全國數(shù)模競賽00-05試題及優(yōu)秀2dvd租賃

、20052005六、模型的建立與求解3DVD的限制。同時不考慮各種DVD數(shù)量之間的橫向聯(lián)系，而對每種DVD單獨考慮其量。我們稱每個月內(nèi)只租賃一DVD的會員1類會員月內(nèi)租DVD的會員2DVDDVD對于某種DVD，如DVD1，假設(shè)其量為m，而希望看到DVD1的會員有2萬人，DVD40%DVD的會員手中。如果者手中，則一個月內(nèi)該DVD還可被其余會員看到，但是如果在40%的人手中時，則該DVD在這個月內(nèi)不會再被其余會員看到?？紤]一種悲觀情況，m的至少有50%的會員在一個月內(nèi)能看到該DVD,那么此時總的碟數(shù)應(yīng)該滿足：40%*20000(m40%*20000)* 50%*DVD140%的會員令其都租賃到DVD1，并且在一個月內(nèi)不還，另外60%的會員中有部分租到DVD1并且在一個月內(nèi)該DVD只被第二個會員看到。m看到他想看到的DVD，則每種DVD的量為：量b)95%情m(2m40%*2000)*2(40%*20000m)m

95%*量的歸還是服從參數(shù)為的泊松分布的。但是考慮一種平均的情況我們可以認(rèn)為：所有會員在每個月的某天（1號）DVD的人也集中在15號的時候歸還已租賃的DVD并提交下一份訂單。如果認(rèn)為會員租賃、歸還DVD的時間，而只考慮每個月內(nèi)兩次的分配方案，即1號和15號的分配方案。同時，在DVD被租賃出去后，對于某種DVD，從平均意義上看，應(yīng)該是均勻的分布在每月只1DVD的會員和每月租賃兩DVD的會員中15號，該DVD將有60%被歸還。50%情時，又0.6m張被歸還。這樣，為保證1個月內(nèi)至50%的會員時DVD則應(yīng)滿m量95%情11m20000115m2mmin(0.6m,0.6(2000021m3m2min(m,20000m2215m4m3min(0.6m,0.6(20000m331m5m4min(m,20000m4315m6m5min(0.6m,0.6(20000m520000m6200005%此時，計算得m數(shù)量（張1DVD，我們可以從理論求解該問題。 2i~ 0.6 nn

50%*n

50%*20000)n n

n (i 10000nini

n

10000n

n (0.250.2520.252100種DVD對于1000個會員訂單的分在此先對滿意度的定義給一說明，設(shè)第i個會員對第j種DVD感，并且在a

,則第i個會員獲得第j種DVD時的滿意度

cij11aijic'i

1000i1j，則相應(yīng)的 ，則相應(yīng)的xijjxijii所有會員的滿意度為24746。會編序4897799889會編序9798789598會編序9794899578會編序7998987989會編序9689987997會編序9874987996的會員其滿意度都在0.8以上?？梢?，該分配方案是很好的。前述6.2中只討論了1次分配的最優(yōu)性問題，下面，我們來考慮一個月內(nèi)如何分配，如何購置DVD才能使得會員的滿意度最大。并且滿足95%的會員得到他想看到的這是一個多目標(biāo)規(guī)劃的問題。從自己的經(jīng)濟利益出發(fā)，希望所需的DVD越少我們考慮如前6.1所述的均值情況，即所有的會員均在每月的1號租賃DVD，對1DVDDVD保留到下一個月，對于當(dāng)月租賃兩次的15號歸還，同時租賃第二次。這樣，在一個月內(nèi)，我們只需考慮對DVD做兩次分配即可。即1號分配方案和15號分配方案。60%DVD10003DVD。在第二次分配時，參與分配的每個會員都獲得此時自己最滿意的3張DVD。這種情況下的總體滿意度為6004540027假設(shè)某種分配方案的總體滿意度為CC'

1000 1000cijxij1cijxiji1j i1

jxij

xij1jxij1j2次分配時，DVDxij2bjj 擁有第j種DVD的數(shù)bj'bj cj xij2xij1xij2e1ixij1e2ixij1000e1i i11000e2i xiji1j0eki反之為0xij11或xij21或di1或各種滿意度下所需的最少DVD數(shù)即相應(yīng)的DVD分配方案。所需DVD從上可以看出，要使?jié)M意度不低于0.5至少需要1202張DVD,而要使得總的滿意度達1.0,3098DVD.要達到最好的滿意度，則至少需要3098DVD.如果要增加總體滿意度，必須以多DVD為代價，而且，滿意度的增加與DVD總6量量量會編序999989會編序99895967會編序989699579會編序9996969會編序97997998會編序957996997對比fig1和fig3，我們可以發(fā)現(xiàn)，在fig3中出現(xiàn)了一個很奇怪的現(xiàn)象，即會員的個0.71DVD數(shù)量有限2類會員）盡量多DVD，這樣才可以保DVD最大限度的利用。那么在此時，總是3DVD,3張的DVD，這樣，2類會員的滿意度總是大約為1，而1類會員的滿意度總是集中一個小一些的數(shù)上。從上圖也可以看到，這兩者的比例大致為4：6。DVD數(shù)量越大是，1類會員的滿意度高，也即兩個峰靠得越緊。下面給出滿意度為0.8時的個人滿意度分布圖（fig4）,我們可以從中看到這一點。得超過n。從的角度來看，當(dāng)m、n增大時，可能的經(jīng)營成本會增加，因為此時，需要付出的郵費以及出資的DVD，因此，總是向于盡量m，n的最優(yōu)值，以該模式運營，在滿足滿意度達到一定指標(biāo)的情況下，會獲得最優(yōu)的效益。下面我們分別來考慮每月最大租賃次數(shù)m和每次最多租賃DVD數(shù)目n對經(jīng)營利潤的影響。應(yīng)該如何限定會員每次租賃DVD的數(shù)目。2，表中列出了手頭上100DVD的現(xiàn)有張數(shù)和當(dāng)前需要處理的1000位會員的訂單。假定一張新DVD的費用為M=10。 19.910002e1i2e2i10 j

xij1jxij1j2次分配時，DVDxij2bjj 擁有第j種DVD的數(shù)bj'bj cj xij2xij1xij2eixij1eixij 1000 1000 ei xij1 xiji1j i1jeii0eixij11或0di1或0上述問題，要使得所獲得的總利潤最大應(yīng)該制定時的會員每月最多可獲得2張DVD，此時可得利潤：-4800，之所以會出現(xiàn)利潤是負值，是因為，我們付出了很大一部分費用新的DVD，這部分錢，其實在兩個月后就可收回了。這時，1000意度可以達到0.8。員每次借2張DVD所獲得的經(jīng)濟效應(yīng)會好于每次最所允許每位會員借3張DVD.此事建議，剛，不妨采用2-2模式來運營。即每月允許會員最多租賃2次，每次最多得2張DVD。m限定在一個較小的范圍內(nèi)討論，如限定在5次以內(nèi)。0-1規(guī)劃模型進行求解求得在一定條件下的每月最優(yōu)租賃次數(shù)m。為了在新DVD時能夠更準(zhǔn)確地對需求進行預(yù)測，我們建議的表可以設(shè)計為讓每位會員按其偏愛程度給出自己感的十張DVD，這時在考慮具體新的

評1 我們求出了多種滿意度下的最小DVD總數(shù)，并發(fā)現(xiàn)了二者之間