實施中學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)的策略

實施中學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)的策略第1頁/共221頁第一部分有效教學(xué)概述概念一——課堂教學(xué)效率的涵義：1、所謂課堂教學(xué)效率是指有效教學(xué)時間與實際教學(xué)時間之比。2、課堂教學(xué)效率是指單位時間里課堂教學(xué)的效果。它不但是預(yù)期教學(xué)目標(biāo)實現(xiàn)程度的綜合反映而且是評價教學(xué)優(yōu)劣的重要指標(biāo)和整個教學(xué)過程運作狀態(tài)是否良好的重要標(biāo)志。3、課堂教學(xué)效率:實際的教學(xué)效果與應(yīng)有的教學(xué)效果的比值。第2頁/共221頁4、課堂教學(xué)效率是指教師和學(xué)生在規(guī)定的課堂教學(xué)時間內(nèi)通過雙邊活動所消耗的勞動量與所獲得的教學(xué)效果之間的比率.5、課堂教學(xué)效率是指在課堂規(guī)定的教學(xué)時間內(nèi)所取得的教學(xué)效果的大小.

6、課堂教學(xué)效率是指在課堂有限的時間內(nèi)學(xué)生掌握知識的程度、能力的培養(yǎng)和知識的增幅三者之和所達到的效果.影響和制約課堂教學(xué)效率的主要因素是教師、學(xué)生和教學(xué)方法。第3頁/共221頁概念二——有效教學(xué)的內(nèi)涵

按照現(xiàn)代漢語的詞義，有效指“能實現(xiàn)預(yù)期的目的；有效果”，實際上，還可以指有效用，有效率；

就有效教學(xué)而言，有效，主要是指達成目標(biāo)的程度較高；

所謂有效教學(xué)，就是說教學(xué)應(yīng)對促成學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)有效；

從學(xué)生學(xué)業(yè)發(fā)展的角度去衡量教學(xué)的有效性。有效教學(xué)主要指“學(xué)生成長的教學(xué)”；它是優(yōu)質(zhì)教學(xué)的一個基本的層次。第4頁/共221頁一、相關(guān)概述1、有效教學(xué)溯源《論語》教學(xué)要因材施教，“舉一反三”“聞一知十”“觸類旁通”?！秾W(xué)記》

啟發(fā)式教學(xué)，“道而弗牽，強而弗抑，開而弗達”

自有教學(xué)以來，人們便進行著有效教學(xué)的實踐探索。

孔子杏壇講學(xué)第5頁/共221頁《大教學(xué)論》（捷克）

尋求并找出一種教學(xué)的方法，使教員因此可以少教，但是學(xué)生可以多學(xué)，提出教學(xué)應(yīng)根據(jù)兒童成長的規(guī)律，不能強迫兒童學(xué)習(xí)。

夸美紐斯（1592-1670）第6頁/共221頁最優(yōu)化教學(xué)理論:有效教學(xué)思想發(fā)展的一個重要里程碑。系統(tǒng)論的視角：

全面考慮教學(xué)規(guī)律、原則、方法傳授知識與教養(yǎng)、教育、發(fā)展的統(tǒng)一

巴班斯基（1927-1987）（前蘇聯(lián)）

《教育教學(xué)過程最優(yōu)化》教育教學(xué)過程最優(yōu)化第7頁/共221頁2、有效教學(xué)的教育哲學(xué)基礎(chǔ)基于某種哲學(xué)世界觀來觀照教育，從根本上理解教育，詮釋教育。（教育說到底是培育什么樣的“人”）教育存在的價值與追求的途徑。（哪種教育途徑能夠更好地更有效地培育“人”）重構(gòu)學(xué)校教育生活。（為學(xué)校教育設(shè)計合理有效的教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式）探求教育過程的價值標(biāo)準(zhǔn)（知識性、道德性、社會性、文化性…有效性是價值準(zhǔn)則之一）第8頁/共221頁3、有效教學(xué)的理念時效理念：

科學(xué)安排時間，有效利用時間力爭在單位時間內(nèi)取得最佳的效果發(fā)展理念：

學(xué)生的發(fā)展是終極指標(biāo)采取各種有效措施，促進學(xué)生發(fā)展主體理念：

學(xué)生是課堂學(xué)習(xí)的主體調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)主動性、積極性主動鉆研、自覺建構(gòu)關(guān)注教學(xué)時效學(xué)生是學(xué)習(xí)主體第9頁/共221頁實踐理念：學(xué)生動手、動口、動腦在“做”中學(xué)，在“做”中練合作理念：

溝通、對話、合作、交往與互動反思理念：

課后認(rèn)真反思診斷師生自我教與學(xué)的得失狀態(tài)總結(jié)提煉教與學(xué)的經(jīng)驗及教訓(xùn)考核評價教與學(xué)的效率及效果學(xué)生交流合作第10頁/共221頁（1）20世紀(jì)以來教育科學(xué)化運動的歷史演進20世紀(jì)上半葉西方教育：教學(xué)科學(xué)化運動：教學(xué)是科學(xué)還是藝術(shù)？（20世紀(jì)以前教學(xué)觀主導(dǎo)教學(xué)是藝術(shù)）教學(xué)效能核定運動：（20世紀(jì)以來，心理學(xué)和行為科學(xué)的發(fā)展，教學(xué)觀主導(dǎo)教學(xué)是科學(xué)，可用實驗、觀察等定量的方法研究教師和學(xué)生行為的指標(biāo)體系）

4、有效教學(xué)（effectiveteaching）概念興起第11頁/共221頁（2）有效教學(xué)：新課程改革關(guān)于教學(xué)與管理的現(xiàn)實訴求

減負(fù)提質(zhì)（《國家中長期發(fā)展綱要》政府行為）凱洛夫“五段教學(xué)”的變革三維目標(biāo)與學(xué)生的全面發(fā)展提升學(xué)校文化品位應(yīng)試教育第12頁/共221頁課堂教學(xué)滿堂灌：填鴨式教學(xué)學(xué)生學(xué)得累情境創(chuàng)設(shè)華而不實：

絢麗多彩虛假造作缺少問題作業(yè)負(fù)擔(dān)太重，學(xué)生成天困在書山題海之中

教師苦教，學(xué)生苦學(xué)，而“三維目標(biāo)”并未有效達到第13頁/共221頁二、有效教學(xué)的基礎(chǔ)：數(shù)學(xué)教師教學(xué)內(nèi)容知識(MPCK)有效教學(xué)的基礎(chǔ)：數(shù)學(xué)教師的教學(xué)理念、知識結(jié)構(gòu)、能力水平等因素教師專業(yè)發(fā)展專家學(xué)者型教師第14頁/共221頁數(shù)學(xué)教師教學(xué)內(nèi)容知識(MPCK)

數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識為mathematicalpedagogicalcontentknowledge(MPCK)的簡稱。概念內(nèi)涵及其構(gòu)成要素：數(shù)學(xué)知識MK（mathematicalknowledge）、教學(xué)法知識PK（pedagogicalknowledge）和內(nèi)容知識CK（contentknowledge）（學(xué)科知識或有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識）。教學(xué)內(nèi)容知識PCK(pedagogicalcontentknowledge)、數(shù)學(xué)學(xué)科知識MCK(mathematicalcontentknowledge)、數(shù)學(xué)教學(xué)法知識MPK（mathematicalpedagogicalknowledge）等。第15頁/共221頁1986年，美國斯坦福大學(xué)教授、著名教育家舒爾曼(LeeS.Shulman)最早提出教師專業(yè)知識結(jié)構(gòu)理論。舒爾曼提出的教師知識分為七類——學(xué)科內(nèi)容知識(subjectmatterknowledge)、一般教學(xué)法知識(generalpedagogicalknowledge)、課程知識（knowledgeofcurriculum），學(xué)科教學(xué)內(nèi)容知識(pedagogicalcontentknowledge，)、學(xué)生知識(knowledgeoflearners)、教育環(huán)境知識(knowledgeofeducationalcontext)、有關(guān)教育宗旨、目的等知識(knowledgeofeducationalends,etc.)教師教學(xué)知識基礎(chǔ)：第16頁/共221頁PCK的含義

Shulman(1986)最初的界定，PCK即關(guān)于教師將自己所掌握的學(xué)科知識轉(zhuǎn)化成學(xué)生易于理解的形式知識，它具體表現(xiàn)為教師知道使用怎樣的演示、舉例、類比等來呈現(xiàn)學(xué)科內(nèi)容，知道學(xué)生的理解難點。1987年，Shulman認(rèn)為它是用專業(yè)學(xué)科知識與教育學(xué)知識的綜合去理解特定主題的教學(xué)是如何組織、呈現(xiàn)，以適應(yīng)學(xué)生不同興趣和能力的，即教師在面對特定的教學(xué)材料時，如何針對學(xué)生的不同興趣與能力，將學(xué)科知識加以組織、調(diào)整與呈現(xiàn)，以實現(xiàn)教學(xué)最優(yōu)化。國外Carter、Grossman，Cochran等人相關(guān)的研究中都提到PCK是“用學(xué)生能理解的方法來表述學(xué)科內(nèi)容的知識”。第17頁/共221頁PCK的各種界定PCK就是教師開展教學(xué)活動時所具有的獨特知識，這種知識是教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)法的有機融合，用以說明教師選擇特有的教學(xué)課題（問題或?qū)ｎ}）組織教學(xué)，以適應(yīng)學(xué)生多種多樣的學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)能力。PCK是指教師關(guān)于某一特定的數(shù)學(xué)內(nèi)容該如何進行表述、呈現(xiàn)和解釋，以使學(xué)生更容易接受和理解的知識。第18頁/共221頁

MPCK模型圖：第19頁/共221頁

數(shù)學(xué)教師開展有效教學(xué)所必須具備的知識分為三類：（1）數(shù)學(xué)學(xué)科知識（mathematicalknowledge，簡稱MK）；（2）一般教學(xué)法知識（pedagogicalknowledge，簡稱PK）;(3)有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識CK（contentknowledge,簡稱CK）.

學(xué)科形態(tài)--PCK--教育形態(tài)第20頁/共221頁

數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(MPCK)構(gòu)成要素分解數(shù)學(xué)知識(MK)五種存在形態(tài)：科學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識、課程內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識、教材內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識、教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識和學(xué)習(xí)內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識)MK有四個維度：數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容知識、數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)學(xué)史知識．第21頁/共221頁

數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容知識MCK數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容知識主要包括以下幾個方面：（l）數(shù)學(xué)內(nèi)容，即各種事實、概念、原則或法則；（2）學(xué)科內(nèi)容之間的組織和結(jié)構(gòu)，即眾多的事實和概念之間的互相聯(lián)系；（3）探究方法，包括一系列設(shè)想、證明的法則；（4）數(shù)學(xué)文化；（5）數(shù)學(xué)與各種社會問題之間的關(guān)系；（6）數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系與與應(yīng)用。第22頁/共221頁

PK有四個維度：教育觀念、教育理論知識、課程知識以及教師的學(xué)科內(nèi)容知識．第23頁/共221頁教育觀念

教學(xué)著力于學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng).改變了教師過于關(guān)注學(xué)生問題解決能力的培養(yǎng)、輕視學(xué)生問題意識和提出問題能力發(fā)展的教學(xué)觀念和行為．

教師應(yīng)對數(shù)學(xué)教育形成如下基本認(rèn)識：教數(shù)學(xué)就是要教數(shù)學(xué)的創(chuàng)新精神，展示數(shù)學(xué)創(chuàng)新的思想與方法，傳授數(shù)學(xué)創(chuàng)新的事實；

學(xué)數(shù)學(xué)就是要學(xué)數(shù)學(xué)的創(chuàng)新觀念，養(yǎng)成數(shù)學(xué)的創(chuàng)新意識與能力，掌握數(shù)學(xué)創(chuàng)新的知識。教師不僅需要有強烈的問題探究意識，還必須掌握新課程理念所提倡的啟發(fā)式教學(xué)、探究式教學(xué)、合作學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)等多種教學(xué)模式。第24頁/共221頁（1）教學(xué)目的：

培養(yǎng)學(xué)生自主創(chuàng)新意識與實踐能力，核心是培養(yǎng)學(xué)生的問題意識、提高學(xué)生提出問題與解決問題的能力貫穿于教學(xué)的全過程.（2）教學(xué)基本原則：面向全體學(xué)生；以提出問題為中心；引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作學(xué)習(xí)；重視學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的情感體驗；有效地利用現(xiàn)代教育技術(shù)輔助教學(xué)。教育理論知識第25頁/共221頁（3）教學(xué)與學(xué)習(xí)理論知識：教師要掌握啟發(fā)式教學(xué)、探究式教學(xué)、自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)等教學(xué)理論知識以及建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論、“最近發(fā)展區(qū)”理論、元認(rèn)知理論等學(xué)習(xí)理論知識.（4）當(dāng)代主要數(shù)學(xué)教育理論知識：波利亞解題理論；弗萊登塔爾“再創(chuàng)造”理論；建構(gòu)主義教學(xué)理論，數(shù)學(xué)“雙基”理論。第26頁/共221頁課程知識

課程知識是在教育中被選擇、組織、分配和傳遞的供學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)的知識。它包括以文本的方式體現(xiàn)在課程計劃、課程標(biāo)準(zhǔn)和教材中的顯性知識，也包括教師沒有列入教學(xué)計劃的隱性知識。

課程知識是指導(dǎo)教師課程實踐的理論基礎(chǔ)，不僅影響到教師對課程的理解，同時也規(guī)約著教師的教育教學(xué)行為?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》是教師獲取課程知識的主要來源之一。第27頁/共221頁

CK有三個維度學(xué)生發(fā)展的知識學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知因素與非認(rèn)知因素知識學(xué)習(xí)環(huán)境的知識。第28頁/共221頁

學(xué)生發(fā)展的知識

教學(xué)是以問題為紐帶的建構(gòu)性學(xué)習(xí)，學(xué)生發(fā)展知識核心在于學(xué)生問題意識的開發(fā)。問題意識是指個體在一定的情境下提出問題質(zhì)疑問題變換問題和發(fā)展問題的一種自覺的心理狀態(tài)或思維習(xí)慣。第29頁/共221頁學(xué)生良好的問題意識：構(gòu)成要素：數(shù)學(xué)問題提出能力數(shù)學(xué)猜想能力數(shù)學(xué)實驗?zāi)芰?shù)學(xué)證明能力數(shù)學(xué)拓展與推廣能力第30頁/共221頁

學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知因素學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知因素核心：元認(rèn)知水平、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)等；學(xué)生學(xué)習(xí)非智力因素：態(tài)度、興趣、情感等。教學(xué)內(nèi)容緊扣教學(xué)目標(biāo)、適合學(xué)生的認(rèn)知水平，靠近他們的最近發(fā)展區(qū)；教學(xué)引起學(xué)生廣泛的聯(lián)想和認(rèn)知沖突，在獲取數(shù)學(xué)知識的同時，體驗數(shù)學(xué)知識形成與發(fā)展。第31頁/共221頁學(xué)習(xí)環(huán)境的知識

數(shù)學(xué)教師的教學(xué)水平、教學(xué)環(huán)境、學(xué)習(xí)條件等。數(shù)學(xué)教學(xué)中,通過問題情境創(chuàng)設(shè),讓學(xué)生建構(gòu)自己的知識。學(xué)生在以“問題”驅(qū)動的數(shù)學(xué)任務(wù)中，成為數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)者、探索者和解決者。教師采取以啟發(fā)式方法為核心的靈活多樣的教學(xué)方法，有針對性地選擇和使用教學(xué)策略。第32頁/共221頁

教師的學(xué)科內(nèi)容知識借鑒Schwab以及Carlsen的分類方法，教師的學(xué)科內(nèi)容知識包括以下三個方面的內(nèi)容：本體結(jié)構(gòu)知識，包括學(xué)科內(nèi)的概念、規(guī)則、原理、操作及其關(guān)系;句法結(jié)構(gòu)知識，包括對學(xué)科的文化、知識來源的解釋、對知識使用條件的判斷;實用結(jié)構(gòu)知識，包括不同情境中概念的正確理解與使用、所教內(nèi)容與生活實踐的關(guān)系．第33頁/共221頁

學(xué)科內(nèi)容知識是教師專業(yè)知識中的核心內(nèi)容之一，是成為一名教師的基礎(chǔ)。

教師的學(xué)科內(nèi)容知識的廣度、深度以及貫通度擴展和延伸．

廣度：教師不僅要扎實掌握基本的數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容知識，還應(yīng)掌握它們與自然科學(xué)、社會科學(xué)之間的聯(lián)系，以及對于日常生活的功用和關(guān)聯(lián)等更廣泛地知識．

深度：數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容知識有效地融入所創(chuàng)設(shè)的問題情境中;

貫通度：數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容知識通過提出數(shù)學(xué)問題與解決數(shù)學(xué)問題清楚明白地充分展示給學(xué)生。第34頁/共221頁

教師的學(xué)科知識有四個維度1989年，舒爾曼提出,教師的學(xué)科知識有四個維度:學(xué)科內(nèi)容知識,主要是一個領(lǐng)域的事實和概念的知識;實體性知識,主要是指將學(xué)科的基本概念和原理組織起來以使學(xué)科中的事實一體化的各種方式;句法性知識,主要是指學(xué)科中判斷真理與謬誤、有效與無效的規(guī)則;關(guān)于學(xué)科的信念,主要是指對學(xué)科的個人的看法和認(rèn)識．第35頁/共221頁數(shù)學(xué)教師教學(xué)知識結(jié)構(gòu)優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師知識結(jié)構(gòu)圖（見：黃毅英，許世紅．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識——結(jié)構(gòu)特征與研發(fā)舉例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報．2009,(1):5-9.）第36頁/共221頁數(shù)學(xué)教師教學(xué)內(nèi)容知識MPCK通俗地說，MPCK是指關(guān)于某一特定的數(shù)學(xué)內(nèi)容該如何進行表述、呈現(xiàn)和解釋，以使學(xué)生更容易接受和理解的知識。MPCK是數(shù)學(xué)教師知識的核心成分，是數(shù)學(xué)教師專業(yè)性的重要體現(xiàn)，是教師進行有效教學(xué)的必要條件。第37頁/共221頁三、數(shù)學(xué)課堂有效教學(xué)的模式與特征模式：（一）隨機研討式師生合作教學(xué)

以課堂上師生互動為主教學(xué)無需事先設(shè)計學(xué)生發(fā)言自由,有感而發(fā)學(xué)生自覺主動、積極參與課堂教學(xué)基本環(huán)節(jié)：呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容教師質(zhì)疑學(xué)生發(fā)散思考師生協(xié)商解決問題對教師要求高:

引導(dǎo)學(xué)生參與大膽發(fā)言尊重學(xué)生,能與學(xué)生平等交流要求教師學(xué)識廣博,坦然面對學(xué)生的質(zhì)疑隨機研討第38頁/共221頁2.自主發(fā)現(xiàn)式合作教學(xué)

以師生互補為主的課內(nèi)外結(jié)合強調(diào)學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)負(fù)責(zé)學(xué)生主動探索發(fā)現(xiàn)問題注重內(nèi)在動機基本環(huán)節(jié)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)質(zhì)疑課下探索解惑課堂交流溝通師生共同點評對教師的要求:學(xué)生發(fā)展為本改變“教師講、學(xué)生聽”教師是平等中的首席教學(xué)相長自主發(fā)現(xiàn)式合作第39頁/共221頁3.小組互動式合作教學(xué)

基于課堂新課教學(xué)學(xué)生為主體師生互動主要環(huán)節(jié)布置學(xué)習(xí)（教學(xué)）任務(wù)課上小組研究課堂匯報交流師生共同探討解答對教師的要求:向?qū)W生提出的任務(wù)要明確引導(dǎo)學(xué)生在討論中建構(gòu)知識提供獲取知識的方法具備全面駕馭課堂的能力適時抓住學(xué)生有困難的問題解答小組互動式合作第40頁/共221頁數(shù)學(xué)課堂有效教學(xué)的特征

特征一

有效的數(shù)學(xué)課堂，應(yīng)是讓學(xué)生克服對數(shù)學(xué)的恐懼，喜歡學(xué)數(shù)學(xué)的課堂。喜歡上數(shù)學(xué)課第41頁/共221頁案例：影響學(xué)生學(xué)習(xí)的相關(guān)變量變量范疇變量名稱維度學(xué)校方面學(xué)校氛圍與數(shù)學(xué)老師的師生關(guān)系數(shù)學(xué)教師的教學(xué)行為同伴關(guān)系數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感態(tài)度價值觀數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感態(tài)度價值觀（總體）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和自我效能數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動機數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法資料來源：中國兒童青少年心理發(fā)育特征調(diào)查項目（2007-2009）第42頁/共221頁特征二：有效的數(shù)學(xué)課堂，應(yīng)是讓學(xué)生投入到課堂學(xué)習(xí)的全過程，使數(shù)學(xué)認(rèn)知能力水平都得到不同層次的充分發(fā)展的課堂。第43頁/共221頁特征三：有效的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，重視“形成性”評價的課堂。轉(zhuǎn)變學(xué)業(yè)評估方式（國家教育發(fā)展評估的監(jiān)督：我國基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測工作已經(jīng)啟動）第44頁/共221頁特征四：有效的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是充滿活力，充滿探索精神的課堂

第45頁/共221頁案例：例1A離學(xué)校10千米，B離A有3千米，試問B離學(xué)校幾千米？特點：沒有說明A、B、學(xué)校三者是否在一條直線上，或一個平面上，或在三維空間中。題目樣式非常普通，簡直像一年級小學(xué)生做的題目。深入一想，內(nèi)涵很深，“點、線、面”各種位置關(guān)系不定，具有開放性。引題：荷蘭弗萊登塔爾數(shù)學(xué)研究所所長德朗治（JenDeLang)于1993年在上海數(shù)學(xué)會作報告時介紹的題目之一第46頁/共221頁特征五：

有效的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是充滿教育智慧的課堂。

教育智慧哪里來？摯愛---歷練-----博學(xué)第47頁/共221頁四.數(shù)學(xué)有效教學(xué)策略探討關(guān)注教學(xué)理論注意學(xué)習(xí)心理經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動變式教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法哲學(xué)思辨“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí)多角度理解不同學(xué)科整合第48頁/共221頁課程論

課程是教材、活動、經(jīng)驗等課程改革使課程論成為熱點學(xué)習(xí)論

行為主義：強調(diào)反復(fù)練習(xí)，主張目標(biāo)教學(xué)，關(guān)注怎么教

認(rèn)知主義：主動學(xué)習(xí)，教學(xué)在于發(fā)展學(xué)生智力，關(guān)注教什么

建構(gòu)主義：認(rèn)知主義的發(fā)展，探索、發(fā)現(xiàn)的方法建構(gòu)知識的意義教學(xué)論

目標(biāo)教學(xué)（行為主義）

探究教學(xué)（建構(gòu)主義）

非指導(dǎo)性教學(xué)（人本主義心理學(xué)）羅伯特·加涅Gagne,RobertM1916－2002有效策略1：關(guān)注教學(xué)理論第49頁/共221頁刺激學(xué)生注意力的保持，延長持續(xù)時間

心理學(xué)的研究表明，7～10歲兒童能連續(xù)保持注意20分鐘，10～12歲約25分鐘，12歲以上約30分鐘。注意的廣度與靈活性逐漸加強學(xué)習(xí)遷移理論一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響知識、技能、態(tài)度、行為在一定條件下遷移生活中的經(jīng)驗遷移到學(xué)習(xí)活動中

有效策略2：注意學(xué)習(xí)心理生活經(jīng)驗遷移學(xué)習(xí)第50頁/共221頁數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗：《課標(biāo)》要求讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動，在活動中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。明確將“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”列為課程目標(biāo)之一?！靶薷母濉鄙踔涟选皵?shù)學(xué)活動經(jīng)驗”單列（四基之一）?；局R、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗。數(shù)學(xué)活動過程知識：

情景—經(jīng)驗：觀察、操作、實驗等獲得。問題—解決：問題表征、解決途徑、獲得結(jié)果、反思調(diào)節(jié)。方法—觀念。數(shù)學(xué)的素質(zhì)，數(shù)學(xué)信念等最高境界知識，具有穩(wěn)定性。

有效策略3：經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動第51頁/共221頁概念性變式：對概念的多角度理解過程性變式：數(shù)學(xué)活動的有層次推進有效策略4：變式教學(xué)概念變式：概念外延的變化，達到對概念多角度理解非概念變式：如反例變式等“中國數(shù)學(xué)教育本土研究”開拓者顧泠沅教授博導(dǎo)概念形成過程應(yīng)用概念問題解決過程構(gòu)建數(shù)學(xué)經(jīng)驗過程第52頁/共221頁

變式教學(xué)“盲人摸象”和“集思廣益”現(xiàn)象學(xué)認(rèn)識論：對同一事物的認(rèn)識是不同側(cè)面的意識和反思。心理學(xué)認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要逐步深入的表征方式：語言表征→圖像表征→符號表征。希爾伯特：研究不同變換下的代數(shù)不變量（本質(zhì)），對不同數(shù)系下的不變運算律的理解，有助于把握數(shù)系的結(jié)構(gòu)?！把驖u進”“萬變不離其宗”【德】胡塞爾E.Husserl（1859-1938）20世紀(jì)現(xiàn)象學(xué)派創(chuàng)始人盲人摸象第53頁/共221頁授人以魚，不如授人以漁數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，有利于增強學(xué)生數(shù)學(xué)觀念，形成良好思維素質(zhì)。在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識，畢業(yè)后若沒什么機會去用，一兩年后，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們終生受益。

引自米山國藏：《數(shù)學(xué)的精神思想和方法》有效策略5：數(shù)學(xué)思想方法第54頁/共221頁

對于數(shù)學(xué)家的思維過程來說是很典型的，他們往往不對問題進行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)化為己經(jīng)能夠解決的問題。

---路莎·彼得《無窮的玩意》待解決的問題A易解決的問題B問題A的解答問題B的解答轉(zhuǎn)化還原案例：化歸數(shù)學(xué)思想第55頁/共221頁

數(shù)學(xué)的教學(xué)要從知識技能上升到思想方法，再上升到數(shù)學(xué)精神，而數(shù)學(xué)的精神就體現(xiàn)了各種哲學(xué)的精髓。培養(yǎng)學(xué)生全面、系統(tǒng)、科學(xué)的觀點看問題，善于質(zhì)疑，培育“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”。有效策略6：哲學(xué)思辨畢達哥拉斯柏拉圖阿基米德笛卡爾馬克思數(shù)學(xué)來源于哲學(xué)，數(shù)學(xué)中蘊含著哲學(xué)的思想第56頁/共221頁

學(xué)習(xí)是由學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗背景，對外部信息進行主動地選擇、加工和處理，獲得自己的理解，從而主動建構(gòu)知識意義的過程。

---建構(gòu)主義有效策略7：數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是實施“再創(chuàng)造活動”，由學(xué)生本人把學(xué)習(xí)的東西自己實現(xiàn)或創(chuàng)造出來，教師的任務(wù)是提供自由廣闊的天地，引導(dǎo)學(xué)生探索，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力

---弗賴登塔爾弗賴登塔爾（1905--1990）第57頁/共221頁

把知識放到各種不同的環(huán)境中去，讓學(xué)生產(chǎn)生更新、更多、更廣的知識或?qū)χR產(chǎn)生更加深刻的認(rèn)識。多角度遷移有利于學(xué)生對事物的全面認(rèn)識。不斷遷移的過程也是加深理解的過程有效策略8：放到不同環(huán)境，從多角度加深理解《小蝌蚪找媽媽》第58頁/共221頁

橫看成嶺側(cè)成峰遠近高低各不同不識廬山真面目只緣身在此山中題西林壁蘇軾多角度理解第59頁/共221頁加德納：多元智能理論有效策略9：多學(xué)科整合，多感官開放語言智能數(shù)理邏輯智能音樂節(jié)奏智能空間智能身體運動智能自我認(rèn)識智能人際關(guān)系智能自然觀察者智能存在智能有些孩子擅長于通過身體活動和具體活動來學(xué)習(xí)（身體運動型學(xué)習(xí)者）有些孩子在同伴的互動中能獲得最佳學(xué)習(xí)（人際型學(xué)習(xí)者）整合不同的課程領(lǐng)域有助于形成不同的學(xué)習(xí)風(fēng)格【美】G.加德納美國著名認(rèn)知心理學(xué)家多元智能學(xué)說開拓者第60頁/共221頁數(shù)學(xué)“三維目標(biāo)”教學(xué)緘默知識的教學(xué)關(guān)注科學(xué)用腦思維整體主義與還原主義的研究學(xué)術(shù)性與師范性知識的統(tǒng)一注重學(xué)生發(fā)展性評價有效教學(xué)的改進有效教學(xué)的反思與改進第61頁/共221頁反思1：數(shù)學(xué)“三維目標(biāo)”教學(xué)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求：知識與技能過程與方法情感、態(tài)度、價值觀情感方面1對數(shù)學(xué)的興趣與好奇心2認(rèn)識到數(shù)學(xué)的價值3對數(shù)學(xué)美學(xué)元素的欣賞認(rèn)知方面1良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)2對數(shù)學(xué)知識的深刻理解3數(shù)學(xué)知識內(nèi)部豐富的聯(lián)系4數(shù)學(xué)知識與其它學(xué)科、生活實際的聯(lián)系思維方面1抽象思維與形象思維的結(jié)合2發(fā)散性思維的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力精神方面1體會辯證精神，理解事物的矛盾與統(tǒng)一2培養(yǎng)理性精神，善于質(zhì)疑與反思第62頁/共221頁反思2：緘默知識的教學(xué)緘默知識很難用言語、文字或符號進行系統(tǒng)表述（關(guān)于自身行為的一種產(chǎn)生性知識，隱性知識）非正規(guī)數(shù)學(xué)經(jīng)驗、數(shù)學(xué)精神、活動經(jīng)驗、數(shù)學(xué)直覺具有情境性、非邏輯性、個人性、遷移性緘默知識就像是場，知識就像是場中運動的粒子，場激發(fā)著粒子運動。情境與認(rèn)知、活動與過程、感悟與體會教學(xué)中：情景性體驗、互動中體驗、想象中體驗、實踐中體驗。第63頁/共221頁反思3：關(guān)注腦思維訓(xùn)練數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教育主要是培養(yǎng)人的理性和思維能力。

抽象思維左腦思維符號化思維邏輯思維

探索性思維右腦思維形象化思維直覺思維思想者奧古斯迪·羅丹法國教學(xué)中關(guān)注學(xué)生邏輯思維與形象思維的結(jié)合訓(xùn)練第64頁/共221頁反思4：整體主義與還原主義研究思考：我們注重知識本身還是更加注重知識之間的聯(lián)系？整體主義認(rèn)為：要把各要素放在系統(tǒng)的框架中進行考察，把系統(tǒng)作為由從屬組織部分結(jié)合成的集成整體來對待。強調(diào)研究高層次本身和整體的重要性。還原主義：將高層次還原為低層次，將整體還原為各組成部分加以研究。還原主義關(guān)注事物的物質(zhì)實體（如原子），而整體主義系統(tǒng)論更關(guān)注事物組織結(jié)構(gòu)方面的特征。教學(xué)中，我們要更加重視學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)以及對知識的深刻理解。

一般系統(tǒng)論創(chuàng)始人貝塔朗菲美籍奧地利生物學(xué)家（1901---1972）第65頁/共221頁反思6：學(xué)術(shù)性與師范性知識的統(tǒng)一數(shù)學(xué)知識（學(xué)術(shù)性）高師各分支數(shù)學(xué)知識中小學(xué)數(shù)學(xué)具體概念、規(guī)則、原理及其相互間聯(lián)系以精神、思想聯(lián)通高等數(shù)學(xué)與中小學(xué)數(shù)學(xué)，立足高觀點，對數(shù)學(xué)理解深刻學(xué)生知識（師范性）學(xué)習(xí)理論、學(xué)生身心特征、動機理論及應(yīng)用、學(xué)生背境理解教學(xué)法知識（師范性）課堂教學(xué)管理及教學(xué)組織兼容并蓄，吸收各種教學(xué)流派的營養(yǎng)，并在實踐中進行檢驗及理論提升。吳正憲數(shù)學(xué)特級教師課標(biāo)研制組核心成員第66頁/共221頁反思7：發(fā)展性評價發(fā)展性評價觀現(xiàn)行評價觀強調(diào)每個學(xué)生的發(fā)展（個體差異)強調(diào)甄別與選拔。評價指標(biāo)的多元化（三個維度）。評價指標(biāo)單一（知識點）評價方法多樣化。強調(diào)過程性評價。評價方法單調(diào)（紙筆測驗）。強調(diào)終結(jié)性評價。激勵學(xué)生、認(rèn)識自我、建立自信甄別學(xué)生、挫傷學(xué)生的自信心和自尊性強調(diào)“質(zhì)性評價”；定性與定量相結(jié)合過分強調(diào)評價的量化與標(biāo)準(zhǔn)化實施的主體是學(xué)生、家長與老師實施的主體是老師第67頁/共221頁正確認(rèn)識有效教學(xué)改變“唯分?jǐn)?shù)論”價值取向變革傳統(tǒng)教學(xué)方式調(diào)整教師專業(yè)知識加強課堂教學(xué)能力當(dāng)前有效教學(xué)的改進第68頁/共221頁

時代發(fā)展的驅(qū)動新課程改革的需要培養(yǎng)公民素質(zhì)的要求學(xué)校發(fā)展的訴求提高基礎(chǔ)教育質(zhì)量的根本保障

1.加強對有效教學(xué)意義的認(rèn)識第69頁/共221頁ConceptText

中小學(xué)考試之頻繁，幾乎讓人無法接受，期中期末考試、單元測試自不必說，隨堂小測接連不斷。

實行基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測，穩(wěn)步推進中高考制度改革。2.改變“唯分?jǐn)?shù)論”價值取向的影響片面追求應(yīng)試對學(xué)生成長的影響第70頁/共221頁ConceptTextText

為了孩子為了中華民族的復(fù)興做“有效教學(xué)”改革的促進者3.變革傳統(tǒng)教學(xué)方式教師中心教材中心課堂中心傳統(tǒng)教學(xué)方式下學(xué)生不堪重負(fù)第71頁/共221頁4.調(diào)整教師專業(yè)知識結(jié)構(gòu)學(xué)科知識教學(xué)知識學(xué)習(xí)者和學(xué)習(xí)的知識課程知識評價過程評價結(jié)果學(xué)科教學(xué)知識特殊情境知識一般教育情境知識第72頁/共221頁分析課標(biāo)與教材的能力；設(shè)計教學(xué)方案的能力；選擇教學(xué)策略的能力；啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生的能力；組織管理課堂的能力；運用教學(xué)媒體的能力；評價與反思的能力；

……5：加強教師教學(xué)能力第73頁/共221頁6.改革考試評價制度全面推行反映學(xué)生狀況的過程性評價實行高中畢業(yè)生學(xué)業(yè)成就的認(rèn)定制度將高考的權(quán)力更多地給高校與地方第74頁/共221頁改革之一普通高校擁有自主招生的權(quán)力和義務(wù)。高中畢業(yè)生的國家水平考試成績、學(xué)生成長紀(jì)錄檔案、優(yōu)秀生、特長生的推薦甄選材料均可以作為高校錄取新生的依據(jù)。高校必要時可以對學(xué)生進行加試（包括面試）。建立報名、招生、錄取的社會化機制和監(jiān)管制度。第75頁/共221頁改革之二建立學(xué)生成長紀(jì)錄檔案制度。收集和分析能夠反映學(xué)生學(xué)習(xí)過程和結(jié)果的原始資料是評價學(xué)生的關(guān)鍵。要通過學(xué)生的成長紀(jì)錄來全面反映學(xué)生的發(fā)展?fàn)顩r。成長紀(jì)錄包括：

學(xué)生的自我評價教師和同學(xué)的的觀察和評價來自家長的信息學(xué)生的最佳作品考試和測驗的信息第76頁/共221頁學(xué)校和教師要對收集到的資料和信息進行科學(xué)地分析，形成對學(xué)生發(fā)展情況的分析報告，客觀描述學(xué)生的成就、優(yōu)勢和不足，對學(xué)生的考試結(jié)果要進行分析、什么和建議，不能把考試成績作為學(xué)生分類的標(biāo)簽。建立嚴(yán)格的管理制度，保證學(xué)生成長紀(jì)錄的真實性和可信度。第77頁/共221頁改革之三建立國家課程水平考試制度國家課程水平考試為全體學(xué)生必須參加的高中水平考試。同等學(xué)歷者可以參加水平考試。由指定的機構(gòu)（如省級教育行政部門）發(fā)給證書。第78頁/共221頁改革之四建立優(yōu)秀生、特長生的推薦、甄選制度。保證有特殊才能的優(yōu)秀人才有更多的機會進入理想的高校深造。對申請人的條件、申請程序、推薦人的資格、相關(guān)的組織機構(gòu)、推薦人的責(zé)任及回避制度等應(yīng)作出相應(yīng)的規(guī)定。第79頁/共221頁第80頁/共221頁基于自主學(xué)習(xí)的觀念，有效教學(xué)應(yīng)具備以下幾方面的特征：1、讓學(xué)生明確通過努力而能夠達到的目標(biāo)，并且明白目標(biāo)的達成對個人成長的意義；2、設(shè)計具有挑戰(zhàn)性的教學(xué)任務(wù)，促使學(xué)生在更復(fù)雜的水平上理解；3、通過聯(lián)系學(xué)生的生活實際和經(jīng)驗背景，幫助學(xué)生達到更復(fù)雜水平的理解；4、適時與挑戰(zhàn)性的目標(biāo)進行對照，對學(xué)生的學(xué)習(xí)有一個清楚的、直接的反饋；5、能夠使學(xué)生對每個學(xué)習(xí)主題都有一個整體的認(rèn)識，形成對于事物的概念框架；6、能夠遷移并發(fā)現(xiàn)和提出更為復(fù)雜的問題，有進一步探究的愿望。第81頁/共221頁有效教學(xué)的條件

（一）學(xué)習(xí)者具有學(xué)習(xí)的意向；

（二）學(xué)習(xí)內(nèi)容本身具有邏輯意義；

（三）學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有同化新知識的適當(dāng)?shù)闹R基礎(chǔ)。第82頁/共221頁有效教學(xué)策略的理念主要包括下列這些內(nèi)容

1.有效教學(xué)關(guān)注學(xué)生的進步或發(fā)展

首先，要求教師有“對象”意識。教學(xué)不是唱獨腳戲，離開“學(xué)”，就無所謂“教”，也就是說，教師必須確立學(xué)生的主體地位，樹立“一切為了學(xué)生的發(fā)展”的思想。

其次，要求教師有"全人"的概念。學(xué)生的發(fā)展是全人的發(fā)展，而不是某一方面(如智育)或某一學(xué)科(如英語、數(shù)學(xué)等)的發(fā)展。教師千萬不能過高地估計自己學(xué)科的價值，而且也不能僅把學(xué)科價值定位在本學(xué)科上，而應(yīng)定位在對一個完整的人的發(fā)展上。

第83頁/共221頁2.有效教學(xué)關(guān)注教學(xué)效益，要求教師有時間與效益的觀念

教師在教學(xué)時既不能跟著感覺走，又不能簡單地把"效益"理解為"花最少的時間教最多的內(nèi)容"。教學(xué)效益不同于生產(chǎn)效益，它不是取決于教師教多少內(nèi)容，而是取決于對單位時間內(nèi)學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果與學(xué)習(xí)過程綜合考慮的結(jié)果。第84頁/共221頁3.有效教學(xué)更多地關(guān)注可測性或量化

如教學(xué)目標(biāo)盡可能明確與具體，以便于檢驗教師的工作效益。但是，并不能簡單地說量化就是好的、科學(xué)的。有效教學(xué)既要反對拒絕量化，又要反對過于量化。應(yīng)該科學(xué)地對待定量與定性、過程與結(jié)果的結(jié)合，全面地反映學(xué)生的學(xué)業(yè)成就與教師的工作表現(xiàn)。

4.有效教學(xué)需要教師具備一種反思的意識

要求每一個教師不斷地反思自己的日常教學(xué)行為，持續(xù)地追問"什么樣的教學(xué)才是有效的？""我的教學(xué)有效嗎？""有沒有比我更有效的教學(xué)？"

第85頁/共221頁5.有效教學(xué)也是一套策略

所謂“策略”，就是指教師為實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)或教學(xué)意圖而采用的一系列具體的問題解決行為方式。具體地說，按教學(xué)活動的進程把教學(xué)分成準(zhǔn)備、實施與評價三個階段，每個階段都有一系列的策略。有效教學(xué)需要教師掌握有關(guān)的策略性的知識，以便于自己面對具體的情景作出決策，并不要求教師掌握每一項技能。

按照目標(biāo)管理的教學(xué)流程，有效的教學(xué)過程劃分為三個階段：教學(xué)的準(zhǔn)備、教學(xué)的實施和教學(xué)的評價，并據(jù)此來劃分教師在處理每一階段的過程中所表現(xiàn)出來的種種具體的問題解決行為方式。第86頁/共221頁由上，從學(xué)生發(fā)展的角度，可總結(jié)為：一、有效課堂教學(xué)可以從哪些方面衡量●教學(xué)取得了預(yù)期的效益——

實現(xiàn)結(jié)果、效率、魅力的統(tǒng)一●教學(xué)提升了學(xué)生的素質(zhì)——

追求認(rèn)知、情意、方法的和諧●教學(xué)促進了主體的參與——

構(gòu)建互動、活動、主動的課堂第87頁/共221頁二、有效課堂教學(xué)具備什么特征第88頁/共221頁第89頁/共221頁第90頁/共221頁第91頁/共221頁第92頁/共221頁第93頁/共221頁第二部分：

數(shù)學(xué)概念的有效教學(xué)策略一、數(shù)學(xué)概念的概述（定義、分類）二、概念的獲得（概念的形成、同化、順應(yīng)）三、影響概念學(xué)習(xí)的因素四、數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略第94頁/共221頁當(dāng)前概念教學(xué)的問題不重視章節(jié)起始課的教學(xué)，沒有把本章節(jié)要解決的主要問題、基本過程和主要思想方法等納入教學(xué)任務(wù)中；概念教學(xué)走過場，常常采用“一個定義，三項注意”的方式，在概念的背景引入上著墨不夠，沒有給學(xué)生提供充分的概括本質(zhì)特征的機會，認(rèn)為讓學(xué)生多做幾道題目更實惠．有些老師不知如何教概念．第95頁/共221頁教概念的意義李邦河院士：數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的做法嚴(yán)重偏離了數(shù)學(xué)的正軌，必須糾正．否則，學(xué)生在數(shù)學(xué)上耗費大量時間、精力，結(jié)果可能是對數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少，“數(shù)學(xué)育人”終將落空．第96頁/共221頁前言一數(shù)學(xué)語言：文字語言、圖形語言和符號語言。第97頁/共221頁前言二、目標(biāo)領(lǐng)域水平行為動詞目標(biāo)領(lǐng)域水平行為領(lǐng)域知識與技能知道/了解/模仿了解，體會，知道，識別，感知，認(rèn)識，初步了解，初步體會，初步學(xué)會，初步理解理解/獨立操作描述，說明，表達，表述，表示，刻畫，解釋，推測，想象，理解，歸納，總結(jié)，抽象，提取，比較，對比，判定，判斷，會求，能夠，運用，初步運用，初步討論掌握/應(yīng)用/遷移掌握，導(dǎo)出，分析，推到，證明，研究，討論，選擇，決策，解決問題過程與方法經(jīng)歷/模仿經(jīng)歷，觀察，感知，體驗，操作，查閱，借助，模仿，收集，回顧，復(fù)習(xí)，參與，嘗試發(fā)現(xiàn)/探索設(shè)計，梳理，整理，分析，發(fā)現(xiàn)，交流，研究，探索，探究，探求，解決，尋求情感態(tài)度與價值觀反應(yīng)/認(rèn)同感受，認(rèn)識，了解，初步體會，體會領(lǐng)悟/內(nèi)化獲得，提高，增強，形成，養(yǎng)成，樹立，發(fā)揮，發(fā)展第98頁/共221頁應(yīng)達水平數(shù)學(xué)概念及描述知道/了解/模仿平方根、算術(shù)平方根、立方根，無理數(shù)、實數(shù)，近似數(shù)、有效數(shù)字，二次根式，整數(shù)，分式，不等式，常量、變量，理解/獨立操作有理數(shù)（理解并表示），會求平方根（立方根），字母表示數(shù)，乘方，配方法，一元一次方程，一元二次方程，一元一次不等式，函數(shù)，一次函數(shù)，正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)，方程的解，不等式組，掌握/應(yīng)用/遷移有理數(shù)（運算、估值），方程，不等式，函數(shù)，一次函數(shù)，正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)3.初中數(shù)學(xué)中涉及的數(shù)學(xué)概念（數(shù)與代數(shù)）及其要求達到的水平第99頁/共221頁一、概念的概述1.概念的定義概念是思維的基本單位。哲學(xué)——概念是人腦對事物本質(zhì)特征的反映。心理學(xué)——概念是同人的分類行為緊密聯(lián)系在一起的。

行為主義心理學(xué)：概念是有機體對相似刺激物或同類刺激物作出共同反映的能力。（適宜于初級的具體概念）

認(rèn)知心理學(xué)：概念是符號所代表的具有共同屬性的對象、事物、情境或性質(zhì)。

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)：概念具有發(fā)展性，隨著知識結(jié)構(gòu)的不斷完善，學(xué)生對概念的理解就從具體水平向抽象水平發(fā)展，從日常概念向科學(xué)概念發(fā)展。概念通常包括四方面：概念的名稱、定義、例子和屬性。如“圓”。第100頁/共221頁●概念分類的一般方法：邏輯學(xué)家認(rèn)為，組成不同屬性的方式有三種，即代表三種類型的概念（1）聯(lián)合屬性，即幾種屬性聯(lián)合起來一起對概念下定義。如映射。（2）單一屬性，即在許多事物的各種屬性中，找出一種（或）幾種屬性來對概念下定義。如在“橢圓”“雙曲線”“拋物線”基礎(chǔ)上的“圓錐曲線”。（3）關(guān)系屬性，即以事物的相對關(guān)系作為依據(jù)對概念下定義。如正方形。第101頁/共221頁2.數(shù)學(xué)概念概念是客觀對象及其本質(zhì)在人們思維中的反應(yīng)。數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系及其本質(zhì)屬性在人腦中的反映。●數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生途徑：（1）直接從事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系中反映出來，如自然數(shù)、點、線、面、體、平行、垂直、圓柱、錐、臺等；（2）在抽象的數(shù)學(xué)概念基礎(chǔ)上經(jīng)過多次復(fù)雜的抽象概括形成的，如實數(shù)、復(fù)數(shù)；群、環(huán)、域、關(guān)系、映射、向量等；（3）在一定的數(shù)學(xué)對象結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的，如三線截得的八角；（4）根據(jù)理論上有存在的可能而提出的，如無窮遠點、無窮大等。第102頁/共221頁●數(shù)學(xué)概念的類別：（1）具體概念和定義性概念。（2）精確概念和模糊概念。（3）日常概念和科學(xué)概念?！駭?shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延——反向關(guān)系。數(shù)學(xué)對象量和質(zhì)的統(tǒng)一。第103頁/共221頁●數(shù)學(xué)概念的特點

（1）數(shù)學(xué)概念是一類對象的思維形式

①數(shù)學(xué)概念代表一類對象，而不是個別對象。它排除一類對象的具體內(nèi)容的物理性質(zhì)、化學(xué)性質(zhì)等以后的抽象，反映的是一類對象在數(shù)與形方面的內(nèi)在的、固有的屬性，而這種在數(shù)與形方面的本質(zhì)屬性，是這一類對象所具有的。

例如，“正方體”這個概念，不是指任何具體形狀、顏色、大小、密度等性質(zhì)的正方體,而是這些具體形狀、顏色、大小、密度等性質(zhì)的正方體的抽象。凡是具有正方體空間形式和數(shù)學(xué)關(guān)系的本質(zhì)特征的圖形，不論大小、顏色以及密度統(tǒng)稱為正方體。

②數(shù)學(xué)概念反映的是一類對象在數(shù)與形方面的內(nèi)在的、固有的屬性，而不是表面屬性。第104頁/共221頁(2)數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實世界的概括反映①用符號表示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特性，使得數(shù)學(xué)學(xué)科的表述形式比其他學(xué)科表述形式更加簡明、清晰、準(zhǔn)確，有助于數(shù)學(xué)學(xué)科建立嚴(yán)密的科學(xué)體系。例如，歐幾里得的《幾何原本》從最初體系缺乏嚴(yán)密的邏輯根據(jù)到建立嚴(yán)密的希爾伯特公理體系花了2000多年時間。微積分剛剛建立的時候，邏輯上是很不嚴(yán)密的，到建立嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)花了很長時間。自從符號表示數(shù)學(xué)概念本質(zhì)特征后，比較方便地建立了嚴(yán)密歐氏幾何體系與微積分體系。②用符號表示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特性，推動了數(shù)學(xué)的加速發(fā)展。例如，函數(shù)概念符號化正是數(shù)學(xué)概念有這種特定揭示了概念本質(zhì)的符號表示，才使得數(shù)學(xué)內(nèi)容的表現(xiàn)形式簡明。歷史上每一重大數(shù)學(xué)進展都和符號創(chuàng)造性運用分不開的。中國古代的位置記數(shù)法，用黑色算籌表示負(fù)數(shù)。曾經(jīng)為人類的數(shù)學(xué)文明做出過重大貢獻；阿拉伯人用字母代表數(shù)，推動了代數(shù)的快速發(fā)展，創(chuàng)立了代數(shù)的新紀(jì)元；到了近代，符號化的趨勢越來越明顯。微積分使用等符號，使用這些符號使得微積分內(nèi)容表現(xiàn)形式簡明、清晰，同時揭示了自然語言表達難以揭示的數(shù)學(xué)本質(zhì)，用符號寫成微分方程成為描寫現(xiàn)實世界問題以及解決現(xiàn)實世界問題的有力工具。③數(shù)學(xué)概念用符號表示，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)推理與證明成為可能。合理的符號體系是簡潔表述數(shù)學(xué)內(nèi)容、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的工具，同時，也是邏輯演繹的工具。第105頁/共221頁

(3)數(shù)學(xué)概念是具體性與抽象性的辯證統(tǒng)一

數(shù)學(xué)概念既然代表了一類對象的本質(zhì)屬性，那么它是抽象的。如“正方體”概念。抽象程度愈高，數(shù)學(xué)概念與現(xiàn)實的原始對象之間的聯(lián)系就愈來愈弱，這是數(shù)學(xué)概念抽象性的一面。

另一方面，盡管數(shù)學(xué)概念作為一種抽象，但它必須以具體素材為基礎(chǔ)。任何抽象的數(shù)學(xué)概念，都具有具體、生動的現(xiàn)實原型。例如，“對應(yīng)”是一個抽象的數(shù)學(xué)概念，它是以原始人的分配、狩獵和計數(shù)等具體活動為現(xiàn)實原型的，更高程度的抽象也有相對具體基礎(chǔ)。因為學(xué)生可以獲得概念，概念一旦被學(xué)生所掌握，對學(xué)生來說，就是“實在的”東西了，這是概念具體性的一面。例如，銳角三角函數(shù)是一個高度抽象的概念，學(xué)生學(xué)習(xí)它時，所聯(lián)系的具體內(nèi)容雖然相對少些。但是學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的概念上升到學(xué)習(xí)以任意實數(shù)為自變量的三角函數(shù)概念時，表現(xiàn)為“圓”函數(shù)時，學(xué)生所聯(lián)系的具體內(nèi)容就更少了，涉及到的具體對象是銳角三角函數(shù)作為相對“實在的”擴展到“圓運動”；再進一步上升到以任意復(fù)數(shù)為自變量的三角函數(shù)時，抽象程度更高，其涉及到的具體對象是“銳角三角函數(shù)”、“圓運動”作為相對“實在的”則又?jǐn)U展到包含圓運動在內(nèi)的周期運動，這說明再抽象也仍有相對具體的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)的抽象性不僅以具體性為基礎(chǔ)，而且還以更廣泛的具體性為歸宿。第106頁/共221頁

（4）數(shù)學(xué)概念之間具有內(nèi)在邏輯性客觀事物不僅自身是由許多方面的因素構(gòu)成的，而且同其他事物相互制約、相互作用。數(shù)學(xué)中的概念，除了原始概念之外，都是建立在其他概念的基礎(chǔ)上形成的。數(shù)學(xué)概念往往是“抽象之上的抽象”，先前的概念往往是后續(xù)概念的基礎(chǔ)，從而形成了數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)。公理化體系就是這種系統(tǒng)性的最高反映。同時，數(shù)學(xué)概念又具有相對的獨立性，概念之間又是有本質(zhì)區(qū)別。在一個數(shù)學(xué)分支中，諸概念形成一個結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍铙w系，構(gòu)成了該數(shù)學(xué)分支的理論框架，將概念之間的邏輯聯(lián)系清晰地表達出來。第107頁/共221頁●數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系——指外延間的關(guān)系：第108頁/共221頁（1）相容關(guān)系——同一關(guān)系、屬種關(guān)系和交叉關(guān)系。同一關(guān)系：外延完全重合，如“等邊矩形”和“等角菱形”；正三角形的“外心”、“內(nèi)心”、“垂心”、“重心”均指同一點。屬種關(guān)系（從屬關(guān)系、真包含關(guān)系）：外延大的概念為屬概念，小的為中概念。比比皆是。交叉關(guān)系，如“等腰直角三角形”等。（2）不相容關(guān)系（又稱全異關(guān)系）——反對關(guān)系（對立關(guān)系）、矛盾關(guān)系。反對關(guān)系，如“正有理數(shù)”和“負(fù)有理數(shù)”，“大于”和“小于”等。矛盾關(guān)系：如兩個概念的外延完全不同，并且它們的外延之和等于其屬概念的外延。如“同次根式”與“異次根式”?！按笥凇迸c“不大于”、“實數(shù)”與“虛數(shù)”、“相等”與“不相等”等概念之間的關(guān)系等。第109頁/共221頁●數(shù)學(xué)中常用的幾種定義方式：（1）屬加種差定義方式如“正多邊形”、“指數(shù)方程”等。（2）發(fā)生定義方式（又稱構(gòu)造定義方式）如角、數(shù)軸、直角坐標(biāo)系、橢圓、球等。（3）外延定義（概括定義）如有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，拋物線、橢圓和雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線。（4）關(guān)系定義方式：以事物間的關(guān)系作為種差的定義。如鈍角、整除等。（5）語詞定義方式：就是說明或規(guī)定語詞或詞組的意義的定義方式。如、、∽等。(6)充分必要條件定義（語境定義）如素數(shù)、A=B.（7）公里定義方式如自然數(shù)（8）遞歸定義。第110頁/共221頁●定義的規(guī)則：（1）定義必須是相應(yīng)對稱的。例如，無限不循環(huán)小數(shù)，叫做無理數(shù)。（2）定義不得循環(huán)。例如，用兩直線垂直來定義直角，又用兩直線成直角來定義垂直

（3）定義應(yīng)當(dāng)是確定的、簡明的。不能用比喻或其他含糊的說法來代替定義（4）定義一般不用否定式。例如：圓是不方的幾何圖形；加就是不減；正就是非負(fù)等，都沒有揭示出被定義概念的本質(zhì)。但這個要求不是絕對的，有些事物的本質(zhì)屬性就是揭示它缺乏某種特性，如斜棱柱的定義：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱。第111頁/共221頁二、概念的獲得概念的獲得就是要求學(xué)生掌握一類事物的共同本質(zhì)屬性，并能辨別本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性，能列舉出概念的例證和反例。1.概念的形成：是指從大量的具體例子出發(fā)，歸納概括出一類事物的共同本質(zhì)屬性的過程。如“扇形”、“圓”。以概念形成方式獲得精確概念的心理過程：第112頁/共221頁第113頁/共221頁第114頁/共221頁第115頁/共221頁第116頁/共221頁2.概念的同化同化是指學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)吸收新的信息，從而使原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生變化的過程。概念的同化指學(xué)習(xí)者利用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的觀念來理解接納新概念的過程。同化的結(jié)果不僅使新概念獲得意義，而且擴大和深華了原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)（量的增加）?！窀拍钔男睦磉^程：第117頁/共221頁概念同化的心理過程包括以下幾個階段：（1）辨認(rèn)。

辨認(rèn)定義中的新觀念哪些是已有概念?新舊觀念之間存在什么關(guān)系?新舊之間的聯(lián)系與區(qū)別，辨認(rèn)過程包含了回憶與知識的重現(xiàn)。例如，學(xué)習(xí)“正方體”概念，在給出正方體的定義后，學(xué)生必須對“長方體”、“正四棱柱”、“棱長都相等”、“高等于底面的邊長”等已有概念進行回憶和辨認(rèn)。第118頁/共221頁（2）同化。奧蘇貝爾認(rèn)知結(jié)構(gòu)同化論的核心就是相互作用觀。

①下位關(guān)系學(xué)習(xí)或類屬學(xué)習(xí)。當(dāng)新知識從屬于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的、包容范圍較廣的知識時，則構(gòu)成下位關(guān)系。這是新知識與學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間的一種最為普遍的關(guān)系。例如，“三角形”的概念與等腰三角形、等邊三角形，或者銳角、鈍角、直角三角形的概念時學(xué)習(xí)。再如，“函數(shù)”與具體的函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的下位關(guān)系學(xué)習(xí)。從中可以看出，這種學(xué)習(xí)一般表現(xiàn)為通過增加條件對上位概念進行限制或補充而形成新的概念。

第119頁/共221頁②上位關(guān)系學(xué)習(xí)或總括學(xué)習(xí)。當(dāng)要學(xué)習(xí)的新知識比已有知識的概括程度更高、包容范圍更廣，可以把一系列已有知識包容其中時，即原有的觀念是從屬觀念，而新學(xué)習(xí)的觀念是總括性觀念。新舊知識之間便構(gòu)成一種上下位關(guān)系，這時的學(xué)習(xí)就稱為上位學(xué)習(xí)或總括學(xué)習(xí)。

實數(shù)概念是對“有理數(shù)”“無理數(shù)”或“正數(shù)”“負(fù)數(shù)”“零”概念的發(fā)展。在上位關(guān)系學(xué)習(xí)過程中，關(guān)鍵是從下位概念中歸納概括出它們的共同特征。第120頁/共221頁

③并列結(jié)合學(xué)習(xí)。

如果新舊知識之間既不產(chǎn)生下位關(guān)系，又不產(chǎn)生上位關(guān)系，但是新的內(nèi)容與學(xué)習(xí)者已有的一些觀念有某種屬性或結(jié)構(gòu)的相似。所以可以通過合理的組織這些潛在的已有的觀念學(xué)習(xí)新知識，這種學(xué)習(xí)類型就稱為并列結(jié)合學(xué)習(xí)。在實際學(xué)習(xí)中，很多新概念的學(xué)習(xí)都屬于這種學(xué)習(xí)。例如，“直線與平面的平行(垂直)”與“直線與直線的平行(或垂直)”的知識進行學(xué)習(xí)?！柏?fù)數(shù)”與“相反意義的量”的觀念。第121頁/共221頁（3）強化。

通過將新概念與某些反例相聯(lián)系，使新概念更加穩(wěn)固和清晰。概念同化的本質(zhì)是利用已經(jīng)掌握的概念獲取新概念，因此概念同化的學(xué)習(xí)形式必須具備一定條件。從客觀方面看，學(xué)習(xí)的材料必須具有邏輯意義，所學(xué)的新概念應(yīng)與學(xué)生已有的有關(guān)概念建立“非人為”和“實質(zhì)性”的聯(lián)系。第122頁/共221頁3.概念的順應(yīng)順應(yīng)本為生物學(xué)概念，是指有機體調(diào)節(jié)自己的內(nèi)部結(jié)構(gòu)以適應(yīng)特定刺激情境的過程。概念的順應(yīng)，是指當(dāng)原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能同化新概念時，就要調(diào)整或改變原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以便概括新概念。如由算術(shù)數(shù)到正、負(fù)屬概念：（1）通過概念形成的方式幫助學(xué)生建立新觀念：“現(xiàn)實中存在大量具有相反意義的量”（2）通過問題讓學(xué)生體會：要表達這些相反意義的量，原有的算術(shù)數(shù)是不夠的。（3）給出新的表述法或規(guī)定：把其中的一種量規(guī)定為正，則另一種量規(guī)定為負(fù)。第123頁/共221頁三、影響概念學(xué)習(xí)的因素1.學(xué)生的經(jīng)驗研究表明：就智力和經(jīng)驗對概念學(xué)習(xí)的影響程度來看，經(jīng)驗的作用更大。豐富的經(jīng)驗背景是理解概念本質(zhì)的前提，否則將容易導(dǎo)致死記硬背概念的字面定義而不能領(lǐng)會概念的內(nèi)涵。經(jīng)驗主要來源：學(xué)校學(xué)習(xí)、日常生活。經(jīng)驗的影響：積極、消極。第124頁/共221頁●防止消極影響辦法：（1）把基本概念放在核心地位，使它成為聯(lián)系相關(guān)知識的紐帶，突出概念之間的內(nèi)在聯(lián)系。在教學(xué)上狠下功夫。如“集合”、“比例”、“函數(shù)”、“方程”、“距離”、“極限”等。奧蘇貝爾說：“從學(xué)習(xí)最一般的概念然后逐漸分化出較具體的概念，往往是最有效的。”如。第125頁/共221頁（2）及時探究新舊概念之間的異同。如；“平方根”與“算術(shù)平方根”；（3）強調(diào)通過恰當(dāng)?shù)木毩?xí)對概念進行精加工。第126頁/共221頁2.概念學(xué)習(xí)素材的性質(zhì)（1）數(shù)量（2）變式：是變更對象非本質(zhì)特征的表現(xiàn)形式，變更觀察事物角度和方法，以突出對象的本質(zhì)特征，突出那些隱蔽的本質(zhì)要素。即變式是指事物的肯定例證在無關(guān)特征方面的變化。

第127頁/共221頁例子方程方程學(xué)習(xí)要解決兩個問題：一是平衡思想及其用“=”表示的方法；二是未知數(shù)的含義。鋪墊一：用具體事物表示未知量。通過解決具體問題的過程而熟悉“方程”的含義，形成直觀認(rèn)識。例如：小明用2元錢去買3塊橡皮，結(jié)果找給他2角。請問這塊橡皮多少錢？形象表示為：2元－■■■=2角，或2元－3■=2角（1）鋪墊二：用簡寫記號表示未知量。用x代替“橡皮”，（1）式化為2元－3x=2角（2）統(tǒng)一單位后記為20－3x=2（3）此時只是一塊橡皮的價錢。鋪墊三：用數(shù)學(xué)符號“□”代替物化符號“x”20－3□=2（4）第128頁/共221頁（3）典型性實踐表明，概念的本質(zhì)特征越明顯，學(xué)習(xí)越容易，非本質(zhì)特征越多、越明顯，學(xué)習(xí)越困難。因此，教師教師對概念的本質(zhì)特征作恰當(dāng)?shù)臍w類練習(xí)。如“單項式”概念，涉及單項式定義、系數(shù)、次數(shù)等幾個方面。對定義，要突出“數(shù)字與字母的乘積”，舉例既有形如，又要分析單獨一個數(shù)是否為單項式。對“系數(shù)”，既要有正系數(shù)，又要有負(fù)系數(shù)，特別指出這樣的數(shù)字單項式的系數(shù)是多少。對“次數(shù)”，既要有，又要有等，并讓學(xué)生辨別“數(shù)字單項式”的次數(shù)。第129頁/共221頁（4）反例反例的恰當(dāng)運用有助于學(xué)生對概念理解更加精確，建立概念間的聯(lián)系，更能排除無關(guān)特征的干擾，預(yù)防和澄清混淆點。如“”當(dāng)然，要注意“反例”運用的時機：一般不能在學(xué)生剛接觸概念是運用反例。第130頁/共221頁3.學(xué)生的概括能力概括是形成和掌握概念的直接前提。沒有概括，學(xué)生就不可能掌握概念，進而由概念所引深的定義、定理、法則、公式就無法掌握；沒有概括，學(xué)生無法進行邏輯推理；沒有概括，就不可能進行靈活遷移；沒有概括，就不能實現(xiàn)思維過程的“縮減”或“濃縮”?！駭?shù)學(xué)概念的概括大約經(jīng)過如下幾個階段：（1）對一類事例的各種屬性進行分化，再進行分析、綜合、比較而抽象出共同的、本質(zhì)的屬性或特征，然后再概括起來；（2）在進行類化，即把概括到的本質(zhì)屬性推廣到同類事物中去。這既是一個概念的運用過程，又是一個更高意義上的抽象概括過程；（3）把新獲得的概念納入到概念系統(tǒng)中去，即要建立起新概念與已有相關(guān)概念之間的聯(lián)系，這是概括的高級階段。第131頁/共221頁4.數(shù)學(xué)語言表達能力語言表達是概念學(xué)習(xí)過程中非常重要的一個環(huán)節(jié)。學(xué)生能用自己的語言正確敘述概念，解釋概念所揭示的本質(zhì)屬性，這是學(xué)生理解概念的標(biāo)志。第132頁/共221頁四、數(shù)學(xué)概念教學(xué)1.兩種教學(xué)模式模式一：概念形成的教學(xué)模式概念的形成是由特殊到一般，有具體到抽象的過程，因此，對于那些初次接觸或較難理解的概念，可采用這種方式教學(xué)學(xué)習(xí)。其過程如下：第133頁/共221頁●原始概念一般采用描述法和抽象化法或用直觀說明或指明對象的方法來明確?！搬樇獯棠景濉钡暮圹E引入“點”、用“拉緊的繩”或“小孔中射入的光線”來引入“直線”的方法是直觀說明法，“1，2，3，···叫做自然數(shù)”是指明對象法。第134頁/共221頁模式二：概念同化的教學(xué)模式其過程如下：第135頁/共221頁如“一次函數(shù)”的概念給出名稱、定義、符號：函數(shù)特例：等把一次函數(shù)與函數(shù)概念、一次多項式概念等作比較用肯定、否定例證讓學(xué)生辨認(rèn)：第136頁/共221頁概念同化方式學(xué)習(xí)新概念必須具備3個條件：（1）學(xué)習(xí)者必須具備“我要學(xué)”的動機；（2）新概念必須有邏輯意義；（3）學(xué)生的原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中必須具備同化新概念所需要的觀念。這種學(xué)習(xí)的關(guān)鍵：把握新概念與原有概念之間的關(guān)系。第137頁/共221頁2.促進數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的教學(xué)建議數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程大致分為概念的引入、概念的理解和概念的運用3個階段。（一）概念的引入由于概念的形成、概念的同化和概念的順應(yīng)是概念獲得的3種方式，因此，概念的引入可以按這3種方式進行。同時要考慮學(xué)生的心理特點。首先，依據(jù)概念的定義方式來引入（1）概念為“屬加種差”型，按“概念同化”方式引入。此時，教師關(guān)鍵要講清定義中的屬概念和種差，使學(xué)生明白：新概念既具有屬概念的一般屬性，又具有自身所特有的關(guān)鍵屬性（種差）。但有些“屬加種差”型的概念，其屬概念的內(nèi)涵較少，外延很大，而種差較為抽象，學(xué)生同化較困難，此時可從概念外延入手，選擇概念形成的方式來引入。如“等比數(shù)列”。第138頁/共221頁（2）概念為“發(fā)生式定義”型，按“概念同化”方式引入。此時，教師講解的重點不只是“種差”，還要通過實驗演示其發(fā)生過程，讓學(xué)生具體操作，體驗其形成過程，以幫助學(xué)生把握概念的關(guān)鍵屬性。如角、橢圓等。（3）概念為“關(guān)系、形式定義”型，一般按概念同化方式引入。此時要抓住定義的模型，任何突破模型的形式都不是定義本身。如，冪函數(shù)的定義：形如的函數(shù)叫做冪函數(shù)。由此可知，函數(shù)都不是。對于上述的規(guī)定性定義，要講清兩點：一是規(guī)定的必要性，二是規(guī)定的合理性。如規(guī)定要從冪的運算入手講清道理。第139頁/共221頁（4）起基礎(chǔ)作用和核心作用的形式定義的數(shù)學(xué)概念，宜采用“概念順應(yīng)”方式引入。

如正、負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)等。其次，根據(jù)學(xué)生認(rèn)知的心理特點引入學(xué)生認(rèn)知的心理特點：一方面表現(xiàn)為天生就具有的積極向上、探索奧秘的求知欲，另一方面表現(xiàn)為心理平衡傾向。因而，“有趣”、“懸念”、“設(shè)疑”等為常用手段。如“二面角”、“等速螺線”等。第140頁/共221頁（二）概念的理解注意和加強以下4個方面：（1）加強對概念的解剖分析由于數(shù)學(xué)本身要求的簡單美，使得概念中的敘述、符號、式子都十分精煉，含義深刻。如“正弦函數(shù)”，涉及比的意義、角的大小、點的坐標(biāo)、距離公式、相似三角形、函數(shù)概念等知識，其中“比”是本質(zhì)屬性。（2）利用變式，突出概念的本質(zhì)屬性如“直角三角形”（一個直角）、“無理數(shù)”（無限不循環(huán)）。（3）注意概念的對比和直觀化如分?jǐn)?shù)與分式、平面圖形與立體圖形，不等式的解與方程的解，最值與極值等。第141頁/共221頁（4）注意概念體系的建構(gòu)（三）在實踐中運用概念第142頁/共221頁第三部分：

數(shù)學(xué)原理的有效教學(xué)策略一、數(shù)學(xué)原理的相關(guān)概述二、數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的形式三、促進數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的教學(xué)建議四、數(shù)學(xué)原理教學(xué)的教學(xué)策略第143頁/共221頁案例1：關(guān)于完全平方公式的表征方式

讓學(xué)生利用剛學(xué)過的多項式乘多項式法則計算；(符號表征)

總結(jié)公式的特征：首平方，尾平方，首尾乘積兩倍加在中央；(語言表征)用下圖并要求學(xué)生發(fā)現(xiàn)大正方形以及四個小矩形的面積，由此引導(dǎo)他們?nèi)サ玫剿年P(guān)系；（圖形表征）第144頁/共221頁讓學(xué)生使用計算機程序求當(dāng)（a,b）分別取幾組數(shù)值時，和的值，然后引導(dǎo)他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)所求的關(guān)系；（操作表征）讓學(xué)生解決以下的情景問題：有一位老奶奶很喜歡小孩子，每次孩子們到她家，她都會給他們一些糖，她給自己立了一個規(guī)定：每次有多少孩子去，就會給每個孩子同樣數(shù)目的糖（如有五個孩子就給每個孩子五顆糖）?，F(xiàn)在有a個男孩子和b個女孩子準(zhǔn)備要去老奶奶家，這些孩子在商量是分開去（a個男孩子一起和b個女孩子一起）還是一起去所得的糖會多一些？多多少？請你幫他們解決這一問題。由此引導(dǎo)他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)所求的關(guān)系。（情景表征）

第145頁/共221頁案例2：案例：一次函數(shù)y=kx+b的圖像是直線？?。?）問題的提出：在一次聽課中，教師講解直線y=kx+b，有學(xué)生問，為什么一次函數(shù)y=kx+b的圖像是直線？（2）分析.在教數(shù)學(xué)和學(xué)數(shù)學(xué)時，教師需要注意的是：數(shù)學(xué)不是因為人們的解釋才具有這樣或那樣的性質(zhì)，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是客觀存在的。如何讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)的客觀存在性是關(guān)鍵。這就需要教師具備專業(yè)的MPCK,把數(shù)學(xué)的科學(xué)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)。具體到這個案例，要想解決學(xué)生的疑惑，先從三個方面來剖析。第146頁/共221頁MPCK教學(xué)案例：一次函數(shù)y=kx+b的圖像是直線？！從MK的角度.證明“一次函數(shù)y=kx+b的圖像是直線”可以采用傾斜角法（或斜率法），即在圖像上任取3個不同的點P1(x1,y1),P2（x2,y2),P3(x3,y3),說明由點P1,P2確定的直線P1P2與由點P1P3確定的直線P1P3的傾斜角（或斜率）相等。從PK的角度.在組織教學(xué)時，可以采用先由特例出發(fā)，探索解決疑問的思路，然后再從一般性的角度加以分析與證明。從CK的角度.結(jié)合學(xué)生的具體認(rèn)知水平，需要考慮這個問題可以解決到什么層次，學(xué)生可能理解到什么程度，即實際教學(xué)時，教師教學(xué)策略的選擇。第147頁/共221頁MPCK教學(xué)案例：一次函數(shù)y=kx+b的圖像是直線？?。?）MPCK的多層呈現(xiàn)：我們可以得出教師的常規(guī)解決該問題的方法.

一般初中教師的MPCK.在初中數(shù)學(xué)教師中常見的回答可能是：首先畫出幾個特例如（y=2x+1,y=6x+4,y=5x-8)的圖像，表明它們均是直線，然后再畫一些如y=x2+2x-3之類的反例，最后用不完全歸納法給出結(jié)論，并要求學(xué)生記住結(jié)論。顯然，教師的解答并沒有解決學(xué)生的疑問。這里牽涉兩個層面的問題：（a）數(shù)學(xué)怎么證（知識的科學(xué)性）？（b）若這個證明太難，如何給學(xué)生一個簡易的（但又蘊含數(shù)學(xué)原理）的解答？第148頁/共221頁有經(jīng)驗的初中教師的MPCK.

先讓初中學(xué)生用多描幾個點方法感受并猜想一次函數(shù)y=2x+1的圖像可能是直線，然后探索并理解直線由“點和傾斜角”唯一確定，接著看看當(dāng)點P1(1,3)的橫坐標(biāo)變成1+t時，根據(jù)函數(shù)解析式算得相應(yīng)的縱坐標(biāo)變成2（1+t）+1=3+2t.即當(dāng)1水平方向移動t個單位，3就在垂直方向移動2t個單位，新舊點連線的傾斜角的正切均是2，與t無關(guān)。既然是傾斜角恒不變（在初中教材中，沒有出現(xiàn)斜率的概念），因此y=2x+1的圖像便是直線。當(dāng)然，可以讓學(xué)生嘗試給出一般的一次函數(shù)y=kx+b的圖像是直線的證明。第149頁/共221頁一、數(shù)學(xué)原理相關(guān)概述1.數(shù)學(xué)原理內(nèi)涵：數(shù)學(xué)命題（指真命題），主要包括數(shù)學(xué)公理、定理、公式、法則等和數(shù)學(xué)推理與證明。數(shù)學(xué)命題（除公理之外）都必需論證，只有論證之后，才可