八年級數學全等三角形與動點問題

一、解題思路1、利用圖形想到三角形全等，相似及三角函數；2、分析題目，了解有幾個動點，動點的路程，速度（動點怎么動）；3、結合圖形和題目，得出已知或能間接求出的數據；4、分情況討論，把每種可能情況列出來，不要漏；5、動點一般在中考都是壓軸題，步驟不重要，重要的是思路；6、動點類題目一般都有好幾問，前一問大都是后一問的提示，就像幾何探究類題一樣，如果后面的題難了，可以反過去看看前面問題的結論。二、三角形全等之動點問題（題型講解）例題1、如圖，AB=18cm,動點P從點A出發(fā)，沿AB以2cm/s的速度向點B運動，動點Q從點B出發(fā)，沿BA以1cm/s的速度向點A運動。P，Q兩點同時出發(fā)，當點P到達點B時,點P,Q同時停止運動。設點P運動的時間為t秒,請回答下列問題：（1）AP=2t，QB=t（含t的式子表達）；（2）在P，Q相遇之前，若P，Q兩點相距6cm，則此時t的值為4s。例題1圖知識點總結：由點速度已知的運動產生的幾何問題稱為動點問題，這類問題的解決方法如下：研究背景圖形，標注；2、分析運動過程，分段；3、表達線段長度，建立等式。例題2、如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=10，點E為邊AD上一點，且AE=7。動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿BC向點C運動，連接AP，DP。設點P運動時間為t秒。（1）當t=1.5時，4ABP與4CDE是否全等？請說明理由；（2）當t為何值時，△DCP0△CDE。例題2圖解：（1）當t=1.5時，4ABP0△CDE；理由如下：如圖，由題意得BP=2t?.當t=1.5時，BP=3VAE=7,AD=10???DE=3,BP=DE在矩形ABCD中AB=CD,ZB=ZCDE在^ABP和^CDE中??AB=CD,ZB=ZCDE,BP=DE??AABP0ACDE(SAS)(2)如圖，由題意得BP=2tBC=10.??CP=10-2t若使△DCP04CDE,則需CP=DE即10-2t=3,t=3.5.當t=3.5時，ADCP0△CDE。例題3、如圖，在等腰Rt^ABC中，NACB=90°,AC=CB,F是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且始終保持AD二CE。連接DE、DF、EF。(1)求證：4ADF0△CEF；(2)試證明ADFE是等腰直角三角形。例題3圖證明：(1)7在Rt△ABC中，NACB=90°,AC=CB,F是AB邊上的中點?.CF±AB,CF平分ZACB(等腰三角形中角平分線、中線、高三線合一)??AF=CF,ZA=ZFCB=45°在△ADF和△CEF中???SAABP=1/2AB?BC=1/2X4X5=10；???SAABP=1/2AB?BC=1/2X4X5=10；.??BD=1/2AB=5.??BD=1/2AB=5?「AF=CF,ZA=ZFCB=45?「AF=CF,ZA=ZFCB=45AD=CE??AADF0ACEF(SAS)(2)由(1)知AADF0ACEF得DF=EF,ZAFD=ZCFE「ZAFD+ZDFC=ZAFC=90°??ZCFE+ZDFC=ZDFE=90°?.ADFE是等腰直角三角形例題4、如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,NABC=90°,AD=12,BC=24,動點P從點A出發(fā)以每秒1個單位的速度沿AD向點D運動，動點Q從點C出發(fā)以每秒2個單位的速度沿CB向點B運動，P,Q同時出發(fā)，當點P停止運動時，點Q也隨之停止，連接PQ,DQ。設點P運動時間為t秒，試求當t為何值時，APDQ0ACQD。例題4圖解：如圖，由題意得AP=t,CQ=2t「AD=12???DP=12-t要使APDQ0ACQD,則需DP=QC即12-t=2t,t=4當t=4時，APDQ0ACQD(SAS)例題5、如圖，在AABC中，AB=AC=10cm,BC=8cm,點D為AB的中點，動點P在線段BC上以每秒3cm的速度由點B向點C運動，同時動點Q在線段CA上由點C向點A運動。設點P運動時間為t秒，當t為何值時ABPD0ACQP,試求此時t的值及動點Q的運動速度。例題5圖解：如圖，由題意得BP=3t「BC=8 PC=8-3t「AB=10,D為AB中點①要使ABOP0△CPQ，則需BD=CP,BP=CQ即5=8-3t,t=1.??CQ=3t=3則Q的速度為SQ=S/t=3/1=3(cm/s)即當t=1,Q的速度為每秒3cm時，ABOP0△CPQ。②要使ABOP0ACaP,則需BP=CP,BD=CQ即3t=8-3t,CQ=5??.t=4/3則Q的速度為SQ=S/t=5X3/4=15/4(cm/s)即當t=15/4(cm/s),Q的速度為每秒15/4cm時，ABOP0△CQPo綜上所述，當t=1時，Q的速度為每秒3cm或t=4/3時，Q的速度為每秒15/4cm時，ABPO0ACQPo例題6(單動點問題)、如圖，在矩形ABCD中，AB=DC=4,AD=BC=5。延長BC到E,使CE=2,連接DEo動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿BC-CD-DA向終點A運動，設點P運動時間為t秒。(1)請用含t的式子表達AABP的面積S；(2)是否存在某個t值，使得ADCP和ADCE全等？若存在，請求出所有滿足條件的t值；若不存在，請說明理由。例題6圖解：(1)①當動點P在BC上時，如圖，由題意得BP=2t(0WtW2.5)??SAABP=1/2AB?BP=1/2X4X2t=4t；②當動點P在CD上時，(2.5<tW4.5)③當動點P在AD上時，由題意得AP=14-2t(4.5<tW7)??S△ABP=1/2AB?AP=1/2X4X(14-2t)=28-4t。①當動點P在BC上時，如圖，由題意得BP=2t要使△DCP04DCE,則需CP=CE?「CE=2.??5-2t=2,t=1.5即當t=1.5時，ADCP0△DCE當動點P在CD上時,不存在t使△DCP和△DCE全等當動點P在AD上時,由題意得BC+CD+DP=2t??BC=5,CD=4,.DP=2t-9要使△DCP04CDE,則需DP=CE即2t-9=2,t=5.5即當t=5.5時，^DCP0△CDE。綜上所述，當t=1.5或t=5.5時，ADCP和ADCE全等。例題7(雙動點問題)、如圖，在矩形ABCD中，AB=CD=3cm,AD=BC=5cm,動點P從點B出發(fā)，以每秒1cm的速度沿BC方向向點C運動，動點Q從點C出發(fā)，以每秒2cm的速度沿CD-DA-AB向點B運動，P,Q同時出發(fā)，當點P停止運動時，點Q也隨之停止，設點P運動時間為t秒。請回答下列問題：(1)請用含t的式子表達4CPQ的面積S,并直接寫出t的取值范圍；(2)是否存在某個t值，使得4ABP和4CDQ全等？若存在，請求出所有滿足條件的t值；若不存在,請說明理由。例題7圖解：(1)①當動點Q在CD上時，如圖，由題意得CQ=2t,BP=t??CP=5-t(0Wt<1.5)??SACPQ=1/2CP?CQ=1/2(5-t)?2t=5t-t"2；②當動點Q在DA上時，(1.5<tW4)?.SACPQ=1/2CP?CD=1/2(5-t)X3=7.5-1.5t；③當動點Q在AB上時，由題意得BQ=11-2t(4<tW5)??SACPQ=1/2CP?BQ=1/2(5-t)X(11-2t)=t"2-21t/2+55/2。(2)①當動點Q在CD上時，不存在t使4AB