電動力學(xué)和原子物理學(xué)

電動力學(xué)和原子物理學(xué)第一頁，共七十五頁，2022年，8月28日本章重點(diǎn)：1、電磁場波動方程、亥姆霍茲方程和平面電磁波2、反射和折射定律的導(dǎo)出、振幅的位相關(guān)系、偏振3、導(dǎo)體內(nèi)的電磁波特性、良導(dǎo)體條件、趨膚效應(yīng)4、了解諧振腔和波導(dǎo)管中電磁波的運(yùn)動形式本章難點(diǎn)：1、振幅的位相關(guān)系2、導(dǎo)體內(nèi)電磁波的運(yùn)動3、波導(dǎo)管中電磁波解的過程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二頁，共七十五頁，2022年，8月28日引言

電磁波傳播問題在無線電通訊、光信息處理、微波技術(shù)、雷達(dá)和激光等領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用。

隨時(shí)間變化的運(yùn)動電荷和電流輻射電磁場，電磁場在空間互相激發(fā)，在空間以波動的形式存在，這就是電磁波。

傳播問題是指：研究電磁場在空間存在一定介質(zhì)和導(dǎo)體的情況下的波動。在真空與介質(zhì)、介質(zhì)與介質(zhì)、介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，電磁波會產(chǎn)生反射、折射、衍射和衰減等等，因此傳播問題本質(zhì)上是邊值問題。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三頁，共七十五頁，2022年，8月28日§1平面電磁波

電磁波在空間傳播有各種各樣的形式，最簡單、最基本的波型是平面電磁波。一、電磁場波動方程

1．自由空間電磁場的基本方程

2．真空中的波動方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束能否直接用到介質(zhì)中？第四頁，共七十五頁，2022年，8月28日3．介質(zhì)的色散

若電磁波僅有一種頻率成分

若電磁波具有各種頻率成分，則：實(shí)際上具有各種成分的電磁波可以寫為：

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束對均勻介質(zhì)，的現(xiàn)象稱為介質(zhì)的色散。

電磁波動在介質(zhì)中一般頻率成分不是單一的，可能含有各種成分。

第五頁，共七十五頁，2022年，8月28日由此可知，由于以及，而不能將真空中的波動方程簡單地用代、代轉(zhuǎn)化為介質(zhì)中的波動方程。4．時(shí)諧波（又稱定態(tài)波）及其方程時(shí)諧波是指以單一頻率做正弦（或余弦）振蕩的電磁波（又稱為單色波或者定態(tài)電磁波）。

這種波的空間分布與時(shí)間t無關(guān)，時(shí)間部分可以表示為

，因此有以下關(guān)系成立：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第六頁，共七十五頁，2022年，8月28日對單一頻率、成立。介質(zhì)中波動方程為：

（或者）同樣機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束對定態(tài)波第七頁，共七十五頁，2022年，8月28日稱為時(shí)諧波的亥姆霍茲方程（其中稱為波矢量）同理可以導(dǎo)出磁感應(yīng)強(qiáng)度滿足的方程

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第八頁，共七十五頁，2022年，8月28日三、平面電磁波1．平面波解的形式

證明上面的解滿足亥姆霍茲方程：亥姆霍茲方程有多種解：平面波解，球面波解，高斯波解等等。其中最簡單、最基本的形式為平面波解。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束研究平面波解的意義：①簡單、直觀、物理意義明顯；②一般形式的波都可以視為不同頻率平面波的線性疊加。第九頁，共七十五頁，2022年，8月28日2．平面電磁波的傳播特性（1）解為平面波設(shè)S為與垂直的平面。在S面上相位=常數(shù)，因此在同一時(shí)刻，S平面為等相面，而波沿方向傳播。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束平面波：波前或等相面為平面，且波沿等相面法線方向傳播。第十頁，共七十五頁，2022年，8月28日（2）波長與周期波長定義：兩相位差為的等相面間的距離。兩等相面相位差：波長、波速、頻率間的關(guān)系機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束波長周期（3）橫波特性(TEM波）

證明：

同理

第十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日（4）與的關(guān)系

證明：

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束a)與同相位；幾點(diǎn)說明c)，振幅比為波速（因?yàn)橄嗷ゴ怪鼻遥?。b)

構(gòu)成右手螺旋關(guān)系第十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日（5）波形圖假定在某一時(shí)刻（），取的實(shí)部。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束k第十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日3．平面電磁波的偏振特做為平面波解，也可以是復(fù)函數(shù)。

的方向也會發(fā)生變化。當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，的大小隨做周期變化，但方向總在一個(gè)方向（直線）上，因此稱為線偏振。

因?yàn)楹ツ坊羝澐匠痰慕庖话憧杀磉_(dá)為復(fù)矢量函數(shù)，不僅在大小上是的函數(shù)，而且隨的變化，機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束實(shí)部分量為：（1）線偏振：，

實(shí)部分量

與軸夾角

與無關(guān)，因此在波動過程中的大小變，而方向不變。第十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束（2）橢圓偏振：兩相位差為、振幅不同、振動方向垂直的振動的合成。第十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日當(dāng)時(shí)，為圓偏振機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束振動為左旋偏振（順時(shí)針）振動為右旋偏振（逆時(shí)針）4．平面電磁波的能量和能流電場能等于磁場能第十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束電磁能量傳播方向與電磁波傳播方向一致計(jì)算公式第十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日例一：有一平面電磁波，其電場強(qiáng)度為

（1）判斷電場強(qiáng)度的方向和波傳播的方向；（2）確定頻率、波長和波速；（3）若介質(zhì)的磁導(dǎo)率求磁場強(qiáng)度；（4）求在單位時(shí)間內(nèi)從一個(gè)與平面平行的單位面積通過的電磁場能量。

波沿方向傳播。解：（1）沿軸方向振蕩，，

（2）

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日（3），，，（與同相位同頻率，與垂直且與垂直，故它在軸方向）。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束（4）：單位時(shí)間垂直通過單位橫向截面的能量第二十頁，共七十五頁，2022年，8月28日解：設(shè)兩個(gè)電磁波分別為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例二、兩個(gè)頻率和振幅均相等的單色平面電磁波沿z軸傳播，一個(gè)波沿x方向偏振，另一個(gè)波y沿方向偏振，但其相位比前者超前，求合成波的偏振。

合成波為

第二十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束同樣一個(gè)右旋圓偏振波可分解為兩個(gè)相互垂直的線偏振波，且沿y軸波比x軸波相位超前。yx右旋圓偏振第二十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日第四章第二節(jié)電磁波在介質(zhì)界面上的反射和折射第二十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日§2.電磁波在介質(zhì)界面上的反射和折射電磁波入射到介質(zhì)界面上，會發(fā)生反射、折射現(xiàn)象(如光入射到水面、玻璃面)。反射、折射定律有兩個(gè)方面的問題：（1）入射角、反射角和折射角之間的關(guān)系問題；（2）入射波、反射波和折射波振幅和相位的變化關(guān)系。反射、折射既然發(fā)生在界面上，就屬于邊值問題。從電磁場理論可以導(dǎo)出反射和折射定律，也從一個(gè)側(cè)面證明麥?zhǔn)戏匠痰恼_性。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日一、反射和折射定律1．電磁場的邊值關(guān)系機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2．反射、折射定律的導(dǎo)出過程（1）假設(shè)入射波為單色平面電磁波，反射、折射電磁波也為平面電磁波第二十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日（2）波矢量分量間的關(guān)系且和在一個(gè)平面內(nèi)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明在界面上z=0,x，z任意第二十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束因?yàn)槿我猓股鲜匠闪?，只?/p>

同理可以證明兩邊除以

兩邊對x求偏導(dǎo)第二十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束（4）入射、反射、折射波矢與z軸夾角之間的關(guān)系因此反射、折射波矢也在

平面（3）入射波、反射波、折射波在同一平面入射波在平面且平面電磁波在兩種介質(zhì)中的相速第二十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日二、振幅和位相的關(guān)系1．垂直入射面（平面）機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束[Ⅰ]

③①第三十頁，共七十五頁，2022年，8月28日2．平行入射面（）

入射面，假定與方向相同機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束由邊值關(guān)系得：[Ⅱ]

3．在任意方向，可以分解為第三十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日4．相位關(guān)系分析

（1），從光疏煤質(zhì)到光密煤質(zhì)但是與總是同相位。

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日（2），從光密煤質(zhì)到光疏煤質(zhì)但與相位總是相同機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束結(jié)論：（1）入射波與折射波相位相同，沒有相位突變；（2）入射波與反射波在一定條件下有相位突變。對于垂直入射情況：由于按假定方向，與同方向，即同相位；若與假定反向，與反方向，即相位差，這種現(xiàn)象稱為半波損失（在一般斜入射時(shí)，有分量，、,與方向不同，談不上半波損失）。第三十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日5．偏振問題

這樣，反射和折射波就被變?yōu)椴糠制窆猓ǜ鱾€(gè)方向上大小不完全相同）。（2）布儒斯特定律：若則反射波，即反射波只有分量；

若自然光入射，則反射波為完全線偏振波。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束（1）入射為自然光（兩種偏振光的等量混合，在各個(gè)方向上均相同，）即由菲涅爾公式第三十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日6．正入射（）的菲涅爾公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束其中為相對折射率第二種情況就是半波損失補(bǔ)充作業(yè)：從邊值關(guān)系導(dǎo)出正入射的菲涅爾公式第三十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日三．全反射1．全反射現(xiàn)象特別是當(dāng)時(shí)，折射定律的原形式將失去意義，這時(shí)一般觀察不到折射波，只有反射波，因而稱作全反射。實(shí)際上仍然有波透射入第二種介質(zhì)，但是透射波僅僅存在于界面附近薄層中。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束折射定律折射波沿界面?zhèn)鞑サ谌?，共七十五頁?022年，8月28日2．全反射情況下的表達(dá)式

設(shè)為全反射情況下的平面波解，仍然假定入射波在平面，即，（但）

①

全反射條件為，由①、②得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束因②

第三十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束復(fù)數(shù)3．折射波的特點(diǎn)①折射波在全反射時(shí)沿軸傳播②折射波電場強(qiáng)度沿軸正向并作指數(shù)衰減③折射波只存在于界面附近一個(gè)層內(nèi)，厚度與波長同量級（）第三十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日4．全反射情況下振幅和相位關(guān)系機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束垂直入射時(shí)：振幅大小相等，有相位差

平行入射時(shí)：

折射波平均能流密度

入射到界面上的能量全部被反射，因此稱為全反射

第三十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日有導(dǎo)體存在時(shí)電磁波的傳播第四章第三節(jié)第四十頁，共七十五頁，2022年，8月28日§3有導(dǎo)體存在時(shí)電磁波的傳播引言（1）真空或介質(zhì)中電磁波傳播可視為無能量損耗，電磁波無衰減；（2）電磁波遇到導(dǎo)體，導(dǎo)體內(nèi)自由電子在電場的作用下運(yùn)動，形成電流，電流產(chǎn)生焦耳熱，使電磁波的能量不斷損耗，因此在導(dǎo)體內(nèi)部電磁波是一種衰減波；（3）在導(dǎo)體中，交變電磁場與自由電子運(yùn)動相互作用，使導(dǎo)體中電磁波傳播不同于真空或介質(zhì)中電磁波的傳播形式。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日一．導(dǎo)體內(nèi)的自由電荷分布

在變化電磁場中，導(dǎo)體不再處于靜電平衡狀態(tài)，必然有體電荷分布，分布隨時(shí)間變化形成電流，產(chǎn)生附加變化電磁場，形成導(dǎo)體內(nèi)總電磁場分布，又影響。1．靜電場中導(dǎo)體上的電荷分布

靜電平衡時(shí)，電荷僅分布在表面上，導(dǎo)體內(nèi)部無電荷，且電場強(qiáng)度垂直導(dǎo)體表面。

2．變化場情況下的電荷分布本節(jié)僅討論均勻?qū)w。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日為特征時(shí)間或馳豫時(shí)間，表示減小到所需時(shí)間。3．良導(dǎo)體條件對于靜電場良導(dǎo)體內(nèi)，電荷僅分布在導(dǎo)體表面薄層內(nèi)。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日二．導(dǎo)體內(nèi)的電磁波1．基本方程（導(dǎo)體內(nèi)部）

良導(dǎo)體中電流也在表面薄層內(nèi)分布，一般仍用體電流分布來解決問題。注意：用了體電流分布，面電流必須視為零。在特殊情況下采用面電流分布時(shí)，就不能再考慮體電流分布。

時(shí)諧（定態(tài)）與介質(zhì)中相比僅多了一項(xiàng)。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日2．導(dǎo)體中的平面波解（1）引入復(fù)介電場數(shù)

實(shí)部為位移電流的貢獻(xiàn)；虛部為傳導(dǎo)電流的貢獻(xiàn)，引起能耗（耗散功率）。因此，定態(tài)波方程組與介質(zhì)中定態(tài)波方程組形式上完全一樣。（2）直接寫出亥姆霍茲方程

（

3）平面波解仍可寫作機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日3．、的意義及表示式（1）平面電磁波解改寫為：----描述波振幅在導(dǎo)體內(nèi)的衰減程度衰減常數(shù)傳播常數(shù)----描述波空間傳播的位相關(guān)系（2）、與間的關(guān)系式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束由？第四十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日設(shè)介質(zhì)中波矢為，導(dǎo)體中為，則，并設(shè)在平面，即；上節(jié)（2.4）式仍然適用，即，。

（即分界面指向?qū)w內(nèi)部，波沿方向衰減）機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束由

（3）平面波從介質(zhì)入射到導(dǎo)體表面第四十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日由

解出：令與軸夾角為，由得

，從而定出

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日

，相速為。

對良導(dǎo)體情況：

，，、幾乎同方向。（推導(dǎo)過程：因?yàn)?，則，又，對導(dǎo)體

所以。）

對正入射：，機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日

與均沿z軸正方向；介質(zhì)中，所以良導(dǎo)體情況下：（）。

三．穿透深度和趨膚效應(yīng)波幅降至原值的傳播距離1．穿透深度在導(dǎo)體中的平面波為（在情況下）良導(dǎo)體機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十頁，共七十五頁，2022年，8月28日2．趨膚效應(yīng)：

對于良導(dǎo)體，當(dāng)電磁波頻率為交變頻率時(shí)，電磁場及交頻電流集中在導(dǎo)體表面薄層。例如，當(dāng)兆赫，銅3．導(dǎo)體內(nèi)磁場與電場的關(guān)系機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束對良導(dǎo)體第五十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日且，

因此，電場與磁場有的相位差。

振幅比：

則有

；

在真空或介質(zhì)中，兩者比較可見導(dǎo)體中磁場比真空或介質(zhì)中磁場重要的多，金屬中電磁能主要是磁場能量。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日四．導(dǎo)體表面上的反射

真空正入射，反射系數(shù)為

反射能流與入射能流之比（能流大?。?/p>

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日第四章第四節(jié)諧振腔第五十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日§4諧振腔

TEM波：電場和磁場在垂直傳播方向上振動的電磁波。平面電磁波在無界空間中傳播時(shí)就是典型的TEM波。一．有界空間中的電磁波1．無界空間中橫電磁波（TEM波）2．有界空間中的電磁波――邊值問題金屬一般為良導(dǎo)體，電磁波幾乎全部被反射。因此，若空間中的良導(dǎo)體構(gòu)成電磁波存在的邊界，特別是若電磁波在中空的金屬管中傳播，金屬邊界制約管內(nèi)電磁波的存在形式。在這種情況下，亥姆霍茲方程的解不再是平面波解。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日二．理想導(dǎo)體邊界條件討論的理想導(dǎo)體(一般金屬接近理想導(dǎo)體)。假定它的穿透深度（）。1．一般邊值關(guān)系

（由于邊界為理想導(dǎo)體，故認(rèn)為導(dǎo)體內(nèi)，因此只有面電流分布）

設(shè)為導(dǎo)體的電磁場量，為真空或絕緣介質(zhì)中的電磁場量，

。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日2．理想導(dǎo)體內(nèi)部，用代替

則在界面上：

在介質(zhì)中，應(yīng)用到界面上有（在界面上）。

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日定態(tài)波機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3．理想導(dǎo)體為邊界的邊值問題

理想導(dǎo)體邊值問題

第五十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日三．諧振腔低頻電磁波可采用回路振蕩器產(chǎn)生，頻率越高，輻射損耗越大，焦耳熱損耗越大（因?yàn)?，越小，電容電感不能集中分布電場和磁場，只能向外輻射；又因趨膚效應(yīng)，使電磁能量大量損耗）。

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束用來產(chǎn)生高頻振蕩電磁波的一種裝置由幾個(gè)金屬板或反射鏡（光學(xué)）構(gòu)成，稱為諧振腔。第五十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日（1）由6個(gè)金屬壁構(gòu)成的空腔6個(gè)面在直角坐標(biāo)中表示為

（2）設(shè)為腔內(nèi)的任意一個(gè)直角分量每個(gè)分量都滿足

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1．矩形諧振腔的駐波解

第六十頁，共七十五頁，2022年，8月28日（3）分離變量法求解機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第六十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日2．邊界條件確定常數(shù)

（1）考慮對，機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束假定

同理第六十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日（2）考慮機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束再由第六十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日3．諧振波型（1）電場強(qiáng)度

兩個(gè)獨(dú)立常數(shù)由激勵諧振的信號強(qiáng)度來確定

（2）諧振頻率（本征頻率）：

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第六十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日（3）討論l給定一組，解代表一種諧振波型（在腔內(nèi)可能存在多種諧振波型的迭加）；只有當(dāng)激勵信號頻率時(shí)，諧振腔才處于諧振態(tài)。l中不能有兩個(gè)為零,若則對每一組值，有兩個(gè)獨(dú)立的偏振波型（這是因?yàn)閷τ诖_定的可分解到任意兩個(gè)方向。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第六十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日

設(shè)，則最低諧振頻率為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束l最低頻率的諧振波型

（1，1，0）型但在一般情況下，為橫電磁震蕩

第六十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日

第四章第五節(jié)波導(dǎo)管第六十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日§5波導(dǎo)管1．低頻電路情況雖然能量在場中傳播，但在低頻時(shí)，場在線路中的作用可由一些參數(shù)（電壓、電流、電阻和電容等）表示出來，不必直接研究場的分布，用電路方程即可解決。對于低頻電力系統(tǒng)一般用雙線傳輸或采用同軸線傳輸。同軸線傳輸是為了避免電磁波向外輻射的損耗及周圍環(huán)境的干擾，但是頻率變高時(shí)，內(nèi)線半徑小，電阻大，焦耳熱損耗嚴(yán)重，趨膚效應(yīng)也嚴(yán)重。機(jī)動