第三章離散系統(tǒng)的分析

第三章離散系統(tǒng)的分析第一頁，共四十九頁，2022年，8月28日在離散系統(tǒng)中，激勵用f(k)（連續(xù)系統(tǒng)用f(t)）表示,響應(yīng)用y(k)(連續(xù)系統(tǒng)用y(t))表示，其中k為整數(shù)。初始狀態(tài)用{x(k0)}表示，其中為整常數(shù)，通常取k0＝0。與連續(xù)系統(tǒng)類似，LTI離散系統(tǒng)的全響應(yīng)y(k)也分為零輸入響應(yīng)yx(k)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)，即：

y(k)＝y(tǒng)x(k)＋yf(k)第二頁，共四十九頁，2022年，8月28日對于時不變系統(tǒng)，若激勵f(k)引起的零狀態(tài)響應(yīng)為yf(k)，那么激勵f(k－kd)引起的零狀態(tài)響應(yīng)就為yf(k－kd)。其中kd為延遲或移位。時不變系統(tǒng)的這種性質(zhì)可以稱為激勵與響應(yīng)之間的移位不變性（或稱時不變性）第三頁，共四十九頁，2022年，8月28日§3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)一、微分與差分方程與連續(xù)時間信號的微分方程及積分運(yùn)算相對應(yīng)，離散系統(tǒng)有差分和序列求和運(yùn)算。設(shè)有序列f(k)，則稱...f(k+2)、f(k+1)、

f(k－1)、f(k－2)...等為移位序列。序列的差分可分前向差分和后向差分。一階前向差分和一階后向差分分別定義為：本書主要采用后向差分第四頁，共四十九頁，2022年，8月28日差分方程的線性性質(zhì)第五頁，共四十九頁，2022年，8月28日差分方程的一般形式：

G[k,y(k),y(k-1),...,y(k-n)]=0

如果上式中y(k)及其移位項均為一次的,就稱起為線性的，否則為非線性的。如果y(k)及其移位的系數(shù)均為常數(shù),就稱其為常系數(shù)差分方程。否則為變系數(shù)差分方程。描述LTI離散系統(tǒng)的式常系數(shù)差分方程。差分方程是具有遞推關(guān)系的代數(shù)方程，若已知初始條件和激勵，利用迭代發(fā)可求得差分方程得數(shù)值解線性與非線性差分方程第六頁，共四十九頁，2022年，8月28日線性差分方程第七頁，共四十九頁，2022年，8月28日二、差分方程得經(jīng)典解第八頁，共四十九頁，2022年，8月28日齊次解當(dāng)輸入為零時，方程的解為齊次解：第九頁，共四十九頁，2022年，8月28日對于n階齊次差分方程，它的齊次解有形式為Cλk的序列組合而成，將Cλk代入方程，得：第十頁，共四十九頁，2022年，8月28日特解第十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日全解第十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日第十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日第十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日第十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日如果差分方程所有得特征根均小于1，這樣得系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)，這時自由響應(yīng)也稱為瞬態(tài)響應(yīng)。穩(wěn)定系統(tǒng)在階躍序列或有始周期序列作用下，其強(qiáng)迫響應(yīng)也是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)第十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)LTI系統(tǒng)的全響應(yīng)也可以分為零輸入響應(yīng)（yx(k)）和零狀態(tài)響應(yīng)（yf(k)）。即：

y(k)＝y(tǒng)x(k)＋yf(k)在零輸入條件下，化為齊次方程。若其特征根為單根，則其零輸入響應(yīng)為

第十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日第十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日第十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日第二十頁，共四十九頁，2022年，8月28日第二十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日§3.2單位序列和單位序列響應(yīng)一、單位序列與單位階躍序列單位序列第二十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日單位階躍序列第二十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日第二十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日單位序列響應(yīng)當(dāng)LTI離散系統(tǒng)的激勵位單位序列δ(k)時，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)稱為單位序列響應(yīng)（或單位樣值響應(yīng)、單位取樣響應(yīng)、單位函數(shù)響應(yīng)），用h(k)表示，它的作用與連續(xù)系統(tǒng)中的沖激響應(yīng)h(t)類似。

求解系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)也用求解差分方程法或z變換法單位序列δ(k)僅在k＝0處等于1。因而在k>0時，系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)與該系統(tǒng)的零輸入的函數(shù)形式相同。這樣就把求單位序列響應(yīng)的問題轉(zhuǎn)化為求差分方程齊次解的問題，至于k＝0處的值h(0)可按零狀態(tài)的條件有差分方程確定。二、單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng)第二十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日3.2-1求圖所示離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)？第二十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日解：（1）列出差分方程，求初始值第二十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日如圖得離散系統(tǒng)，求其單位序列響應(yīng)第二十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日第二十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三十頁，共四十九頁，2022年，8月28日階躍響應(yīng)當(dāng)LTI離散系統(tǒng)的激勵為單位階躍序列ε(k)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)或階躍響應(yīng)，用g(k)表示。若已知系統(tǒng)的差分方程，利用經(jīng)典法可以求得系統(tǒng)得單位階躍響應(yīng)g(k).由于：

第三十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日一、卷積和在LTI連續(xù)時間系統(tǒng)中，把激勵信號分解為一系列沖激函數(shù)，求出各沖激函數(shù)單獨(dú)作用于系統(tǒng)是的沖激響應(yīng)，然后將這些響應(yīng)相加就得到系統(tǒng)對于該激勵信號的零狀態(tài)響應(yīng)。這個相加的過程表現(xiàn)為求卷積積分。在LTI離散系統(tǒng)中，方法大致類似§卷積和第三十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日第四十頁，共四十九頁，2022年，8月28日二、卷積的圖示第四十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日三、卷積的性質(zhì)1）二子系統(tǒng)并聯(lián)組成的復(fù)合系統(tǒng)，其單位序列響應(yīng)等于二子系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)之和2）二子系統(tǒng)級聯(lián)組成的復(fù)合系統(tǒng)，其單位序列響應(yīng)等于子系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)的卷積第四十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日第四十三頁，共四十九頁，2022年，8月