哈爾濱工業(yè)大學 05 結構力學-平面有限元2課件

結構力學學科組HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY

結構力學

<II>1§5-5平面等參數單元對于曲線邊界問題，矩形或三角形單元不僅精度低，而且必然產生離散誤差。如果通過縮小單元尺寸來改善計算結果，又將使未知量數目劇增。為了提高精度減少未知量，本節(jié)介紹一種工程有限元分析中廣泛應用的等參數單元

[簡稱等參元(isoparametricelement)]2哈工大土木工程學院等參元的基本思想是：首先建立規(guī)整形狀單元[稱為母單元(motherelement)]的形函數；然后用母單元形函數和實際單元的結點坐標根據坐標映射確定所劃分單元的幾何形狀，這個實際劃分的單元稱為“子單元”(mappingelement)；利用母單元形函數和單元結點位移建立子單元的位移場。進而利用勢能原理進行一定的數學推導，建立等參元的單元剛度方程3哈工大土木工程學院母單元的形函數由結點座標映射出與（,

）點對應的任意一的（x,y）座標的對應關系5哈工大土木工程學院子單元內任意一點的座標矩陣結點座標矩陣子單元結點座標矩陣母－子座標間的變換形式矩陣母元形函數矩陣6哈工大土木工程學院由此得到結論1、由母元形函數性質可知，母元結點座標通過映射可得到子單元結點直角坐標；2、母元中的某條座標線通過映射可得到子單元中的一條斜直線；3、母元中正交座標軸映射的子單元的一個斜角座標系。斜角座標系是固定于子單元的局部座標系，而子單元的另一座標系是整體座標系。7哈工大土木工程學院座標（，）既是的直角坐標，又是子單元的斜角座標，因此可用母元形函數建立子單元的位移場。2、建立單元位移場9哈工大土木工程學院1子單元位移場與母單元的位移場是一樣的，但子單元的位移場是以斜角(或曲線)坐標表達的，而母單元的位移場是以正則坐標表達的。因此，子單元的位移分布與母單元的位移分布即使在結點位移相同的情況下也可能是不同的。3、幾點說明2、座標場和位移場它們是相似的，因為使用相同的形函數構造的，并且用相同個數的結點參數(結點位移和結點坐標)來描述，因此稱這類單元為等參數單元。由此定義可見，等參元分析的關健在于建立各種結點數量時母單元的形函數。10哈工大土木工程學院3、若由結點坐標插值構造單元幾何形狀所用的形函數比由結點位移插值構造單元位移場的形函數階次低，并且所用結點參數個數少，則稱為亞參元；反之，若階次高，結點個數多，則稱為超參元。11哈工大土木工程學院由13哈工大土木工程學院雅克比矩陣14哈工大土木工程學院5-5-2幾種常用單元描述和位移模式1、8結點四邊形等參元123456781526378415哈工大土木工程學院（1）統(tǒng)一方法1、由形函數的性質。用直接試湊法建立邊界上新增結點的形函數由低階母元形函數生成高階母元形函數17哈工大土木工程學院2、計算低階母元形函數在新增結點處的值。18哈工大土木工程學院3、對低階母元角頂結點形函數進行“它點為零”的修正。19哈工大土木工程學院1、6結點三角形等參元152634152634L2=0L1=0L1－1/2=0L2－1/2=021哈工大土木工程學院母元形函數角結點

邊中點

22哈工大土木工程學院圖形變換位移場23哈工大土木工程學院25哈工大土木工程學院單元應力場26哈工大土木工程學院dL的計算在邊界123456781526378429哈工大土木工程學院在結點上30哈工大土木工程學院31哈工大土木工程學院3、單元剛度特性公式正方形母單元32哈工大土木工程學院33哈工大土木工程學院三角形母單元34哈工大土木工程學院152634積分線要有所改變35哈工大土木工程學院對于邊界表面力的等效荷載的微分弧長應視不同邊界而異36哈工大土木工程學院37哈工大土木工程學院5-5-4數值積分等參元的單元剛度矩陣和等效結點荷載的計算公式中被積函數是十分復雜的，很難用精確積分得到顯式(解析)積分結果。因而要采用數值積分方法，即在單元內選出某些點(稱為積分點)，算出被積函數在這些點處的值，再分別乘以權系數，然后以求其和作為積分的近似值。數值積分方法很多，在有限元分析中通常采用高斯積分法，因為它可以用較少的積分點達到較高的精度，從而可以節(jié)省計算時間。38哈工大土木工程學院1、一維高斯積分高斯積分點的座標高斯積分點的加權系數高斯積分點的函數值39哈工大土木工程學院2、二維高斯積分方形域三角域40哈工大土木工程學院5-5-5注意事項1、Jacobi行列式等于零，將使等參元分析失效。經映射的單元邊界發(fā)生嚴重扭曲。正方形母單元映射成三角單元。某角點處映射后單元邊界的切線夾角接近180。導致Jacobi行列式等于零的可能原因：41哈工大土木工程學院結構離散過程中避免出現單元過分畸形避免出現Jacobi行列式等于零的措施：邊界單元過分畸形退化成三角形角點切線夾角接近18042哈工大土木工程學院3、根據變換可知母單元中的點在子單元中的位置。但無法從子單元中的點確定其在母單元中的位置。2、母單元中邊點是等距離分布的，在子單元劃分確定邊線結點位置時也應盡量等距離分布4、當子單元網格劃分的邊界結點位于兩角點連接線上時，映射后子單元的此邊界將為一直線。但沿邊界所求得的位移并不一定是線性變化的（因為結點位移并不一定在一條直線上）。43哈工大土木工程學院5-5-6計算實例見130頁例題44哈工大土木工程學院5-5-7二維和三維計算程序簡要說明閱讀光盤介紹45哈工大土木工程學院§5-6Wilson非協(xié)調元*理論和計算經驗表明，單元的計算精度取決于單元位移模式中所包含的完全多項式的次數，而非完全的高次項一般不能提高精度。WisonE提出一種構造非協(xié)調元的方法，對提高等參元計算精度和計算效率很有指導意義。46哈工大土木工程學院5-6-1雙線性單元計算純彎曲問題誤差考察受純彎曲作用單元

精確解反映了純彎曲應力47哈工大土木工程學院采用雙線性單元，其位移解

應力解不是純彎曲應力導致誤差的原因是位移模式中缺少x2和y2項48哈工大土木工程學院5-6-2Wilson非協(xié)調元為提高精度，Wilson提出在位移場中附加內部無結點的位移項附加位移參數向量，是單元內部自由度49哈工大土木工程學院50哈工大土木工程學院消去單元內部自由度經過凝聚處理的這種非協(xié)調元精度有顯著提高。51哈工大土木工程學院5-6-3Wilson非協(xié)調元的收斂性不同單元的位移參數是不同的，因此這種單元的位移是不協(xié)調的，其收斂性不能得到保證?？墒且呀涀C明非協(xié)調元滿足一定條件下，結果是收斂的。由于在和邊界上分別為：52哈工大土木工程學院1當網格劃分是矩形或是平行四邊形單元時(此時|J|為常數)，非協(xié)調位移在單元尺寸不斷減小時協(xié)調性能得到改善，能保證趨于常應變狀態(tài)，因此分析是收斂的。2對任意的四邊形劃分，Wilson指出，以＝＝0（單元中心點）的Jacobi矩陣值作為整個單元各點的J矩陣，在此條件下計算單剛，則用非協(xié)調元也是收斂的。一些結論53哈工大土木工程學院§5-7結論與討論5-7-1幾點結論

三角形和矩形單元及等參元都是協(xié)調元，理論分析和算例都表明，協(xié)調元一定收斂，非協(xié)調元滿足一定條件也是收斂的，而且有時收斂的速度更快。

三角形單元用面積座標描述較簡便，而四邊形單元用正則座標描述，公式統(tǒng)一簡便。54哈工大土木工程學院

等參元可以是曲邊單元，同樣也可分為兩大類，即三角形類和四邊形類，選什么樣的單元作母單元即產生什么樣的等參元。正則母單元的形函數是構造等參元的必備條件。

母單元的形函數，可用試湊法或統(tǒng)一法由低階(常應變三角形和雙線性矩形)單元的形函數來得到。對于書上已介紹之外更高階的母單元形函數，直接試湊可能遇到困難，而按統(tǒng)一方法雖然稍麻煩些但不會有任何困難。55哈工大土木工程學院

等參元單元剛度矩陣和等效荷載計算公式中被積函數都十分復雜，一般只能采用數值積分方法獲得近似積分結果。

等參元(子單元)幾何形狀、位移模式都是由對應的母單元形函數插值構造的。母單元的點對應子單元點。但由子單元指定點一般不可能求得母元對應的點。

等參元當det[J]=0時將失效，因此在離散化時要注意避免出現det[J]=0的一些情況。56哈工大土木工程學院5-7-2幾點討論協(xié)調的單元其位移解答一般都小于精確解(真實解答)，也即協(xié)調單元的剛度比實際值大。請考慮為什么?(提示：所設位移模式一般并非實際位移。)