(gè)整式和一個(gè)分式(該分式的分子為常)的式通這種變形轉(zhuǎn)成一次函數(shù)，二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等我們熟悉的基本函數(shù)，然后根據(jù)它們的性質(zhì)求解。主要的分式函數(shù)有：y

axcx

，

y

axmx

22

bx，yp

m，，等幾種形式，下面分p別加以討論。1、一次分式函數(shù)：形如

f(x)

axcx

,(cadbc

函數(shù)叫一次分式函數(shù)。利用分離常數(shù)法變形如下：f(x)

cx

adadadbaad,設(shè)mcxcc

，則：f(x)

ax，不難看出f(x像可由反比函數(shù)cxcx

圖像經(jīng)過(guò)平移取得。從而很輕易解答如下問(wèn)題：對(duì)于函數(shù)

f(x)

axmadf())cxccxc（1.定義域是：

(

dd)(,c

；（2.值域是：

a()c

a(,c

；第頁(yè)共7頁(yè)

（）稱點(diǎn)為：

(

dad,)，稱軸為：(y)ccc

；（）調(diào)性為：當(dāng)

時(shí)，

f(x)

axcx

在

d()上(cc

上都是增函數(shù)，且dadx()時(shí)f()()，x(，f(x),ccc

；當(dāng)時(shí)()

axcx

在

dd()上(cc

上都是減函數(shù)，且dax()時(shí)f()x，f(x))cccc

；例1

求函數(shù)

f(x)

xx

(

的值域解由知有

f)

3[(2]xxx

.由x，

.∴

1x

.∴函數(shù)

(x)

的值域?yàn)?/p>

{R|

.例2已函數(shù)f()

(a)

，判斷函數(shù)

x)

的單調(diào).解

由已知有

y

(x)x

，x

.所以，當(dāng)a時(shí)函數(shù)f(x)在((上是減數(shù)；當(dāng)a數(shù)f()在(和是函.

時(shí)，函例3已

f(x)

a

的圖象對(duì)稱中心為

，求

,b

的值。解：跟據(jù)以上性質(zhì)，圖像的對(duì)稱中心為

(a，a，∴

a

，

b例4已

f()

(nN)，n

的最大值及最小值的n值。解：

fn

離常數(shù)）∵

10，時(shí)f)，(n)隨n的大而增大，第頁(yè)共7頁(yè)

n4

時(shí)，

f(n)

，且

f(n)

隨

的增大而增大，∴

f(n)

的最大值為f(4)，小值為f，即

4

時(shí)

f(n)

的值最大，

時(shí)

f(n)

的值最小。2、二次分式形如：

axmx

、nx

、

p

的函數(shù)：例1設(shè)x

，求函數(shù)

f

x

xx

的最小值.解∵x∴

.由知有f(x

[(

x

(x

xx

[(x]x(

x

.當(dāng)且僅當(dāng)

4

，即x，號(hào)成立∴當(dāng)x，f(x

取得最小值

.例2求函數(shù)

f()

2

(x2)

的最小值.解：由題意

，拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)得：f(x)

(

2)9(x2)x

，∴當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)函數(shù)的最小值為10.例3求函數(shù)

y

x

x2

的值域。解：

y

x2x2x2x2

3()2不妨令：

f(x

11)2g(x)((x)0)2f()從而

f(,

注意：本題中應(yīng)排除(0

，因?yàn)閒(

作為分母。第頁(yè)共7頁(yè)

∴

g(x)4

故y,1例4求函數(shù)

f()

2xx2

(x

的最大值.由題意

x

，則f()

2x

22

xx2x2x2x

(x2

1x

13(x

13∴當(dāng)且僅當(dāng)

x

時(shí)，函數(shù)的最大值為

2

133例5求函數(shù)

42(x

的值域解：原函數(shù)化為

(xx2(x

12(2令

12

，則

0

，

2

119t)1020當(dāng)

t

110

時(shí)，

min

1920

；當(dāng)

時(shí)，

y

，∴

函數(shù)的值域是

,53、形如

y

的函數(shù)：第頁(yè)共7頁(yè)

例1已知函數(shù)①求的值；

f(x

2a2ax

(a且a

是定義在R上的奇函數(shù)。②求數(shù)

f(

的值域；③當(dāng)

x)

x

0

恒成立，求實(shí)數(shù)的值范圍。解①∵

f(

是定義在

上的奇函數(shù)，∴

f((x)

，即

22aa解得；②由①得

f()

22x22xx∴函

f(x在上單調(diào)遞增；又∵

∴

22x

，∴

2

x

2

∴函

f(x

的值域?yàn)?/p>

(

；③當(dāng)

時(shí)，

f()

22

xx

由題意得

(x)

2x2x

x

在

時(shí)恒成立，∴

m

(21)(22x

在

x

時(shí)恒成立，令

tx3)

，第頁(yè)共7頁(yè)

則有

m

(tt2tt∵當(dāng)

時(shí)函數(shù)

y

2t

為增函數(shù)∴

t

210的小值為，t3

103

，故實(shí)數(shù)的取值范圍為

,例2已知

a

，

m

求證：

aa

mm

mm

aa

nn

nn

，解構(gòu)函數(shù)

f()

xx2xax

()

∵

，則

ab

，又∵

f(x在上增函數(shù)∵

m，∴f()f(n

，即

ammamman﹡綜：通常對(duì)于比較復(fù)雜的二次分式函數(shù)，指數(shù)冪分式函數(shù)，我們可將其變形為“

t

1t

”的一次分式函數(shù)形式，然后再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到求解目另對(duì)不能通過(guò)變形去掉二次項(xiàng)系數(shù)的二次分式函數(shù)，則可采取判別式法求解。4、形如

mxp

的函數(shù)：例1求函解原數(shù)

y