2022年初升高數(shù)學(xué)銜接講義(第2套) 第12講 函數(shù)的奇偶性（教師版含解析）

第12講函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?如果，都有，且，那么函數(shù)叫做奇函數(shù).偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?如果，都有，且，那么函數(shù)叫做偶函數(shù).奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)奇函數(shù)性質(zhì)：①定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③若定義域內(nèi)包含0，則；④.偶函數(shù)性質(zhì)：①定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②圖像關(guān)于軸對(duì)稱；③.用定義證明函數(shù)奇偶性的步驟：①求定義域.若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則進(jìn)行下一步;②化簡(jiǎn)的解析式.③求，判斷與的關(guān)系.若，則為奇函數(shù)；若，則為偶函數(shù)；若都不滿足，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若兩個(gè)等式都滿足，則既是奇函數(shù)也是偶函數(shù).判斷函數(shù)奇偶的方法定義法；圖像法；性質(zhì)法:①偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)仍為偶函數(shù)；②奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)；③兩個(gè)奇函數(shù)的積、商(分母不為0)為偶函數(shù)；③一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積、商(分母不為0)為奇函數(shù).(性質(zhì)法里面需要注意定義域)函數(shù)的奇偶性是()A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【答案】C【解析】定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為非奇非偶函數(shù)，選C.下列說(shuō)法正確的是()A．若一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)B．若一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)，則它的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱C．若一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)D．若函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則是奇函數(shù)【答案】B設(shè)奇函數(shù)的定義域是且圖象的一部分如圖所示，則不等式的解集是__________．【答案】【解析】是奇函數(shù)，可作出如下在的圖象，由圖象可知的解集為.判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)非奇非偶函數(shù)；(2)既奇又偶函數(shù)；(3)偶函數(shù)；(4)奇函數(shù).【解析】(1)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為非奇非偶函數(shù)；(2)中有，解得，且，為既奇又偶函數(shù)；(3)定義域?yàn)?，且，為偶函?shù)；(4)函數(shù)定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，綜上可知，為奇函數(shù).設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且是奇函?shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)C.是偶函數(shù)D.是偶函數(shù)【答案】D已知函數(shù)是奇函數(shù)，則________．【答案】2【解析】當(dāng)時(shí)，，是奇函數(shù)，，解得.函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，求證：為奇函數(shù)．【證明】令得，則，令，依題意得，即，又定義域?yàn)?，為奇函?shù)．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，__________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，是定義在上的偶函數(shù)，.已知分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，試求和的表達(dá)式．【答案】【解析】分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，，又，則，即，聯(lián)立解得.若函數(shù)是偶函數(shù)，且定義域?yàn)?，則__________，__________．【答案】【解析】依題意得且恒成立，解得且恒成立，則.已知為奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，又，則的解集為_(kāi)_________．【答案】【解析】奇函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，又，，由得或，解得或，的解集為.定義在上且滿足，且時(shí)，，則不等式的解集為_(kāi)_________．【答案】【解析】依題意，令得，，任取且，則，，在上單調(diào)遞增，不等式轉(zhuǎn)化為且，，解得，故解集為.設(shè)定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，若成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【解析】是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，可化為，又時(shí)，單調(diào)遞減，，解得，故的取值范圍為.函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且．確定函數(shù)的解析式；用定義證明：在區(qū)間上是增函數(shù)；解不等式：．【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析；(3).【解析】(1)依題意得，解得，；(2)任取且，則，且，，，即，在區(qū)間上是增函數(shù)(3)可化為，則，解得.

跟蹤訓(xùn)練已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則等于()A．3 B．2 C． D．【答案】D【解析】依題意，選D.下面五個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()①偶函數(shù)的圖像一定與軸相交；②奇函數(shù)圖像一定過(guò)原點(diǎn)；③偶函數(shù)圖像一定關(guān)于軸對(duì)稱；④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是；⑤偶函數(shù)與軸若有交點(diǎn)，則交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為0.A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】①錯(cuò)誤，③正確：偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，但不一定與軸相交；②錯(cuò)誤：奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但不一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，只有在原點(diǎn)處有定義才通過(guò)原點(diǎn)；④錯(cuò)誤：若既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，則且，則，但不一定，只要定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可；⑤正確.故正確命題個(gè)數(shù)是2，選A.對(duì)于定義在上的任意奇函數(shù)，都有()A.B.C.D.【答案】D【解析】對(duì)于定義在上的任意奇函數(shù)，都有，則，故選D.若函數(shù)為偶函數(shù)，則() B． C． D．【答案】C【解析】依題意得，即，，解得，選C.函數(shù)的圖像關(guān)于()A.軸對(duì)稱 B．直線對(duì)稱 C．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D．直線對(duì)稱【答案】C【解析】定義域?yàn)?，且，是奇函?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，選C.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則在上的表達(dá)式為()A.B.C.D.【答案】B【解析】是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，，此時(shí)，，故選B.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A.是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是 B.是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是C.是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是 D.是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是【答案】C【解析】定義域?yàn)?，且，是奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，在上遞減，在遞增；當(dāng)時(shí)，，在上遞減，在遞增，綜上，遞減區(qū)間是，選C.如果奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且最大值為，那么在區(qū)間上是()A.增函數(shù)且最小值是B.增函數(shù)且最大值是C.減函數(shù)且最大值是D.減函數(shù)且最小值是【答案】A【解析】奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且最大值為，則在上也是增函數(shù)，，在區(qū)間上由最小值，選A.若函數(shù)是偶函數(shù)，則的遞減區(qū)間是.【答案】【解析】依題意，解得，，的遞減區(qū)間是.若函數(shù)在上是奇函數(shù),則的解析式為_(kāi)_______.【答案】【解析】在上是奇函數(shù)，，解得，.設(shè)偶函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，則由大到小的關(guān)系是__________．【答案】【解析】偶函數(shù)在上是增函數(shù)，，即.若函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．【答案】1【解析】函數(shù)是奇函數(shù)，時(shí)，，則，.設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)?，若?dāng)時(shí)，的圖象如右圖,則不等式的解集是．【答案】【解析】奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，作出在的圖象如下：由得，由圖可知，的解集為.已知，則．【答案】【解析】由已知得，則.已知函數(shù)的定義域是，且滿足，,如果對(duì)于，都有.求；解不等式.【答案】(1)0；(2).【解析】(1)令，得，；(2)依題意，，，由對(duì)于，都有，可知在單調(diào)遞減，由得，，解得，故解集為.判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)奇函數(shù)；(2)非奇非偶函數(shù)；(3)奇函數(shù)；(4)非奇非偶函數(shù).【解析】(1)定義域?yàn)?，且，是奇函?shù)；(2)中有，解得，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是非奇非偶函數(shù)；(3)中有，解得，，，是奇函數(shù)；(4)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)且，是非奇非偶函數(shù).已知奇函數(shù)是定義在上的