2020-2021學(xué)年新教材人教A版選擇性必修第一冊第一章空間向量與立體幾何單元測試

章末質(zhì)量檢測(一)空間向量與立體幾何一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．已知空間向量λ＋μ＝(A．3B．－C．5D．－a＝(λ＋1,1，λ)，b＝(6，μ－1,4)，若a∥b，則)3523→→→2．在三棱錐A－BCD中，E是棱CD的中點(diǎn)，且BF＝BE，則AF＝()13434→→→A.2AB＋AC－AD3434→→→B.AB＋AC－AD→→→C．－5AB＋3AC＋3AD11313→→→D.3AB＋AC＋AD3．已知a，b，c是不共面的三個向量，則能構(gòu)成一個基底的一組向量是()A．2a，a－b，a＋2bB．2b，b－a，b＋2aC．a(chǎn),2b，b－cD．c，a＋c，a－c4．如圖，平行六面體ABCD－ABCD中，AC與BD的交點(diǎn)為1111M，設(shè)AB→＝a，AD→＝b，AA＝c，則下列選項中與向量MC→相等的是→11()11A．－a－b－c2211B.a＋b＋c2211C.a－b－c2211D.a＋b－c225．在平面ABCD中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a為平面ABCD的法向量，則y等于()2A．2B．0C．1D．無意義6．已知在一個二面角的棱上有兩個點(diǎn)A、B，線段AC、BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，AB＝5，AC＝3，BD＝4，CD＝52，則這個二面角的度數(shù)為()A．30°B．45°C．90°D．150°7．正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別是CC1，D1B1的中點(diǎn)，則EF與AB所成角的大小為()1A．30°B．60°C．90°D．120°8．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA＝6，則AA1與平面AB1C1所成的角為()1ππA.B.64C.3πD.π2二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得9．已知平行六面體ABCD－A′B′C′D′，則下列四式中其中正確的有0分)()A.AB→－CB→＝AC→B.AC→′＝AB→＋B′→C′＋CC→′C.AA→′＝CC→′D.AB→→→→→＋BB′＋BC＋C′C＝AC′10．以下四個命題中，其中正確的是()A．已知e和e是兩個互相垂直的單位向量，a＝2e1＋3e2，b＝12ke－4e2，且a⊥b，則實數(shù)k＝61B．已知正四面體O－ABC的棱長為1，則(OA→→→→＋OB)·(CA＋CB)＝1；C．已知A(1,1,0)，B(0,3,0)，C(2,2,3)，則向量AC→→在AB上正投影的數(shù)量是55；D．已知a＝e－2e2＋e，b＝－e＋3e2＋2e3，c＝－3e1＋7e2({e1，131e，e}為空間向量的一個基底)，則向量a，b，c不可能共面．2311.如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCD－ABCD，其中，1111以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中正確的是()→→→→A．(AA＋AB＋AD)＝2(AC)221→→→B.AC·(AB－AD)＝01→→C．向量BC與AA的夾角是60°116D．BD與AC所成角的余弦值為3112．如圖，在長方體ABCD－ABCD中，AB＝3AD＝3AA11111＝3，點(diǎn)P為線段AC上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()1→→A．當(dāng)AC＝2AP時，B，P，D三點(diǎn)共線111→→→→B．當(dāng)AP⊥AC時，AP⊥DP11→→C．當(dāng)AC＝3AP時，DP∥平面BDC1111→→D．當(dāng)AC＝5AP時，AC⊥平面DAP1111三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中橫線上)13．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若CA→＝a，CB→＝b，CC＝c，則→1→1BA＝________.14．已知a＝(x，－3,4)，b＝(－2，y，－8)，且a∥b則|a|＝________.15．已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PA＝PD＝5，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中O是AD則直線BM與平面PCO所成角的正弦值是________．點(diǎn)，的中點(diǎn)，16．(多填題)如圖所示的平行六面體ABCD－ABCD中，已知1111AB＝AA＝AD，∠BAD＝∠DAA＝60°，∠BAA＝30°，N為AD上11111一點(diǎn)，且AN＝λA1D1.若BD⊥AN，則λ的值為________；若M為棱1點(diǎn)，BM∥平面AB1N，則λ的值為________．DD1的中四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)分別是A(3，－1,2)，B(1,2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)．求證：四邊形ABCD是一個梯形．18．(本小題滿分12分)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形CDEF為直角梯形，DE∥CF，∠EDC＝90°，四邊形ABCD為矩形，平面CDEF⊥平面ABCD，AD＝DE＝2，CD＝CF＝4，點(diǎn)P為CF的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為BE的中(1)求證：DQ⊥BP；點(diǎn)．(2)求二面角Q－AD－B的余弦值．19.(本小題滿分12分)P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，四棱錐PD＝DA＝2，F(xiàn)、E分別為AD、PC的中點(diǎn)．(1)證明：DE∥平面PFB；(2)求點(diǎn)D到平面PFB的距離．20．(本小題滿分12分)如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，F(xiàn)D⊥平面ABCD，BE∥FD，且DF＝2BE＝2.(1)求直線AD和平面AEF所成角的大?。?2)求二面角E－AF－D的平面角的大?。?1．(本小題滿分12分)等邊△ABC的邊長為3，點(diǎn)D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，ADCE1(如圖①)，將△ADE沿DE折起到△ADE的位置，使且滿足＝＝DBEA21二面角A－DE－B成直二面角，連接A1B，A1C(如圖②)．1(1)求證：AD⊥平面BCED；1(2)在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使直線PA與平面ABD所成的11角為60°？若存在，求出PB的長；若不存在，請說明理由．22．(本小題滿分12分)如圖，在三棱柱ABC－ABC中，AACC是邊長為4的正方形，11111平面ABC⊥平面AACC，AB＝3，BC＝5.11(1)求證：AA⊥平面ABC；1(2)求二面角A－BC－B的余弦值；111BD(3)證明：在線段BC上存在點(diǎn)D，使得AD⊥AB，并求的值．11BC1章末質(zhì)量檢測(一)空間向量與立體幾何1．解析：因為a∥b，所以λ＋1＝1λ＝，64μ－1所以4λ＋4＝6λ，所以λ＝2，11μ－1所以＝，所以μ＝3，所以λ＋μ＝5.2故選C.答案：C→2→3＝，2．解析：因為E是棱CD的中點(diǎn)，BFBE所以AF→＝AB→＋BF→＝AB→＋32→→2→→2→1→1＝AB＋BE－AB(AE＋＝)＝AEAB3333→→1→1→1→1→＋AD(AC＝＋)＋ABABACAD.333＋3故選D.答案：D3．解析：對于A，因為2a＝(a－b)＋(a＋2b)，得2a、a－b、4233a＋2b三個向量共面，故它們不能構(gòu)成一個基底，A不正確；對于B，因為2b＝34(b－a)＋(b＋2a)，得2b、b－a、b＋2a三個23向量共面，故它們不能構(gòu)成一個基底，B不正確；對于C，因為找不到實數(shù)λ，μ，使a＝λ·2b＋μ(b－c)成立，故a、2b、b－c三個向量不共面，它們能構(gòu)成一個基底，C正確；對于D，因為c＝21(a＋c)－(a－c)，得c、a＋c、a－c三個向量12共面，故它們不能構(gòu)成一個基底，D不正確．故選C.答案：C→→→4．解析：如圖所示，∵M(jìn)C1＝MC＋CC，1→1→→→→→→→＝MCAC，AC＝AB＋AD，AB＝a，AD＝b，CC＝c，21→1→→→1→1→→11＝＋AD＝＋＋CC＝∴MC(AB)＋CCABADa＋b＋c，故選22222111B.答案：B5．解析：由題得，AB→＝(1,1,0)，AC→＝(－1，－1,2)，又a為平面→＝0－1＋y＝0a·AB，即→，則y＝1，ABCD的法向量，則有1yz20－＋＝＝0a·AC那么y2＝1.故選C.答案：C6．解析：設(shè)這個二面角的度數(shù)為α，→→→→由題意得CD＝CA＋AB＋BD，→→→→→→＝CA＋AB＋BD＋2|CA∴CD|·|BD|cos(π－α)，2222∴(52)2＝9＋25＋16－2×3×4×cosα，解得cosα＝0，∴α＝90°，∴這個二面角的度數(shù)為90°，故選C.答案：C7．解析：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立如下空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD－ABCD的棱長為2，1111則E(0,2,1)，F(xiàn)(1,1,2)，A(2,0,0)，B1(2,2,2)，EF→＝(1，－1,1)，AB1→＝(0,2,2)，設(shè)EF與AB所成角為α，1→→|EF·AB1|＝0，則cosα＝→→|EF|·|AB1|所以α＝90°，所以EF與AB所成角的大小為90°.故選C.1答案：C8．解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC為x軸，AB為y軸，AA為z軸建立如右1圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則A1(0,0，6)，A(0,0,0)，B1(0,2，6)，C1(2,0，6)則AB→＝(0,2，6)，AC＝(2,0，6)，AA＝(0,0，6)→→11設(shè)平面AB的法向量為m＝(x，y，z)1C11x＝－26→＝2y＋6z＝0＝2x＋6z＝0m·AB1則，令z＝1可解得→y＝－26m·AC1661所以m＝－，－2，2設(shè)AA與平面AB所成的角為α，則AA與平面ABC所成的C111111角的正弦值為→612〉＝＝sinα＝cos〈m，AA166－＋－＋126×2222π2因為α∈0，∴α＝π6，故選A.答案：A9．解析：作出平行六面體ABCD－A′B′C′D′的圖像如圖，可得AB→→→→→－CB＝AB＋BC＝AC，則A正確；AB→→→→＋B′C′＋CC′＝AB＋BC→→→＋CC′＝AC′，則B正確；C顯然正確；AB→→→→＋BB′＋BC＋C′C＝AB→→→＋BC＝AC，則D不正確．綜上，正確的有ABC.故選ABC.答案：ABCA中，∵a＝2e1＋3e，b＝ke－4e，且a⊥b，10．解析：212∴a·b＝(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝2ke＝0，解得k＝6，所以A正確．＋(3k－8)e－12e2＝2k－12·e21122→→→→→→→→→→→→＋OB＋CB＋OA＋OB＋OB)＝OA·CA)·(CA·CB·CAB中，(OA·CB＝1×1×cos60°＋1×1×cos90°＋1×1×cos90°＋1×1×cos60°＝21＋12＝1，所以B正確．C中，AC→＝(1,1,3)，AB→＝(－1,2,0)，→→1×－1＋1×2＋3×0向量AC→→在AB上正投影＝·＝＝55，ACAB→202＋＋－122|AB|所以C正確．D中，假設(shè)向量a，b，c共面，則a＝xb＋yc，所以e－2e＋e＝x(－e＋3e＋2e3)＋y(－3e1＋7e2)，12312－2e＋e＝(－x－3y)e＋(3x＋7y)e＋2xe，e123123所以1＝－x－3y，－2＝3x＋7y,1＝2x，得x＝12，y＝－12，所以向量a，b，c共面，所以D不正確．故選ABC.答案：ABC11．解析：以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都相等，它們彼此的夾角都是60°，→→→→→→12可設(shè)棱長為1，則AA＝AA＝AD＝1×1×cos60°＝，·AB·AD·AB11→→→→→→→→→→→→＋AB＋AD＝AA＋AB＋AD＋2AA＋2AB＋2AA(AA1)2·AB·AD1·AD22211＝1＋1＋1＋3×2×21＝6→→→→→→→而2(AC＝2(AB＋AD＝2(AB＋AD＋2AB))·AD)＝222212＝2×3＝6，所以A正確．21＋1＋2×→→→→→→→→AC1·(AB－AD)＝(AA1＋AB＋AD－AD))·(AB→→→→→→→→→→＝AA－AA＋AB－AB＋AD－AD＝0，所以B正·AB·AD·AD·AB2211確．→→向量B＝A，CD11顯然△AA1D為等邊三角形，則∠AA1D＝60°.→→→→C所以向量A與AA的夾角是120°，向量B與AA的夾角是120°，D1111則C不正確．→→→→→→→又BD＝AD＋AA－AB，AC＝AB＋AD11→→→→→→→則|BD|＝AD＋AA－AB2＝2，|AC|＝AB＋AD2＝311→→→→→→→BD1·AC＝(AD＋AA－AB＋AD)＝1)·(AB1→→→→·1＝66，所以D不正BDAC所以cos〈BD，AC〉＝＝12×31→→|BD1|·|AC|確．故選AB.答案：AB12．解析：在長方體ABCD－A1B1C1D1中，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為AB＝3AD＝3AA＝3，所以AD＝AA＝1，11則A(1,0,0)，A1(1,0,1)，C(0，3，0)，D1(0,0,1)，D(0,0,0)，B(1，→→＝(－1，3，－1)，D＝(1,0，－1)；3，0)，則A1CA1→→＝2A時，P為A1C中點(diǎn)，根據(jù)長方體結(jié)構(gòu)特征，A選項，當(dāng)A1CP1P為體對角線的中點(diǎn)，因此P也為B1D中點(diǎn)，所以B1，P，D三點(diǎn)共線；故A正確；B選項，當(dāng)AP→→⊥A1C時，AP⊥A1C，由題意可得，A1C＝1＋1＋312121＝5，AC＝1＋3＝2，所以由S△A1AC＝AA1·AC＝AC·AP，解得：AP＝255，即點(diǎn)P為靠近點(diǎn)A的五等分點(diǎn)，所5，所以AP＝511434→431→134以P，，，則D＝，，－，AP＝－，，，55P55555551→→434＝－＋－＝－15≠0，所以AP與D不垂直，故→→所以DP·APP25252511B錯誤；C選項，當(dāng)AC→→→1→1313＝3A時，則A＝＝－，，－，PPAC3133111設(shè)平面BDC的法向量為n＝(x，y，z)，由1→＝3y＋z＝0n·DC1，令y＝1，可得：n＝(－3，1，－3)，→＝x＋3y＝0n·DB→→→2313又D＝A－A＝，，－，PPD331111→→所以D1P·n＝0，因此D1P⊥n，所以D1P∥平面BDC1；D選項，當(dāng)A→1C＝5A時，A＝→→1→13＝－，，－，所以D15→1PPPAC555111→→431＝A－A＝，，－，5511PD51→→→→所以A1C·D1P＝0，A1C·D1A＝0，因此A1C⊥D1P，A1C⊥D1A，根據(jù)線面垂直定理，可得A1C⊥平面D1AP.故選ACD.答案：ACD13．解析：直三棱柱ABC－A1B1C1中，若CA→＝a，CB→＝b，CC＝→1→→→→→→＝BA＋AA＝CA－CB＋CC＝a－b＋cc，BA111故答案為a－b＋c.a－b＋c14．解析：因為a∥b，所以存在λ使得b＝λa?(－2，y，－8)＝λ(x，－3,4)，答案：－2＝λx，所以解得：λ＝－2，x＝1，y＝－3λ，－8＝4λ，所以a＝(1，－3,4)?|a|＝1＋9＋16＝26.故答案為26.答案：2615．解析：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,2,0)，C(－1,2,0)，P(0,0,2)∴M－12，1，1→3因此BM＝－，－1，1，設(shè)平面PCO一個法向量為n＝(x，y，2z)x，y，z·0，0，2＝0z＝0，取n＝(2,1,0)x＝2y∴∴x，y，z·－1，2，0＝0→因此直線BM與平面PCO所成角的正弦值是＝，n〉〈cosBM＝－3－1885.851754×885答案：85→→→16．解析：(1)取空間中一組基底：AB＝a，AD＝b，AA＝c，因1→→為BD⊥AN，所以BD＝0，·AN→→→→→→因為BD＝AD－AB＝b－a，AN＝AA＋A＝c＋λb，N11所以(b－a)·(c＋λb)＝0，所以21＋λ－－＝0，所以λ＝3－1；3λ22(2)在AD上取一點(diǎn)M1使得A1N＝AM1，連接M1N，M1M，M1B，因為A1N∥AM1且A1N＝AM1，所以NB∥M1B，NB1＝M1B，1又因為M1B?平面AB1N，NB1?平面AB1N，所以M1B∥平面AB1N，又因為BM∥平面AB1N，且BM∩M1B＝B，所以平面M1MB∥平面AB1N，所以MM1∥平面AB1N，又因為平面AA1D1D∩平面AB1N＝AN，且MM1?平面AA1D1D，所以M1M∥AN，所以△AA1N∽△MDM1，λA＝2，所以λ＝32.D11－λA1D1ANAA所以＝＝1DM1MD112答案：3－1，.317．解析：因為AB→＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD→＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，又－2－3＝＝，所以AB→－6346和CD→共線，即AB∥CD.因為AD→＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，BC→＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，－4≠≠01，所以AD與BC不平行，所以四邊形ABCD又－2－1－2為梯形．18．解析：(1)證明：∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，∠EDC＝90°，DE?平面CDEF，∴DE⊥平面ABCD；又AD⊥CD，如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DE所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．由已知得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,4,0)，Q(1,2,1)，P(0,4,2)，所以DA＝(2,0,0)，DQ＝(1,2,1)，BP→＝(－2,0,2)→→→→∴DQ·BP＝1×(－2)＋2×0＋1×2＝0，∴DQ⊥BP.(2)設(shè)平面ADQ的一個法向量m＝(x，y，z)，→＝0，m·DA則→＝0，m·DQ令y＝－1，得x＝02x＝0，所以，y＝－1，x＋2y＋z＝0，z＝2則m＝(0，－1,2)又DE⊥平面ABCD，故取平面ABCD的一個法向量n＝(0,0,1)∴cos〈m，n〉＝|mm|··|nn|＝1×52＝255∴由圖可知，二面角Q－AD－B的余弦值為255.19．解析：(1)證明：以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，P(0,0,2)，F(xiàn)(1,0,0)，B(2,2,0)，E(0,1,1)．則FP→＝(－1,0,2)，F(xiàn)B→＝(1,2,0)，DE→＝(0,1,1)，→1→1→→＝＋，∴DE∥平面PFB.∴DEFPFB22又∵D不在平面PFB內(nèi)，∴DE∥平面PFB.(2)設(shè)平面PFB的法向量為n＝(x，y，z)，→x＋2y＝0，＝0，＝0n·FB則令x＝2，得y＝－1，z＝1，?xz－＋＝，→20n·FP∴n＝(2，－1,1)，又FD→＝(－1,0,0)，→∴點(diǎn)D到平面PFB的距離d＝|FD·n|2＝＝36.|n|620．解析：(1)因為BE∥FD，所以B，E，F(xiàn)，D四點(diǎn)共面，因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB以及垂直于平面ABC的方向為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz如圖所示，則A(3，0,0)，F(xiàn)(0，－1,2)，E(0,1,1)，AF→＝(－3，－1,2)，→＝(－3，－1,0)，AE→＝(－3，1,1)，AD設(shè)m＝(x，y，z1)為平面AEF的一個法向量，11→－3x－y＋2z＝0AF·m＝0則有：即，111－＋y＋＝0→3x11z1AE·m＝0，令y＝1可得，m＝(3，1,2)1設(shè)直線AD和平面AEF所成角為θ，則→|－4|sinθ＝|AD·m|＝22，＝→2×8|AD||m|所以直線AD和平面AEF所成角為45°.(2)由(1)可知，平面AEF的一個法向量為m＝(3，1,2)設(shè)n＝(x，y，z2)為平面ADF的一個法向量，22→－3x－y＋2z＝0AF·n＝0則有：即，222－－y＝0→3x22AD·n＝0，令x＝32可得，n＝(3，－3,0)，3－3＝0，cos〈m，n〉＝|mm||·nn|＝812所以二面角E－AF－D的平面角為90°.21．解析：(1)證明：題圖①中，由已知可得：AE＝2，AD＝1，A＝60°.從而DE＝12＋22－2×1×2×cos60°＝3.故得AD2＋DE2＝AE2，∴AD⊥DE，BD⊥DE.∴題圖②中，A1D⊥DE，BD⊥DE，∴∠A1DB為二面角A1－DE－B的平面角，又二面角A－DE－B為直二面角，1∴∠A1DB＝90°，即A1D⊥DB.∵DE∩DB＝D且DE，DB?平面BCED，∴A1D⊥平面BCED.(2)存在．由(1)知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線DB、DE、DA分別為x軸、y軸、z1軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，如圖，過P作PH∥DE交BD于點(diǎn)H.設(shè)PB＝2a(0≤2a≤3)，則BH＝a，PH＝3a，DH＝