第二節(jié)離散型隨機(jī)變量的概率分布分布律

第二節(jié)離散型隨機(jī)變量的概率分布分布律第一頁，共四十二頁，2022年，8月28日設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值為的概率為:則稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律.注:分布律可以列表給出1.定義:其各個可能取值即事件第二頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.性質(zhì)用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)是否是概率函數(shù)注

一般：求分布律時需驗(yàn)證這兩條性質(zhì)。若成立則稱得上是分布律，否則說明分布律求錯.▲具有離散型隨機(jī)變量才具有分布律▲第三頁，共四十二頁，2022年，8月28日X的可能取值:0,1,2.X的各種可能取值的概率如下:解:設(shè)在15只同類型的零件中有兩只次品，現(xiàn)從中抽取3只，以X表示取出3只中所含次品的個數(shù).求:X的分布律.例1.第四頁，共四十二頁，2022年，8月28日圖形:亦稱概率分布圖所以其分布律為：(顯然每個第五頁，共四十二頁，2022年，8月28日某籃球運(yùn)動員投中籃圈概率是0.9，求：他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分布.

X可能取值為0、1、2

P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01

P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18

P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81

且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1從中抽取3只，求次品數(shù)不大于1只的概率有多大？思考題：答案：例2.解：則：故得其分布律為：第六頁，共四十二頁，2022年，8月28日一汽車沿一街道行駛，需要通過三個均設(shè)有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號燈顯示的時間相等.以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)，求：X的概率分布.依題意,X可取值0,1,2,3例3.解:Ai={第i個路口遇紅燈},i=1,2,3設(shè)路口3路口2路口1

則：P(X=0)=P(A1)=1/2第七頁，共四十二頁，2022年，8月28日Ai={第i個路口遇紅燈},i=1,2,3設(shè)Ai={第i個路口遇紅燈},i=1,2,3設(shè)路口3路口1路口2P(X=1)=P()=1/4X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)路口2路口3路口1

P(X=2)=P=1/8第八頁，共四十二頁，2022年，8月28日X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)Ai={第i個路口遇紅燈},i=1,2,3設(shè)路口1路口2路口3=1/8P(X=3)=P于是得其分布律為：顯然，第九頁，共四十二頁，2022年，8月28日某加油站替公共汽車站代營出租汽車業(yè)務(wù)，每出租一輛汽車，可從出租公司得到3元.因代營業(yè)務(wù)，每天加油站要多付給職工服務(wù)費(fèi)60元.設(shè)每天出租汽車數(shù)X是一個隨機(jī)變量，它的概率分布如下：求:因代營業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率.例4.第十頁，共四十二頁，2022年，8月28日加油站代營每出租一輛車，可得3元.若設(shè)每天出租汽車數(shù)為X，則因代營業(yè)務(wù)得到的收入為3X元.每天加油站要多付給職工服務(wù)費(fèi)60元，即當(dāng)天的額外支出費(fèi)用.因代營業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率為：P{3X>60}即:P{X>20}分析：第十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日注意到:也就是說，加油站因代營業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率為0.6.

故其經(jīng)營決策者應(yīng)該考慮是否繼續(xù)代營此項(xiàng)業(yè)務(wù)或應(yīng)該考慮是否調(diào)整當(dāng)天的額外支出費(fèi)用.P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6所以得：第十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日二.幾種常見的離散型隨機(jī)變量的分布1.(01)分布若隨機(jī)變量X只能取0與1兩個值,它的分布律為:則稱X服從(0--1)分布，記為：列表:第十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日它只發(fā)一彈，要么打中，要么打不中，分別記為1與0分布律為：(0—1)分布的應(yīng)用很廣，比如:檢查產(chǎn)品的質(zhì)量(正品與次品)有獎儲蓄券是否中獎(中與不中)對嬰兒性別進(jìn)行登記(男與女)高射炮射擊敵機(jī)是否擊中等等.某次射擊,已知某射手的命中率為0.8.求:射擊一次命中目標(biāo)次數(shù)X的分布律.例4.解:注:第十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.二項(xiàng)分布(1).貝努利概型重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn),若各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都不受其它各次試驗(yàn)結(jié)果的影響.則稱這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的.

把在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn)的概率模型,稱為

n次獨(dú)立試驗(yàn)?zāi)Ｐ?n次相互獨(dú)立試驗(yàn):說明:第十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E只有兩種可能的結(jié)果則稱這樣的n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)概型為：n重貝努利概型.設(shè)生男孩的概率為p，生女孩的概率為q=1-p，令X表示隨機(jī)抽查出生的4個嬰兒中“男孩”的個數(shù).求：X的概率分布.貝努利概型:且在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為：例5.第十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日X表示隨機(jī)抽查的4個嬰兒中男孩的個數(shù)，生男孩的概率為p.男女X=0X=1X=2X=3X=4X的概率函數(shù)是：X可取值0,1,2,3,4.第十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日將一枚均勻骰子拋擲3次，令:X表示3次中出現(xiàn)“4”點(diǎn)的次數(shù)求:X的概率函數(shù)X的概率函數(shù)是：例6.解:顯然，第十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日設(shè)一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為則在n次貝努利試驗(yàn)中事件A恰發(fā)生k次概率為:按獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式可知，n次試驗(yàn)中事件A在某k次(例如前k次)發(fā)生而其余n-k次不發(fā)生的概率應(yīng)為:定理證明:第十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日而且它們是相互獨(dú)立的，故在n次試驗(yàn)中A發(fā)生k次的概率(依概率的加法定理)為:概率就等于二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)，這也是二項(xiàng)分布的名稱的由來.由于現(xiàn)在只考慮事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生k次而不論在哪k次發(fā)生,所以它應(yīng)有種不同的發(fā)生方式.注顯然它滿足：▲第二十頁，共四十二頁，2022年，8月28日設(shè)某炮手射擊的命中率為0.8，為炸毀某個目標(biāo)，經(jīng)預(yù)測只要命中兩發(fā)就夠炸毀.問:希望發(fā)射5發(fā)炮彈就能炸毀目標(biāo)的可能性有多大?A:發(fā)射5發(fā)炮彈就炸毀了目標(biāo)例7.解:（恰好中兩發(fā)）=（至少中兩發(fā)）（恰好中三發(fā)）+（恰好中四發(fā)）+（恰好中五發(fā)）+第二十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日

(2).二項(xiàng)分布若用X表示n重貝努利概型中事件A發(fā)生的次數(shù)，它的分布律為：則稱X服從參數(shù)為n,p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，記為:列表:第二十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日對于固定n及p，當(dāng)k增加時，概率P(X=k)先是隨之增加直至達(dá)到最大值，隨后單調(diào)減少.n=10,p=0.7nPk注特別當(dāng)n=1時，二項(xiàng)分布即為(0---1)分布▲二項(xiàng)分布的圖形特點(diǎn)：X~B(n,p)▲第二十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日n=13,p=0.5Pkn0當(dāng)(n+1)p為整數(shù)時

概率P(X=k)

在k=(n+1)p和

k=(n+1)p-1處達(dá)到最大值.當(dāng)(n+1)p不為整數(shù)時，概率

P(X=k)

在

k=[(n+1)p]達(dá)到最大值其中：[x]

表示不超過

x

的最大整數(shù)第二十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日

已知100個產(chǎn)品中有5個次品，現(xiàn)從中

有放回地取3次，每次任取1個求:在所取的3個中恰有2個次品的概率.因?yàn)檫@是有放回地取3次，因此這3次試驗(yàn)的條件完全相同且獨(dú)立，它是貝努里試驗(yàn).依題意，每次試驗(yàn)取到次品的概率為0.05.設(shè)X為所取的3個中的次品數(shù)，于是，所求概率為：則X~B(3,0.05)例8解:第二十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日若將本例中的“有放回”改為”無放回”，那么各次試驗(yàn)條件就不同了，就不是貝努里概型，此時，只能用古典概型求解.古典概型與貝努里概型有何區(qū)別？注貝努里概型對試驗(yàn)結(jié)果沒有等可能的要求，但要求：（1）每次試驗(yàn)條件相同，各次試驗(yàn)相互獨(dú)立（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個互逆結(jié)果A或且第二十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日若一年中參加人壽保險者里面每個人死亡的概率為0.005,現(xiàn)有10000個這類人參加人壽保險.試求：在未來一年中在這些保險者里面:(1).有10人死亡的概率(2).死亡人數(shù)不超過10人的概率.設(shè)X:在未來一年中這些保險者中的死亡人數(shù).(1).有10人死亡的概率為：例9.解:這是貝努利概型.則：第二十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日(2).死亡人數(shù)不超過10人的概率是:這些計(jì)算是非常麻煩的，現(xiàn)給出一個當(dāng)n很大，p很小時的近似計(jì)算公式，即二項(xiàng)分布的Possion逼近.泊松(Possion)定理設(shè)是一常數(shù)則對任一固定的非負(fù)整數(shù)k有：且第二十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日證明:第二十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日泊松定理中的值有表可查例10.用泊松定理中的近似公式計(jì)算例9解：注:一般的用去近似二項(xiàng)分布的當(dāng)：時近似效果頗佳時近似效果更好見本教材第二版的P372的附表31萬人參加保險，每人的死亡率為0.005.求:10人死亡小于10人死亡的概率第三十頁，共四十二頁，2022年，8月28日這里附表3沒有列入，n確實(shí)很大時更進(jìn)一步的計(jì)算將在第五章介紹中心極限定理之后再來解決比較方便.若現(xiàn)將“每個人死亡的概率改為0.0005”，則注：第三十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日設(shè)有80臺同類型設(shè)備，各工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺設(shè)備的故障能由一個人處理?，F(xiàn)考慮兩種配備維修工人的方法：其一是由4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺；其二是由3人共同維護(hù)80臺.試比較：這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率大小.（1）在第一種配備方法中則：在80臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為：例11解：人維護(hù)的20臺中發(fā)生故障不能及時維修人維護(hù)的20臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)第三十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日（2）在第二種配備方法中則在80臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為:時刻發(fā)生故障的臺數(shù)第三十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日結(jié)論：經(jīng)比較，采用第二種配備方法雖然人員減少，每個人的任務(wù)加重(每人平均維護(hù)27臺），但質(zhì)量不僅沒降低，反而提高了，故應(yīng)采用第二種配備方法。3.泊松分布若隨機(jī)變量X的所有可能取值為：而它的分布律(它所取值的各個概率)為：則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記為定理：第三十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日注泊松分布滿足分布律的兩個條件：▲▲泊松分布的圖形特點(diǎn)：第三十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日在實(shí)際中，許多隨機(jī)現(xiàn)象服從或近似服從泊松分布。若把在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件。二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系▲由泊松分布的定義及泊松定理可知：當(dāng)泊松分布是二項(xiàng)分布的近似。（這是1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的）比如：第三十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日由泊松定理，n重貝努里試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等比如：第三十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日在自然界和人們的現(xiàn)實(shí)生活中,經(jīng)常要遇到在隨機(jī)時刻出現(xiàn)的某種事件.我們把在隨機(jī)時刻相繼出現(xiàn)的事件所形成的序列,叫做隨機(jī)事件流.若事件流具有平穩(wěn)性、無后效性、普通性，則稱該事件流為泊松事件流（泊