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文檔簡介

§8.6方向導數(shù)與梯度一、方向導數(shù)

二、梯度.偏導數(shù)反映的是函數(shù)在一點沿坐標軸方向的變化率，但在有些問題中需要考慮函數(shù)沿其它方向的變化率。因此在本節(jié)引進方向導數(shù)的概念來確定函數(shù)在一點沿著任一方向的變化率..討論函數(shù)在一點P沿某一方向的變化率問題．一、方向導數(shù)的定義（如圖）..記為..1.若z=f(X)=f(x,y)在P

=(x,y)處偏導存在.則在點P

處沿x

軸正向的方向導數(shù),注:

.2.若z=f(X)=f(x,y)在P

=(x,y)處偏導存在.則在點P

處沿x

軸負向的方向導數(shù),.同樣可得沿y

軸正向的方向導數(shù)為f'y(x,y),而沿y

軸負方向的方向導數(shù)為–f'y(x,y)..證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為兩邊同除以得到.故有方向導數(shù).解.推廣可得三元函數(shù)方向導數(shù)的定義.方向余弦..例2.求函數(shù)

在點

P(1,1,1)沿向量

的方向導數(shù).解:向量

l

的方向余弦為.方向導數(shù)反映函數(shù)在一點沿某一方向的變化率。而函數(shù)在一點有無窮多個方向導數(shù)。..二、梯度的概念.結論.類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向導數(shù)的方向一致，其模為方向導數(shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù).解.等高線.等高線的畫法.等高線的畫法.等高線的畫法.等高線的畫法.等高線的畫法.等高線的畫法.等高線的畫法.等高線的畫法.等高線的畫法.等高線.等高線梯度為等高線上的法向量

梯度的幾何意義.等量面：曲面f(x，y，z)c稱為函數(shù)uf(x，y，z)的等量面．函數(shù)uf(x，y，z)在點P(x，y，z)的梯度的方向與過點P

的等量面f(x，y，z)c在這點的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向導數(shù)．.例4求函數(shù)沿曲線在點處的內法線方向的方向導數(shù)解一用方向導數(shù)計算公式即要求出從x

軸正向沿逆時針轉到內法線方向的轉角在兩邊對x

求導.解得（切線斜率）故法線斜率為

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