計算藥物分析(藥學與生物信息學)第二章

一、矩陣概念1.矩陣的定義簡記為第一頁，共64頁。實矩陣:

元素是實數復矩陣：元素是復數例如：是一個實矩陣是一個復矩陣第二頁，共64頁。是一個矩陣,是一個矩陣.是一個矩陣,第三頁，共64頁。2.一些特殊的矩陣零矩陣(ZeroMatrix):注意：不同階數的零矩陣是不相等的.例如：元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.第四頁，共64頁。行矩陣(RowMatrix):列矩陣(ColumnMatrix):方陣(SquareMatrix):只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).例如：是一個3階方陣.行數與列數都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作第五頁，共64頁。對角陣(DiagonalMatrix):方陣，主對角元素不全為零，非主對角元素都為零。數量矩陣(ScalarMatrix):方陣，主對角元素全為非零常數k，其余元素全為零。第六頁，共64頁。單位矩陣(IdentityMatrix):記作:行列式與矩陣的區(qū)別:1.一個是算式，一個是數表2.一個行列數相同,一個行列數可不同.3.對n階方陣可求它的行列式.記為:方陣，主對角元素全為1，其余元素都為零。第七頁，共64頁。系數矩陣個變量與個變量之間的關系式表示從變量到變量的線性變換.其中為常數.第八頁，共64頁。系數矩陣第九頁，共64頁。二、矩陣的基本運算1.矩陣相等矩陣相等:例：同型矩陣：兩個矩陣的行數相等、列數也相等第十頁，共64頁。2.矩陣的加減法設有兩個矩陣那末矩陣與的和記作，規(guī)定為加法:第十一頁，共64頁。注意：只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.例如：第十二頁，共64頁。3.數與矩陣相乘數乘:注意：矩陣數乘與行列式數乘的區(qū)別.第十三頁，共64頁。數乘矩陣滿足的運算規(guī)律：矩陣相加與數乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.（設為矩陣，為數）第十四頁，共64頁。定義：并把此乘積記作4.矩陣與矩陣相乘設是一個矩陣，是一個矩陣，那末規(guī)定矩陣與矩陣的乘積是一個矩陣，其中第十五頁，共64頁。例１：例2：求AB第十六頁，共64頁。故解:第十七頁，共64頁。注意:只有當第一個矩陣的列數等于第二個矩陣的行數時，兩個矩陣才能相乘.例如:不存在.第十八頁，共64頁。矩陣乘法滿足的運算規(guī)律：（其中為數）;矩陣乘法不滿足交換律例:設則注意：第十九頁，共64頁。5.矩陣的轉置定義:

把矩陣的行換成同序數的列得到的新矩陣，叫做的轉置矩陣，記作.例:轉置矩陣滿足的運算規(guī)律：第二十頁，共64頁。對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應相等.說明：例:設為階方陣，如果滿足，即那末稱為對稱陣.對稱陣:第二十一頁，共64頁。6.方陣的行列式定義：由階方陣的元素所構成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運算規(guī)律：:注：雖然但第二十二頁，共64頁。MatLab概述與運算基礎MatrixLaboratory

20世紀70年代中期，美國Newmexico大學計算機系主任的CleveMoler和其同事在美國國家科學基金的資助下研究開發(fā)了調用LINPACK和EISPACK子程序庫。并于1984年編寫了便于使用LINPACK和EISPACK的接口程序，并將該程序取名為MATLAB。由美國MathWorks公司推向市場以來，現已成為國際公認的最優(yōu)秀的工程應用開發(fā)環(huán)境。MATLAB功能強大、簡單易學、編程效率高，深受廣大科技工作者的歡迎。第二十三頁，共64頁。MatLab概述與運算基礎2001年初推出了MATLAB6.0(R12)正式版，不僅在數值計算、符號運算和圖形處理等功能上進一步加強，而且又增加了一些工具箱。目前MATLAB已擁有數十個工具箱，控制系統(tǒng)工具箱、信號處理工具箱、神經網絡工具箱、最優(yōu)化工具箱、金融工具箱偏微分方程工具箱等…。MATLAB語言的算法先進，許多功能函數都帶有算法的自適應性，且運算速度快捷。MATLAB編程容易、效率高，調試方便、簡單，人機交互性強。第二十四頁，共64頁。MatLab概述與運算基礎MATLAB的數值計算功能包括：矩陣運算、多項式和有理分式運算、數據統(tǒng)計分析、數值積分、優(yōu)化處理等。符號計算可以得到問題的解析解。MATLAB除了命令行的交互式操作以外，還可以程序方式工作。使用MATLAB可以很容易地實現C或FORTRAN語言的幾乎全部功能，包括Windows圖形用戶界面的設計。MATLAB提供了兩個層次的圖形命令：一種是對圖形句柄進行的低級圖形命令，另一種是建立在低級圖形命令之上的高級圖形命令。利用MATLAB的高級圖形命令可以輕而易舉地繪制二維、三維，并可進行圖形和坐標的標識、視角和色彩精細控制等操作。第二十五頁，共64頁。

逗號或空格用于分隔某一行的元素，分號用于區(qū)分不同的行。除了分號，在輸入矩陣時，按Enter鍵也表示開始一新行。輸入矩陣時，嚴格要求所有行有相同的列。

例m=[1234；5678；9101112]p=[111122223333]1、矩陣的建立MatLab第二十六頁，共64頁。特殊矩陣的建立：d=eye(m，n)產生一個m行、n列的單位矩陣c=ones(m，n)產生一個m行、n列的元素全為1的矩陣

b=zeros(m，n)產生一個m行、n列的零矩陣a=[]產生一個空矩陣，當對一項操作無結果時，返回空矩陣，空矩陣的大小為零.第二十七頁，共64頁。MATLAB程序：矩陣的建立m=[1234;5678;9101112]p=[111122223333]a=[]b=zeros(2,3)c=ones(2,3)d=eye(2,3)e=eye(3,3)第二十八頁，共64頁。2、矩陣中元素的操作（1）矩陣A的第r行：A（r，：）（2）矩陣A的第r列：A（：，r）（4）取矩陣A的第i1~i2行、第j1~j2列構成新矩陣:A(i1:i2,j1:j2)（5）以逆序提取矩陣A的第i1~i2行，構成新矩陣:A(i2:-1：i1，：）（6）以逆序提取矩陣A的第j1~j2列，構成新矩陣:A(:,j2:-1：j1

）（7）刪除A的第i1~i2行，構成新矩陣:A(i1:i2，：)=[]（8）刪除A的第j1~j2列，構成新矩陣:A(：，j1:j2)=[]（9）將矩陣A和B拼接成新矩陣：[AB]；[A；B]（3）依次提取矩陣A的每一列，將A拉伸為一個列向量：A（：）第二十九頁，共64頁。MATLAB程序：矩陣元素的操作a=[123;456;789]a1=a(2,:)a2=a(:,2)a3=a(:)a4=a(1:2,2:3)a5=a(2:-1:1,:)a6=a(:,3:-1:2)a7=a;a7(1:2,:)=[]a8=a;a8(:,1)=[]a9=[aa2]a10=[a;a1]第三十頁，共64頁。

（2）矩陣-矩陣運算

[1]元素對元素的運算，同數組-數組運算。

3、矩陣的運算（1）標量-矩陣運算

同標量-數組運算。

[2]矩陣運算：矩陣加法：A+B矩陣乘法：A*B方陣的行列式：det（A）方陣的逆：inv（A）第三十一頁，共64頁。MATLAB程序：矩陣元素的操作a=[123456]b=[121212]c1=a+ac2=a*bc=[273;394;153]c3=det(c)c4=inv(c)第三十二頁，共64頁。矩陣的基本運算轉置:AT或A’(矩陣的行與列互換)對稱矩陣（A=AT）求逆:A，B均為方陣，如AB=BA，則A是可逆的，記為B=A-1第三十三頁，共64頁。矩陣解法正規(guī)方程組

（m=n，方陣）AX=BA-1AX=A-1B（A-1A=In）InX=A-1B（InX=In）X=A-1B例解：第三十四頁，共64頁。超定方程組

（）AX=B(ATA)X=ATB(ATA)-1(ATA)

X=(ATA)-1ATBInX=(ATA)-1ATBX=(ATA)-1ATB

矩陣解法應用示例：（光譜分析中的多組分測定）A=ECLA=A1+A2+…+An

第三十五頁，共64頁。第三十六頁，共64頁。第三十七頁，共64頁。第三十八頁，共64頁。應努力建立條件數小的方程組，避免因解病態(tài)方程組造成的誤差。由于方程組的條件數取決于系數矩陣，根據研究體系的特征，選擇適當的實驗點，是避免產生病態(tài)方程組的關鍵。如計算分光光度法中當各組分光譜完全相同，將得到無解的奇異矩陣；但假如雖然有差別，可差別很小，則條件數必然很大，則將得到病態(tài)方程組。分光光度法中波長的選擇十分重要。第三十九頁，共64頁。二、線性方程組和回歸分析克萊姆公式高斯消去法矩陣解法

矩陣解法系數矩陣-A未知數矩陣-X常數矩陣-B

矩陣形式：AX=BX=inv(A)*B=A\B第四十頁，共64頁。一元線性回歸及有關計算一元線性回歸

-二變量間x和y的線性關系yx*****第四十一頁，共64頁。線性相關系數的求算總變差平方和0S=Q(殘差平方和)+U(回歸差平方和)第四十二頁，共64頁。三、高次方程的求解第四十三頁，共64頁。迭代法

三、高次方程的近似求解

對方程f(x)=0求近似解，使f(x*)≈0

設初值x0，按一定規(guī)則生成新值x1依次計算生成數列:x0,x1,x2,x3……xn

limxn=x*│xn-xn-1│<ε第四十四頁，共64頁。弦截法

基本原理迭代通式收斂指標第四十五頁，共64頁。牛頓-雷扶生法的基本思想

設是f(x)=0的一個近似根，把f(x)在處作泰勒展開若取前兩項來近似代替f(x)(稱為f(x)的線性化)，則得近似的線性方程設，令其解為，得

這稱為f(x)=0的牛頓迭代格式。第四十六頁，共64頁。牛頓-雷扶生法切線逼近法特點：一個初始值；收斂速度快，求根方便第四十七頁，共64頁。

x0=1,x1=1-(1-2-5)/(3*1-2)=7x2=4.7655x3=3.3487x4=2.5316x5=2.1739x6=2.09788x7=2.094552x8=2.094552第四十八頁，共64頁。

注意點：1、收斂標準：2、初始值：3、可能有多個解第四十九頁，共64頁。

設函數在區(qū)間上有定義，且已知在點

上的函數，成立，就稱為的插值函數，點稱為插值節(jié)點，包含節(jié)點的區(qū)間稱為插值區(qū)間，求插值函數若存在一簡單使的方法稱為插值法。四、插值和擬合第五十頁，共64頁。

若是次數不超過的代數多項式，其中為實數，就稱為插值多項式，

若為分段的多項式，就稱為分段插值.

若為三角多項式，就稱為三角插值.即相應的插值法稱為多項式插值.第五十一頁，共64頁。

從幾何上看，插值法就是就曲線，使其通過給定的個點，并用它近似已知曲線

.見圖第五十二頁，共64頁。第五十三頁，共64頁。第五十四頁，共64頁。對表2-2的數據，如僅用末兩列數據，則只能用線性插值得到正確的結果。上式中x應為滴定劑體積V,y為對應的電位二次微商值(△2E/△V2)，這里要求結果為0。Ve=interp1(x,y,0,‘method’,)0可為數組，‘method’為linear（缺省），nearest(最近鄰點插值)，cubic(三次插值)。第五十五頁，共64頁。第五十六頁，共64頁。第五十七頁，共64頁。polyfit可廣泛用于各種擬合第五十八頁，共64頁。第五十九頁，共64頁。第六十頁，共64頁。設初始劑量為D0，每次注射劑量為D，注射間隔時間為τ，給藥方案為